四川省成都外國語學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.
2、本堂考試120分鐘，滿分150分.
3、答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、學(xué)號填寫在答題卡上，并使用2B鉛筆填涂.
4、考試結(jié)束后，將答題卡交回.
第I卷（選擇題部分，共58分）
一、單項選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知兩條直線和相互垂直，則（）
A. 2B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線垂直的斜率表示可得，解得.
【詳解】易知的斜率為，
的斜率為，所以；
解得.
故選：C
2. 我市某所高中每天至少用一個小時學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生共有1200人，其中一、二、三年級的人數(shù)比為，要用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個容量為120的樣本，則應(yīng)抽取的一年級學(xué)生的人數(shù)為（）
A. 52B. 48C. 36D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用分層抽樣的抽樣比列式計算即得.
【詳解】依題意，應(yīng)抽取的一年級學(xué)生的人數(shù)為.
故選：C
3. 若方程表示圓，則m的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件列不等式求解即可.
【詳解】因為表示圓，
所以,解得或.
故選：B.
4. 學(xué)校組織知識競賽，某班8名學(xué)生的成績（單位：分）分別是65，60，75，78，86，84，90，94，則這8名學(xué)生成績的75%分位數(shù)是（）
A. 88分B. 84分C. 85分D. 90分
【答案】A
【解析】
【分析】先對這8名學(xué)生的成績按從小到大排列，然后用百分位數(shù)的定義求解即可.
【詳解】8名學(xué)生的成績從小到大排列為：60，65，75，78，84，86，90，94，
因為，所以75%分位數(shù)為第6個數(shù)和第7個數(shù)的平均數(shù)，
即分．
故選：A.
5. 無論為何值，直線過定點（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化簡直線分是否有兩部分，再求交點得出定點.
【詳解】由得：，
由得
∴直線恒過定點.
故選：A.
6. 在一個袋子中裝有分別標(biāo)注1，2，3，4，5，6的6個小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個小球，則取出標(biāo)注的數(shù)字之差的絕對值為2或4的小球的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用列舉法得到總的基本事件與滿足條件的基本事件的個數(shù)，再利用古典概型的概率公式即可得解.
【詳解】從6個小球中任取2個小球有，
，共15種情況，
其中數(shù)字之差的絕對值為2或4的有，共6種情況，
則所求概率.
故選：C.
7. 如圖，平行六面體的底面是矩形，其中，，且，則線段的長為（）
A. 9B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由，兩邊平方，利用勾股定理以及數(shù)量積的定義求出的值，進(jìn)而可得答案．
【詳解】由，得到，
因為底面是矩形，，，
所以，，
因為，
所以，
所以，
，故．
故選：C．
8. 已知點在直線上，則的最小值為（）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】利用兩點距離公式將問題轉(zhuǎn)化為點Px,y到點的距離之和的最小值，再利用將軍飲馬問題的解決方法，數(shù)形結(jié)合即可得解.
【詳解】因為，
設(shè)，，
則表示點Px,y到點的距離之和，
設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，又直線斜率為，
則，解得，則，
因為點在直線上，
所以，
當(dāng)為與直線的交點時，等號成立，
所以的最小值為.
故選：C.
二、多項選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求；全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有錯選的得0分.
9. 下列說法正確的是（）
A. 不經(jīng)過原點的直線都可以表示為
B. 若直線與兩坐標(biāo)軸交點分別為A、B，且的中點為，則直線l的方程為
C. 過點且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等的直線方程為或
D. 直線的截距式方程為
【答案】BCD
【解析】
【分析】A選項，截距式方程不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，即可判斷；B選項，直接利用截距式方程判斷；C選項，直接求出過點且在兩軸上截距相等的直線方程，即可判斷；D選項，直接化為截距式方程判斷．
【詳解】對于A，與坐標(biāo)軸垂直的直線也不能用截距式表示，故A選項錯；
對于B，AB的中點為，則有，則直線l的方程為，故B選項對；
對于C，直線過點且過原點時，直線為，直線過點且不過原點時，直線為，故C選項對；
對于D，方程可化為，為直線的截距式方程，故D選項對．
故選：BCD.
