【真題自測】2
【考點(diǎn)突破】2
【考點(diǎn)1】直線過定點(diǎn)問題2
【考點(diǎn)2】其它曲線過定點(diǎn)問題4
【分層檢測】5
【基礎(chǔ)篇】5
【能力篇】8
【培優(yōu)篇】9
真題自測
一、解答題
1．（2022·全國·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．
(1)求E的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．
2．（2021·全國·高考真題）已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】直線過定點(diǎn)問題
一、解答題
1．（2024·湖南邵陽·三模）已知橢圓：的離心率為，右頂點(diǎn)與的上，下頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為．
(1)求的方程．
(2)不過點(diǎn)的動直線與交于，兩點(diǎn)，直線與的斜率之積恒為．
（i）證明：直線過定點(diǎn)；
（ii）求面積的最大值．
2．（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知動圓M經(jīng)過定點(diǎn)，且與圓內(nèi)切.
(1)求動圓圓心M的軌跡C的方程；
(2)設(shè)軌跡C與x軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為軌跡C上異于A，B的動點(diǎn)，設(shè)直線PB交直線于點(diǎn)T，連接AT交軌跡C于點(diǎn)Q；直線AP，AQ的斜率分別為，.
（i）求證：為定值；
（ii）設(shè)直線，證明：直線PQ過定點(diǎn).
3．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知，，平面上有動點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率之積為1.
(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程.
(2)過點(diǎn)A的直線與交于點(diǎn)（在第一象限），過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)（在第三象限），記直線，的斜率分別為，，且.試判斷與的面積之比是否為定值，若為定值，請求出該定值；若不為定值，請說明理由.
4．（2024·江西宜春·三模）已知以點(diǎn)M為圓心的動圓經(jīng)過點(diǎn)，且與圓心為的圓相切，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)若動直線l與曲線C交于，兩點(diǎn)（其中），點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)為A'，且直線BA'經(jīng)過點(diǎn)．
（ⅰ）求證：直線l過定點(diǎn)；
（ⅱ）若，求直線l的方程．
5．（23-24高二下·福建泉州·期中）已知拋物線，其焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線C上，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上不同的兩點(diǎn)，且，
（i）求證直線過定點(diǎn)；
（ii）求與面積之和的最小值．
6．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）已知拋物線，動直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)、點(diǎn)作拋物線的切線和，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn),和相交于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)為時，的外接圓的面積是．
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線的方程是，點(diǎn)是拋物線上在，兩點(diǎn)之間的動點(diǎn)（異于點(diǎn)，），求的取值范圍；
(3)設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，證明：若恒成立，則直線過定點(diǎn)
反思提升：
圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法
(1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點(diǎn).
(2)特殊到一般法：根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).
【考點(diǎn)2】其它曲線過定點(diǎn)問題
一、解答題
1．（2024·西藏拉薩·二模）已知拋物線上的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為.
(1)求拋物線的方程；
(2)若過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，問：以為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出這個定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.
2．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知拋物線，焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，直線∶與相交于兩點(diǎn)，過分別向的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為.
(1)設(shè)的面積分別為，求證：；
(2)若直線，分別與相交于，試證明以為直徑的圓過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo).
3．（2024·新疆喀什·三模）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，是直線：（其中是實(shí)半軸長，是半焦距）上不同于原點(diǎn)的一個動點(diǎn)，斜率為的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，斜率為的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)．
(1)求的值；
(2)若直線，，，的斜率分別為，，，，問是否存在點(diǎn)，滿足，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知雙曲線的實(shí)軸長為2，離心率為2，右焦點(diǎn)為，為上的一個動點(diǎn)，
(1)若點(diǎn)在雙曲線右支上，在軸的負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)．使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
(2)過作圓的兩條切線，若切線分別與相交于另外的兩點(diǎn)、，證明：三點(diǎn)共線．
5．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).
(1)求的方程；
(2)直線交于兩點(diǎn).
（i）點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，直線的斜率為，證明：為定值；
（ii）若上存在點(diǎn)使得在上的投影向量相等，且的重心在軸上，求直線的方程.
6．（2024·天津和平·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的右焦點(diǎn)為點(diǎn)F，橢圓上頂點(diǎn)為點(diǎn)A，右頂點(diǎn)為點(diǎn)B，且滿足．
(1)求橢圓的離心率；
(2)是否存在過原點(diǎn)O的直線l，使得直線l與橢圓在第三象限的交點(diǎn)為點(diǎn)C，且與直線AF交于點(diǎn)D，滿足，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．
反思提升：
(1)定點(diǎn)問題，先猜后證，可先考慮運(yùn)動圖形是否有對稱性及特殊(或極端)位置猜想，如直線的水平位置、豎直位置，即k＝0或k不存在時.
(2)以曲線上的點(diǎn)為參數(shù)，設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)，利用點(diǎn)在曲線f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消參.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2021·山東濱州·一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，左右頂點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是橢圓上異于，的任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．B．直線與直線的斜率之積為
C．存在點(diǎn)滿足D．若△的面積為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
2．（2021·浙江溫州·三模）如圖，點(diǎn)A，B，C在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)F在上，與x軸交于點(diǎn)D，，，則（ ）
A．B．4C．D．3
3．（2021·廣西·二模）已知橢圓的上頂點(diǎn)為為橢圓上異于A的兩點(diǎn)，且，則直線過定點(diǎn)（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河南·二模）已知動點(diǎn)P在雙曲線C：上，雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為，，則下列結(jié)論：
①C的離心率為2；
②C的焦點(diǎn)弦最短為6；
③動點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為定值；
④當(dāng)動點(diǎn)P在雙曲線C的左支上時，的最大值為．
其中正確的個數(shù)是（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
二、多選題
5．（2021·湖北黃岡·三模）已知動點(diǎn)在雙曲線上，雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．雙曲線的漸近線與圓相切
B．滿足的點(diǎn)共有2個
C．直線與雙曲線的兩支各有一個交點(diǎn)的充要條件是
D．若，則
6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在C上，P為C上的一個動點(diǎn)，則（ ）
A．C的準(zhǔn)線方程為B．若，則的最小值為
C．若，則的周長的最小值為11D．在x軸上存在點(diǎn)E，使得為鈍角
7．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知拋物線Γ: ，過點(diǎn)作直線，直線與Γ交于A，C兩點(diǎn)，A在x軸上方，直線與Γ交于B，D 兩點(diǎn)，D在x軸上方，連接，若直線過點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若直線的斜率為1，則直線的斜率為
B．直線過定點(diǎn)
C．直線與直線 的交點(diǎn)在直線上
D．與的面積之和的最小值為
三、填空題
8．（2021·遼寧·模擬預(yù)測）汽車前照燈主要由光源、反射鏡及配光片三部分組成，其中經(jīng)過光源和反射鏡頂點(diǎn)的剖面輪廓為拋物線，而光源恰好位于拋物線的焦點(diǎn)處，這樣光源發(fā)出的每一束光線經(jīng)反射鏡反射后均可沿與拋物線對稱軸平行的方向射出.某汽車前照燈反射鏡剖面輪廓可表示為拋物線.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)拋物線，拋物線的準(zhǔn)線記為，點(diǎn)，動點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動，若點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于，且滿足此條件的點(diǎn)有且只有一個，則
9．（2024·四川宜賓·二模）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過直線上的動點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)分別是，則直線過定點(diǎn) .
