【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點(diǎn)突破】8
【考點(diǎn)1】等差數(shù)列的基本運(yùn)算8
【考點(diǎn)2】等差數(shù)列的判定與證明12
【考點(diǎn)3】等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用19
【分層檢測】22
【基礎(chǔ)篇】22
【能力篇】29
【培優(yōu)篇】36
考試要求：
1.理解等差數(shù)列的概念.
2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.
3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.
4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.
知識梳理
1.等差數(shù)列的概念
(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.
數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù)).
(2)等差中項(xiàng)：由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列，這時(shí)A叫做a與b的等差中項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A＝a＋b.
2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式
(1)若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）d,2)＝eq \f(n（a1＋an）,2).
3.等差數(shù)列的性質(zhì)
(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.
(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列.
(5)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也為等差數(shù)列.
1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.
2.在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值.
3.等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時(shí)，{an}是常數(shù)列.
4.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)).
真題自測
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全國·高考真題）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．B．C．1D．
3．（2023·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（ ）
A．25B．22C．20D．15
4．（2023·全國·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
二、填空題
5．（2024·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則 .
6．（2024·北京·高考真題）設(shè)與是兩個(gè)不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個(gè)結(jié)論：
①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素；
②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個(gè)元素；
③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個(gè)元素；
④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素.
其中正確結(jié)論的序號是 .
7．（2023·北京·高考真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則 ；數(shù)列所有項(xiàng)的和為 ．
8．（2022·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則公差 ．
參考答案：
1．B
【分析】由結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，即可計(jì)算出公差，即可得的值.
【詳解】由，則，
則等差數(shù)列的公差，故.
故選：B.
2．D
【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成和來處理，亦可用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行處理，或者特殊值法處理.
【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量
由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，
又.
故選：D
方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，
，故.
故選：D
方法三：特殊值法
不妨取等差數(shù)列公差，則，則.
故選：D
3．C
【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)，再根據(jù)前項(xiàng)和公式即可解出；
方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差，再根據(jù)前項(xiàng)和公式的性質(zhì)即可解出．
【詳解】方法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，依題意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故選：C.
方法二：，，所以，，
從而，于是，
所以．
故選：C.
4．C
【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系推理判斷作答.，
【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，
則，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，
即，則，有，
兩式相減得：，即，對也成立，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件，C正確.
方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，即，
則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數(shù)列，即，
即，，
當(dāng)時(shí)，上兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，上式成立，
于是，又為常數(shù)，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件.
故選：C
5．95
【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程組，解出，再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，
則.
故答案為：.
6．①③④
【分析】利用兩類數(shù)列的散點(diǎn)圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結(jié)合通項(xiàng)公式的特征及反證法可判斷③的正誤.
【詳解】對于①，因?yàn)榫鶠榈炔顢?shù)列，故它們的散點(diǎn)圖分布在直線上，
而兩條直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，故中至多一個(gè)元素，故①正確.
對于②，取則均為等比數(shù)列，
但當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，此時(shí)中有無窮多個(gè)元素，故②錯(cuò)誤.
對于③，設(shè)，，
若中至少四個(gè)元素，則關(guān)于的方程至少有4個(gè)不同的正數(shù)解，
若，則由和的散點(diǎn)圖可得關(guān)于的方程至多有兩個(gè)不同的解，矛盾；
若，考慮關(guān)于的方程奇數(shù)解的個(gè)數(shù)和偶數(shù)解的個(gè)數(shù)，
當(dāng)有偶數(shù)解，此方程即為，
方程至多有兩個(gè)偶數(shù)解，且有兩個(gè)偶數(shù)解時(shí)，
否則，因單調(diào)性相反，
方程至多一個(gè)偶數(shù)解，
當(dāng)有奇數(shù)解，此方程即為，
方程至多有兩個(gè)奇數(shù)解，且有兩個(gè)奇數(shù)解時(shí)即
否則，因單調(diào)性相反，
方程至多一個(gè)奇數(shù)解，
因?yàn)?，不可能同時(shí)成立，
故不可能有4個(gè)不同的整數(shù)解，即M中最多有3個(gè)元素，故③正確.
