1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F(1，0)，離心率為22．分別過O，F(xiàn)的兩條弦AB，CD相交于點E（異于A，C兩點），且OE=EF．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線AC，BD的斜率之和為定值．
2．如圖，在平面直角坐標系xy中，橢圓E：＋＝1的離心率為，直線l：y=x與橢圓E相交于A，B兩點，AB=，C，D是橢圓E上異于A，B兩點，且直線AC，BD相交于點M，直線AD，BC相交于點N．
（1）求a，b的值；
（2）求證：直線MN的斜率為定值．
3．已知橢圓C：的離心率為，且過點．
Ⅰ 求橢圓C的方程；
Ⅱ 若是橢圓C上的兩個動點，且使的角平分線總垂直于x軸，試判斷直線PQ的斜率是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由.
4．已知直線l經(jīng)過橢圓的左焦點和下頂點，坐標原點O到直線l的距離為.
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若橢圓C經(jīng)過點，點A，B是橢圓C上的兩個動點，且的角平分線總是垂直于y軸，試問：直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
5．已知橢圓（）的離心率為，、是橢圓C的左、右焦點，P是橢圓C上的一個動點，且面積的最大值為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若Q是橢圓C上的一個動點，點M，N在橢圓上，O為原點，點Q，M，N滿足，則直線OM與直線ON的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．
6．已知橢圓的離心率為，點在橢圓上．
（1）求橢圓的方程;
（2）設(shè)動直線與橢圓有且僅有一個公共點，判斷是否存在以原點為圓心的圓，滿足此圓與相交兩點，（兩點均不在坐標軸上），且使得直線，的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程與定值；若不存在，請說明理由．
7．已知圓F1：(x+1)2+y2=r2(1≤r≤3)，圓F2：(x-1)2+y2= (4-r)2．
（1）證明：圓F1與圓F2有公共點，并求公共點的軌跡E的方程；
（2）已知點Q(m，0)(mb>0)的右焦點為F(1，0)，離心率為22．分別過O，F(xiàn)的兩條弦AB，CD相交于點E（異于A，C兩點），且OE=EF．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線AC，BD的斜率之和為定值．
【答案】(1)x22+y2=1;(2)詳見解析.
【解析】
試題分析：（1）解：由題意，得c=1，e=ca=22，故a=2，
從而b2=a2?c2=1，
所以橢圓的方程為x22+y2=1． ① 5分
（2）證明：設(shè)直線AB的方程為y=kx， ②
直線CD的方程為y=?k(x?1)， ③ 7分
由①②得，點A，B的橫坐標為±22k2+1，
由①③得，點C，D的橫坐標為2k2±2(k2+1)2k2+1， 9分
記A(x1，kx1)，B(x2，kx2)，C(x3，k(1?x3))，D(x4，k(1?x4))，
則直線AC，BD的斜率之和為
kx1?k(1?x3)x1?x3+kx2?k(1?x4)x2?x4
=k?(x1+x3?1)(x2?x4)+(x1?x3)(x2+x4?1)(x1?x3)(x2?x4)
=k?2(x1x2?x3x4)?(x1+x2)+(x3+x4)(x1?x3)(x2?x4)13分
=k?2(?22k2+1?2(k2?1)2k2+1)?0+4k22k2+1(x1?x3)(x2?x4)
=0． 16分
考點：直線與橢圓的位置關(guān)系
點評：主要是考查了直線橢圓的位置關(guān)系的運用，屬于基礎(chǔ)題。
2．如圖，在平面直角坐標系xy中，橢圓E：＋＝1的離心率為，直線l：y=x與橢圓E相交于A，B兩點，AB=，C，D是橢圓E上異于A，B兩點，且直線AC，BD相交于點M，直線AD，BC相交于點N．
