注意事項：
1．本試卷分第I卷和第II卷兩部分；
2．本堂考試120分鐘，滿分150分；
3．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、學(xué)號正確填寫在答題卡上，并使用2B鉛筆填涂；
4．考試結(jié)束后，將答題卡交回．
第I卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項符合題目要求．
1. 現(xiàn)須完成下列2項抽樣調(diào)查：①從12瓶飲料中抽取4瓶進(jìn)行食品衛(wèi)生檢查；②某生活小區(qū)共有540名居民，其中年齡不超過30歲的有180人，年齡在超過30歲不超過60歲的有270人，60歲以上的有90人，為了解居民對社區(qū)環(huán)境綠化方面的意見，擬抽取一個容量為30的樣本.較為合理的抽樣方法分別為（ ）
A. ①抽簽法，②分層隨機抽樣B. ①隨機數(shù)法，②分層隨機抽樣
C. ①隨機數(shù)法，②抽簽法D. ①抽簽法，②隨機數(shù)法
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)抽簽法以及分層抽樣的使用條件，可得答案.
【詳解】對于①，由于抽取的總體個數(shù)與樣本個數(shù)都不大，則應(yīng)用抽簽法；
對于②，抽取的總體個數(shù)較多，且總體有明確的分層，抽取的樣本個數(shù)較大，則采用分層隨機抽樣.
故選：A
2. 已知向量，，且，那么實數(shù)等于（ ）
A. 3B. -3C. 9D. -9
【答案】D
【解析】
【分析】運用空間向量共線列式計算即可.
【詳解】∵，，且，
∴，
解得，，
∴．
故選：D．
3. 若是兩條不相同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題中為真命題的是
A. 若，，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，則
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)線面關(guān)系，對A、B、D,都可能推出l，而C，由面面平行的性質(zhì)定理直接判斷即可.
【詳解】對A、B、D,都可能推出l,所以不正確；
對C，根據(jù)兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面平行，所以正確.
故選C.
【點睛】本題考查了線面、面面平行的判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查了空間線面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
4. 如圖，空間四邊形中，，點為中點，點在側(cè)棱上，且，則（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圖形中線段關(guān)系，應(yīng)用向量加減、數(shù)乘的幾何意義用表示出.
【詳解】.
故選：C
5. 為了養(yǎng)成良好的運動習(xí)慣，某人記錄了自己一周內(nèi)每天的運動時長（單位：分鐘），分別為53，57，45，61，79，49，x，若這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)的差為3，則（ ）
A. 58或64B. 59或64C. 58D. 59
【答案】A
【解析】
【分析】先對數(shù)據(jù)從小到大排序，分，，三種情況，舍去不合要求的情況，列出方程，求出答案,
【詳解】將已知的6個數(shù)從小到大排序為45，49，53，57，61，79．
若，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為61和57，他們的差為4，不符合條件；
若，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為79和61，它們的差為18，不符合條件；
若，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為x和61（或61和x），則，
解得或
故選：A
6. 已知點在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點，正數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空間向量共面定理的推論可得，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【詳解】由題意知，四點共面，又，
則，
所以，即，
因為，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以的最小值為.
故選：B.
7. 現(xiàn)有一段底面周長為厘米和高為12厘米的圓柱形水管，是圓柱的母線，兩只蝸牛分別在水管內(nèi)壁爬行，一只從點沿上底部圓弧順時針方向爬行厘米后再向下爬行3厘米到達(dá)點，另一只從沿下底部圓弧逆時針方向爬行厘米后再向上爬行3厘米爬行到達(dá)點，則此時線段長（單位：厘米）為（ ）
A. B. C. 6D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件建系結(jié)合弧長得出角及點的坐標(biāo)，最后應(yīng)用空間向量兩點間距離計算.
【詳解】應(yīng)用圓柱的特征取上下底面的圓心為軸，再過作的垂線為軸，如圖建系，
過向圓作垂線垂足為，，設(shè)圓半徑為，所以，
所以圓弧的長度為：，，
則，
同理，過向圓O作垂線垂足為，則，
所以.
故選：A.