對于④，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，為遞減數(shù)列，前者散點(diǎn)圖呈上升趨勢，
后者的散點(diǎn)圖呈下降趨勢，兩者至多一個(gè)交點(diǎn)，故④正確.
故答案為：①③④.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的討論，可以利用兩者散點(diǎn)圖的特征來分析，注意討論兩者性質(zhì)關(guān)系時(shí)，等比數(shù)列的公比可能為負(fù)，此時(shí)要注意合理轉(zhuǎn)化.
7． 48 384
【分析】方法一：根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求解，進(jìn)而可求得結(jié)果；方法二：根據(jù)等比中項(xiàng)求，在結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式運(yùn)算求解.
【詳解】方法一：設(shè)前3項(xiàng)的公差為，后7項(xiàng)公比為，
則，且，可得，
則，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，則，
且，所以；
又因?yàn)?，則；
空2：設(shè)后7項(xiàng)公比為，則，解得，
可得，所以.
故答案為：48；384.
8．2
【分析】轉(zhuǎn)化條件為，即可得解.
【詳解】由可得，化簡得，
即，解得.
故答案為：2.
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】等差數(shù)列的基本運(yùn)算
一、單選題
1．（2024·四川攀枝花·三模）數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，設(shè)，則數(shù)列的前51項(xiàng)之和為（ ）
A．B．C．49D．149
2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，且成等差數(shù)列，則（ ）
A．157B．156C．74D．73
二、多選題
3．（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（ ）
A．B．
C．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為
4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，B．
C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列D．
三、填空題
5．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān)，如圖為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上收長度為1的線段，作一個(gè)等邊三角形，然后以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段的延長線于點(diǎn)（第一段圓弧），再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段的延長線于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧……以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?5段圓弧時(shí)，“蚊香”的長度為 .

6．（2024·內(nèi)蒙古·三模）假設(shè)在某種細(xì)菌培養(yǎng)過程中，正常細(xì)菌每小時(shí)分裂1次（1個(gè)正常細(xì)菌分裂成2個(gè)正常細(xì)菌和1個(gè)非正常細(xì)菌），非正常細(xì)菌每小時(shí)分裂1次（1個(gè)非正常細(xì)菌分裂成2個(gè)非正常細(xì)菌）.若1個(gè)正常細(xì)菌經(jīng)過14小時(shí)的培養(yǎng)，則可分裂成的細(xì)菌的個(gè)數(shù)為 .
參考答案：
1．B
【分析】由與的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，即可得到，再由并項(xiàng)求和法計(jì)算可得．
【詳解】因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，
即，
可得，又，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以，則，
當(dāng)時(shí)，
所以，當(dāng)時(shí)也成立，
所以，
可得數(shù)列的前項(xiàng)之和為．
故選：B．
2．D
【分析】由等比中項(xiàng)性質(zhì)求得，由等差中項(xiàng)性質(zhì)得，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算求得，進(jìn)而求解即可.
【詳解】由等比中項(xiàng)性質(zhì)知.
由成等差數(shù)列，得，所以，
所以等比數(shù)列的公比，所以，
所以.
故選：D.
3．ABD
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和公式可求出，可判斷A；由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可判斷B；由裂項(xiàng)相消法可判斷C；由分組求和法可判斷D.
【詳解】對于A，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差為，
所以，化簡可得：，
又因?yàn)?，則，
所以，所以，
所以，故A正確；
對于B，，故B正確；
對于C，，
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為，故C錯(cuò)誤；
對于D，令，
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為：
，故D正確.
故選：ABD.
4．BCD
【分析】計(jì)算數(shù)列首項(xiàng)及第二項(xiàng)可判定A，利用等差數(shù)列的定義及的關(guān)系可判定C，從而求出的通項(xiàng)公式結(jié)合基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性可判定B、D.
【詳解】對A，由題意可知，所以，
則，所以，故A錯(cuò)誤；
對C，由，故C正確；
對C，所以，
則，故B正確；
對D，易知，令，
則，則單調(diào)遞增，
所以，即，故D正確.
