（考試時(shí)間120分鐘，滿分150分）
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的姓名?座位號(hào)?考籍號(hào)用0.5毫米黑色簽字筆填寫清.
2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案：非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡的對(duì)應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無(wú)效：在草稿紙上?試卷上答題無(wú)效
3.考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回.
一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由空間中射影點(diǎn)的特點(diǎn)求解即可.
【詳解】在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故選：B
2. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓方程確定焦點(diǎn)位置，寫出，求得值即得.
【詳解】由，可知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，
則，故橢圓焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故選：D.
3. 從三名男生和兩名女生中任意選出兩人參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽，則選出的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出樣本空間個(gè)數(shù)及滿足條件的基本事件，再應(yīng)用古典概型計(jì)算即可.
【詳解】記三名男生為A，B，C，兩名女生為1，2，
任意選出兩人的樣本空間為，，共10個(gè)樣本點(diǎn)，
恰好一男生和一女生的樣本點(diǎn)有6個(gè)，
所以選出的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率為.
故選：B.
4. 已知圓，若圓與圓恰有三條公切線，則實(shí)數(shù)（ ）
A. 9B. C. 8D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)兩圓公切線的條數(shù)確定兩圓的位置關(guān)系，再把兩圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心距與半徑和差的數(shù)量關(guān)系求參數(shù)的值.
【詳解】圓可化為，圓心為，半徑為.
若圓M與圓恰有三條公切線，則兩圓外切.
圓可化為，圓心為，半徑為，.
由，所以，解得.
故選：B
5. 已知圓：，直線：，若與交于兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出直線過(guò)的定點(diǎn)并判斷與圓的位置關(guān)系，再利用圓的性質(zhì)求出最短弦長(zhǎng).
【詳解】直線：過(guò)定點(diǎn)，圓：的圓心，半徑，
，即點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最短，
所以的最小值為
故選：C
6. 設(shè)點(diǎn)P為橢圓1上一點(diǎn)，，分別為C的左、右焦點(diǎn)，且，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)橢圓定義結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而可得面積.
【詳解】由橢圓方程可知：，
設(shè)，
則，
在中，由余弦定理可得
，
即，可得，
所以的面積為.
故選：C.
7. 已知是直線l被橢圓所截得的線段的中點(diǎn)，則直線l的方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理用表示中點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合已知中點(diǎn)坐標(biāo)解關(guān)于的方程可得.
【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，
由對(duì)稱性可知，此時(shí)直線被橢圓所截得的線段AB的中點(diǎn)在軸上，
而已知是線段AB的中點(diǎn)，不在軸上，不滿足題意.
故直線斜率存在，可設(shè)斜率為，
則直線的方程為，即，
代入橢圓的方程化簡(jiǎn)得，
所以，解得，滿足，
故直線方程為，即.
故選：B.
8. 已知圓，動(dòng)圓與圓都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】由圖結(jié)合兩圓相外切性質(zhì)可得，后由雙曲線定義可得答案.
【詳解】由題可得圓圓心，半徑為；圓圓心，半徑為
由圖設(shè)動(dòng)圓P與圓，圓外切切點(diǎn)分別為A，B.則共線，共線.
則，注意到，
則，又，則點(diǎn)P軌跡為以為焦點(diǎn)雙曲線的右支.
設(shè)雙曲線方程：，由題可得.
故相應(yīng)軌跡方程為：.
故選：A

二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 已知一組數(shù)據(jù)1，2，4，3，1，2，1，則這組數(shù)據(jù)中位數(shù)為 2
B. 已知五個(gè)數(shù)據(jù)5，5，10，10，20，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為10
C. 若，則事件與互為對(duì)立事件
D. 若事件相互獨(dú)立，，則
【答案】AD
【解析】
【分析】利用中位數(shù)、百分?jǐn)?shù)定義分別求A、B中的中位數(shù)和百分?jǐn)?shù)，由對(duì)立事件的定義及獨(dú)立事件性質(zhì)判斷C及求概率判斷D.
【詳解】A：數(shù)據(jù)從小到大為，顯然中位數(shù)為2，對(duì)；
B：由，則，錯(cuò)；
C：由且互斥時(shí)，互為對(duì)立事件，錯(cuò)；
D：由題設(shè)且也是相互獨(dú)立，故，對(duì).
故選：AD
10. 已知雙曲線：，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 雙曲線的漸近線方程為
B. 雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為
C. 與雙曲線的漸近線平行的直線與雙曲線一定沒(méi)有交點(diǎn)
D. 若直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，則的取值范圍為
【答案】ABD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，利用焦點(diǎn)在軸上的雙曲線方程為進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，利用點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解；C選項(xiàng)，與漸近線平行的直線與雙曲線有一個(gè)焦點(diǎn)；D選項(xiàng)，直線的斜率與漸近線斜率相比較，得到的取值范圍．
【詳解】解：對(duì)于，由雙曲線：，則，，所以其漸近線方程為，故A正確；
對(duì)于B，由雙曲線：，則，，，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其漸近線方程為
，所以一個(gè)焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故B正確；
對(duì)于C，與漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，故C不正確；
對(duì)于D，若直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，則的斜率應(yīng)該和雙曲線漸近線斜率比較，則或，故D正確．
故選：ABD．
11. 在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值
B. 當(dāng)三棱錐的體積為定值時(shí)，
C. 當(dāng)時(shí)，有且僅有兩個(gè)點(diǎn)，使得
D. 當(dāng)平面時(shí)，
【答案】BC
【解析】
【分析】選項(xiàng)A，C先確定點(diǎn)的軌跡判斷即可；選項(xiàng)B，D利用題意確定軌跡即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，得，由向量的加法運(yùn)算可知，此時(shí)點(diǎn)在線段上，