10．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角的正切值為.若直線（且）與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，直線，的斜率的倒數(shù)和為，則直線恒經(jīng)過的定點(diǎn)為 .
四、解答題
11．（22-23高三上·山西·階段練習(xí)）已知中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，．
(1)求的方程；
(2)已知點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，且直線的斜率之和為，證明：點(diǎn)在一條定拋物線上．
12．（2021·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測）已知P(1，2)在拋物線C：y2＝2px上．
(1)求拋物線C的方程；
(2)A，B是拋物線C上的兩個動點(diǎn)，如果直線PA的斜率與直線PB的斜率之和為2，證明：直線AB過定點(diǎn)．
【能力篇】
一、單選題
1．（2021·浙江紹興·三模）過點(diǎn)的兩條直線，分別與雙曲線：相交于點(diǎn)，和點(diǎn)，，滿足，（且）.若直線的斜率，則雙曲線的離心率是（ ）
A．B．C．2D．
二、多選題
2．（2023·湖北襄陽·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，由直線上任一點(diǎn)向橢圓作切線，切點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在軸的上方，則（ ）
A．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時，
B．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時，直線的斜率為
C．存在點(diǎn)，使得為鈍角
D．存在點(diǎn)，使得
三、填空題
3．（2024·河南·二模）直線與拋物線：相交于兩點(diǎn)，若在軸上存在點(diǎn)使得，則的最小值為 .
四、解答題
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，直線：與的漸近線相交于點(diǎn)，，且的面積為.
(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)F作直線與C的右支相交于M，N兩點(diǎn)，若x軸上的點(diǎn)G使得等式恒成立，求證：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
【培優(yōu)篇】
一、解答題
1．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距為，左、右端點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上不同于的一點(diǎn)，且滿足.
(1)求橢圓的方程；
(2)過橢圓的上焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，，，分別與橢圓交于點(diǎn)和點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)，問直線是否過定點(diǎn)？如果過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；如果不過定點(diǎn)，請說明理由.
2．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測）雙曲線C：的離心率為，點(diǎn)在C上.
(1)求C的方程；
(2)設(shè)圓O：上任意一點(diǎn)P處的切線交C于M、N兩點(diǎn)，證明：以MN為直徑的圓過定點(diǎn).
3．（2024·云南·模擬預(yù)測）拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)，焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線交于點(diǎn)，，如圖．

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)當(dāng)時，求弦AB的長；
(3)已知點(diǎn)，直線，分別與拋物線交于點(diǎn)，．證明：直線過定點(diǎn)
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專題51 定點(diǎn)問題（新高考專用）
目錄
【真題自測】2
【考點(diǎn)突破】5
【考點(diǎn)1】直線過定點(diǎn)問題5
【考點(diǎn)2】其它曲線過定點(diǎn)問題16
【分層檢測】28
【基礎(chǔ)篇】28
【能力篇】42
【培優(yōu)篇】48
真題自測
一、解答題
1．（2022·全國·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．
(1)求E的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．
2．（2021·全國·高考真題）已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．
參考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；
（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.
【詳解】（1）解：設(shè)橢圓E的方程為，過，
則，解得，，
所以橢圓E的方程為：.
（2），所以，
①若過點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，過點(diǎn).
②若過點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).
聯(lián)立得，
可得，，
且
聯(lián)立可得
可求得此時，
將，代入整理得，
將代入，得
顯然成立，
綜上，可得直線HN過定點(diǎn)
【點(diǎn)睛】求定點(diǎn)、定值問題常見的方法有兩種：
①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；
②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.
2．（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）由離心率公式可得，進(jìn)而可得，即可得解；
（2）必要性：由三點(diǎn)共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證；
充分性：設(shè)直線，由直線與圓相切得，聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合弦長公式可得，進(jìn)而可得，即可得解.
【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，
又，所以橢圓方程為；
（2）由（1）得，曲線為，
當(dāng)直線的斜率不存在時，直線，不合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，
必要性：
若M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，可設(shè)直線即，
由直線與曲線相切可得，解得，
聯(lián)立可得，所以，
所以,
所以必要性成立；
充分性：設(shè)直線即，
由直線與曲線相切可得，所以，
聯(lián)立可得，
所以，
所以
，
化簡得，所以，
所以或，所以直線或，
所以直線過點(diǎn)，M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，充分性成立；
所以M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
解決本題的關(guān)鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立及韋達(dá)定理的應(yīng)用，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性是解題的重中之重.
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】直線過定點(diǎn)問題
一、解答題
1．（2024·湖南邵陽·三模）已知橢圓：的離心率為，右頂點(diǎn)與的上，下頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為．
(1)求的方程．
(2)不過點(diǎn)的動直線與交于，兩點(diǎn)，直線與的斜率之積恒為．
（i）證明：直線過定點(diǎn)；
（ii）求面積的最大值．
2．（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知動圓M經(jīng)過定點(diǎn)，且與圓內(nèi)切.