故選：BCD
5．
【分析】根據(jù)題意分析可得：每段圓弧的圓心角為，半徑滿足，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式分析運(yùn)算.
【詳解】由題意可知：每段圓弧的圓心角為，
設(shè)第段圓弧的半徑為，則可得，
故數(shù)列是以首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，
則，
則“蚊香”的長度為
.
故答案為：.
6．/131072
【分析】設(shè)經(jīng)過小時(shí)，有個(gè)正常細(xì)菌，個(gè)非正常細(xì)菌，則，，由等比數(shù)列的性質(zhì)求出的通項(xiàng)公式，再證得是與首相和公差均為的等差數(shù)列，即可求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出答案.
【詳解】設(shè)經(jīng)過小時(shí)，有個(gè)正常細(xì)菌，個(gè)非正常細(xì)菌，
則，.
又，，所以，，
則，所以，
所以是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列，
所以，
所以，所以.
故答案為：.
反思提升：
1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題.
2.數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.
【考點(diǎn)2】等差數(shù)列的判定與證明
一、解答題
1．（2024·四川自貢·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)若，，成等比數(shù)列，求的最大值．
2．（2024·重慶·三模）已知在數(shù)列中，．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(2)在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，求面積的最大值．
3．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知（且，為常數(shù)）.
(1)數(shù)列能否是等比數(shù)列？若是，求的值（用表示）；否則，說明理由；
(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
5．（2024·廣東深圳·一模）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且為等差數(shù)列．
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)若數(shù)列滿足，且，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，集合，求（用列舉法表示）．
6．（23-24高三上·北京東城·期末）若有窮數(shù)列滿足：，則稱此數(shù)列具有性質(zhì).
(1)若數(shù)列具有性質(zhì)，求的值；
(2)設(shè)數(shù)列A具有性質(zhì)，且為奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，使得，求證：數(shù)列A為等差數(shù)列；
(3)把具有性質(zhì)，且滿足（為常數(shù)）的數(shù)列A構(gòu)成的集合記作.求出所有的，使得對任意給定的，當(dāng)數(shù)列時(shí)，數(shù)列A中一定有相同的兩項(xiàng)，即存在.
參考答案：
1．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)作差得到，結(jié)合等差數(shù)列的定義證明即可；
（2）根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出，即可得到的通項(xiàng)公式，結(jié)合的單調(diào)性及求和公式計(jì)算可得.
【詳解】（1）數(shù)列滿足①，
當(dāng)時(shí)，有②，
①②可得：，
即，
變形可得，
故數(shù)列是以為等差的等差數(shù)列；
（2）由（1）可知數(shù)列是以為等差的等差數(shù)列，
若，，成等比數(shù)列，則有，
即，解得，
所以，
所以單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)或時(shí)，取得最大值，
且．
2．(1)證明見解析，
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件，由等差數(shù)列的定義寫出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式，應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求前項(xiàng)和即可；
（2）根據(jù)題設(shè)三角恒等式，結(jié)合正弦定理得，由三角形內(nèi)角性質(zhì)求角，由余弦定理及基本不等式求的范圍，應(yīng)用三角形面積公式，求面積的最大值.
【詳解】（1）由題意，，即
為等差數(shù)列：首項(xiàng)，公差，
，則，
設(shè)，
（2）
由正弦定理，有，．
即，又，
，即
由，
由余弦定理得：，．
，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
，即△ABC面積最大值為．
3．(1)不可能是等比數(shù)列，理由見解析
(2)，，且.
【分析】（1）利用與的關(guān)系計(jì)算可得，結(jié)合等差、等比數(shù)列的定義即可下結(jié)論；
（2）由（1）可得，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)求和公式計(jì)算即可求解.
【詳解】（1）已知.
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得：，，
顯然，所以.
于是可能是等差數(shù)列，若又是等比數(shù)列，則必為非零常數(shù)數(shù)列，則，
因，故不可能是等比數(shù)列.
（2）由（1）知，且，即，.
，所以當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)，，.
而當(dāng)時(shí)，，所以，，且.
