1．數(shù)列的有關概念
2.數(shù)列的分類
3.數(shù)列與函數(shù)的關系
數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n，對應的函數(shù)值是數(shù)列的第n項an，記為an＝f(n)．
4．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，則an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
5．在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2，n∈N*)；若an最小，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2，n∈N*)．
一、單選題
1．（2024高三上·江西贛州·階段練習）斐波那契數(shù)列可以用如下方法定義：，且，若此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構成一個新數(shù)列，則數(shù)列的第100項為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】由題意有，且，若此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構成一個新數(shù)列，可得是以6為周期的周期數(shù)列，然后求解即可．
【詳解】由題意有，且，
若此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構成一個新數(shù)列，
則，，，，，，，，，
則數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，
則，
則數(shù)列的第100項為3，
故選：．
2．（2024高三·全國·對口高考）已知數(shù)列中，，則（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】A
【分析】先根據(jù)遞推公式代入計算出前幾項的值，即可判別出數(shù)列是以3為最小正周期的周期數(shù)列，根據(jù)周期數(shù)列的性質特點即可計算出的值，得到正確選項．
【詳解】數(shù)列中，，
可知，，，
故數(shù)列是以3為最小正周期的周期數(shù)列，
所以.
故選：A
3．（2024·安徽合肥·模擬預測）在數(shù)列中，已知，當時，是的個位數(shù)，則（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】由題意，列出數(shù)列的前若干項，分析出數(shù)列變化規(guī)律，進而得出答案.
【詳解】因為，當時，是的個位數(shù)，
所以，，，，，，，，，，
可知數(shù)列中，從第3項開始有，
即當時，的值以6為周期呈周期性變化，
又，
故.
故選：C.
4．（2024·浙江寧波·一模）設數(shù)列的前n項和為，則“對任意，”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不是充分也不是必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，分別判斷充分性和必要性是否成立即可.
【詳解】數(shù)列中，對任意，，
則，
所以數(shù)列為遞增數(shù)列，充分性成立；
當數(shù)列為遞增數(shù)列時，，
即，所以，，
如數(shù)列不滿足題意，必要性不成立；
所以“對任意，”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.
故選：A
5．（2024·浙江·二模）已知數(shù)列滿足，若存在實數(shù)，使單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解法一：由單調遞增可得恒成立，則，分析和應用排除法確定正確選項；
解法二：借助函數(shù)的知識，將數(shù)列單調性轉化為函數(shù)單調性，結合函數(shù)圖象即可得解.
【詳解】解法一：由單調遞增，得，
由，得，
∴.
時，得①，
時，得，即②，
若，②式不成立，不合題意；
若，②式等價為，與①式矛盾，不合題意.
綜上，排除B，C，D.
解法二：設，函數(shù)對稱軸為，則，
聯(lián)立，可得兩函數(shù)的交點為，
若要，則，，所以，
又只要求存在實數(shù)，所以.
故選：A.
6．（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列滿足，若數(shù)列為單調遞增數(shù)列，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件求出數(shù)列通項，再由數(shù)列為單調遞增數(shù)列列出不等式并分離參數(shù)即可推理計算作答
【詳解】由可得，
兩式相減可得，則，
當時，可得滿足上式，故，
所以，
因數(shù)列為單調遞增數(shù)列，即，
則
整理得，
令，則，
當時，，當時，，
于是得是數(shù)列的最大項，即當時，取得最大值，從而得，
所以的取值范圍為．
故選：A
7．（2024高一上·北京·期末）數(shù)列的通項公式為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．既不充分也不必要條件D．充要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)以及充分條件和必要條件的定義分別進行判斷即可
【詳解】由題意得數(shù)列為遞增數(shù)列等價于對任意恒成立，
即對任意恒成立，
因為，且可以無限接近于0，所以，
所以“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件，
故選：B
8．（2024高三上·廣東深圳·階段練習）已知數(shù)列的通項公式為，則“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結合數(shù)列的單調性判斷
【詳解】若數(shù)列為遞增數(shù)列，
則
，
即
由，所以有，
反之，當時，，則數(shù)列為遞增數(shù)列，
所以“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充要條件，
故選：C.