(1)求動圓圓心M的軌跡C的方程；
(2)設(shè)軌跡C與x軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為軌跡C上異于A，B的動點(diǎn)，設(shè)直線PB交直線于點(diǎn)T，連接AT交軌跡C于點(diǎn)Q；直線AP，AQ的斜率分別為，.
（i）求證：為定值；
（ii）設(shè)直線，證明：直線PQ過定點(diǎn).
3．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知，，平面上有動點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率之積為1.
(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程.
(2)過點(diǎn)A的直線與交于點(diǎn)（在第一象限），過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)（在第三象限），記直線，的斜率分別為，，且.試判斷與的面積之比是否為定值，若為定值，請求出該定值；若不為定值，請說明理由.
4．（2024·江西宜春·三模）已知以點(diǎn)M為圓心的動圓經(jīng)過點(diǎn)，且與圓心為的圓相切，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)若動直線l與曲線C交于，兩點(diǎn)（其中），點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)為A'，且直線BA'經(jīng)過點(diǎn)．
（?。┣笞C：直線l過定點(diǎn)；
（ⅱ）若，求直線l的方程．
5．（23-24高二下·福建泉州·期中）已知拋物線，其焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線C上，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上不同的兩點(diǎn)，且，
（i）求證直線過定點(diǎn)；
（ii）求與面積之和的最小值．
6．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）已知拋物線，動直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)、點(diǎn)作拋物線的切線和，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn),和相交于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)為時，的外接圓的面積是．
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線的方程是，點(diǎn)是拋物線上在，兩點(diǎn)之間的動點(diǎn)（異于點(diǎn)，），求的取值范圍；
(3)設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，證明：若恒成立，則直線過定點(diǎn)
反思提升：
圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法
(1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點(diǎn).
(2)特殊到一般法：根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).
參考答案：
1．(1)；
(2)（i）證明見解析；（ii）.
【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率及三角形面積，列出方程組求解即得.
（2）（i）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用斜率坐標(biāo)公式，結(jié)合韋達(dá)定理推理即得；（ii）由（i）的信息，借助三角形面積建立函數(shù)關(guān)系，再求出最大值.
【詳解】（1）令橢圓的半焦距為c，由離心率為，得，解得，
由三角形面積為，得，則，，
所以的方程是.
（2）（i）由（1）知，點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，
由消去x得：，
則，
直線與的斜率分別為，，
于是
，整理得，解得或，
當(dāng)時，直線過點(diǎn)，不符合題意，因此，
直線：恒過定點(diǎn).
（ii）由（i）知，，
則，
因此的面積
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以面積的最大值為.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)為變量，建立函數(shù)關(guān)系求解作答.
2．(1)；
(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合橢圓的定義求出軌跡C的方程.
（2）（i）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率坐標(biāo)公式計算即得；（ii）聯(lián)立直線與軌跡C的方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合（i）的結(jié)論計算即得.
【詳解】（1）設(shè)動圓的半徑為r，圓的圓心，半徑，
顯然點(diǎn)在圓內(nèi)，則，
于是，
因此動點(diǎn)M的軌跡C是以，為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，
長半軸長，半焦距，則短半軸長，
所以軌跡C的方程為.
（2）（i）設(shè)，，，由（1）知，，
顯然，，而，則，
，又，即，
所以，為定值.
（ii）由消去x得，
，
由（i）得，又，
則
，解得，滿足，
因此直線PQ的方程為，
所以直線PQ過定點(diǎn).
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：
①“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
②“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；
③求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.
3．(1)
(2)是，定值為
【分析】（1）設(shè)Px,y，根據(jù)題意結(jié)合斜率公式分析運(yùn)算即可；
（2）分析可知，設(shè)直線和相關(guān)點(diǎn)，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理分析可得直線過定點(diǎn)，進(jìn)而可得面積之比.
【詳解】（1）設(shè)Px,y，，
由題意可得：，整理得，
故求動點(diǎn)的軌跡方程為.
（2）由題意可知：，且，可得，
顯然直線MN的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，Mx1,y1，Nx2,y2，
聯(lián)立方程，消去x得，
則，，可得，
則，
整理可得，
則，
因為，則，可得，
整理可得，
所以直線方程為，即直線過定點(diǎn)，
則，
此時，，
所以為定值.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
4．(1)
(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）
【分析】（1）根據(jù)動圓M與圓相切，由，利用雙曲線的定義求解；
（2）（ⅰ）設(shè)直線l的方程為（顯然l與x軸不平行），與聯(lián)立，由求解；（ⅱ）由（?。┲?dāng)時，，，然后由求解.
【詳解】（1）圓的圓心坐標(biāo)為，半徑．
動圓M與圓相切有兩種情況，即內(nèi)切或外切，
所以，
所以點(diǎn)M在以，為焦點(diǎn)的雙曲線上，且該雙曲線的實(shí)軸長為，，
所以，
所以曲線C的方程是．
（2）（?。┰O(shè)直線l的方程為（顯然l與x軸不平行），
與聯(lián)立，得，
由題意知，，，即，
由韋達(dá)定理得，．
因為點(diǎn)A與A'關(guān)于x軸對稱，不妨設(shè)A，B分別在第一、二象限，如圖所示．

易知，
即，
化為，
即，化為，
當(dāng)m變化時，該式恒成立，
所以，故直線l過定點(diǎn)（-3，0）．
（ⅱ）由（?。┲?，當(dāng)時，，．
由，
，
，
，
化為，解得或（舍去），
故，
此時直線l的方程為．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題（ⅱ）的關(guān)鍵是由直線BA'經(jīng)過點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)為A'，得到 ，從而將，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合韋達(dá)定理而得解.
5．(1)
(2)（i）證明見解析；（ii）
【分析】（1）利用焦半徑公式建立方程，解出參數(shù)，得到拋物線方程即可.
（2）（i）設(shè)出，利用給定條件建立方程求出，最后得到定點(diǎn)即可.
（ii）利用三角形面積公式寫出面積和的解析式，再利用基本不等式求最小值即可.