4．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合與之間的關(guān)系可得，利用等差中項(xiàng)可得數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而求；
（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法運(yùn)算求解.
【詳解】（1）因?yàn)?，即，則，
兩式相減并整理得，則，
兩式相減整理得，
所以數(shù)列為等差數(shù)列．
當(dāng)時(shí)，，所以．
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，解得?br>所以．
（2）由（1）可得，則，
則，
可得，
所以．
5．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可得、，解得，結(jié)合求得，即可證明；
（2）由（1）可得，根據(jù)累乘法可得，結(jié)合裂項(xiàng)相消求和法計(jì)算即可求解.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，即，①
因?yàn)?，所以由，得．?br>由①、②解得，所以，即，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，上式也成立，所以，
所以數(shù)列是等差數(shù)列．
（2）由（1）可知，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)闈M足上式，所以．
，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以．
6．(1)2；2；4
(2)證明見詳解
(3)
【分析】（1）由數(shù)列具有性質(zhì)的定義可得；
（2）由數(shù)列具有性質(zhì)的定義和等差數(shù)列的定義可得.
（3）分、和三種情況討論即得.
【詳解】（1）由已知可得數(shù)列共有5項(xiàng)，所以，
當(dāng)時(shí)，有，
當(dāng)時(shí)，有，所以，
當(dāng)時(shí)，有，所以，
（2）數(shù)列A具有性質(zhì)，且為奇數(shù)，令，
可得，
設(shè)，
由于當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，使得，
所以這項(xiàng)均為數(shù)列A中的項(xiàng)，
且，
因此一定有
即，
這說明：為公差為的等差數(shù)列，再數(shù)列A具有性質(zhì)，
以及可得，數(shù)列A為等差數(shù)列；
（3）當(dāng)時(shí)，
設(shè)A：，，， ，，
由于數(shù)列具有性質(zhì)，且滿足，
由和，得，
當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，此時(shí)：，，此時(shí)結(jié)論成立，
當(dāng)時(shí)，同理可證，所以結(jié)論成立.
當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，反例如下：
當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，反例如下：
綜上所述，符合題意.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于新定義題的思路有：
（1）找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；
（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言；
（3）將已知條件代入新定義的要素中；
（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答.
反思提升：
1.證明數(shù)列是等差數(shù)列的主要方法：
(1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an－an－1為同一常數(shù).即作差法，將關(guān)于an－1的an代入an－an－1，再化簡得到定值.
(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.
2.判定一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列還常用到的結(jié)論：
(1)通項(xiàng)公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.
(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.問題的最終判定還是利用定義.
【考點(diǎn)3】等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·山西運(yùn)城·三模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（ ）
A．4B．C．D．
2．（2023·吉林白山·模擬預(yù)測）若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，對任意正整數(shù)，都有，則的值為（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
二、多選題
3．（23-24高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的有（ ）
A．等差數(shù)列，若，則
B．等比數(shù)列，若，則
C．若為數(shù)列前n項(xiàng)和，則，仍為等差數(shù)列
D．若為數(shù)列前n項(xiàng)和，則，仍為等比數(shù)列
4．（2024·遼寧·二模）設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和.且，，則下面結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．與均為的最大值D．滿足的n的最小值為14
三、填空題
5．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則 .
6．（23-24高二上·上海·期末）等差數(shù)列中，已知，且在前項(xiàng)和中，僅當(dāng)時(shí)，最大，則公差的取值范圍為 ．
參考答案：
1．C
【分析】利用下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，則，又，則，
解得，
所以.
故選：C
2．C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及數(shù)列的單調(diào)性得出結(jié)果.
【詳解】依題意，
又，即，則
則，且，
所以等差數(shù)列單調(diào)遞減，，
所以對任意正整數(shù)，都有，則．
故選，C．
3．AC
【分析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)判斷A；舉例說明判斷B；利用等差數(shù)列定義判斷C；舉例說明判斷D.