此時(shí)三棱錐中點(diǎn)到平面的距離為定值，為底面正三角形的高為，
所以此時(shí)的體積為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
由題易知，點(diǎn)在正方形內(nèi)，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，
當(dāng)三棱錐的體積為定值時(shí)，可知
因?yàn)?，所以點(diǎn)到直線的距離為，故此時(shí)點(diǎn)在線段上，
根據(jù)向量的線性運(yùn)算可知，故選項(xiàng)B正確；
記的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為,連接，當(dāng)時(shí)，易知點(diǎn)在線段上；
要使，易知點(diǎn)在以為直徑的球面上；故我們需要判斷以為直徑的球面與線段的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；
易知，
所以線段上剛好有兩個(gè)點(diǎn)在以為直徑的球面上，
即當(dāng)時(shí)，有且僅有兩個(gè)點(diǎn)，使得，故選項(xiàng)C正確；
記的中點(diǎn)為點(diǎn),連接，
由題易知，
所以有
所以,
又是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面
又因?yàn)槠矫妫c(diǎn)在正方形內(nèi)
所以易知點(diǎn)在線段上，此時(shí)的值不確定，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：BC
三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 橢圓的離心率為，則__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓方程判斷出焦點(diǎn)所在的位置，代入離心率關(guān)系式即可求解.
【詳解】由橢圓可知，焦點(diǎn)在軸上，且，，
解得.
故答案為：2
13. 求過(guò)（1，2）的圓的切線方程為_(kāi)______．
【答案】3x-4y+5=0或
【解析】
【分析】當(dāng)過(guò)點(diǎn)（1，2）的切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即．由圓心到直線距離等于半徑建立方程求解即可得切線方程．當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線為x=1，滿足題意可得答案.
【詳解】解：當(dāng)過(guò)點(diǎn)（1，2）的切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即．
由圓心到的直線距離等于半徑得，解得，所以切線方程為3x-4y+5=0．
當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線為x=1，顯然符合題意．故所求切線方程為 3x-4y+5=0或．
故答案為：3x-4y+5=0或.
14. 已知雙曲線，若雙曲線不存在以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦，則雙曲線離心率的取值范圍是__________________．
【答案】
【解析】
【分析】由題意知點(diǎn)必在雙曲線外部或在雙曲線上.若存在以為中點(diǎn)的弦，根據(jù)點(diǎn)差法可得弦的斜率為，要使弦不存在，則弦與雙曲線至多一個(gè)交點(diǎn)，弦的斜率大于等于漸近線斜率，如此即可得到的取值范圍，進(jìn)而求出離心率的范圍﹒
【詳解】由題意得點(diǎn)在雙曲線外部或在雙曲線上，則，得.
假設(shè)存在以為中點(diǎn)的弦，設(shè)弦與雙曲線交于點(diǎn)，則，
由點(diǎn)在雙曲線上得，，
兩式作差得，，
∴.
∵不存在該中點(diǎn)弦，∴直線與雙曲線至多一個(gè)交點(diǎn)，則，，
∴，
∵，∴，即.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵在于分析出點(diǎn)在雙曲線外部或在雙曲線上，在這個(gè)前提下確定當(dāng)直線與雙曲線至多一個(gè)交點(diǎn)時(shí)直線斜率與漸近線斜率的關(guān)系即可得到結(jié)果.
四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知空間向量.
（1）求；
（2）若向量與垂直，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解向量的模長(zhǎng)即可；
（2）根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算列方程即可得實(shí)數(shù)的值.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)榭臻g向量，
所以，
所以；
【小問(wèn)2詳解】
由題得，
由向量與垂直，則，
則，解得：.
16. （1）求經(jīng)過(guò)兩條直線和的交點(diǎn)，并且垂直于直線的直線方程；
（2）已知圓的圓心在直線上，圓與直線相切，且在直線上截得的弦長(zhǎng)為，求圓的方程．
【答案】（1） ；（2）．
【解析】
【分析】（1）先求得兩條直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用直線垂直的等價(jià)條件以及直線的點(diǎn)斜式方程，即可求得該直線的方程.
（2）設(shè)出圓的圓心坐標(biāo)，由直線與圓相切可得半徑，再由垂徑定理即可得解.
【詳解】（1）由，解得，而直線的斜率為
則垂直于直線的直線的斜率為，
所以所求直線方程為，即.
（2）由圓的圓心在直線上，設(shè)圓的圓心為，
由圓與直線相切，得圓的半徑，
圓心到直線的距離，
由圓在直線上截得的弦長(zhǎng)為，得，即，解得，
所以圓的方程為.
17. 某校為選拔參加數(shù)學(xué)聯(lián)賽的同學(xué)，先進(jìn)行校內(nèi)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，為了解校內(nèi)競(jìng)賽成績(jī)，從所有學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競(jìng)賽成績(jī)，并作出頻率分布直方圖，根據(jù)圖形，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）求頻率分布直方圖中a的值．若從成績(jī)不低于70分的同學(xué)中，按分層抽樣方法抽取12人的成績(jī)，求12人中成績(jī)不低于90分的人數(shù).
（2）用樣本估計(jì)總體，估計(jì)該校學(xué)生首輪數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)以及中位數(shù).
（3）若甲、乙兩位同學(xué)均進(jìn)入第二輪的復(fù)賽，已知甲復(fù)賽獲一等獎(jiǎng)的概率為，乙復(fù)賽獲一等獎(jiǎng)的概率為，甲、乙是否獲一等獎(jiǎng)互不影響，求至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲一等獎(jiǎng)的概率．
【答案】（1），12人中成績(jī)不低于90分的人數(shù)為1；
（2）平均數(shù)約為分，中位數(shù)約為分；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的頻率和為1可求的值，再根據(jù)分層隨機(jī)抽樣可得12人中成績(jī)不低于90分的人數(shù)；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖及平均數(shù)與中位數(shù)的定義計(jì)算即可；
（3）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式及對(duì)立事件的概率公式即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由頻率分布直方圖可得，解得.
的頻率為，的頻率為，
的頻率為，按分層抽樣方法抽取12人的成績(jī)，
則12人中成績(jī)不低于90分的人數(shù)為.
【小問(wèn)2詳解】
該校學(xué)生首輪數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為：
.
的頻率為，
的頻率為，
設(shè)中位數(shù)為,則，
則，解得，
故該校學(xué)生首輪數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)約為分，中位數(shù)約為分.
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)“至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲一等獎(jiǎng)”，
則,
故至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲一等獎(jiǎng)的概率為.
18. 如圖，在四棱錐中，平面平面，為棱的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；
（2）若，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在線段上是否存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）（i）；（ii）存在，
【解析】
【分析】（1）通過(guò)證明四邊形是平行四邊形，可得，即可證明；
（2）（i）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解；（ii）利用點(diǎn)到面距離向量法求解即可.
【詳解】（1）取的中點(diǎn)N，連接，如圖所示：為棱的中點(diǎn)，