（1）求a，b的值；
（2）求證：直線MN的斜率為定值．
【答案】（1），；（2）證明見解析．
【解析】
試題分析：（1）由已知條件可得的值，進而得的關(guān)系，再利用與橢圓相交于，兩點，，可得；（2）斜率存在時設(shè)出直線，的斜率分別為，，，利用，表示的斜率，利用直線相交分別求的坐標，再利用斜率公式求，運算化簡含式子，得出結(jié)果，最后再考慮斜率不存在情況亦成立．
試題解析：（1）因為e==，所以c2=a2，即a2﹣b2=a2，所以a2=2b2；
故橢圓方程為+=1；由題意，不妨設(shè)點A在第一象限，點B在第三象限，
由解得A（b，b）；又AB=4，所以O(shè)A=2，即b2+b2=20，解得b2=12；
故=2，=2；
（2）由（1）知，橢圓E的方程為，從而A（4，2），B（﹣4，﹣2）；
①當CA，CB，DA，DB斜率都存在時，設(shè)直線CA，DA的斜率分別為k1，k2，C（x0，y0），
顯然k1≠k2；所以kCB=﹣； 同理kDB=﹣，
于是直線AD的方程為y﹣2=k2（x﹣4），直線BC的方程為y+2=﹣（x+4）；
從而點N的坐標為；
用k2代k1，k1代k2得點M的坐標為；
即直線MN的斜率為定值﹣1；
②當CA，CB，DA，DB中，有直線的斜率不存在時，根據(jù)題設(shè)要求，至多有一條直線斜率不存在，
故不妨設(shè)直線CA的斜率不存在，從而C（4，﹣2）；仍然設(shè)DA的斜率為k2，由①知kDB=﹣；
此時CA：x=4，DB：y+2=﹣（x+4），它們交點M（4，）；BC：y=﹣2，AD：y﹣2=k2（x﹣4），它們交點N ，從而kMN=﹣1也成立；
由①②可知，直線MN的斜率為定值﹣1；
考點：1、橢圓的幾何性質(zhì)；2、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；3、分類討論；4、直線的斜率．
【方法點晴】本題主要考查的是橢圓的幾何性質(zhì)，直線和橢圓的位置關(guān)系及直線斜率，直線相交的問題，屬于難題．解決第二問時，涉及直線較多，采用設(shè)兩條直線斜率，表示另外兩條的方法，控制引入未知數(shù)個數(shù)，然后利用直線相交，表示交點坐標，需要較強的類比推理能力及運算能力，還要注意斜率是否存在，要有較強的分類討論意識．
3．已知橢圓C：的離心率為，且過點．
Ⅰ 求橢圓C的方程；
Ⅱ 若是橢圓C上的兩個動點，且使的角平分線總垂直于x軸，試判斷直線PQ的斜率是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由.
【答案】Ⅰ ；（Ⅱ）
【分析】
（I）由離心率可得關(guān)系，再將點坐標代入，可得間關(guān)系，又，解方程可得的值；
（II）由的角平分線總垂直于軸，可判斷直線的斜率互為相反數(shù)，由兩直線都過點，由點斜式可寫出直線方程．一一與橢圓方程聯(lián)立，消去或的值，可得一元二次方程，又點滿足條件，可求得點的坐標，用表示．再由斜率公式可得直線的斜率為定值．
【詳解】
(Ⅰ) 因為橢圓的離心率為, 且過點,
所以, . 因為,
解得, ,
所以橢圓的方程為.
(Ⅱ)法1：因為的角平分線總垂直于軸,
所以與所在直線關(guān)于直線對稱.
設(shè)直線的斜率為, 則直線的斜率為.
所以直線的方程為,
直線的方程為.
設(shè)點, ,由消去,
得. ①
因為點在橢圓上, 所以是方程①的一個根,
則, 所以.
同理.所以.
又.
所以直線的斜率為.
所以直線的斜率為定值，該值為.
法2：設(shè)點，
則直線的斜率, 直線的斜率.
因為的角平分線總垂直于軸, 所以與所在直線關(guān)于直線對稱.
所以, 即, ①
因為點在橢圓上,
所以，② . ③
由②得, 得, ④
同理由③得, ⑤
由①④⑤得,
化簡得, ⑥
由①得, ⑦
⑥⑦得.
②③得,得.
所以直線的斜率為為定值.
法3：設(shè)直線的方程為，點，
則,
直線的斜率, 直線的斜率.
因為的角平分線總垂直于軸,
所以與所在直線關(guān)于直線對稱.
所以, 即,
化簡得.
把代入上式, 并化簡得
. (*)
由消去得, (**)
則,
代入(*)得,
整理得,
所以或.