【詳解】對于A，由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)知，A正確；
對于B，取，顯然數(shù)列成等比數(shù)列，且，而，B錯(cuò)誤；
對于C，等差數(shù)列的公差為，，
，
有，因此成等差數(shù)列，C正確；
對于D，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比，為正偶數(shù)時(shí)，，顯然不成等比數(shù)列，D錯(cuò)誤.
故選：AC
4．BCD
【分析】由可判斷A錯(cuò)誤；由A可得B正確；由，可得C正確；由等差中項(xiàng)和前項(xiàng)和的性質(zhì)可得D正確.
【詳解】A：因?yàn)?，所以?br>所以，故A錯(cuò)誤；
B：由A的解析可得B正確；
C：因?yàn)?，，所以與均為的最大值，故C正確；
D：因?yàn)?，由，?br>故D正確；
故選：BCD.
5．
【分析】由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.
【詳解】由，得，
則.
故答案為：.
6．
【分析】首先寫成等差數(shù)列前項(xiàng)和的函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的對稱軸的范圍，即可求解.
【詳解】為等差數(shù)列，且，
則前項(xiàng)和，是關(guān)于的二次函數(shù)，且，
因?yàn)閮H當(dāng)時(shí)，最大，所以對稱軸在區(qū)間，
即，解得：，
則公差的取值范圍是.
故答案為：
反思提升：
1.項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.
2.和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(2)S2n－1＝(2n－1)an.
(3)依次k項(xiàng)和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列.
3.求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法：(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，或者利用性質(zhì)求其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；(2)利用公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，A≠0)為二次函數(shù)，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·天津?yàn)I海新·三模）已知數(shù)列為各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為（ ）
A．4B．8C．12D．16
2．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的公比不為1，若，且成等差數(shù)列，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·山西陽泉·三模）已知等差數(shù)列中，是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，則的值為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知遞增數(shù)列滿足．若，，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為（ ）
A．2044242B．2045253C．2046264D．2047276
二、多選題
5．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，e是自然對數(shù)的底數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，，，是等差數(shù)列
B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
D．當(dāng)p，q均為正整數(shù)且時(shí)，
6．（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則（ ）
A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
7．（2023·安徽安慶·二模）已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，，公差d = ?2 ，則（ ）
A．=
B．當(dāng)n = 6或7時(shí)，取得最小值
C．?dāng)?shù)列的前10項(xiàng)和為50
D．當(dāng)n≤2023時(shí)，與數(shù)列（m? N）共有671項(xiàng)互為相反數(shù)．
三、填空題
8．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則 .
9．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則 ．
10．（2024·北京延慶·一模）北京天壇的圜丘壇分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)， 環(huán)繞天心石砌塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多塊，向外每環(huán)依次也增加塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且三層共有扇面形石板(不含天心石) 塊，則上層有扇形石板 塊．
四、解答題
11．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求的前n項(xiàng)和.
12．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記是數(shù)列的前項(xiàng)和，證明: .
參考答案：
1．D
【分析】由數(shù)列的遞推式，分別令，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可得到答案．
【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，∵，
∴當(dāng)時(shí)，，解得，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴．
故選：D．
2．C
【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)及等比數(shù)列基本量的計(jì)算求通項(xiàng)公式即可.
【詳解】設(shè)的公比為q，
則依題意有，
解方程得或（舍去），所以.
故選：C
3．D
【分析】求出函數(shù)的極大值點(diǎn)得，然后由等差數(shù)列性質(zhì)結(jié)合誘導(dǎo)公式可得.
【詳解】由正弦函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得極大值，
則，由等差數(shù)列性質(zhì)，得，
所以.
故選：D
4．D
【分析】根據(jù)，推出，推出數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求出，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?，所以?shù)列是等差數(shù)列，
設(shè)公差為，因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，所以，
由，得，即，
由，得，將代入，得，
又，所以，，
所以數(shù)列的前2023項(xiàng)和為.
故選：D
5．BCD
【分析】利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義可判定A,B,C選項(xiàng)，利用等差數(shù)列的求和可判定D選項(xiàng).
