四川省成都外國語學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項：
1．答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的姓名、座位號、考籍號用0.5毫米黑色簽字筆填寫清．
2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應(yīng)題目標(biāo)號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡的對應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效．
3．考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 若一數(shù)列的前4項分別為，則該數(shù)列的通項公式可能為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)列前項的規(guī)律，分別分析數(shù)列的符號規(guī)律和數(shù)值規(guī)律，進而得出數(shù)列的通項公式.
【詳解】觀察數(shù)列的前項，可以發(fā)現(xiàn)奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負.
根據(jù)當(dāng)為偶數(shù)時結(jié)果為，當(dāng)為奇數(shù)時結(jié)果為；當(dāng)為奇數(shù)時結(jié)果為，當(dāng)為偶數(shù)時結(jié)果為，可知該數(shù)列的符號規(guī)律可以用來表示.
分母依次為3,5,7,9，得該數(shù)列分母的通項公式為.
結(jié)合上述對符號規(guī)律和數(shù)值規(guī)律的分析，可知該數(shù)列的通項公式為.
故選：A.
2. 若函數(shù)在處可導(dǎo)，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求解.
【詳解】因為函數(shù)在處可導(dǎo)，
所以，
故選：B
3. 已知是等差數(shù)列，，，則的前10項和為（）
A. 90B. 100C. 110D. 120
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件求出的公差和首項，代入前項和公式可得答案.
【詳解】設(shè)的公差為，
因為，，
所以，解得，
則的前10項和為.
故選：D.
4. 設(shè)是等比數(shù)列的前項和，若，，則（）
A. 24B. 36C. 42D. 108
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列中片段和的性質(zhì)即可求解.
【詳解】根據(jù)，，可知數(shù)列的公比不為1，
且成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，故，
故，
故選：C
5. 已知數(shù)列中，，若，且，則（）
A. B. C. D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)已知得出是等差數(shù)列，得出通項公式計算即可.
【詳解】，又，
所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，，
故選：B.
6. 設(shè)點在曲線上，點在直線上，則的最小值為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點到直線的距離公式即可求解.
【詳解】令，得，代入曲線，
所以的最小值即為點到直線的距離.
故選：B.
7. 等差數(shù)列中，為前項和，已知，且，則等于（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得數(shù)列為等差數(shù)列，由題意，可得其通項公式，可得答案.
【詳解】由等差數(shù)列中，前項和，則，即，
故是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，所以，即，
，.
故選：D.
8. 已知數(shù)列{an}的前n 項和，若數(shù)列{bn}的前n 項和滿足恒成立，則的取值范圍為（）
A. [1，+∞)B. (1，+∞)C. [2，+∞)D. (2，+∞)
【答案】A
【解析】
【分析】由求出，進而得，通過裂項相消即可求出即可得解.
【詳解】因為，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以，所以，
所以，
故，即，所以，
故選：A
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知數(shù)列是等比數(shù)列，則下列命題中正確的是（）
A. 數(shù)列是等比數(shù)列
B. 若，，則
C. 若數(shù)列的前項和，則
D. 若，公比，則數(shù)列是遞增數(shù)列
【答案】AD
【解析】
【分析】對于A，根據(jù)條件，利用等比數(shù)列的定義，即可求解；對于B，根據(jù)選項條件，直接求出，即可求解；對于B，利用，求接求出，再利用等比數(shù)列的性，即可求解，對于D，根據(jù)通項公式，結(jié)合選項條件及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項為，
對于選項A，因為為常數(shù)，所以數(shù)列是等比數(shù)列，故選項A正確，
對于選項B，因為，，則，解得，
所以，故選項B錯誤，
對于選項C，因為，令，得到，令，得到，所以，
令，得到，所以，由題有，解得，所以選項C錯誤，
對于選項D，因為，又，公比，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故選項D正確，
故選：AD.
10. 設(shè)等差數(shù)列的前項的和為，公差為，已知，，，則（）
A. B.
C. D. 時，的最小值為14
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列前n項和公式依次分析選項，結(jié)合基本量的運算即可得到答案.
【詳解】由題意，，而，可以判斷是遞減數(shù)列，所以，C正確，
而，D錯誤；
又，所以，B錯誤；
而，A正確.
故選：AC
11. 意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，….該數(shù)列的特點是前兩個數(shù)都是1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面相鄰兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”.若記此數(shù)列為，有，，前n項和為，則下列對“斐波那契數(shù)列”的描述正確的是（）
A. B. 該數(shù)列的前2024項中能被3整除的有507項
C. 是偶數(shù)D.
【答案】AD
【解析】
【分析】觀察分析“斐波那契數(shù)列”的特點和性質(zhì)，探索其規(guī)律，依次判斷各選項的準確性.
【詳解】對A選項：因為，即，
所以，
又，所以.故A正確；
對B：因為“斐波那契數(shù)列”的前若干項依次為：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，它們除以3所得的余數(shù)為：1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0，…，可以發(fā)現(xiàn)余數(shù)是以1,1,2,0,2,2,1,0為周期的，在一個周期內(nèi)有兩個能被3整除的數(shù).