9．（2024高三上·江蘇南通·期末）已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則實數(shù)t的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調性及數(shù)列為遞增數(shù)列，列出不等式組求解即可.
【詳解】因為，是遞增數(shù)列，
所以，解得，
所以實數(shù)t的取值范圍為，
故選：C
10．（2024高二上·陜西咸陽·階段練習）已知數(shù)列滿足，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出函數(shù)和的圖象，結合圖象分析求解.
【詳解】因為是遞增數(shù)列，所以，即．
如圖所示，作出函數(shù)和的圖象，
由圖可知，當時，，且．
故當時，，且，
依此類推可得，
滿足是遞增數(shù)列，即的取值范圍是．
故選:A.
11．（2024·甘肅張掖·模擬預測）已知數(shù)列為遞減數(shù)列，其前n項和，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)通項與前n項和的關系可得當時，，再求解的解即可.
【詳解】因為，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，
當時，，
故可知當時，單調遞減，
故為遞減數(shù)列，只需滿足，即．
故選：A
12．（2024高二上·重慶·期末）分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學，它的研究對象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學”．按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個樹形圖．若記圖2中第n行黑圈的個數(shù)為，則（ ）
A．110B．128C．144D．89
【答案】C
【分析】表示第n行中的黑圈個數(shù)，設表示第n行中的白圈個數(shù)，由題意可得，，根據(jù)初始值，由此遞推即可求得結果．
【詳解】已知表示第n行中的黑圈個數(shù)，設表示第n行中的白圈個數(shù)，
則由于每個白圈產生下一行的一個白圈和一個黑圈，一個黑圈產生下一行的一個白圈和2個黑圈，
所以，，
又因為，，
所以，；
，；
，；
，；
，；
．
故選：C.
13．（2024·云南保山·二模）我國南宋數(shù)學家楊輝126l年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學史上的一個偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，若去除所有為1的項，其余各項依次構成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數(shù)列的第56項為（ ）

A．11B．12C．13D．14
【答案】B
【分析】由題意可知，去除所有為1的項，則剩下的每一行的個數(shù)構成一個首項為1，公差為1的等差數(shù)列，求解即可.
【詳解】由題意可知：若去除所有的為1的項，則剩下的每一行的個數(shù)為1，2，3，4，...，
可以看成構成一個首項為1，公差為1的等差數(shù)列，則，
可得當，所有項的個數(shù)和為55，第56項為12，
故選：B.
14．（2024高三下·河南新鄉(xiāng)·開學考試）古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1，3，6，10，第n個三角形數(shù)為.記第n個k邊形數(shù)為，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：三角形數(shù)：；正方形數(shù)：；五邊形數(shù)：；六邊形數(shù)：，可以推測的表達式，由此計算（ ）
A．4020B．4010C．4210D．4120
【答案】B
【分析】根據(jù)題意列舉前幾項，分析可得，即可得結果.
【詳解】由題意可得：，，
，.
由此可歸納，
所以，
故選：B.
15．（2024·全國·模擬預測）古希臘科學家畢達哥拉斯對“形數(shù)”進行了深入的研究，若一定數(shù)目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，則這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)，如1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的點都可以排成等邊三角形，∴都是三角形數(shù)，把三角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列類似地，數(shù)1，4，9，16，…叫做正方形數(shù)，則在三角數(shù)列中，第二個正方形數(shù)是（ ）
A．28B．36C．45D．55
【答案】B
【分析】根據(jù)數(shù)列的前幾項求出三角數(shù)列以及正方形數(shù)列的通項公式即可求解.
【詳解】由題意可得，三角數(shù)列的通項為，
則三角數(shù)列的前若干項為1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，….，
設正方形數(shù)按由小到大的順序排成的數(shù)列為，則，
其前若干項為1，4，9，16，25，36，49，…，
∴在三角數(shù)列中，第二個正方形數(shù)是36.
故選：B.
