重慶外國語學(xué)校（四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校）2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

數(shù)學(xué)試題
一、選擇題：共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．
1 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)分式不等式化簡集合A，即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>且，所以.
故選：D.
2. 若復(fù)數(shù)滿足（i為虛數(shù)單位），則的虛部是（）
A iB. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得，即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋傻茫?br>所以的虛部是.
故選：D.
3. 已知，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意利用兩角和差公式可得，再利用倍角公式結(jié)合齊次化問題分析求解.
【詳解】因?yàn)?，則，可得，
所以.
故選：B.
4. 已知圓的圓心在軸上且經(jīng)過兩點(diǎn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，將代入求解即可.
【詳解】解：由題意設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，
因?yàn)閳A經(jīng)過兩點(diǎn)，
所以，解得，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，
故選：A
5. 已知平面向量，則的最小值是（）
A. 1B. 2C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由題設(shè)分別在以為原點(diǎn)，半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，且，數(shù)形結(jié)合及向量加法的幾何意義確定的范圍，即可得答案.
【詳解】由題設(shè)，分別在以為原點(diǎn)，半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，且，
所以，若是中點(diǎn)，則，而，如下圖示，
由圖知，，而，即.
所以的最小值是.
故選：D.
6. 在正四棱臺(tái)中，，其體積為，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作輔助線，可知為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，根據(jù)棱臺(tái)體積公式求得，結(jié)合余弦定理即可求解.
【詳解】設(shè)正四棱臺(tái)的高為，
連接，作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接，
則為異面直線與所成角或其補(bǔ)角.
因?yàn)椋艺睦馀_(tái)的體積為，
即，
所以，即，
則，，，
，，
所以.
故選：D.
7. 在中，內(nèi)角A，，的對(duì)邊分別為，，，已知，則（）
A. 4049B. 4048C. 4047D. 4046
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得，利用正余弦定理角化邊可得，即可得答案.
【詳解】在中，，可得，
即，故，
即，所以，
所以，即，所以
故.
故選：A.
8. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用雙曲線漸近線確定，由余弦定理可得，再由勾股定理得，又由確定得，最后根據(jù)求得離心率 .
【詳解】根據(jù)題意可知：點(diǎn)在以為圓心為半徑的圓上，所以；
根據(jù)雙曲線漸近線方程為有，
由雙曲線中，可得，
在中，，，
余弦定理有，解得；
有，所以；
在中，，，所以，
所以雙曲線離心率.
故選：D
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分或3分．
9. 從中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)記為a，從中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)記為b，則下列說法正確的是（）
A. 事件“為偶數(shù)”的概率為
B. 事件“ab為偶數(shù)”的概率為
C. 設(shè)，則X的數(shù)學(xué)期望為
D. 設(shè)，則在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12
【答案】ABD
【解析】
【分析】確定從中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，從中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)的所有可能取法數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算可判斷ABD；根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算可判斷C；
【詳解】從中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)記為a，從中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)記為b，
共有（種）可能；
對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，時(shí)，為偶數(shù)；當(dāng)時(shí)，時(shí)，為偶數(shù)；
故共有4種可能，則事件“為偶數(shù)”的概率為，A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，時(shí)，為偶數(shù)；當(dāng)時(shí)，時(shí)，為偶數(shù)；
此時(shí)共有（種）可能，故事件“ab為偶數(shù)”的概率為，B正確；
對(duì)于C，的取值可能為，
則,
故，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，的取值可能為，
，
，
故在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12，D正確，
故選：ABD
10. 已知直線，圓，點(diǎn)P為直線l上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓C上一點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）
A. 直線l恒過定點(diǎn)
B. 若圓C關(guān)于直線l對(duì)稱，則k=1
C. 若直線l與圓C相切，則
D. 當(dāng)k=1時(shí)，取y軸上一點(diǎn)，則的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于A，看出關(guān)于的多項(xiàng)式恒等于0即可判斷；對(duì)于B，把圓心坐標(biāo)代入已知直線即可判斷；對(duì)于C，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列方程即可判斷；對(duì)于D，找對(duì)稱點(diǎn)，轉(zhuǎn)換為將軍飲馬模型即可求解.
【詳解】解：對(duì)于A，直線l：k，即，
令，則，解得，，
所以直線|恒過定點(diǎn)，故A正確;
對(duì)于B，若圓C關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l過圓心，
所以，解得，故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C，若直線與圓C相切，則圓心到直線的距離等于半徑1，
即，解得，故C正確;
對(duì)于D，當(dāng)k=1時(shí)，直線，點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，
則有，解得，即，
所以的最小值為，故D正確.
故選：ACD.