【詳解】（1）拋物線，
其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，
可得，且，
解得（另一個根舍去），，
則拋物線的方程為；
（2）
（i）
如圖，設(shè)的方程為，，
聯(lián)立，可得，
則，又，，
由，可得，解得（另一個根舍去），
所以直線恒過定點(diǎn)；
（ii）由上小問可得，不妨設(shè)，
則與面積之和為，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，時，上式取得等號，
則與面積之和的最小值為．
6．(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）設(shè)外接圓的半徑為，，由已知可得，在中可得，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立根據(jù)直線與曲線只有一個交點(diǎn)即可求解；
（2）直線的方程與拋物線方程聯(lián)立可得，坐標(biāo)，設(shè)Px,y，，可得，設(shè)，通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值即可求解；
（3）設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，的方程，聯(lián)立可得的坐標(biāo)，由得，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，即可求解.
【詳解】（1）
當(dāng)點(diǎn)為時，設(shè)外接圓的半徑為，，
則，，
在中有，，，
則，，即，，
設(shè)直線，與聯(lián)立得，
令，又，得，
所以拋物線方程為；
（2）聯(lián)立，整理得，解得或，
不妨設(shè)，，
設(shè)Px,y，，則，，
所以，
又，，，
設(shè)，，
則，
故φx在上單調(diào)遞減，在2,3上單調(diào)遞增，
故，而，
故的取值范圍是；
（3）由得，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，
直線，，即，
令，得，同理，，
所以，
直線與直線兩方程聯(lián)立解得，
得，
又，由得，
得，
設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，
則，
所以，則直線過定點(diǎn).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵利用導(dǎo)數(shù)得到切線方程，從而求出，再計算出，再設(shè)直線方程，將其與拋物線聯(lián)立，得到，從而解出值，得到定點(diǎn)坐標(biāo).
【考點(diǎn)2】其它曲線過定點(diǎn)問題
一、解答題
1．（2024·西藏拉薩·二模）已知拋物線上的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為.
(1)求拋物線的方程；
(2)若過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，問：以為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出這個定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.
2．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知拋物線，焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，直線∶與相交于兩點(diǎn)，過分別向的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為.
(1)設(shè)的面積分別為，求證：；
(2)若直線，分別與相交于，試證明以為直徑的圓過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo).
3．（2024·新疆喀什·三模）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，是直線：（其中是實(shí)半軸長，是半焦距）上不同于原點(diǎn)的一個動點(diǎn)，斜率為的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，斜率為的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)．
(1)求的值；
(2)若直線，，，的斜率分別為，，，，問是否存在點(diǎn)，滿足，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知雙曲線的實(shí)軸長為2，離心率為2，右焦點(diǎn)為，為上的一個動點(diǎn)，
(1)若點(diǎn)在雙曲線右支上，在軸的負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)．使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
(2)過作圓的兩條切線，若切線分別與相交于另外的兩點(diǎn)、，證明：三點(diǎn)共線．
5．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).
(1)求的方程；
(2)直線交于兩點(diǎn).
（i）點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，直線的斜率為，證明：為定值；
（ii）若上存在點(diǎn)使得在上的投影向量相等，且的重心在軸上，求直線的方程.
6．（2024·天津和平·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的右焦點(diǎn)為點(diǎn)F，橢圓上頂點(diǎn)為點(diǎn)A，右頂點(diǎn)為點(diǎn)B，且滿足．
(1)求橢圓的離心率；
(2)是否存在過原點(diǎn)O的直線l，使得直線l與橢圓在第三象限的交點(diǎn)為點(diǎn)C，且與直線AF交于點(diǎn)D，滿足，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．
參考答案：
1．(1)
(2)過定點(diǎn)，定點(diǎn)為原點(diǎn)
【分析】（1）設(shè)出兩點(diǎn)，運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式構(gòu)造方程求解即可；
（2）過點(diǎn)的直線的方程為，直線的斜率分別為.聯(lián)立拋物線，運(yùn)用韋達(dá)定理，得到，則，即可證明.
【詳解】（1）因為點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，所以，
則，解得，
所以拋物線的方程為.
（2）由題意，知直線的斜率存在，設(shè)，過點(diǎn)的直線的方程為，直線的斜率分別為.
當(dāng)時，，
因為，所以以為直徑的圓過原點(diǎn).
以下證明當(dāng)時，以為直徑的圓過原點(diǎn).
由，消去，得，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得，
，
所以，所以以為直徑的圓過原點(diǎn).
綜上，以為直徑的圓過原點(diǎn).
2．(1)證明見解析
(2)證明見解析，和
【分析】（1）將點(diǎn)代入得拋物線方程為，設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線方程，韋達(dá)定理，然后用坐標(biāo)表示三個三角形的面積，化簡即可證明.
（2）先求出直線的方程，令得點(diǎn)的坐標(biāo)，同理得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出以為直徑的圓，令得圓恒過的定點(diǎn).
【詳解】（1）將代入，得，所以拋物線方程為，
由題意知，設(shè)，
由得，，，
所以，
所以
，即.
（2）直線的斜率，
故直線的方程為，令得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)線段的中點(diǎn)為，則
=，
又=
，
所以以為直徑的圓為，
即，令得或，
故以為直徑的圓過定點(diǎn)0,1和.
3．(1)-3
(2)存在，，或
【分析】（1）設(shè) ，利用斜率公式求解；
（2）設(shè)，直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理得到，，結(jié)合求解.
【詳解】（1）由題可得雙曲線E：，
則，
∴左、右焦點(diǎn)分別為，，直線l的方程為：
設(shè)，
，同理可得．
∴；
（2）設(shè)，如圖，
直線方程為，
代入雙曲線方程可得：，
所以，則，
則，
，
，
．
同理，
即，
即，
∴或，
又，
若．無解，舍去．
∴，解得，，或，，
若，，由A在直線上可得，，
∴．此時，
若，，由A在直線上可得，，
∴此時
∴存在點(diǎn)，或，滿足．
4．(1)
存在，.
(2)
證明見解析.
【分析】（1）先求出雙曲線的方程，將角度關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線的斜率關(guān)系，從而列出不等式，斜率不存在的情況單獨(dú)討論，即可求出M點(diǎn)的坐標(biāo).