【詳解】對于A，令，則，，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以，，不是等差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；
對于B，設(shè)的公差為d，則（定值），
所以是公比為的等比數(shù)列，故B正確；
對于C，，故是公差為的等差數(shù)列，故C正確；
對于D，，
，
所以，故D正確．
故選：BCD．
6．ABD
【分析】
根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及等差數(shù)列前項(xiàng)和公式為計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)的公差為，的公比為，
則，
所以是常數(shù)，故A正確；
易知是常數(shù)，故B正確；
由不是常數(shù)，故C錯(cuò)誤；
是常數(shù)，故D正確.
故選：ABD
7．ACD
【分析】由等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)判斷ACD,由數(shù)列的單調(diào)性可判斷B.
【詳解】對于A，等差數(shù)列中，，公差，則，，故A正確；
對于B，由A的結(jié)論，，則，由d = ?2當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)或6時(shí)，取得最大值，且其最大值為，B錯(cuò)誤；
對于C,
,故C正確，
對于D，由，則，
則數(shù)列中與數(shù)列中的項(xiàng)互為相反數(shù)的項(xiàng)依次為：
，，，，，，
可以組成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，設(shè)該數(shù)列為，則，
若，解可得，即兩個(gè)數(shù)列共有671項(xiàng)互為相反數(shù)，D正確．
故選：ACD．
8．
【分析】根據(jù)作差求出的通項(xiàng)公式，即可得解.
【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
所以，
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)也成立，
所以，則，
所以.
故答案為：
9．
【分析】
由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算的等量關(guān)系，代入所求即可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，
，，
則，
故答案為：.
10．
【分析】記從中間向外每環(huán)扇面形石板數(shù)為，則是等差數(shù)列，且公差為，，設(shè)每層有環(huán)，則，，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出，再求出即可.
【詳解】記從中間向外每環(huán)扇面形石板數(shù)為，則是等差數(shù)列，且公差，，
設(shè)每層有環(huán)，則，，
所以，即，
即，解得或（舍去），
所以，則，
即上層有扇形石板塊.
故答案為：．
11．(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義即可證明；
（2）根據(jù)（1）問，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后利用裂項(xiàng)相消求和法求得
【詳解】（1）證明：令，又，則有
，
又，所以
所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列
（2）由（1）知，，
又，所以，
所以，
所以
12．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)，再用已知條件列出兩個(gè)方程并解出其中的參數(shù)；
（2）直接求出，再用裂項(xiàng)法即可.
【詳解】（1）設(shè)，則由已知有，.
將第一個(gè)等式展開化簡可得，故由知.
再代入第二個(gè)等式可得，解得，從而.
故的通項(xiàng)公式是.
（2）由于，
故
.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）已知b是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．4D．
二、多選題
2．（2024·山東臨沂·二模）已知是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，則下列命題為真命題的是（ ）
A．若，，則B．若，則
C．若，則D．若和都為遞增數(shù)列，則
三、填空題
3．（2024·重慶·模擬預(yù)測）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則的最大值為 ．
四、解答題
4．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知無窮數(shù)列，構(gòu)造新數(shù)列滿足，滿足，，滿足，若為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等差數(shù)列；同理令，，，，若為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等比數(shù)列.
(1)已知為二階等差數(shù)列，且，，，求的通項(xiàng)公式；
(2)若為階等差數(shù)列，為一階等比數(shù)列，證明：為階等比數(shù)列；
(3)已知，令的前項(xiàng)和為，，證明：.
參考答案：
1．C
【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將代換，求出直線恒過的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.
【詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，，代入直線方程得
，即，令得，
故直線恒過，設(shè)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，
設(shè)圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)時(shí)，最小，
，此時(shí).

故選：C
2．BC
【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，可判定B正確；由，求得，可判定C正確；根據(jù)題意，求得任意的，結(jié)合的正負(fù)不確定，可判定D錯(cuò)誤．
【詳解】對于A中，由，，
可得，所以，
又由，所以A錯(cuò)誤；
對于B中，由，所以B正確；
對于C中，由，所以，
又因?yàn)椋瑒t，所以C正確；
對于D中，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，可得公差，
因?yàn)闉檫f增數(shù)列，可得，
所以對任意的，但的正負(fù)不確定，所以D錯(cuò)誤．
故選：BC.