，
，
∴四邊形是平行四邊形，，
又平面平面平面．
（2），
∵平面平面，平面平面平面，
平面，
又平面，而， ∴以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖：則，
為棱的中點(diǎn)，


（i），
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，則，
平面的一個(gè)法向量為，
，
根據(jù)圖形得二面角為鈍角，則二面角的余弦值為
（ii）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到平面的距離是，
設(shè)，
則，
由（2）知平面的一個(gè)法向量為，
，
∴點(diǎn)Q到平面的距離是
，
．
19. 已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為，為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且右焦點(diǎn)到直線的距離為.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線與橢圓C交于 A、B兩點(diǎn).
①若直線過(guò)橢圓右焦點(diǎn)，且的面積為求實(shí)數(shù)的值；
②若直線過(guò)定點(diǎn)，且，在軸上是否存在點(diǎn)使得以為鄰邊的平行四邊形為菱形? 若存在，則求出實(shí)數(shù)的取值范圍； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）
（2）①；②存在，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓定義和點(diǎn)到直線的距離求出橢圓方程；
（2）①聯(lián)立后根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)再求出面積即可；②先假設(shè)存在，再根據(jù)菱形對(duì)角線互相垂直的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為斜率問(wèn)題，最后求出取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
由題意，得，又到直線的距離為
則，因?yàn)?，所以，再由橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，可得，
所以，即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
【小問(wèn)2詳解】
①由（1）知，
直線過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F?可得：，即，
所以由直線與橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立方程組，消去得
.
設(shè)兩交點(diǎn)，則有
所以，
又橢圓左焦點(diǎn)到直線的距離為，
所以，
解得或（舍去），即；
②假設(shè)存在點(diǎn)使得以為鄰邊的平行四邊形為菱形，
由于直線過(guò)定點(diǎn)， 且，可知直線方程為，
與橢圓聯(lián)立方程組，消去得：，
由，且，解得，

設(shè)兩交點(diǎn)，中點(diǎn)，則有
所以，
即，整理得，
又因?yàn)?，所以，則.
【點(diǎn)睛】利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.

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