10. 一只不透明的口袋內(nèi)裝有9張相同的卡片，上面分別標(biāo)有這9個數(shù)字（每張卡片上標(biāo)1個數(shù)），“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字為2或5或8”記為事件，“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字不超過6”記為事件，“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字大于等于7”記為事件．則下列說法正確的是（）
A. 事件與事件是互斥事件B. 事件與事件是對立事件
C. 事件與事件相互獨立D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)古典概型的概率的計算公式，分別算出事件的概率，然后再根據(jù)互斥事件、對立事件、相互獨立事件及概率的運算性質(zhì)即可判斷出答案.
【詳解】樣本空間為．
因為，所以事件與事件不是互斥事件，故錯誤；
因為，所以事件與事件為對立事件，故正確；
因為，所以，即事件與事件相互獨立，故正確；
因為，所以，故D錯誤．
故選：BC.
11. 如圖，棱長為的正方體的內(nèi)切球為球，，分別是棱，的中點，在棱上移動，則下列選項正確的是（）
A. 該內(nèi)切球的球面面積為
B. 存在點，使得平面
C. 平面被球截得的截面圓的面積為
D. 當(dāng)為的中點時，過，，的平面截該正方體所得截面的面積為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)內(nèi)切球半徑計算表面積判斷A；以點D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點，其中，
利用空間向量法可判斷B，應(yīng)用空間向量法計算點到平面距離計算求出截面面積判斷C，確定當(dāng)為的中點時，
過的平面截該正方體所得截面為邊長為的正六邊形，利用面積公式求面積判斷D.
【詳解】對于A，根據(jù)已知條件球為以為圓心，半徑，內(nèi)切球的球面面積為，A正確；
對于B：以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則由題意可得，，，，
設(shè)點，其中，
對于，，，
設(shè)平面法向量為，
，，
則，
令，則y=?1，，
為平面的一個法向量，
若存在點，使平面，
只需，因為不成立，所以B錯誤；
對于C：設(shè)平面法向量為m=x1,y1,z1，，
，，
則，
令，則，，
為平面的法向量，
又因為，
則到平面的距離為，則，
設(shè)平面被球截得的截面圓的半徑為，
，
所以平面被球截得的截面圓的面積為，C選項正確；
對于D，當(dāng)為中點時，過的平面截該正方體所得截面為正六邊形，，
在中，，所以邊長，
所以截面面積，D正確；
故選：ACD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查幾何體與球的組合問題，垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，平面截球的問題，平面截正方體問題，關(guān)鍵是：（1）利用球的弦長公式計算弦長；（2）確定平面截正方體所得截面的形狀.
第II卷（非選擇題部分，共92分）
三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.
12. 圓心為，半徑為5圓的方程為__________________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)圓心和半徑結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得結(jié)果.
【詳解】由題意可知：圓的方程為.
故答案為：.
13. 經(jīng)過兩點的直線的方向向量為，求k的值為__________．
【答案】2
【解析】
【分析】求出，由直線方向向量定義和向量平行得到方程，求出k的值.
【詳解】，
由與平行可得，解得.
故答案為：2
14. 若恰有三組不全為0的實數(shù)對滿足關(guān)系式，則實數(shù)t的所有可能取值的和為______.
【答案】
【解析】
【分析】對已知變形為，然后轉(zhuǎn)化為僅有三條直線滿足和到直線（不過原點）的距離t相等，然后對進(jìn)行分類討論求解即可.
【詳解】由已知得，，整理得，
看成有且僅有三條直線滿足，和到直線（不過原點）的距離t相等；
由，
（1）當(dāng)，此時，易得符合題意的直線l為線段的垂直平分線以及直線平行的兩條直線.
（2）當(dāng)時，有4條直線l會使得點和到它們的距離相等，
注意到l不過原點，所以當(dāng)其中一條直線過原點時，會作為增根被舍去；設(shè)點A到l距離為d，
①作為增根被舍去的直線l，過原點和A，B的中點，其方程為，
此時，，符合；
②作為增根被舍去的直線l，過原點且以為方向向量，其方程為，
此時，，符合；
綜上，滿足題意的實數(shù)t為，，，它們的和為.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了點到直線距離公式的應(yīng)用以及方程組解的個數(shù)問題解法，解題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為有且僅有三條直線滿足和到直線（不過原點）的距離t相等，屬于難題.
