總分150分 時間120分鐘
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 若命題：，則命題為（ ）
A. B.
C. D.
2. 在中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
3. 已知向量的夾角為，且，則在方向上的投影向量為（ ）
A B. C. D.
4. 已知等差數(shù)列和的前項和分別為、，若，則（ ）
A. B. C. D.
5. 遺忘曲線由德國心理學(xué)家艾賓浩斯研究發(fā)現(xiàn)，描述了人類大腦對新事物遺忘規(guī)律，某同學(xué)利用信息技術(shù)擬合了“艾賓浩斯遺忘曲線”，得到記憶率與初次記憶經(jīng)過的時間（小時）的大致關(guān)系：，則記憶率為20%時經(jīng)過的時間約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）
A. 80小時B. 90小時C. 100小時D. 120小時
6. 已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為，面積為的扇形，則該圓錐的外接球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
7. 若次多項式滿足，則稱這些多項式切比雪夫多項式．如，由可得切比雪夫多項式，同理可得．利用上述信息計算（ ）
A. B. C. D.
8. 函數(shù)，不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 設(shè)，為復(fù)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. 若，則D.
10. 下列關(guān)于概率統(tǒng)計的知識，其中說法正確的是（ ）
A. 數(shù)據(jù)，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位數(shù)是1
B. 已知隨機變量，若，，則
C. 若事件M，N概率滿足，且，則M與N相互獨立
D. 若一組樣本數(shù)據(jù)（，2，…，n）的對應(yīng)樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為
11. “曼哈頓距離”是十九世紀的赫爾曼?閔可夫斯省所創(chuàng)詞匯，用以標明兩個點在標準坐標系上的絕對軸距總和，其定義如下：在直角坐標平面上任意兩點的曼哈頓距離，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若點，則
B. 若對于三點，則“”當(dāng)且僅當(dāng)“點A在線段上”
C. 若點在圓上，點在直線上，則的最小值是
D. 若點在圓上，點在直線上，則的最小值是
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 的展開式中，含的項的系數(shù)為________．（用數(shù)字作答）
13. 已知橢圓的右焦點和上頂點分別為F和A，連接并延長交橢圓C于B，若，則橢圓C的離心率為_______．
14. 設(shè)數(shù)列的前項和為．對任意恒成立，則的取值范圍為______.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 銳角的內(nèi)角所對的邊分別為，若，且，.
（1）求邊的值；
（2）求內(nèi)角的角平分線的長．
16. 如圖，在四棱錐中，，，，，底面為正方形，，分別為，的中點.
（1）求點到平面的距離；
（2）求直線與平面所成角的余弦值.
17. 某工廠生產(chǎn)某款電池，在滿電狀態(tài)下能夠持續(xù)放電時間不低于10小時的為合格品，工程師選擇某臺生產(chǎn)電池的機器進行參數(shù)調(diào)試，在調(diào)試前后，分別在其產(chǎn)品中隨機抽取樣本數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，制作了如下的列聯(lián)表：
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為參數(shù)調(diào)試與產(chǎn)品質(zhì)量有關(guān)聯(lián)；
（2）現(xiàn)從調(diào)試前的樣本中按合格和不合格，用分層隨機抽樣法抽取8件產(chǎn)品重新做參數(shù)調(diào)試，再從這8件產(chǎn)品中隨機抽取3件做對比分析，記抽取的3件中合格的件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）用樣本分布的頻率估計總體分布的概率，若現(xiàn)在隨機抽取調(diào)試后的產(chǎn)品1000件，記其中合格的件數(shù)為，求使事件“”的概率最大時的取值.
參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.
18. 已知雙曲線的實軸長為4，漸近線方程為.
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）雙曲線的左?右頂點分別為，過點作與軸不重合的直線與交于兩點，直線與交于點S，直線與交于點.
（i）設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，若，求的值；
（ii）求的面積的取值范圍.
19. 已知定義：函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，我們稱函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)，如果一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間I上的二階導(dǎo)函數(shù)，則稱為I上的凹函數(shù);二階導(dǎo)函數(shù)，則稱為I上的凸函數(shù).若是區(qū)間I上的凹函數(shù)，則對任意的，有不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）.若是區(qū)間I上的凸函數(shù)，則對任意的，有不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）.已知函數(shù)，.
（1）試判斷在為凹函數(shù)還是凸函數(shù)?
（2）設(shè)，，，，且，求的最大值;
（3）已知，且當(dāng)，都有恒成立，求實數(shù)a的所有可能取值.產(chǎn)品
合格
不合格
合計
調(diào)試前
45
15
60
調(diào)試后
35
5
40
合計
80
20
100
0.025
001
0.005
0.001
5.024
6.635
7.879
10.828

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