1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊(cè)第八章，選擇性必修第一冊(cè)第一章至第三章第一節(jié)．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知直線與直線平行，則（ ）
A. 1B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】?jī)芍本€平行，的系數(shù)的比值相等，且與的系數(shù)的比值與常數(shù)項(xiàng)的比值不相等，由此能求出.
【詳解】根據(jù)直線與直線平行，
則，
故.
故選：A
2. 已知是空間的一個(gè)基底，則可以與向量，構(gòu)成空間另一個(gè)基底的向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間基底、空間向量共面等知識(shí)確定正確答案.
【詳解】對(duì)于A，根據(jù)題意，故A錯(cuò)誤.
對(duì)于B，設(shè)，則不存在，故B正確.
對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由，
則，所以，
所以，故D錯(cuò)誤；
故選：B.
3. 已知，是兩個(gè)互相平行的平面，，，是不重合的三條直線，且，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系有關(guān)判定、性質(zhì)定理，可得正確結(jié)論.
【詳解】因?yàn)?，，所?
又，，所以，，
，平行或異面.
故選：A
4. 直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用垂徑定理，將弦長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在弦心距與半徑，半弦長(zhǎng)構(gòu)成的直角三角形中求解即可．
【詳解】圓M的半徑，圓心，則圓心M到直線l的距離，
故．
故選：D．
5. 如圖，二面角的大小為，點(diǎn)A，B分別在半平面，內(nèi)，于點(diǎn)C，于點(diǎn)D．若，，．則（ ）

A. B. 6C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解法一：作輔助線構(gòu)造三角形，根據(jù)余弦定理以及勾股定理可求得結(jié)果；解法二：根據(jù)向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算可求得結(jié)果.
【詳解】解法一：作于點(diǎn)C，且，連接，，

，
；
解法二：由，，
得，，．
因?yàn)椋?br>所以，
則，
解得，．
故選：C.
6. 如圖，正二十面體是由20個(gè)等邊三角形所組成的正多面體，其外接球、內(nèi)切球、內(nèi)棱切球都存在，并且三球球心重合.已知某正二十面體的棱長(zhǎng)為1，體積為，則該正二十面體的內(nèi)切球的半徑為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可得正二十面體體積等于以球心為頂點(diǎn)的二十個(gè)正三棱錐的體積，正三棱錐的高即為正二十面體內(nèi)切求半徑，再由棱錐的體積公式計(jì)算即可；
【詳解】由題意正二十面體是由20個(gè)等邊三角形所組成的正多面體，其外接球、內(nèi)切球、內(nèi)棱切球都存在，并且三球球心重合，
所以正二十面體體積等于以球心為頂點(diǎn)的二十個(gè)正三棱錐的體積，正三棱錐的高即為正二十面體內(nèi)切求半徑，設(shè)為
所以，解得，
故選：C.
7. 已知A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，D為C的上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，E為C上一點(diǎn)，且位于第二象限，直線AE，BE分別與y軸交于點(diǎn)H，G．若D為線段OH的中點(diǎn)，G為線段OD的中點(diǎn)．則點(diǎn)E到x軸的距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先過(guò)點(diǎn)E作軸，垂足為F，利用線段比例關(guān)系，列式求解.
【詳解】過(guò)點(diǎn)E作軸，垂足為F．由題意可得，，
所以，，兩式相乘可得
所以，則．
故選：D
8. 如圖，正方形的棱長(zhǎng)為4，G，E分別是，的中點(diǎn)，是四邊形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，若直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則線段的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建系，設(shè)，通過(guò)平面EFG，得到，再結(jié)合距離公式及二次函數(shù)求最值即可.
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
，．
設(shè)平面EFG的法向量為，
則，即
令，可得．設(shè) ，則．
因?yàn)橹本€AP與平面EFG沒(méi)有公共點(diǎn)，所以平面EFG，則，
所以，即．
，
當(dāng)時(shí)，AP取得最小值，最小值．
故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知空間內(nèi)三點(diǎn)，，，則（ ）
A. B.
C. D. 的面積為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)，，，得到，，
，再逐項(xiàng)判斷.
【詳解】因?yàn)榭臻g內(nèi)三點(diǎn)，，，
所以，，，
則，，，A正確．
因?yàn)?，所以，B正確．
，C錯(cuò)誤．
的面積為，D正確．
故選：ABD.