3．
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，列出方程求得，得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)?，可得，即，解得?br>所以，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．
故答案為：.
4．(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）直接根據(jù)二階等差數(shù)列的定義求解；
（2）先確定是階等差數(shù)列的充分必要條件，再對已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可；
（3）先用數(shù)學(xué)歸納法證明，再利用該結(jié)果證明結(jié)論；或者先用導(dǎo)數(shù)方法證明，再利用該結(jié)果證明結(jié)論.
【詳解】（1）由知，故可設(shè).
所以，故.
從而，代入，可得，所以.
故的通項(xiàng)公式為：.
（2）先證明2個(gè)引理.
引理1：對任意非負(fù)整數(shù)，存在，使得對任意正整數(shù)成立，這里約定.
證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明該結(jié)論.
當(dāng)時(shí)，有，取即可，故結(jié)論成立；
假設(shè)結(jié)論對成立，則
.
故可設(shè)，這就得到
.
所以取，，即可，這得到結(jié)論對成立.
由數(shù)學(xué)歸納法即知引理1成立.
引理2：是階等差數(shù)列的充分必要條件是能夠表示為關(guān)于的至多次的多項(xiàng)式形式，即.
證明：我們對使用數(shù)學(xué)歸納法.
當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；
對，假設(shè)結(jié)論對成立，考慮的情形：
一方面，如果，則有
.
故由于結(jié)論對成立，知是階等差數(shù)列，所以是階等差數(shù)列；
另一方面，如果是階等差數(shù)列，則是階等差數(shù)列.
故由于結(jié)論對成立，知的通項(xiàng)公式具有形式.
故.
據(jù)引理1可知，每個(gè)都可以表示為的形式，故
.
綜上，結(jié)論對成立.
由數(shù)學(xué)歸納法知引理2成立.
回到原題.
由于為一階等比數(shù)列，故恒為常值，設(shè)，則.
為使有意義，必有不為零.
所以.
由于為階等差數(shù)列，故由引理2，可設(shè).
取就有，，所以由引理2可知和都是階等差數(shù)列.
設(shè)，，，，則和都是常值.
而歸納即知，故是常值，從而為階等比數(shù)列.
（3）方法一：
用數(shù)學(xué)歸納法證明：.
當(dāng)時(shí)，由知結(jié)論成立；
對，假設(shè)結(jié)論已對成立，即，則
.
所以結(jié)論對也成立.
綜上，對任意的正整數(shù)，都有.
故.
這就得到
.
方法二：
對正整數(shù)，根據(jù)等比數(shù)列求和公式有.
兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得.
所以.
再次求導(dǎo)，得.
所以.
從而當(dāng)時(shí)，分別由上面的式子可以得到：
；
；
.
所以
.
故.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于基于等差數(shù)列和等比數(shù)列的新定義，理解新定義的本質(zhì)方可解決問題.
【培優(yōu)篇】
一、解答題
1．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）對于數(shù)列，如果存在正整數(shù)，當(dāng)任意正整數(shù)時(shí)均有，則稱為的“項(xiàng)遞增相伴數(shù)列”．若可取任意的正整數(shù)，則稱為的“無限遞增相伴數(shù)列”．
(1)已知，請寫出一個(gè)數(shù)列的“無限遞增相伴數(shù)列”，并說明理由？
(2)若滿足，其中是首項(xiàng)的等差數(shù)列，當(dāng)為的“無限遞增相伴數(shù)列”時(shí)，求的通項(xiàng)公式：
(3)已知等差數(shù)列和正整數(shù)等比數(shù)列滿足：，其中k是正整數(shù)，求證：存在正整數(shù)k，使得為的“2024項(xiàng)遞增相伴數(shù)列”．
2．（2024·黑龍江·三模）如果n項(xiàng)有窮數(shù)列滿足，，…，，即，則稱有窮數(shù)列為“對稱數(shù)列”.
(1)設(shè)數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為7的“對稱數(shù)列”，其中成等差數(shù)列，且，依次寫出數(shù)列的每一項(xiàng)；
(2)設(shè)數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為(且)的“對稱數(shù)列”，且滿足，記為數(shù)列的前項(xiàng)和.