11. 如圖，若正方體的棱長為2，點(diǎn)是正方體在側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 平面截該正方體的截面面積為
B. 若，則點(diǎn)的軌跡是以為半徑的半圓弧
C. 若為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為1
D. 若，則的最大值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于A：取的中點(diǎn)，可知平面截該正方體的截面為矩形，即可得結(jié)果；對(duì)于B：可得，，即可得結(jié)果；對(duì)于C：利用轉(zhuǎn)換定點(diǎn)法求三棱錐的體積；對(duì)于D：可證平面，則點(diǎn)M的軌跡是線段，即可得結(jié)果.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)辄c(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則∥，，
又因?yàn)椤?，，則∥，，且，
由正方體的性質(zhì)得平面，平面，所以，
可知平面截該正方體的截面為矩形，其面積為，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)槠矫?，平面，所?
又，正方體棱長為2，所以.
所以點(diǎn)的軌跡是以Q為圓心，1為半徑的半圓弧，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，且?br>則，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，在面上，過點(diǎn)P作，則點(diǎn)Q是的中點(diǎn).
連接，取的中點(diǎn)N，連接，，，，
則，.
因?yàn)槠矫妫矫?，所?
又，平面，所以平面，
所以點(diǎn)M的軌跡是線段.
在中，，，，
所以的最大值為3，故D正確；
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于D：根據(jù)垂直關(guān)系將線線垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，可得平面，進(jìn)而可得點(diǎn)M的軌跡.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，通過等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出公比，進(jìn)而求出，的值就是公比.
【詳解】當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，對(duì)于等比數(shù)列（因?yàn)椋?
當(dāng)時(shí)，.
已知，將，，值代入可得：
.
因?yàn)椋ǖ缺葦?shù)列首項(xiàng)不為），等式兩邊同時(shí)除以得.
展開式子得，即，解得或.
因?yàn)榈缺葦?shù)列公比，所以. 所以.
故答案為：.
13. 如圖，平面四邊形中，為等邊三角形，現(xiàn)將沿翻折，使點(diǎn)移動(dòng)至點(diǎn)，且，則三棱錐的外接球的表面積為__________.
【答案】
【解析】
【詳解】因?yàn)椋?，平面?br>所以平面，
將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的直三棱柱，則它們的外接球相同，
外接球的球心在棱柱上下底面三角形的外心連線上，
令的外心為，由為等邊三角形，，
得，
因?yàn)?，所以在中，?br>即外接球的半徑為2，
所以外接球的表面積為.
故答案為：
14. 已知，則的最小值為__________．
【答案】2
【解析】
【分析】變形函數(shù)，換元構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)分段探討單調(diào)性求出最小值.
【詳解】函數(shù)，令，令，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值2.
故答案為：2
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則變形，再換元構(gòu)造新函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.
四、解答題：共77分．解答應(yīng)寫出必要文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)關(guān)系求得，結(jié)合等比數(shù)列的定義寫出通項(xiàng)公式；
（2）由題設(shè)得，累乘法求通項(xiàng)公式，再應(yīng)用裂項(xiàng)相消求和即可.
【小問1詳解】
若，則，
若，則，故，
所以，
所以是首項(xiàng)為9，公比為3的等比數(shù)列，則.
【小問2詳解】
由題設(shè)，故，
時(shí)，，顯然也滿足，
所以，
綜上，.
16. 如圖所示，在四棱錐中，，，．

（1）若平面，證明：平面；
（2）若底面，，二面角的正弦值為，求的長．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角形三邊長可得到三角形角度，再根據(jù)線面垂直得到線線垂直，結(jié)合同一平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線平行，即可得到線面平行；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，由空間向量夾角的余弦公式列方程，即可得求答案.
【小問1詳解】
證明：∵，，，即，
∴，即，
∵平面，平面，
∴，
∴，又平面，平面，
∴平面；
【小問2詳解】
∵底面，底面，
∴，，又，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，過點(diǎn)作的平行線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

令，則，
，則，
，
設(shè)平面的法向量為n1=x1,y1,z1，
∴，
令，則，
∴，
設(shè)平面的法向量為，
∴，
令，則，
∴，
∵二面角的正弦值為，則余弦值為，
又二面角為銳角，∴，
解得，所以.
17. 已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別是，點(diǎn)在雙曲線上，且直線的斜率之積為3．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）斜率不為0的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求點(diǎn)到直線的距離的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直線的斜率之積為3，構(gòu)造方程求出，再將點(diǎn)代入方程即可；（2）設(shè)直曲聯(lián)立，借助韋達(dá)定理，由，所以，結(jié)合韋達(dá)定理，求出，再用點(diǎn)到直線距離計(jì)算即可.
【小問1詳解】
由題意可得，
則直線的斜率，直線的斜率．
因?yàn)橹本€的斜率之積為3，所以，解得．
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得．
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
【小問2詳解】
設(shè)直線
聯(lián)立整理得
則
所以．
因?yàn)?，所以?br>所以
即
化簡得，故．
由點(diǎn)到直線的距離公式可得，點(diǎn)到直線的距離．
因?yàn)?，所以，所以?br>即點(diǎn)到直線的距離的最大值是．
18. 已知函數(shù)．
（1）證明：為奇函數(shù)；
（2）求的導(dǎo)函數(shù)的最小值；
（3）若恰有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】（1）證明見詳解
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性定義判斷奇偶性即可；
（2）由題設(shè)可得，應(yīng)用基本不等式求其最小值；
（3）問題化為與在和上各有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合確定參數(shù)范圍.