10. 已知正四面體的棱長(zhǎng)為6，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 該正四面體的高為
B. 該正四面體的高為
C. 該正四面體兩條高的夾角的余弦值為
D. 該正四面體兩條高的夾角的余弦值為
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的重心計(jì)算出正四面體的高；通過(guò)余弦定理計(jì)算出，結(jié)合的關(guān)系即可求解出兩條高夾角的余弦值.
【詳解】取中點(diǎn)，連接，過(guò)作垂直于交于點(diǎn)M，過(guò)作垂直于交于點(diǎn)N，如圖所示，
由正四面體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知，為正四面體的高，記，
因?yàn)樵诘酌娴纳溆盀榈闹匦?，所以?br>所以，故A正確，B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，
又因?yàn)榈膴A角為，且，
所以，
所以?shī)A角的余弦值為，故C錯(cuò)誤，D正確；
故選：AD.
11. 笛卡爾葉形線是一個(gè)代數(shù)曲線，首先由笛卡兒在1638年提出．如圖，葉形線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)在C上，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 直線與C有3個(gè)公共點(diǎn)B. 若點(diǎn)P在第二象限，則
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)于A，聯(lián)立方程求解的個(gè)數(shù)即可判斷，對(duì)于B，由．結(jié)合可判斷，對(duì)于C，通過(guò)點(diǎn)在第一、第二、第四象限逐個(gè)判斷即可，對(duì)于D，結(jié)合C中得到的，再結(jié)合基本不等式得到求解即可.
【詳解】因?yàn)槿~形線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以．
聯(lián)立，解得，所以直線與C只有1個(gè)公共點(diǎn)，A錯(cuò)誤．
．
因?yàn)辄c(diǎn)P在第二象限，所以，，
所以，B正確．
若點(diǎn)P在第四象限，則，可推出 ．
因?yàn)椋?br>所以．當(dāng)點(diǎn)P在第二、四象限時(shí)，，
所以．當(dāng)點(diǎn)P是原點(diǎn)或在第一象限時(shí)，易得，
所以，C正確．
由，可得，解得，所以，D正確．
故選：BCD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 與圓，都相切的直線有______條．
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)兩圓心距離與兩個(gè)圓的半徑和差關(guān)系判斷兩圓位置關(guān)系，即可判斷公切線條數(shù).
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
的圓心為，半徑為，因?yàn)椋?br>所以圓與圓外切，與圓，都相切的直線有3條．
故答案為：3
13. 已知地球運(yùn)行的軌道是橢圓，且太陽(yáng)在這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，若地球到太陽(yáng)的最大和最小距離分別為，，則這個(gè)橢圓的離心率為_(kāi)_____．
【答案】0.02##
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)求橢圓參數(shù)，應(yīng)用離心率公式求離心率.
【詳解】設(shè)該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，焦距為2c，
由題意，得，，解得，，
所以這個(gè)橢圓的離心率．
故答案為：0.02
14. 在正六棱柱中，，M，N分別為，的中點(diǎn)，平面CMN與直線交于點(diǎn)G，則______；點(diǎn)A到平面CMN的距離為_(kāi)_____．
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】連接AD，BF，設(shè)其交點(diǎn)為O．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OD，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．求得平面CMN的一個(gè)法向量為，設(shè)，則由求得a，再利用空間兩點(diǎn)間的距離和點(diǎn)到平面的距離公式求解.
【詳解】解：連接AD，BF，設(shè)其交點(diǎn)為O．
由正六棱柱的性質(zhì)知，，且，
取的中點(diǎn)P，連接OP，則平面ABCDEF．
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OD，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
因?yàn)椋琈，N分別為，的中點(diǎn)，
所以，，，，則，，．
設(shè)平面CMN的一個(gè)法向量為，
則令，則．
設(shè)，則．
由，解得，又，所以．
點(diǎn)A到平面CMN的距離．
故答案為：4，
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知點(diǎn)，，點(diǎn)C在x軸上，且是直角三角形，．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求的面積；
（3）求斜邊上中線所在直線的方程．
【答案】（1）
（2）10 （3）．
【解析】
【分析】（1）設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用垂直，轉(zhuǎn)化為斜率之積為即可求出的值；
（2）求出兩直角邊長(zhǎng)，代入三角形面積公式即可；
（3）寫(xiě)出AC中點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用直線的點(diǎn)斜式方程即可求出斜邊中線所在直線方程．
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)．因?yàn)椋裕?br>顯然，則．
因?yàn)?，?br>所以，解得，則．
【小問(wèn)2詳解】
，，
的面積為．
【小問(wèn)3詳解】
記AC的中點(diǎn)為E，則．
直線BE的斜率為，
直線BE的方程為，即，
所以斜邊上的中線所在直線的方程為．
16. 已知直線l：恒過(guò)點(diǎn)C，且以C為圓心的圓與直線相切．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由直線的點(diǎn)斜式方程求定點(diǎn)；
（2）根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，求圓的方程；
（3）根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式求解.