①若，，…，構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列，且.當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值?
②若，且，求的最小值.
3．（2024·江蘇宿遷·三模）在數(shù)列中，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知數(shù)列滿足；
①求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
②若，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．
參考答案：
1．(1)，理由見解析
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）利用指數(shù)數(shù)列，構(gòu)造一個(gè)加上正的常數(shù)，就可得到一個(gè)遞增相伴數(shù)列，只需要檢驗(yàn)前二項(xiàng)和最后三項(xiàng)；
（2）由于有一個(gè)是等差數(shù)列，兩數(shù)列相加也是等差數(shù)列，說明另一個(gè)數(shù)列還是等差數(shù)列，通過假設(shè)，就可以表示出兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)而引入后三項(xiàng)不等式進(jìn)行分析，即可求出數(shù)列通項(xiàng)；
（3）利用前面兩小問，知道構(gòu)造的數(shù)列比已知數(shù)列每項(xiàng)加1，再去證明即可.
【詳解】（1）由于，我們可以取，此時(shí)恒有，
再由，當(dāng)時(shí)，，
所以恒有，即滿足題意.
（2）
設(shè) ,
當(dāng)為的“無限遞增相伴數(shù)列”時(shí)對任意恒成立
，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以?br>即.
（3）證明：取，若存在這樣的正整數(shù)k使得
成立，
所以，
由，得，
于是，
又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，
而時(shí)，，
所以，最后說明存在正整數(shù)k使得，
由，
上式對于充分大的k成立，即總存在滿足條件的正整數(shù)k
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：通過第一，第二問的求解，掌握問題得以解決的關(guān)鍵就是每一項(xiàng)加1，從而再進(jìn)行證明即可得到第三問的解答.
2．(1)1，3，5，7，5，3，1
(2)①1012；②2025
【分析】（1）根據(jù)新定義“對稱數(shù)列”的定義和已知條件可求得公比，進(jìn)而求得結(jié)果；
（2）①根據(jù)對稱數(shù)列的定義可得數(shù)列為等差數(shù)列，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)來求解；②由條件得到數(shù)列相鄰兩項(xiàng)間的大小關(guān)系，并結(jié)合定義求得的取值范圍，然后結(jié)合已知條件確定出最后的結(jié)果
【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是項(xiàng)數(shù)為7的“對稱數(shù)列”，所以，
又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，其公差，…
所以數(shù)列的7項(xiàng)依次為1，3，5，7，5，3，1；
（2）①由，，…，是單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為的“對稱數(shù)列”且滿足，
可知，，…，構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，，，…，構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，
故
，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值；
②因?yàn)榧矗?br>所以即，
于是，
因?yàn)閿?shù)列是“對稱數(shù)列”，
所以
，
因?yàn)?，故?br>解得或，所以，
當(dāng)，，…，構(gòu)成公差為的等差數(shù)列時(shí)，滿足，
且，此時(shí)，所以的最小值為2025.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是理解對稱數(shù)列的定義，第二問①關(guān)鍵是得到，，…，構(gòu)成公差為的等差數(shù)列.
3．(1)
(2)①證明見解析 ；②證明見解析
【分析】（1）變形得到，結(jié)合，故，從而得到；
（2）①化簡得到，利用得到，同理可得，證明出是等差數(shù)列；
②求出，結(jié)合，得到公差，得到通項(xiàng)公式，所以，裂項(xiàng)相消法求和證明出結(jié)論.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，
因?yàn)椋詎=1時(shí)，，
所以數(shù)列是各項(xiàng)為0的常數(shù)列，即，
所以．
（2）①由得
所以①
所以②
②-①得：③
所以④
④-③得，所以
即
所以數(shù)列是等差數(shù)列．
②當(dāng)時(shí)，由得，所以，
又，故的公差為1，所以，
所以，
即
．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：常見的裂項(xiàng)相消法求和類型：
分式型：，，等；
指數(shù)型：，等，
根式型：等，
對數(shù)型：，且
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