【小問1詳解】
由題設(shè)，令，
所以，
又定義域?yàn)镽，所以為奇函數(shù)，得證.
【小問2詳解】
由題設(shè)，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的導(dǎo)函數(shù)的最小值為.
【小問3詳解】
令，用代換，則，
對(duì)于，有，
易知為奇函數(shù)，又恰有三個(gè)零點(diǎn)，即恰有三個(gè)零點(diǎn)，顯然，
只需保證在和上各有一個(gè)零點(diǎn)即可，
令，則，即與在和上各有一個(gè)交點(diǎn)，
由，且，即為奇函數(shù)，
令，則，顯然上，上，
綜上，在R上遞增，但遞增速率先變快后變慢，大致圖象如下圖示，
又與都過原點(diǎn)，且原點(diǎn)處的切線斜率為，
結(jié)合圖象知：當(dāng)時(shí)，與在和上各有一個(gè)交點(diǎn)，
所以.
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)類綜合應(yīng)用問題，綜合性較強(qiáng)，計(jì)算量大，解答的難點(diǎn)在于第三問的零點(diǎn)問題，解答時(shí)將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的焦點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解決.
19. 乒乓球比賽有兩種賽制，其中就有“5局3勝制”和“7局4勝制”，“5局3勝制”指5局中勝3局的一方取得勝利，“7局4勝制”指7局中勝4局的一方取得勝利．
（1）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，若采用5局3勝制，比賽結(jié)束算一場比賽，甲獲勝的概率為0.8；若采用7局4勝制，比賽結(jié)束算一場比賽，甲獲勝的概率為0.9．已知甲、乙兩人采用兩種賽制各共進(jìn)行了場比賽，請根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，來推斷賽制是否對(duì)甲獲勝的場數(shù)有影響．
（2）若甲、乙兩人采用5局3勝制比賽，設(shè)甲每局比賽的勝率均為p，沒有平局．記事件“甲只要取得3局比賽的勝利比賽結(jié)束且甲獲勝”為A，事件“兩人賽滿5局，甲至少取得3局比賽勝利且甲獲勝”為B，試證明：．
（3）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局比賽甲的勝率都是，沒有平局．若采用“賽滿局，勝方至少取得n局勝利”的賽制，甲獲勝的概率記為．若采用“賽滿局，勝方至少取得局勝利”的賽制，甲獲勝的概率記為，試比較與的大?。?br>附：，其中．
【答案】（1）答案見解析；
（2）證明見解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)寫出列聯(lián)表，應(yīng)用卡方公式得，討論參數(shù)結(jié)合獨(dú)立檢驗(yàn)基本思想即得答案；
（2）根據(jù)題設(shè)，應(yīng)用獨(dú)立乘法公式及互斥事件加法得到，并化簡，即可證；
（3）考慮賽滿局的情況，以賽完局為第一階段，第二階段為最后2局，設(shè)“賽滿局甲獲勝”為事件，第一階段甲獲勝，記為；第一階段乙獲勝，且甲恰好勝了局，記為，根據(jù)題意分析得到，進(jìn)而分情況寫出關(guān)于參數(shù)p的概率公式，即可比較大小.
【小問1詳解】
由題設(shè)，賽制與甲獲勝情況列聯(lián)表如下，
所以，若，
當(dāng)時(shí)，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷賽制對(duì)甲獲勝的場數(shù)有影響．
當(dāng)時(shí)，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有證據(jù)認(rèn)為推斷賽制對(duì)甲獲勝的場數(shù)有影響．
【小問2詳解】
由題意，
，
，
綜上，，得證.
【小問3詳解】
考慮賽滿局的情況，以賽完局為第一階段，第二階段為最后2局，
設(shè)“賽滿局甲獲勝”為事件，結(jié)合第一階段結(jié)果，要使事件發(fā)生，有兩種情況：
第一階段甲獲勝，記為；第一階段乙獲勝，且甲恰好勝了局，記為，
則，得，
若第一階段甲獲勝，即賽滿局甲至少勝局，有甲至少勝局和甲恰好勝局兩種情況，
甲至少勝局時(shí)，無論第二階段的2局結(jié)果如何，最終甲獲勝；
甲恰好勝局時(shí)，有可能甲不能獲勝，此時(shí)第二階段的2局比賽甲均失敗，概率為，
所以，
若第一階段乙獲勝，且甲恰好勝了局，那么要使甲最終獲勝，第二階段的2局甲全勝，得，
所以，
則
，
由，所以，得.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問，設(shè)“賽滿局甲獲勝”為事件，第一階段甲獲勝，記為；第一階段乙獲勝，且甲恰好勝了局，記為，根據(jù)題意分析得到為關(guān)鍵.
0.05
0.025
0.010
3.841
5.024
6.635
甲獲勝場數(shù)
乙獲勝場數(shù)
5局3勝
7局4勝

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