又，所以該數(shù)列的前2024項中能被3整除的有個.故B不正確；
對C：因為均為奇數(shù)，且奇數(shù)奇數(shù)為偶數(shù)，所以為偶數(shù)；
因為奇數(shù)偶數(shù)為奇數(shù)，所以為奇數(shù)；…
所以“斐波那契數(shù)列”中的項是“奇，奇，偶”規(guī)律出現(xiàn)的，又，所以
為奇數(shù)，故C不正確；
對D：因
…
因為，所以.故D正確.
故選：AD
【點睛】方法點睛：利用遞推關(guān)系求數(shù)列中的項常見思路為：
（1）項的序號較小時，逐步遞推求出即可；
（2）項的序數(shù)較大時，考慮證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列，或者是周期數(shù)列.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 一輛汽車做直線運動，位移與時間的關(guān)系為，若汽車在時的瞬時速度為8，則實數(shù)的值為________.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可推得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義，即可得出答案.
【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得，，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義，可知，所以.
故答案為：2.
13. 已知數(shù)列滿足，，則的通項公式為________．
【答案】
【解析】
【分析】利用累加法計算可得.
【詳解】因為，，
所以，
即，，，，，
所以，
即，則，
當(dāng)時也成立，所以，
故答案為：．
14. 數(shù)列滿足，（），，若數(shù)列是遞減數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是________________________.
【答案】
【解析】
【分析】變形給定的遞推公式，結(jié)合累加法求出，進而求出，再利用遞減數(shù)列的定義列式并分離參數(shù)求解.
【詳解】數(shù)列中，，則，，
即，
當(dāng)時，
，也滿足上式，因此，
，由數(shù)列是遞減數(shù)列，得，，
即當(dāng)時，，
整理得，
當(dāng)或時，，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
（1）；
（2）
（3）
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運算法則結(jié)合基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，求導(dǎo)即可.
【小問1詳解】
因為，所以；
【小問2詳解】
因為，
所以；
【小問3詳解】
因為，
所以.
16. 在數(shù)列中，，且.
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的通項公式.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）化簡已知條件，根據(jù)等比數(shù)列知識證得結(jié)論成立.
（2）由（1）以及等比數(shù)列的知識求得.
【小問1詳解】
由于，所以．
又，所以．
所以數(shù)列是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列．
【小問2詳解】
由（1）知，所以．
17. 已知函數(shù).
（1）求曲線在點處切線方程；
（2）求曲線過點的切線方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.
（2）設(shè)出切點坐標(biāo)，結(jié)合（1）求出切線方程，再將點代入求出切點即可求解.
【小問1詳解】
函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，
所以曲線在點處的切線方程為，即.
【小問2詳解】
設(shè)所求切線的切點為，切線斜率為，切線方程為，
而切線過點，則，解得或，
當(dāng)時，切線方程為；
當(dāng)時，切線方程為，即，
所以滿足題意的切線方程為或.
18. 設(shè)是公差大于1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足.已知，，，是和的等差中項.
（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，且數(shù)列的前項和為，若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件可得數(shù)列是等比數(shù)列，列出關(guān)于公差、公比的方程組求解即可.
（2）由（1）求出，利用錯位相減法求和得，判斷單調(diào)性并求出最小值，建立不等式求解即得.
【小問1詳解】
由，，得數(shù)列等比數(shù)列，
設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為q，依題意，，
而，解得，則
所以數(shù)列和數(shù)列的通項公式.
【小問2詳解】
由（1）得，，，
兩式相減得：，
而，于是是遞增數(shù)列，即，
由對任意的，不等式恒成立，得，
解得或，
所以的取值范圍或.
19. 已知數(shù)列的前項和為，且．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）令，數(shù)列的前項和為，是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，說明理由；
（3）記，證明：．
【答案】（1）
（2）存在；或
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用的關(guān)系可得，利用累乘法可求數(shù)列的通項公式；
（2）利用裂項相消法可求得，假設(shè)存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，可得，求解即可；
（3）當(dāng)時，可得，利用放縮法可證明不等式成立.
【小問1詳解】
因為，所以當(dāng)時，，
兩式相減得，即．
累乘得．
經(jīng)檢驗也符合上式，所以．
【小問2詳解】
因為，所以，
所以，
假設(shè)存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，則，即，即，
顯然是18的正約數(shù)，又因為，所以，所以或18，
當(dāng)，即時，，
當(dāng)，即時，．
所以，存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，
此時或．
【小問3詳解】
由題意知，，
當(dāng)時，，不等式成立．
當(dāng)，因為
，
所以
．
因為，所以，
所以時，，
綜上，．
【點睛】方法點睛：證明數(shù)列不等式的常用方法之一：放縮法，即是從不等式的一邊著手，用不等式的傳遞性等性質(zhì)，舍去(或添上) 一些正項或者負項，擴大或縮小分式的分子、分母，逐漸適當(dāng)?shù)赜行Х糯蠡蚩s小到所要求的目標(biāo)，注意放縮時要適度，否則就不能同向傳遞．在數(shù)列求和型不等式證明中，一般來說有先放縮再求和或先求和再放縮兩種形式。若數(shù)列易于求和，則選擇先求和后再放縮；若數(shù)列不易求和，要考慮先放縮后再求和的證明方法．

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