16．（2024高三·重慶沙坪壩·階段練習）早在3000年前，中華民族的祖先就已經開始用數(shù)字來表達這個世界．在《乾坤譜》中，作者對易傳“大衍之數(shù)五十”進行了一系列推論，用來解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，如圖．該數(shù)列從第一項起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，72，…，若記該數(shù)列為，則（ ）
A．2018B．2020C．2022D．2024
【答案】B
【分析】根據(jù)題設數(shù)據(jù)可得，從而可求的值．
【詳解】由題設中的數(shù)據(jù)可知數(shù)列滿足：，，
故，
故選：B．
17．（2024高三·全國·專題練習）觀察下列各式：
；
；
；
；
；
則（ ）
A．28B．76C．123D．10
【答案】C
【分析】利用題給條件觀察出規(guī)律，進而求得的值.
【詳解】設則
通過觀察不難發(fā)現(xiàn)：從而
故，
故選：C.
18．（2024高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習）古希臘科學家畢達哥拉斯對“形數(shù)”進行了深入的研究，若一定數(shù)目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，則這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)，如1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的點都可以排成等邊三角形，∴都是三角形數(shù)，把三角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列．類似地，數(shù)1，4，9，16，…叫做正方形數(shù)，則在三角數(shù)列中，第二個正方形數(shù)是（ ）
A．36B．25C．49D．64
【答案】A
【分析】根據(jù)數(shù)列的前幾項求出三角數(shù)列以及正方形數(shù)列的通項公式即可求解．
【詳解】由題意可得，三角數(shù)列的通項為，則三角數(shù)列的前若干項為1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，…，
設正方形數(shù)按由小到大的順序排成的數(shù)列為，則，其前若干項為1，4，9，16，25，36，49，…，
∴在三角數(shù)列中，第二個正方形數(shù)是36．
故選：A．
19．（2024高二上·上?！て谥校?shù)列滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】由利用二次函數(shù)的性質計算可得答案.
【詳解】，
∵不等式恒成立，
∴，
解得，
故選：B．
20．（2024高三下·河南·階段練習）數(shù)列滿足，，若不等式，對任何正整數(shù)恒成立，則實數(shù)的最小值為
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】試題分析：依題意，由此可知，所以，所以
，對任何正整數(shù)恒成立，即．
考點：數(shù)列與不等式．
【思路點晴】本題是一道關于數(shù)列與不等式的綜合題，考查運算求解能力，對表達式的靈活變形是解決本題的關鍵．開始采用特殊項的辦法，是合情推理與演繹推理，先根據(jù)特殊項，歸納出數(shù)列的通項公式，然后代入要求證的不等式，利用裂項求和法求得不等式坐標的和，然后利用恒成立問題來求得最小值．如果是解答題，歸納猜想出的通項公式還要用數(shù)學歸納法來證明．
21．（2024·北京）已知是各項均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【分析】使數(shù)列首項、遞增幅度均最小，結合等差數(shù)列的通項及求和公式求得可能的最大值，然后構造數(shù)列滿足條件，即得到的最大值．
【詳解】
若要使n盡可能的大，則，遞增幅度要盡可能小，
不妨設數(shù)列是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，其前n項和為，
則，，
所以.
對于，，
取數(shù)列各項為(，,
則，
所以n的最大值為11．
故選：C．
22．（2024高三上·上海寶山·階段練習）已知數(shù)列的前n項和為，則“為遞增數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
【答案】D
【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結合遞增數(shù)列的意義判斷作答.
【詳解】令數(shù)列通項，顯然為遞增數(shù)列，而，是遞減數(shù)列，
令，顯然為遞增數(shù)列，而時，，滿足上式，即，為常數(shù)數(shù)列，
所以“為遞增數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的既不充分又不必要條件.
故選：D
23．（2024高二·河北保定·階段練習）若為數(shù)列的前項和，且，則（ ）
A．B．C．D．30
【答案】D
【分析】根據(jù)公式直接求出，進一步求出答案.
【詳解】∵
∴.
故選：D.
【點睛】本題考查數(shù)列前項和與通項公式的關系，屬于基礎題.