（2）先根據(jù)P點(diǎn)的位置判斷能否作出切線，再將切線分為斜率存在和不存在兩種情況討論，表達(dá)出兩條切線的方程，斜率存在時，再根據(jù)切線與圓的位置關(guān)系，找出兩條切線的斜率的關(guān)系，再把切線方程代入雙曲線，表達(dá)出點(diǎn)E、G的坐標(biāo)并找出坐標(biāo)關(guān)系，從而證出E、O、G三點(diǎn)共線.
【詳解】（1）根據(jù)題意，有，
所以雙曲線的方程為.
設(shè)，且，
①當(dāng)直線的斜率存在時，即時，
因為，所以，
，
從而，化簡整理得，，
，所以在x軸負(fù)半軸上存在點(diǎn)使得；
②當(dāng)直線的斜率不存在時，即時，
若，則，此時P點(diǎn)的坐標(biāo)為2,3，
所以，則，又，所以，此時，
綜上，滿足條件的M點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為.
（2）設(shè)Px0,y0，由題意得，雙曲線和圓相交，所以聯(lián)立兩曲線方程，得，即為兩曲線四個交點(diǎn)的坐標(biāo)，
①當(dāng)時，即時，直線PG的斜率不存在，直線PE的斜率為0，
此時易得，此時點(diǎn)E、G關(guān)于點(diǎn)O對稱，故E、O、G三點(diǎn)共線.
②當(dāng)，且或，且時，
此時直線PE、PG的斜率存在且不為零，分別設(shè)為，
設(shè)經(jīng)過Px0,y0的直線方程為，由于直線與圓相切，
所以，即
由韋達(dá)定理得，又，所以，
由直線PE與圓的位置關(guān)系可知，，
同理直線PG的方程為，有，
聯(lián)立，消去y并整理得，，
即，
即，
令，根據(jù)韋達(dá)定理得，所以
設(shè)，又，所以，
所以，又，
兩式相減得，，
由圖可知，，所以，即.
所以點(diǎn)E、G關(guān)于點(diǎn)O對稱，此時E、O、G三點(diǎn)共線，
綜上得，E、O、G三點(diǎn)共線.
5．(1)
(2)（i）證明見解析；（ii）
【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率為，且過點(diǎn)可得；
（2）（i）由點(diǎn)差法可得，進(jìn)而有；
（ii）聯(lián)立可得，故由重心坐標(biāo)公式可得，由在上的投影向量相等可知在的垂直平分線上，根據(jù)其方程，可得，由在上進(jìn)而可得.
【詳解】（1）由題意，得，解得，
所以的方程為；
（2）依題意可設(shè)點(diǎn)，且，
（i）證明：因為點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，所以，
因為點(diǎn)在上，所以，所以，即，
因為直線的斜率為，直線的斜率為
所以，即為定值；
（ii）設(shè)弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，
點(diǎn)的坐標(biāo)為的重心的坐標(biāo)為，
由，得，
所以，且，
因為的重心在軸上，所以，
所以，
所以，
因為在上的投影向量相等，所以，且，
所以直線的方程為，
所以，
所以點(diǎn)，
又點(diǎn)在上，所以，
即
又因為，所以，所以直線的方程為.
6．(1)
(2)因此存在直線滿足條件．
【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求解，即可結(jié)合的關(guān)系求解，
（2）聯(lián)立方程可得坐標(biāo)，即可根據(jù)根據(jù)，即可求解.
【詳解】（1）依題意，，解得，
又因為，所以．
（2）設(shè)直線的方程為，橢圓的方程為，
設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立方程組，整理得，
解得，①，
直線AF方程為，
設(shè)點(diǎn)，
，聯(lián)立方程組，解得，②，
又因為，
設(shè)，則有，
即，所以，所以．
所以，則有，
代入①②有，解得，
由題意得，所以，因此存在直線滿足題中條件．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情況，強(qiáng)化有關(guān)直線與曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
反思提升：
(1)定點(diǎn)問題，先猜后證，可先考慮運(yùn)動圖形是否有對稱性及特殊(或極端)位置猜想，如直線的水平位置、豎直位置，即k＝0或k不存在時.
(2)以曲線上的點(diǎn)為參數(shù)，設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)，利用點(diǎn)在曲線f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消參.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2021·山東濱州·一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，左右頂點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是橢圓上異于，的任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．B．直線與直線的斜率之積為
C．存在點(diǎn)滿足D．若△的面積為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
2．（2021·浙江溫州·三模）如圖，點(diǎn)A，B，C在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)F在上，與x軸交于點(diǎn)D，，，則（ ）
A．B．4C．D．3
3．（2021·廣西·二模）已知橢圓的上頂點(diǎn)為為橢圓上異于A的兩點(diǎn)，且，則直線過定點(diǎn)（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河南·二模）已知動點(diǎn)P在雙曲線C：上，雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為，，則下列結(jié)論：
①C的離心率為2；
②C的焦點(diǎn)弦最短為6；
③動點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為定值；
④當(dāng)動點(diǎn)P在雙曲線C的左支上時，的最大值為．
其中正確的個數(shù)是（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
二、多選題
5．（2021·湖北黃岡·三模）已知動點(diǎn)在雙曲線上，雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．雙曲線的漸近線與圓相切
B．滿足的點(diǎn)共有2個
C．直線與雙曲線的兩支各有一個交點(diǎn)的充要條件是
D．若，則
6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在C上，P為C上的一個動點(diǎn)，則（ ）
A．C的準(zhǔn)線方程為B．若，則的最小值為
C．若，則的周長的最小值為11D．在x軸上存在點(diǎn)E，使得為鈍角
7．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知拋物線Γ: ，過點(diǎn)作直線，直線與Γ交于A，C兩點(diǎn)，A在x軸上方，直線與Γ交于B，D 兩點(diǎn)，D在x軸上方，連接，若直線過點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若直線的斜率為1，則直線的斜率為
B．直線過定點(diǎn)
C．直線與直線 的交點(diǎn)在直線上
D．與的面積之和的最小值為
三、填空題
8．（2021·遼寧·模擬預(yù)測）汽車前照燈主要由光源、反射鏡及配光片三部分組成，其中經(jīng)過光源和反射鏡頂點(diǎn)的剖面輪廓為拋物線，而光源恰好位于拋物線的焦點(diǎn)處，這樣光源發(fā)出的每一束光線經(jīng)反射鏡反射后均可沿與拋物線對稱軸平行的方向射出.某汽車前照燈反射鏡剖面輪廓可表示為拋物線.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)拋物線，拋物線的準(zhǔn)線記為，點(diǎn)，動點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動，若點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于，且滿足此條件的點(diǎn)有且只有一個，則
9．（2024·四川宜賓·二模）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過直線上的動點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)分別是，則直線過定點(diǎn) .
