注意事項：
1．本試卷分第I卷和第II卷兩部分；
2．本堂考試120分鐘，滿分150分；
3．答題前，考生務必將自己的姓名、學號正確填寫在答題卡上，并使用2B鉛筆填涂；
4．考試結(jié)束后，將答題卡交回．
第I卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項符合題目要求．
1．現(xiàn)須完成下列2項抽樣調(diào)查：①從12瓶飲料中抽取4瓶進行食品衛(wèi)生檢查；②某生活小區(qū)共有540名居民，其中年齡不超過30歲的有180人，年齡在超過30歲不超過60歲的有270人，60歲以上的有90人，為了解居民對社區(qū)環(huán)境綠化方面的意見，擬抽取一個容量為30的樣本.較為合理的抽樣方法分別為（ ）
A．①隨機數(shù)法，②抽簽法B．①隨機數(shù)法，②分層抽樣
C．①抽簽法，②分層抽樣D．①抽簽法，②隨機數(shù)法
2．已知向量，，且，那么實數(shù)等于（ ）
A．3B．-3C．9D．-9
3．若是兩條不相同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題中為真命題的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
4．如圖，空間四邊形中，，點為中點，點在側(cè)棱上，且，則（ ）

A． B．
C． D．
5．為了養(yǎng)成良好的運動習慣，某人記錄了自己一周內(nèi)每天的運動時長（單位：分鐘），分別為53，57，45，61，79，49，x，若這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)的差為3，則（ ）
A．58或64B．59或64C．58D．59
6．已知點在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點，正數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．1D．2
7．現(xiàn)有一段底面周長為厘米和高為12厘米的圓柱形水管，是圓柱的母線，兩只蝸牛分別在水管內(nèi)壁爬行，一只從點沿上底部圓弧順時針方向爬行厘米后再向下爬行3厘米到達點，另一只從沿下底部圓弧逆時針方向爬行厘米后再向上爬行3厘米爬行到達點，則此時線段長（單位：厘米）為（ ）
A．B．C．6D．12
8．如圖，四邊形，現(xiàn)將沿折起，當二面角的大小在時，直線和所成角為，則的最大值為（ ）
A． B．C． D．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．下列命題中，正確的是（ ）
A．兩條不重合直線的方向向量分別是，，則
B．直線l的方向向量，平面的法向量是，則
C．兩個不同的平面，的法向量分別是，，則
D．直線l的方向向量，平面的法向量，則直線l與平面所成角的大小為
10．小劉一周的總開支分布如圖①所示，該周的食品開支如圖②所示，則以下說法正確的是（ ）
A．娛樂開支比通信開支多5元
B．日常開支比食品中的肉類開支多100元
C．娛樂開支金額為100元
D．肉類開支占儲蓄開支的
11．已知四面體的所有棱長都為分別是的中點.是該四面體內(nèi)切球球面上的兩點，是該四面體表面上的動點.則下列選項中正確的是（ ）
A. 的長為
B.到平面的距離為
C.當線段最長時，的最大值為
D.直線與直線所成角的余弦值為
第II卷
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．某校高一年級共有學生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．該校要了解高一學生對食堂菜品的看法，準備從高一年級學生中隨機抽取40人進行訪談，若采取按比例分配的分層抽樣，則應從高一2班抽取的人數(shù)是 ．
13．已知，，若三向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則實數(shù)的值為 .
14．在正方體中，點是上的動點，是平面內(nèi)的一點，且滿足，則平面與平面所成角余弦值的最大值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
（滿分13分）15．已知向量，，
(1)求的值；
(2)求；
(3)求的最小值.
（滿分15分）16．成都市政府委托市電視臺進行“創(chuàng)建文明城市”知識問答活動，市電視臺隨機對該市歲的人群抽取了n人，繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，回答問題的統(tǒng)計結(jié)果如表所示．
（1）分別求出的值；
（2）從第二、三、四、五組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取7人，則從第二、三、四、五組每組回答正確的人中應各抽取多少人.
（滿分15分）17．如圖，在四棱錐中，是邊長為2的正方形，平面平面，直線與平面所成的角為，.
（1）若，分別為，的中點，求證：直線平面；
（2）求二面角的正弦值.
（滿分17分）18．隨著時代不斷地進步，人們的生活條件也越來越好，越來越多的人注重自己的身材，其中體脂率是一個很重要的衡量標準.根據(jù)一般的成人體準，女性體脂率的正常范圍是至，男性的正常范圍是至.這一范圍適用于大多數(shù)成年人，可以幫助判斷個體是否存在肥胖的風險.某市有關(guān)部門對全市萬名成年女性的體脂率進行一次抽樣調(diào)查統(tǒng)計，抽取了名成年女性的體脂率作為樣本繪制頻率分布直方圖,如圖.