24．（2024高三·全國·專題練習）在數(shù)列中，，，則（ ）
A．B．1
C．D．2
【答案】D
【分析】通過遞推式求出數(shù)列前幾項可得數(shù)列為周期數(shù)列，利用數(shù)列的周期性可得答案.
【詳解】，，，
，
可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，
.
故選：D.
25．（2024高三·全國·專題練習）數(shù)列…的一個通項公式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)分子和分母的數(shù)字特征，結合正負交替性進行求解判斷即可.
【詳解】
該數(shù)列的一個通項公式為
故選：D
26．（2024高一下·寧夏吳忠·期中）已知數(shù)列的所有項均為正數(shù)，其前項和為，且.則的通項公式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】令，由可求得的值，當時，可得是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式即可求解.
【詳解】當時，，整理可得，
解得：或，
因為，所以，
當時，
，
整理可得： 即，
因為，所以，
所以是以為首項，公差為的等差數(shù)列，
所以，
故選：B.
27．（2024高三·全國·專題練習）若數(shù)列滿足,，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
運用代入法進行求解即可.
【詳解】
因為,，
所以有，
因此數(shù)列是以為周期的數(shù)列，
所以.
故選：D
28．（2024高二下·遼寧·期末）若數(shù)列滿足，，則數(shù)列中的項的值不可能為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用數(shù)列滿足的遞推關系及，依次取代入計算，能得到數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，得項的所有可能值，判斷選項即得結果.
【詳解】數(shù)列滿足，，依次取代入計算得，
，，，，因此繼續(xù)下去會循環(huán)，數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，所有可能取值為：.
故選：D.
29．（2024高三·全國·專題練習）已知數(shù)列的通項公式為，其最大項和最小項的值分別為（ ）
A．1，B．0，C．，D．1，
【答案】A
【分析】利用的單調性可得答案.
【詳解】因為，所以當時，，且單調遞減；
當時，，且單調遞減，且，
所以最小項為，最大項為.
故選：A.
30．（2024高二下·四川成都·期中）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，，則數(shù)列的最小值為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由遞推公式，，兩邊取倒數(shù)可得：，，利用等差數(shù)列的通項公式可得，數(shù)列滿足，，再利用等差數(shù)列的求和公式可得，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性即可得出．
【詳解】解：，，
，即，，
數(shù)列以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
，
數(shù)列滿足，，
所以
，時也成立），
所以，
令，，
，
可得：函數(shù)在上單調遞減；在上單調遞增．
而， ，
數(shù)列的最小值為．
故選：．
31．（2024高三上·湖北·期中）已知數(shù)列滿足，.若，則數(shù)列的通項公式（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】變形為可知數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，求出后代入到可得結果.
【詳解】由，得，所以，
又，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以，所以.
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：構造等比數(shù)列求出是本題解題關鍵.
32．（2024·云南保山·一模）已知數(shù)列滿足，，則等于
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用數(shù)列的遞推關系式，推出數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，然后求解數(shù)列的通項公式．
【詳解】由，得，且，
所以數(shù)列，因此是以首項為，公比為的等比數(shù)列，
故，因此，故選C．
【點睛】本題考查數(shù)列的遞推關系式的應用，等比數(shù)列的通項公式的求法，考查計算能力．
33．（2024高三·全國·專題練習）已知正項數(shù)列中，，則數(shù)列的通項（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】解法一：給已知等式兩邊同除以，令則可得，從而得數(shù)列是等比數(shù)列，求出，進而可求出；解法二：設，化簡后與已知等式比較可得，從而可得數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，進而可求出.
【詳解】解法一：在遞推公式的兩邊同時除以，得①，
令，則①式變?yōu)椋矗?br>所以數(shù)列是等比數(shù)列，其首項為，公比為，
所以，即，
所以，
所以，
解法二：設，則，
與比較可得，
所以，
所以數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，
所以，所以，
故選：D
34．（2024高二下·遼寧·階段練習）設函數(shù)，數(shù)列滿足，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題首先可根據(jù)題意得出，然后根據(jù)數(shù)列是遞增數(shù)列得出不等式組，最后通過計算即可得出結果.
【詳解】因為，，
所以，
因為數(shù)列是遞增數(shù)列，
所以，解得，即.