8. 如圖，四邊形，現(xiàn)將沿折起，當(dāng)二面角的大小在時，直線和所成角為，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取BD中點O，連結(jié)AO，CO，以O(shè)為原點，OC為x軸，OD為y軸，過點O作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AB與CD所成角的余弦值的最大值．
【詳解】取BD中點O，連接AO，CO，，
則，且，于是是二面角的平面角，
顯然平面，在平面內(nèi)過點作，則，
直線兩兩垂直，以O(shè)為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
，設(shè)二面角的大小為，，
因此，，，
于是，
顯然，則當(dāng)時，，
所以的最大值為.
故選：B
【點睛】關(guān)鍵點點睛：建立空間直角坐標(biāo)系，求出動點的坐標(biāo)，利用向量建立函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列命題中，正確的是（ ）
A. 兩條不重合直線的方向向量分別是，，則
B. 直線l的方向向量，平面的法向是，則
C. 兩個不同的平面，的法向量分別是，，則
D. 直線l的方向向量，平面的法向量，則直線l與平面所成角的大小為
【答案】AC
【解析】
【分析】由可判斷A；由可判斷B；由可判斷C；根據(jù)線面角的向量公式直接計算可判斷D.
【詳解】A選項：因為，且不重合，所以，A正確；
B選項：因為，所以
所以或，B錯誤；
C選項：因為，所以，C正確；
D選項：記直線l與平面所成角為，則，
因為，所以，D錯誤.
故選：AC
10. 小劉一周的總開支分布如圖①所示，該周的食品開支如圖②所示，則以下說法正確的是（ ）
A. 娛樂開支比通信開支多5元
B. 日常開支比食品中的肉類開支多100元
C. 娛樂開支金額為100元
D. 肉類開支占儲蓄開支的
【答案】BCD
【解析】
【分析】先由圖2計算出食品的開支，再由圖1計算出總開支，從而對選項逐一分析即可得解.
【詳解】對于C，由圖2可知食品的開支為元，
由圖1可知食品開支為，所以總開支為元，
則娛樂開支為元，故C正確；
對于A，通信開支為元，娛樂開支比通信開支多元，故A錯誤；
對于B，日常開支為元，肉類為元，
日常開支比肉類開支多元，故B正確；
對于D，儲蓄開支為元，肉類開支占儲蓄開支的，故D正確.
故選：BCD.
11. 已知四面體的所有棱長都為分別是的中點，是該四面體內(nèi)切球球面上的兩點，是該四面體表面上的動點，則下列選項中正確的是（ ）
A. 的長為
B. 到平面的距離為
C. 當(dāng)線段最長時，的最大值為
D. 直線與直線所成角的余弦值為
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)題意，將四面體補形并建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間中兩點距離公式判斷A，利用空間向量法的點面距離公式判斷B，利用空間向量數(shù)量積的運算律，結(jié)合內(nèi)切球半徑的求法判斷C，利用空間向量法求異面直線所成角判斷D，從而得解.
【詳解】依題意，將四面體補形為正方體，并建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
因為四面體的所有棱長都為，則正方體的棱長為，
則，
又分別是的中點，則，
對于A，，故A錯誤；
對于B，，，
設(shè)平面法向量為，則，
令，則，故，
所以到平面的距離為，故B正確；
對于C，設(shè)是四面體內(nèi)切球的球心，其半徑為，則，
當(dāng)線段最長時，為內(nèi)切球的直徑，是的中點，則，
所以，
因為該四面體的體積為，
表面積為，
所以，解得，則，
因為是該四面體表面上的動點，當(dāng)為正四體的頂點時，最大，
其最大值為，
所以的最大值為，故C正確；
對于D，，
所以，故D錯誤.
故選：BC.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵在于，將四面體補形為正方體，并建立空間直角坐標(biāo)系，從而得解.
第II卷
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 某校高一年級共有學(xué)生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．該校要了解高一學(xué)生對食堂菜品的看法，準(zhǔn)備從高一年級學(xué)生中隨機抽取40人進(jìn)行訪談，若采取按比例分配的分層抽樣，則應(yīng)從高一2班抽取的人數(shù)是______．
【答案】10
【解析】
【分析】根據(jù)分層抽樣原則直接計算即可
【詳解】由題意，從高一年級200人中抽取40人訪談，按照年級分層，則高一2班應(yīng)該抽人.
故答案為：10.
13. 已知，，若三向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則實數(shù)的值為___________.