(1)求a；
(2)如果女性體脂率為至屬“偏胖”，體脂率超過屬“過胖”，那么全市女性“偏胖”，“過胖”各約有多少人？
(3)小王說：“我的體脂率是調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù).”小張說：“我的體脂率是調(diào)查所得數(shù)據(jù)的平均數(shù).”那么誰的體脂率更低？（精確到小數(shù)點后2位）
（滿分17分）19．如圖，四面體中，．

(1)求證：平面平面；
(2)若，
①若直線與平面所成角為30°，求的值；
②若平面為垂足，直線與平面的交點為．當三棱錐體積最大時，求的值．
組號
分組
回答正確的人數(shù)
回答正確的人數(shù)占本組的頻率
第一組
[15，25)
50
0.5
第二組
[25，35)
180
a
第三組
[35，45)
0.9
第四組
[45，55)
90
b
第五組
[55，65)
y
0.6
高二上10月月考數(shù)學答案
單選題：C D C C A B A B
多選題：AC; BCD; BC
填空題：10； 5；
解答題：
15: (1) (2) (3)
16:解：（1）依題和圖表：由得：，由得：，
由得：，由得：，由得：，故，，，．
由以上知：第二、三、四、五組回答正確的人數(shù)分別為：180人，270人，90人，90人用分層抽樣抽取7人，則：從第二組回答正確的人中應該抽?。喝?，從第三組回答正確的人中應該抽?。喝?，從第四組回答正確的人中應該抽取：人，從第五組回答正確的人中應該抽取：人，故從第二、三、四、五組每組回答正確的人中應分別抽?。?人，3人，1人，1人．
17:【詳解】（1）證明：∵平面平面，平面平面，，平面，
∴平面，則為直線與平面所成的角，為，∴，而平面，
∴又，為的中點，∴，平面，
則平面，而平面∴，又，分別為，的中點，
則，正方形中，，∴，又平面，，
∴直線平面；
（2）解：以為坐標原點，分別以，所在直線為，軸，過作的平行線為軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
取，得；設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得.
∴.
∴二面角的正弦值為.
18:（1）由頻率直方圖可得，，所以.
（2）由頻率分布直方圖可得樣本中女性“偏胖”的頻率為，樣本中女性“過胖”的頻率為，所以全市女性“偏胖”的人數(shù)約為，全市女性 “過胖”的人數(shù)約為，
（3）調(diào)查所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，設(shè)調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，因為，，所以，所以，所以，所以調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為，所以小王的體脂率約為，小張的體脂率為，所以小張的體脂率更低.
19:【詳解】（1）取的中點，連接，因為，則，
所以，所以，所以，又因為所以，
則，又因為，所以，又因為，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面；
（2）①因為兩兩相互垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，
所以，設(shè)，因為，
所以由可得：，所以，
，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，取，可得，所以，
因為直線與平面所成角為30°，所以
則，化簡可得：，解得：或（舍去）.
②由（1）知，平面，又平面
所以，在上，因為，所以，
，所以，即，所以，
所以，三棱錐體積為：
，
因為，當時，三棱錐體積最大為，此時分別為，的中點，所以，設(shè)，設(shè)，
因為，所以，所以，
因為在平面上，所以設(shè)，所以，所以，解得：，所以，所以.

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