故選：C.
【點睛】關鍵點睛：本題考查了分段函數(shù)以及遞增數(shù)列的綜合應用，主要考查了分段函數(shù)的單調性，若分段函數(shù)為增函數(shù)，關鍵是函數(shù)在各段上均為增函數(shù)，且滿足前一段的最大值小于或等于后一段的最小值，本題需要額外注意.
35．（2024高三下·海南省直轄縣級單位·階段練習）若數(shù)列{}的前n項和為＝，=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件，利用與的關系求得數(shù)列的通項公式，利用等比數(shù)列前項和公式求解即可.
【詳解】解：當時，，解得，
當時，，即，
∴是首項為1，公比為-2的等比數(shù)列，∴，
所以.
故選：B.
36．（2024高三·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足，，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知得，再由累加法可得答案.
【詳解】由題意，得，則當時，
，，，，
以上各式相加得
所以，
所以，
即，
當時，適合此式，
所以.
故選：D.
37．（2024高三·全國·專題練習）設表示不超過x的最大整數(shù)，如，.已知數(shù)列滿足：，，則等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】利用數(shù)列的遞推關系式，通過累加法求出通項公式，進而化簡利用裂項相消法求解數(shù)列的和即可.
【詳解】由，得，
因為，所以
，
則，
所以
，
，
故選：A.
二、多選題
38．（2024高三·全國·專題練習）下列結論正確的是（ ）
A．數(shù)列1，2，3與3，2，1是兩個不同的數(shù)列．
B．任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列．
C．若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看是一群孤立的點．
D．若數(shù)列的前n項和為，則對任意，都有.
【答案】ACD
【分析】根據(jù)數(shù)列的定義、數(shù)列的單調性、數(shù)列的圖象特征、與之間的關系逐一判斷即可.
【詳解】由數(shù)列的定義可知選項A正確；
一個數(shù)列可以是常數(shù)列，因此選項B錯誤；
根據(jù)數(shù)列的圖象特征可知選項C正確；
由的意義可知選項D正確，
故選：ACD
39．（2024高三·全國·專題練習）（多選）已知數(shù)列的前4項為2，0，2，0，則依此歸納該數(shù)列的通項可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)n的奇偶性分類討論逐一判斷即可.
【詳解】對于A，當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，故A中通項公式正確；
對于B顯然正確；
對于C，當時，，顯然不符合；
對于D，當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，故D中通項公式正確.
故選：ABD．
40．（2024高三·全國·專題練習）（多選）數(shù)列1，2，1，2，…的通項公式可能為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】
根據(jù)n的奇偶性分類討論逐一判斷即可.
【詳解】
對于A，當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，故A中通項公式正確；
對于B，當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，故B中通項公式不正確；
對于C，當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，故C中通項公式正確；
對于D，當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，故D中通項公式正確.
故選：ACD
41．（2024高三·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足，且，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】計算出數(shù)列的前幾項可判斷AC，再尋找規(guī)律可判斷BD．
【詳解】由題意，，故A正確，
，故C正確；
，，，∴數(shù)列是周期數(shù)列，周期為3．
，故B錯誤；
，故D正確．
故選：ACD．
42．（2024高三上·湖北·階段練習）已知數(shù)列滿足：，當時，，則關于數(shù)列的說法正確的是( )
A．B．是遞增數(shù)列
C．D．數(shù)列為周期數(shù)列
【答案】ABC
【分析】利用數(shù)列的遞推關系式推出，說明數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，然后求解通項公式，即可判斷選項的正誤．
【詳解】數(shù)列滿足：，當時，，
，
∴數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，
，
，故C正確；
，故A正確；
∵函數(shù)在x＞－1時單調遞增，故是單調遞增數(shù)列，故B正確，D錯誤．
故選：ABC．
三、填空題
43．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知正項數(shù)列滿足，，，若是唯一的最大項，則k的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)數(shù)列遞推關系得到是等比數(shù)列，進一步求出的通項公式，利用是最大項建立不等式求解即可.
【詳解】因為，所以，又，，
所以是首項為64，公比為k的等比數(shù)列，則，
則，
因為是唯一的最大項，所以，即，解得，
即k的取值范圍為.