10．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角的正切值為.若直線（且）與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，直線，的斜率的倒數(shù)和為，則直線恒經(jīng)過的定點(diǎn)為 .
四、解答題
11．（22-23高三上·山西·階段練習(xí)）已知中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，．
(1)求的方程；
(2)已知點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，且直線的斜率之和為，證明：點(diǎn)在一條定拋物線上．
12．（2021·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測）已知P(1，2)在拋物線C：y2＝2px上．
(1)求拋物線C的方程；
(2)A，B是拋物線C上的兩個動點(diǎn)，如果直線PA的斜率與直線PB的斜率之和為2，證明：直線AB過定點(diǎn)．
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)橢圓的概念和幾何性質(zhì)依次判斷選項即可.
【詳解】對選項A，，故A錯誤；
對選項B，設(shè)，則，，
，，
則，故B錯誤.
對選項C，因為橢圓，，，，
所以以為直徑的圓與橢圓無交點(diǎn)，故不存在點(diǎn)滿足，故C錯誤；
對選項D，，則，
則，解得，故D正確.
故選：D
2．B
【分析】設(shè)出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，利用直線AB，AC，BC斜率的關(guān)系建立等式即可得解.
【詳解】依題意設(shè)，則直線AB，AC，BC斜率分別為：
，
因，則，即，
則，因F(1，0)在直線AB上，則，而，
有，即，點(diǎn)A在直線上，
又是等腰三角形，點(diǎn)F，點(diǎn)D關(guān)于直線對稱，所以點(diǎn)D坐標(biāo)為(5，0)，|FD|=4.
故選：B
3．D
【分析】設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示可解得或，然后分類討論可得答案
【詳解】設(shè)直線的方程為，，則由
整理得，
所以，
，
因為，，，
所以
解得或，
當(dāng)時，直線的方程為，直線過0,1點(diǎn)而，而不在同一直線上，不合題意；
當(dāng)時，直線的方程為，直線過，符合題意.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查了直線和橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用韋達(dá)定理表示，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力及計算能力.
4．B
【分析】
①由性質(zhì)可得；②用特殊值可判定；③設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)計算化簡即可，④利用雙曲線的焦半徑辦公計算即可.
【詳解】由題意可得，即①正確；
顯然當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)弦過左、右焦點(diǎn)時，該弦長為實(shí)軸，長度為2＜6，即②錯誤；
易知雙曲線的漸近線方程為，設(shè)點(diǎn)，則，且到兩條雙曲線的距離之積為是定值，故③正確；
對于④，先推下雙曲線的焦半徑公式：
對雙曲線上任意一點(diǎn)及雙曲線的左右焦點(diǎn)，
則，
同理，
所以，此即為雙曲線的焦半徑公式.
設(shè)點(diǎn)，由雙曲線的焦半徑公式可得，
故，
其中，則，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得，故④錯誤；
綜上正確的是①③兩個.
故選：B
5．ACD
【分析】對于A，由已知條件求出漸近線方程和圓的圓心和半徑，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直的距離進(jìn)行判斷即可；對于B，由雙曲線的性質(zhì)求出的最小值判斷；對于C，由于直線恒過點(diǎn)，所以分或，或和進(jìn)行判斷；對于D，利用雙曲線的定義和已知條件可得，從而可判斷，從而可求出
【詳解】解：由題意得，，則，所以，漸近線方程為，
對于A，圓的圓心為，半徑為，而到直線的距離為，所以雙曲線的漸近線與圓相切，所以A正確；
對于B，當(dāng)點(diǎn)在左支上時，的最小值為，所以左支上有2個點(diǎn)滿足，當(dāng)在右支上時，的最小值為為，所以右支上有2個點(diǎn)滿足，綜上滿足的點(diǎn)共有4個，所以B錯誤；
對于C，因為恒過點(diǎn)，當(dāng)或時，直線與漸近線平行，與右支有1個交點(diǎn)，與左支無交點(diǎn)，當(dāng)或時，與右支有兩個交點(diǎn)，與左支無交點(diǎn)，當(dāng)時，直線與左、右支各有一個交點(diǎn)，所以C正確；
對于D，不妨設(shè)點(diǎn)在右支上，則，而，所以，而，所以，所以，所以，所以，所以D正確，
故選：ACD
6．BC
【分析】根據(jù)題意求出，即可求出準(zhǔn)線，即可判斷A；設(shè)點(diǎn)，，則，根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷B；過點(diǎn)P作垂直于C的準(zhǔn)線，垂足為N，連接MN，再結(jié)合圖象，即可求得的周長的最小值，即可判斷C；設(shè)，再判斷是否有解即可判斷D.
【詳解】A選項：因為點(diǎn)在拋物線上，所以，解得，
所以拋物線C的方程為，所以C的準(zhǔn)線方程為，故A錯誤；
B選項：設(shè)點(diǎn)，，則，
因為，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，故B正確；
C選項：過點(diǎn)P作垂直于C的準(zhǔn)線，垂足為N，連接MN，則，
易知，，所以，
所以的周長為
，
當(dāng)且僅當(dāng)M，P，N三點(diǎn)共線時等號成立，
所以的周長的最小值為11，故C正確；
D選項：設(shè)，則，，
所以，
因為點(diǎn)在C上，所以，即，
所以，
所以，故不可能為鈍角，故D錯誤.
故選：BC.