【答案】5
【解析】
【分析】由空間向量基本定理求解，
【詳解】若三向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則，
得，解得
故答案為：5
14. 在正方體中，點是上的動點，是平面內(nèi)的一點，且滿足，則平面與平面所成角余弦值的最大值為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用線面垂直的判定定理證得平面，可知點的軌跡為線段，由二面角的定義得到平面與平面所成角為，進(jìn)面求出的最小值和最大值，從而得解.
【詳解】連接、、、，設(shè)，連接、，如下圖所示：
因為且，則四邊形為平行四邊形，
因為四邊形為正方形，則，
因為平面，平面，則，
因為，、平面，所以平面，
因為平面，所以，
因為是平面內(nèi)的一點，且滿足，所以點的軌跡為線段，
設(shè)正方體的棱長為，則，
因為四邊形為正方形，，則為的中點，且，
由勾股定理可得，則，
所以為平面與平面所成角（或補角），
由圖可知，由圖可知，當(dāng)點與點重合時，最大，
，，
因為平面，平面，則，同理，
此時；
當(dāng)與點重合時，最小，易得，
所以
，
又因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，則，
而平面與平面所成角為銳角，不妨設(shè)為，則，
所以平面與平面所成角的余弦值的最大值為.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：求二面角常用的方法：
（1）幾何法：二面角的大小常用它的平面角來度量，平面角的作法常見的有：
①定義法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性質(zhì)；
（2）空間向量法：分別求出兩個平面的法向量，然后通過兩個平面法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求二面角是銳角還是鈍角.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 已知向量，，
（1）求的值；
（2）求；
（3）求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)空間向量的減法運算法則和數(shù)量積運算公式直接計算；
（2）根據(jù)空間向量夾角公式直接計算即可；
（3）根據(jù)條件寫出模的表達(dá)式，再直接求最小值即可.
【小問1詳解】
因為，，
所以，
又因為，
所以.
【小問2詳解】
因為，，
所以.
【小問3詳解】
因為，，
所以，
所以，
當(dāng)時，取得最小值，則最小值為.
16. 宿州市政府委托市電視臺進(jìn)行“創(chuàng)建文明城市”知識問答活動，市電視臺隨機對該市歲的人群抽取了n人，繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，回答問題的統(tǒng)計結(jié)果如表所示．
（1）分別求出的值；
（2）從第二、三、四、五組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取7人，則從第二、三、四、五組每組回答正確的人中應(yīng)各抽取多少人
【答案】（1），，，；（2）從第二、三、四、五組每組回答正確的人中應(yīng)分別抽?。?人，3人，1人，1人．
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)直方圖和第一組的頻率計算出總?cè)藬?shù)為1000人，再根據(jù)公式依次計算的值．
（2）根據(jù)分層抽樣規(guī)律可求從第二、三、四、五組每組回答正確的人中應(yīng)分別抽取的人數(shù)．
【詳解】解：（1）依題和圖表：由得：，
由得：，
由得：，
由得：，
由得：，
故，，，．
（2）由以上知：第二、三、四、五組回答正確的人數(shù)分別為：180人，270人，90人，90人用分層抽樣抽取7人，
則：從第二組回答正確的人中應(yīng)該抽?。喝耍?br>從第三組回答正確的人中應(yīng)該抽?。喝?，
從第四組回答正確的人中應(yīng)該抽取：人，
從第五組回答正確的人中應(yīng)該抽?。喝耍?br>故從第二、三、四、五組每組回答正確的人中應(yīng)分別抽?。?人，3人，1人，1人．
17. 如圖，在四棱錐中，是邊長為2的正方形，平面平面，直線與平面所成的角為，.
（1）若，分別為，的中點，求證：直線平面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由平面平面得到平面，從而，根據(jù)，得到平面，得到，結(jié)合，得到平面；
（2）為原點，建立空間坐標(biāo)系，得到平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，得到法向量之間的夾角余弦，從而得到二面角的正弦值.
【詳解】（1）證明：∵平面平面，平面平面，
，平面，
∴平面，
則為直線與平面所成的角，為，
∴，
而平面，
∴
又，為的中點，
∴，
平面，
則平面，
而平面
∴，
又，分別為，的中點，
則，
正方形中，，∴，
又平面，，
∴直線平面；
（2）解：以坐標(biāo)原點，分別以，所在直線為，軸，
過作的平行線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
取，得；
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
取，得.
∴.