故答案為：.
44．（2024高三上·北京·階段練習）數(shù)列中，，則此數(shù)列最大項的值是 .
【答案】
【分析】配方得出，利用二次函數(shù)的基本性質可求得最大項的值.
【詳解】因為，
故當或時，取得最大值.
故答案為：.
45．（2024高三上·江蘇連云港·期中）已知數(shù)列的通項公式，前n項和是，對于，都有，則k＝ ．
【答案】5
【分析】結合， 的函數(shù)圖象和特殊值的思路，得到數(shù)列正負情況，即可得到當時，取得最大值，即.
【詳解】
如圖，為和的圖象，設兩個交點為，，
因為，所以，
因為，，所以，
結合圖象可得，當時，，即，
當時，，即，所以當時，取得最大值，即.
故答案為：5.
46．（2024高三·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足，若恒成立，則實數(shù)k的最小值為 ．
【答案】/1.5
【分析】利用差比法判斷數(shù)列的單調性，結合單調性進行求解即可.
【詳解】∵，
∴數(shù)列為單調遞減數(shù)列，．從而，
即k的最小值為．
故答案為：
47．（2024高三·全國·專題練習）設數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前2009項之和為 .
【答案】/
【分析】由遞推數(shù)列可得數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，再由結合遞推數(shù)列求出，則，代入求解即可.
【詳解】由，得，則
，
，
∴數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，.
由可得，，
.
故答案為：.
48．（2024高二下·全國·課后作業(yè)）正項數(shù)列中，，，猜想通項公式為 ．
【答案】
【分析】利用取倒數(shù)，可得為等差數(shù)列，即可求解.或者利用列舉法，羅列前面的項，通過規(guī)律猜想.
【詳解】方法一:由得，所以為等差數(shù)列，且公差為3，首項為1，故，故，
方法二：由得，，
由此可猜想
故答案為：
49．（2024·廣東佛山·模擬預測）數(shù)列滿足，，寫出一個符合上述條件的數(shù)列的通項公式 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】
將已知等式變形后，找到滿足等式的通項公式即可.
【詳解】由得：，
則當時，，，故滿足遞推關系，
又，滿足，
滿足條件的數(shù)列的一個通項公式為：.
故答案為：（答案不唯一）.
50．（2024·全國·模擬預測）斐波那契數(shù)列由意大利數(shù)學家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在實際生活中，很多花朵（如梅花、飛燕草、萬壽菊等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學等領域也有著廣泛的應用．斐波那契數(shù)列滿足：，，則是斐波那契數(shù)列中的第 項．
【答案】
【分析】利用遞推關系，將所求關系式中的“”換為，再利用即可求得答案．
【詳解】由可得
.
故答案為：.
51．（2024高三·全國·專題練習）已知數(shù)列{an}滿足，則S3= ．
【答案】10
【解析】直接由通項公式求得前三項進而求和即可.
【詳解】因為，所以．
即．
故答案為：10.
【點睛】本題主要考查了數(shù)列通項公式的概念，屬于基礎題.
52．（2024高一下·江蘇無錫·期中）已知數(shù)列{}的通項公式為，那么是它的第 項．
【答案】
【詳解】試題分析：由得因為解得
考點：數(shù)列通項
53．（2024高一下·吉林長春·期中）根據(jù)下面的圖形及相應的點數(shù)，寫出點數(shù)構成的數(shù)列的一個通項公式 ．
【答案】
【分析】觀察圖中點數(shù)增加規(guī)律是依次增加5，可得求解。
【詳解】第一圖點數(shù)是1；第二圖點數(shù) ;第三圖是 ；第四圖是
則第個圖點數(shù)
故答案為：
【點睛】本題考查由數(shù)列的前幾項求通項公式.
數(shù)列的前幾項求通項公式的思路方法：給出數(shù)列的前幾項求通項時，需要注意觀察數(shù)列中各項與其序號之間的關系，在所給數(shù)列的前幾項中，先看看哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項中變化部分與序號間的關系，注意代值檢驗．
54．（2024高三·全國·專題練習）已知數(shù)列的前n項和，則 .