7．ABD
【分析】分別聯(lián)立曲線與直線方程，表示出韋達(dá)定理，解方程組可得B正確；由斜率的定義結(jié)合選項B可得A正確；當(dāng)軸時，求出四點(diǎn)坐標(biāo)，得到兩直線方程，求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)可判斷C錯誤；由三角形的面積公式結(jié)合選項B和基本不等式可得D正確.
【詳解】
設(shè)，設(shè)直線 交x軸于點(diǎn)，，
直線的方程為：，
聯(lián)立，消去可得，，
所以，同理，
設(shè)直線，
聯(lián)立，消去可得，，
所以，
設(shè)直線，
聯(lián)立，消去可得，，
所以，
聯(lián)立方程組，可得，故B正確；
對于A，由B可得
，
所以當(dāng)時，有，故A正確；
當(dāng)軸時，可知，，
求得直線的方程為，直線的方程為，
將這兩方程聯(lián)立方程組，解得，故C錯誤；
設(shè)與的面積分別為，
則，
又，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故D正確．
故選：ABD.
8．
【分析】設(shè)出，根據(jù)條件可得出，由題意方程只有一個解，所以其判別式為0，可得出答案.
【詳解】拋物線，則準(zhǔn)線的方程為,焦點(diǎn)，設(shè)
由點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于，則
所以
化簡可得：
由滿足此條件的點(diǎn)有且只有一個，時符合題意，
若不等于1，則
即，則
由，所以
故答案為：
9．
【分析】設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再根據(jù)切線過點(diǎn)，從而可確定直線的方程，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】設(shè)，
由，得，則，
則拋物線在點(diǎn)處得切線方程為，
即，
又，所以，
又因為點(diǎn)在切線上，所以，①
同理可得，②
由①②可得直線的方程為，
所以直線過定點(diǎn).

故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；
（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.
10．
【分析】先根據(jù)漸近線的傾斜角算出，然后聯(lián)立直線和雙曲線，結(jié)合題目條件和韋達(dá)定理找到的關(guān)系，從而得到定點(diǎn).
【詳解】因為雙曲線方程為一條漸近線的傾斜角的正切值為.所以，解得，所以雙曲線方程為.
設(shè)，，聯(lián)立得， .
由韋達(dá)定理得，.
因為，所以.
所以，由題意知，此時.
所以直線方程為，恒經(jīng)過的定點(diǎn)為.
故答案為：
11．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求法，列方程組解決即可；
（2）設(shè)直線的斜率分別為，，，．將代入，得， ，根據(jù)韋達(dá)定理化簡得即可解決.
【詳解】（1）依題意設(shè)的方程為，
因為經(jīng)過點(diǎn)，，
所以，解得，
故的方程為．
（2）證明：設(shè)直線的斜率分別為，，，．
將代入，得．
由題設(shè)可知，，，
所以
，
所以，
所以．
因為，
所以，
所以，
故點(diǎn)在拋物線上，即點(diǎn)在一條定拋物線上．
12．(1)y2＝4x
(2)證明見解析
【分析】(1)把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程求得參數(shù)，即得拋物線方程；
(2)設(shè)AB：x＝my+t，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入得參數(shù)值，從而可得定點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】（1）P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程得4＝2p，
∴p＝2，
∴拋物線方程為y2＝4x．
（2）證明：設(shè)AB：x＝my+t，將AB的方程與y2＝4x聯(lián)立得y2﹣4my﹣4t＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，
所以Δ＞0?16m2+16t＞0?m2+t＞0，
，同理：，
由題意：，
∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)，
∴y1y2＝4，
∴﹣4t＝4，
∴t＝﹣1，
故直線AB恒過定點(diǎn)(﹣1，0)．
【能力篇】
一、單選題
1．（2021·浙江紹興·三模）過點(diǎn)的兩條直線，分別與雙曲線：相交于點(diǎn)，和點(diǎn)，，滿足，（且）.若直線的斜率，則雙曲線的離心率是（ ）
A．B．C．2D．
二、多選題
2．（2023·湖北襄陽·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，由直線上任一點(diǎn)向橢圓作切線，切點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在軸的上方，則（ ）
A．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時，
B．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時，直線的斜率為
C．存在點(diǎn)，使得為鈍角
D．存在點(diǎn)，使得
三、填空題
3．（2024·河南·二模）直線與拋物線：相交于兩點(diǎn)，若在軸上存在點(diǎn)使得，則的最小值為 .
四、解答題
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，直線：與的漸近線相交于點(diǎn)，，且的面積為.
(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)F作直線與C的右支相交于M，N兩點(diǎn)，若x軸上的點(diǎn)G使得等式恒成立，求證：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
參考答案：
1．D
【分析】設(shè)，由，，可得，，再利用點(diǎn)差法可得，，從而可得，進(jìn)而可求出離心率
【詳解】解：設(shè)，
則,
因為，，所以∥，所以，
所以，，
所以 ，
所以，
因為，，
所以，所以，
所以，則
同理得，，則
所以，
因為且，所以，即
所以離心率，
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線的離心率的求法，解題的關(guān)鍵是設(shè)，由，，可得，，再利用點(diǎn)差法可得，，從而可得，進(jìn)而可求出離心率，考查計算能力，屬于中檔題
2．AD
【分析】設(shè)點(diǎn)Ax1,y1、Bx2,y2，先證明出橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為，可得出橢圓在點(diǎn)處的切線方程，設(shè)點(diǎn)，寫出直線的方程，逐項判斷可得出合適的選項.
【詳解】設(shè)點(diǎn)Ax1,y1、Bx2,y2，
先證明出橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為，
由題意可得，
聯(lián)立可得，即，
即方程組只有唯一解，
因此，橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為，
同理可知，橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為，
因為點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，
則有，即，
所以，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，
所以，直線的方程為，
對于A選項，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
即，此時直線的方程為，
由可得，即點(diǎn)，
此時，A對；
對于B選項，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時，
即時，此時，直線的斜率為，B錯；
對于C選項，聯(lián)立可得，
，
由韋達(dá)定理可得，，
，同理，
所以，
，
因此，恒為銳角，C錯；
對于D選項，若點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，則軸，此時，
所以，點(diǎn)不是橢圓的上頂點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，
所以，，，
存在點(diǎn)，使得，則，則，
化簡可得，因為，，
所以，，即，
因為，解得，
因此，存在點(diǎn)，使得，D對.