【小問(wèn)1詳解】
直線l：，即，
所以直線l恒過(guò)點(diǎn)．
【小問(wèn)2詳解】
圓C的圓心為．
圓C的半徑，
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
【小問(wèn)3詳解】
由于點(diǎn)D在圓內(nèi)部，
所以當(dāng)直線AB與直線CD垂直時(shí)，取最小值．．
，，即的最小值為.
17. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，，E為線段PC上一點(diǎn)，，且該四棱錐的體積為.
（1）求AE的長(zhǎng)度；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)錐體體積求得，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用及向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得，利用直角三角形性質(zhì)即可求解；
（2）求出兩個(gè)平面的法向量，利用向量法求解二面角平面角的余弦值，然后利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解正弦值.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)，則，該四棱錐的體積為，
解得，即，．
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，
，，，，
設(shè)，則，．
若，則，解得，即E為PC的中點(diǎn)．
連接AC，在中，；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得，，．
設(shè)平面ABE的法向量為，
則即取，得．
設(shè)平面PBE的法向量為，
則即取，得．
設(shè)二面角的大小為，
則，所以，
所以二面角正弦值為．
18. 已知，分別為橢圓的上、下焦點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，，，三點(diǎn)不共線，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，其為等邊三角形．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，證明：．
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）通過(guò)點(diǎn)與的左頂點(diǎn)或右頂點(diǎn)重合時(shí)，的面積最大，即可求解；
（2）設(shè)直線的方程為，延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于．
通過(guò)向量數(shù)量積說(shuō)明，，再通過(guò) ，，及，即可求證；
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)槭菣E圓C的一個(gè)頂點(diǎn)，所以．
當(dāng)點(diǎn)與的左頂點(diǎn)或右頂點(diǎn)重合時(shí)，的面積最大，其為等邊三角形，滿足，又因?yàn)?，所以，?br>故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
【小問(wèn)2詳解】
證明：設(shè)直線的方程為，，．
由得，
，，
所以，，
即點(diǎn)，
所以直線方程為．
令，得．
又，所以直線的方程為．
令，得．
延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于．
由，得，則．
同理由，得，則．
因?yàn)?，，顯然，
所以．
19. 空間直角坐標(biāo)系中，任意直線l由直線上一點(diǎn)及直線的一個(gè)方向向量唯一確定，其標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為．若平面以為法向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程可表示為，整理成一般式方程為．特殊地，平面xOy的一般式方程為，其法向量為．若兩個(gè)平面相交，則交線的一般式方程可以表示為
（1）若集合，記集合M中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為S，求S的體積；
（2）已知點(diǎn)，直線．若平面，，求的一般式方程；
（3）已知三棱柱的頂點(diǎn)，平面ABC的方程為，直線的方程為，平面的方程為．求直線與直線BC所成角的余弦值．
【答案】（1）20 （2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）由條件知，S是一個(gè)長(zhǎng)為2，寬為5，高為2的長(zhǎng)方體，根據(jù)體積公式求解.
（2）求出平面的法向量，根據(jù)新定義即可求解平面的點(diǎn)法式方程.
（3）先求出，再結(jié)合已知條件求得平面的方程為，根據(jù)新定義求出直線BC的一個(gè)方向向量為，利用向量法求解兩直線的夾角的余弦值.
【小問(wèn)1詳解】
由條件知，S是一個(gè)長(zhǎng)為2，寬為5，高為2的長(zhǎng)方體，
則體積．
【小問(wèn)2詳解】
直線過(guò)點(diǎn)，方向向量為，．
設(shè)平面的法向量為，
則，即，取，得，
所以平面的點(diǎn)法式方程為，
一般式方程為．
【小問(wèn)3詳解】
聯(lián)立解得即．
又，所以．
由平面的方程知，其法向量為．因?yàn)槠矫妫?br>所以，即，解得，
所以平面的方程為．
直線BC上的點(diǎn)滿足化簡(jiǎn)得，
所以直線BC的一個(gè)方向向量為，
取直線BC的一個(gè)方向向量為．
則，即直線與直線BC所成角的余弦值為．

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