若, 可得方程(**)的一個根為，不合題意.
若時, 合題意.
所以直線的斜率為定值，該值為.
4．已知直線l經(jīng)過橢圓的左焦點和下頂點，坐標原點O到直線l的距離為.
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若橢圓C經(jīng)過點，點A，B是橢圓C上的兩個動點，且的角平分線總是垂直于y軸，試問：直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
【答案】（1）；（2）是定值，定值為.
【分析】
（1）先求出直線的方程，再由點到直線的距離公式得出原點到直線的距離，從而可得出答案.
(2)由條件結(jié)合（1）先求出橢圓方程，根據(jù)條件可得，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，求解出點的橫坐標，同理求出點的橫坐標，從而可得直線的斜率，得出答案.
【詳解】
解：（1）過點，的直線的方程為
則坐標原點到直線的距離為
可得.
（2）由（1）易知，則橢圓：經(jīng)過點，
解得，則橢圓：.
因為的角平分線總垂直于軸，所以與所在直線關(guān)于直線對稱.
則，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為
所以設(shè)直線的方程為，直線的方程為
設(shè)點，.
由，消去，得.
因為點在橢圓上，則有，即.
同理可得.
所以，又.
所以直線的斜率為.
【點睛】
關(guān)鍵點睛：本題考查求橢圓的離心率和橢圓中的定值問題，解答本題的關(guān)鍵是由條件得出，設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求解出點的橫坐標，屬于中檔題.
5．已知橢圓（）的離心率為，、是橢圓C的左、右焦點，P是橢圓C上的一個動點，且面積的最大值為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若Q是橢圓C上的一個動點，點M，N在橢圓上，O為原點，點Q，M，N滿足，則直線OM與直線ON的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．
【答案】（1）（2）是定值，且定值為．
【分析】
（1）根據(jù)題意列出關(guān)于，，的方程組，解出，，的值，即可求出橢圓方程；
（2）設(shè)，，，，，，所以，，，由得，代入得，所以，即，從而得到直線與直線的斜率之積為定值，且定值為．
【詳解】
解：（1）由題意可知：，解得，
∴橢圓C的方程為：；
（2）設(shè)，，，
∴，，，
∵，
∴，∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴直線OM與直線ON的斜率之積為定值，且定值為．
【點睛】
本題主要考查了橢圓方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．
6．已知橢圓的離心率為，點在橢圓上．
（1）求橢圓的方程;
（2）設(shè)動直線與橢圓有且僅有一個公共點，判斷是否存在以原點為圓心的圓，滿足此圓與相交兩點，（兩點均不在坐標軸上），且使得直線，的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程與定值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1），（2）存在符合條件的圓，且此圓的方程為，定值為
【分析】
（1）利用離心率和點在橢圓上列出方程，解出即可
（2）當直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，先將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用直線與橢圓有且僅有一個公共點，推出，然后通過直線與圓的方程聯(lián)立，
設(shè)，，結(jié)合韋達定理，求解直線的斜率乘積，推出為定值，然后再驗證直線的斜率不存在時也滿足即可
【詳解】
（1）由題意得：，
又因為點在橢圓上
所以
解得
所以橢圓的標準方程為：
（2）結(jié)論：存在符合條件的圓，且此圓的方程為
證明如下：
假設(shè)存在符合條件的圓，且設(shè)此圓的方程為：
當直線的斜率存在時，設(shè)的方程為
由方程組得
因為直線與橢圓有且僅有一個公共點
所以
即
由方程組得
則
設(shè)，，則
設(shè)直線，的斜率分別為，
所以
將代入上式得
要使得為定值，則，即
所以當圓的方程為時，
圓與的交點，滿足為定值
當直線的斜率不存在時，由題意知的方程為
此時圓與的交點，也滿足為定值
綜上：當圓的方程為時，
圓與的交點，滿足為定值
【點睛】
涉及圓、橢圓的弦長、交點、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.
7．已知圓F1：(x+1)2+y2=r2(1≤r≤3)，圓F2：(x-1)2+y2= (4-r)2．
（1）證明：圓F1與圓F2有公共點，并求公共點的軌跡E的方程；
（2）已知點Q(m，0)(m

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