故選：AD.
3．
【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，引入?yún)?shù)，結(jié)合韋達(dá)定理以及可得關(guān)于應(yīng)該滿足的條件式，結(jié)合基本不等式即可求解.
【詳解】聯(lián)立方程得，
令，而由題意，所以.
設(shè)，由韋達(dá)定理得.
設(shè)，則，
，
即，顯然，否則，但這是不可能的，
即，
因為，所以（否則時，有，但這與已知矛盾），
由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
故答案為：.
4．(1)
(2)見解析
【分析】（1）首先求點(diǎn)的坐標(biāo)，并利用坐標(biāo)表示的面積，即可求解雙曲線方程；
（2）首先由幾何關(guān)系確定，再利用坐標(biāo)表示，代入韋達(dá)定理，即可求解.
【詳解】（1）雙曲線的漸近線方程為，直線與漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
不妨設(shè)，，，
則，即，
所以，且，得，，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）由可知，，
根據(jù)正弦定理可知，，而，
所以，
所以，則，
所以,
設(shè)直線，，
聯(lián)立，得，
，，
，，
，
所以，
即，
則，解得：，
所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
【培優(yōu)篇】
一、解答題
1．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距為，左、右端點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上不同于的一點(diǎn)，且滿足.
(1)求橢圓的方程；
(2)過橢圓的上焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，，，分別與橢圓交于點(diǎn)和點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)，問直線是否過定點(diǎn)？如果過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；如果不過定點(diǎn)，請說明理由.
2．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測）雙曲線C：的離心率為，點(diǎn)在C上.
(1)求C的方程；
(2)設(shè)圓O：上任意一點(diǎn)P處的切線交C于M、N兩點(diǎn)，證明：以MN為直徑的圓過定點(diǎn).
3．（2024·云南·模擬預(yù)測）拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)，焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線交于點(diǎn)，，如圖．

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)當(dāng)時，求弦AB的長；
(3)已知點(diǎn)，直線，分別與拋物線交于點(diǎn)，．證明：直線過定點(diǎn)．
參考答案：
1．(1)
(2)過， .
【分析】（1）利用可得，再利用即可得橢圓的方程；
（2）當(dāng)直線的斜率存在且不為時，設(shè)直線的方程，聯(lián)立橢圓方程可得，同理得，進(jìn)而可得的直線方程得到定點(diǎn)，驗證直線存在或為時，也過該點(diǎn)即可.
【詳解】（1）

設(shè)橢圓E的方程為，
點(diǎn)滿足，故
由已知，，
，得
又因為該橢圓的焦距為，故，
可得，，所以橢圓E的方程為.
（2）

由（1）可知橢圓的上焦點(diǎn)為
①當(dāng)直線的斜率存在且不為時，設(shè)直線的方程為，其中，
設(shè)點(diǎn)Mx1,y1、Nx2,y2，
聯(lián)立，得，
，
所以，，，
故的中點(diǎn)坐標(biāo)為，同理可得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以，直線的斜率為，
所以直線的方程為，即，
故直線過定點(diǎn).
②當(dāng)直線斜率不存在時，方程為，方程為，
此時，直線方程為，過點(diǎn).
③當(dāng)直線的斜率存在且為0時，方程為，方程為，
直線方程為，過點(diǎn).
綜上可知，直線過定點(diǎn)
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問考察直線過定點(diǎn)問題，關(guān)鍵先求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線即可求定點(diǎn).
2．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）結(jié)合題目所給條件可列出不等式組，解出即可得；
（2）可結(jié)合雙曲線及圓的對稱性得出，若存在定點(diǎn)，則該定點(diǎn)必為原點(diǎn)，從而先猜后證，簡化過程；或根據(jù)圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理表示出該圓方程，即可得定點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】（1）依題意有， 即有，解得：，，
所以雙曲線方程為；
（2）方法一：
設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2，
①當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)直線方程為，
因為直線與圓相切，所以，整理得，
聯(lián)立，
，
則，，
由對稱性知，若以MN為直徑的圓過定點(diǎn)，則定點(diǎn)必為原點(diǎn).
，
又，所以，
所以，故以MN為直徑的圓過原點(diǎn)；
②當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程，
此時或，
此時圓方程為，恒過原點(diǎn)；
或或，
此時圓方程為，恒過原點(diǎn)；
綜上所述，以MN為直徑的圓過原點(diǎn).
方法二：
設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2，
①當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)直線方程為，
因為直線與圓相切，所以，整理得，
聯(lián)立，
，
則，，
以Mx1,y1，Nx2,y2為直徑的圓的方程為，
即，
因為，
所以，
且，
所以所求的圓的方程為，
所以MN為直徑的圓過原點(diǎn)；
②當(dāng)直線斜率不存在時，同法一，此時圓方程為，恒過原點(diǎn)；
綜上所述，以MN為直徑的圓過原點(diǎn).
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
3．(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）由曲線圖象經(jīng)過點(diǎn)，可得，則得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）寫出的方程,和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達(dá)定理可得，則；
（3）設(shè)直線的方程為，，，，，和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達(dá)定理可得，．直線的方程為，和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達(dá)定理可得，同理可得，由，可得，則直線的方程為，由對稱性知，定點(diǎn)在軸上，令，可得，則的直線過定點(diǎn)．
【詳解】（1）曲線圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由（1）知，當(dāng)時，,所以的方程為，
聯(lián)立，得，則，
由，所以弦．
（3）由（1）知，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，
，，，，
聯(lián)立得，，
因此，．
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，
則，因此，，得，
同理可得，
所以．
因此直線的方程為，
由對稱性知，定點(diǎn)在軸上，
令得，
，
所以，直線過定點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：
(1)“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
(2)“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；
(3)求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.
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題號
1
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7



答案
D
B
D
B
ACD
BC
ABD



題號
1
2








答案
D
AD








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