【答案】
【分析】分和討論即可.
【詳解】當時，，
當時，，
不滿足上式.故.
故答案為：.
55．（2024高三上·廣東深圳·期末）在數(shù)列中，是其前n項和，且，則數(shù)列的通項公式 ．
【答案】，.
【分析】利用，求解數(shù)列的通項公式.
【詳解】當時，，解得：，
令時，，即，解得：，
當時，，
故，
所以時，為公比為2的等比數(shù)列，
所以，
顯然時，滿足，
綜上：，.
故答案為：，.
56．（2024高三·全國·專題練習）若數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的通項公式為 ．
【答案】/
【分析】用累加法可得答案.
【詳解】由，得，所以
當時，
，而滿足上式，
所以.
故答案為：.
57．（2024高三·全國·專題練習）已知數(shù)列的前5項為，，，，，則的一個通項公式為 .
【答案】
【分析】觀察分子分母的規(guī)律可得答案.
【詳解】因為2，6，12，20，30分別可分解為，
所以的第n項的分子可表示為；
因為3，5，3，5，3分別減4得，
所以數(shù)列的第n項的分母可表示為，
故數(shù)列的一個通項公式為.
故答案為：.
58．（2024高二·全國·專題練習）數(shù)列－，，－，，…的一個通項公式an＝ .
【答案】
【分析】由于這個數(shù)列前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，從而可求得其通項公式
【詳解】這個數(shù)列前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，
所以它的一個通項公式為
故答案為：
59．（2024高一·全國·課后作業(yè)）數(shù)列5，55，555，5555，…的一個通項公式為 .
【答案】
【分析】將前四項前變形，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，即可得出結論.
【詳解】數(shù)列前四項可改換形式為,，，，
所以該數(shù)列的通項公式為，驗證滿足.
故答案為:.
60．（2024高一下·四川成都·期中）已知數(shù)列的前項和為，則的通項公式為
【答案】
【分析】根據(jù)與的關系即可求解.
【詳解】當時，，
當時，，
另時，，此式不滿足，
所以的通項公式為.
故答案為：.
61．（2024高二·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則數(shù)列的通項公式為 ．
【答案】
【分析】由題化簡可得，當時，求出，當時，由，可求出，再驗證是否滿足，即可求出數(shù)列的通項公式.
【詳解】因為，所以，即．
當時，，
當時，，
顯然不滿足上式.
所以．
故答案為：.
62．（2024·江西南昌·一模）已知數(shù)列滿足，則 ．
【答案】
【解析】項和轉化可得，討論是否滿足，分段表示即得解
【詳解】當時，由已知，可得，
∵，①
故，②
由①-②得，
∴．
顯然當時不滿足上式，
∴
故答案為：
【點睛】本題考查了利用求，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)學運算，分類討論的能力，屬于中檔題.
63．（2024·上海·一模）已知數(shù)列的首項，其前項和為．若，則 ．
【答案】
【詳解】已知數(shù)列的前項和的關系，要求項，
一般把已知中的用代換得
，兩式相減得，
又，，
所以數(shù)列從第二項開始成等比數(shù)列，
因此其通項公式為．
64．（2024高三上·湖北·開學考試）記數(shù)列的前項和為，若，則使得取得最小值時的值為 .
【答案】16
【分析】根據(jù)數(shù)列的單調性，即可判斷的最小時的值.
【詳解】由得,當時，單調遞減，且，
當時，，故當時，，當時，，且，
所以當時，最小.
故答案為：16
概念
含義
數(shù)列
按照確定的順序排列的一列數(shù)
數(shù)列的項
數(shù)列中的每一個數(shù)
通項公式
如果數(shù)列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式
遞推公式
如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式
數(shù)列{an}的前n項和
把數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an
分類標準
類型
滿足條件
項數(shù)
有窮數(shù)列
項數(shù)有限
無窮數(shù)列
項數(shù)無限
項與項間的大小關系
遞增數(shù)列
an＋1>an
其中n∈N*
遞減數(shù)列
an＋1

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