四、解答題：本題共5個小題，共77分，其中15題13分，16-17題每道15分，18-19題每道17分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知空間三點，設(shè).
（1）求和的夾角的余弦值；
（2）若向量與互相垂直，求的值.
【答案】（1）
（2）2或
【解析】
【分析】（1）利用空間向量的坐標(biāo)表示求出，再利用向量夾角的坐標(biāo)表示計算即得.
（2）利用垂直關(guān)系的向量表示及向量數(shù)量積的運算律，結(jié)合（1）中信息列出方程求解即可.
【小問1詳解】
由點，得，，
所以，
所以和夾角的余弦值為.
【小問2詳解】
由（1）可得，，
因為向量與互相垂直，則，
由整理可得，解得或，
所以的值為2或.
16. 已知的三個頂點分別是，，.
（1）求邊上的高所在的直線方程；
（2）若直線過點，且與直線平行，求直線的方程；
（3）求邊上的中線所在的直線方程.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用斜率坐標(biāo)公式及垂直關(guān)系求出高所在直線的斜率，再利用直線的點斜式方程求解即得.
（2）設(shè)出直線方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程.
（3）求出中點坐標(biāo)及中線所在直線的斜率，再利用直線的點斜式方程求解即得.
【小問1詳解】
直線的斜率，則邊上的高所在的直線斜率為3，
所以邊上的高所在的直線方程為，即.
【小問2詳解】
依題意，設(shè)直線的方程為，而直線過點，則，解得，
所以直線的方程為.
【小問3詳解】
依題意，邊的中點，因此邊上的中線所在直線的斜率，
所以邊上的中線所在直線的方程為，即.
17. 如圖，在棱長為2正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點.

（1）求點到直線的距離；
（2）求點到平面的距離.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用計算距離的方式計算即可.
【小問1詳解】
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

得A0,0,0,,,,
所以,
所以點到直線的距離為
【小問2詳解】
設(shè)平面的一個法向量為n=x,y,z
由（1）可知,,
易知
令，得
所以
所以點到平面的距離為
18. 某調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解人們對“奧運會”相關(guān)知識的認(rèn)知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“奧運會”知識競賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這人的平均年齡；
（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的“奧運會”宣傳使者.若有甲（年齡36），乙（年齡42）兩人已確定入選，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；
（3）若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和2，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和1，據(jù)此估計這人中35~45歲所有人的年齡的方差.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由頻率分布直方圖的平均數(shù)算法可得；
（2）根據(jù)古典型概念公式可得；
（3）根據(jù)分層抽樣平均數(shù)和方差公式可得.
【小問1詳解】
設(shè)這人的平均年齡為，
則
.
【小問2詳解】
由題意得，第四組應(yīng)抽取人，記為（甲），，，，
第五組抽取人，記為（乙），，
對應(yīng)的樣本空間的樣本點為：
，
設(shè)事件為“甲、乙兩人至少一人被選上”，
則，
所以.
【小問3詳解】
設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，
則，，，，
設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為，
則，
，
據(jù)此估計這人中35~45歲所有人的年齡的方差為.
19. 如圖所示，直角梯形中，，四邊形為矩形，，平面平面．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值；
（3）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的余弦值為，若存在，求出線段的長度，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）存在；2
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件先判定垂直關(guān)系再建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量判定線面關(guān)系即可；
（2）利用空間向量結(jié)合（1）的結(jié)論計算面面夾角即可；
（3）利用空間向量研究線面夾角計算即可.
【小問1詳解】
因為四邊形為矩形，平面平面，
平面平面，
所以，則平面，
根據(jù)題意可以以為原點，所在直線為軸，
所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖，易知，，
設(shè)平面的法向量，
不妨令，則，
又，，
又平面平面．
【小問2詳解】
由上可知，設(shè)平面的法向量，
，令，則，
，
平面與平面夾角的余弦值為．
【小問3詳解】
設(shè)，
，
又平面的法向量，
由直線與平面所成角余弦值為，
，
，或．
當(dāng)時，；
當(dāng)時，．
綜上，．

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