∴二面角的正弦值為.
【點睛】本題考查面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)和判定，利用空間向量求二面角的正弦值，屬于中檔題.
18. 隨著時代不斷地進(jìn)步，人們的生活條件也越來越好，越來越多的人注重自己的身材，其中體脂率是一個很重要的衡量標(biāo)準(zhǔn)根據(jù)一般的成人體準(zhǔn)，女性體脂率的正常范圍是至，男性的正常范圍是至.這一范圍適用于大多數(shù)成年人，可以幫助判斷個體是否存在肥胖的風(fēng)險.某市有關(guān)部門對全市萬名成年女性的體脂率進(jìn)行一次抽樣調(diào)查統(tǒng)計，抽取了名成年女性的體脂率作為樣本繪制頻率分布直方圖如圖.

（1）求a；
（2）如果女性體脂率為至屬“偏胖”，體脂率超過屬“過胖”，那么全市女性“偏胖”，“過胖”各約有多少人？
（3）小王說：“我的體脂率是調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù).”小張說：“我的體脂率是調(diào)查所得數(shù)據(jù)的平均數(shù).”那么誰的體脂率更低？
【答案】（1）；
（2）全市女性“偏胖”的人數(shù)約為，“過胖”的人數(shù)約為；
（3）小張的體脂率更低.
【解析】
【分析】（1）由所有矩形條的面積和為，列方程可求；
（2）求出樣本中女性“偏胖”，“過胖”的頻率，由此估計全市女性“偏胖”，“過胖”的人數(shù)；
（3）求樣本的中位數(shù)，平均數(shù)可得小王和小張的體脂率，由此可得結(jié)論.
【小問1詳解】
由頻率直方圖可得，，
所以.
【小問2詳解】
由頻率分布直方圖可得樣本中女性“偏胖”頻率為，
樣本中女性“過胖”的頻率為，
所以全市女性“偏胖”的人數(shù)約為，
全市女性 “過胖”的人數(shù)約為，
【小問3詳解】
調(diào)查所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
設(shè)調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，
因為，，
所以，
所以，
所以，
所以調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為，
所以小王的體脂率約為，小張的體脂率為，
所以小張的體脂率更低.
19. 如圖，四面體中，．

（1）求證：平面平面；
（2）若，
①若直線與平面所成角為30°，求的值；
②若平面為垂足，直線與平面的交點為．當(dāng)三棱錐體積最大時，求的值．
【答案】（1）見解析 （2）①；②
【解析】
【分析】（1）由線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理證明即可；
（2）①因為兩兩相互垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出直線的方向向量和平面的法向量，由線面角公式求解即可得出答案；②由題意可知，在上，由此可得所以，表示出三棱錐體積，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出三棱錐體積的最大值，即可知分別為，的中點，再由空間共面定理可得出的值.
【小問1詳解】
取的中點，連接，
因為，則，
所以，所以，所以，
又因為所以，
則，又因為，
所以，又因為，
平面，所以平面，
又因為平面，所以平面平面；
【小問2詳解】
①因為兩兩相互垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
所以，
設(shè)，因為，
所以由可得：，
所以，
，
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，
取，可得，所以，
因為直線與平面所成角為30°，
所以
則，化簡可得：，
解得：或（舍去）.
②由（1）知，平面，又平面
所以，在上，
因為，所以，
，所以，
即，所以，
所以，
三棱錐體積為：
，
因為，當(dāng)時，三棱錐體積最大為，
此時分別為，的中點，所以，
設(shè)，設(shè)，
因為，
所以，所以，
因為在平面上，所以設(shè)，
所以，
所以，解得：，
所以，所以
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問②的關(guān)鍵點在于且在上，由此可得所以，表示出三棱錐體積，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出三棱錐體積的最大值，即可知分別為，的中點，再由空間共面定理可得出的值.組號
分組
回答正確的人數(shù)
回答正確的人數(shù)占本組的頻率
第一組
[15，25)
50
0.5
第二組
[25，35)
180
a
第三組
[35，45)
0.9
第四組
[45，55)
90
b
第五組
[55，65)
y
0.6

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四川省成都市實驗外國語學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）

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四川省成都市棠湖外國語學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末模擬質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）

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四川省成都市實驗外國語學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一階段考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）

四川省成都市實驗外國語學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一階段考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）
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