一、函數(shù)的零點
對于函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.
二、方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系
方程有實數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點函數(shù)有零點.
三、零點存在性定理
如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得也就是方程的根.
四、二分法
對于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點
所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點的近似值.
五、用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟
（1）確定區(qū)間，驗證，給定精度.
（2）求區(qū)間的中點.
（3）計算.若則就是函數(shù)的零點；若，則令（此時零點）.若，則令（此時零點）
（4）判斷是否達到精確度，即若，則函數(shù)零點的近似值為（或）；否則重復(fù)第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算完成.
一、單選題
1．（2024·湖北）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則函數(shù)的零點的集合為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，
所以，
所以，
由，解得或；
由解得或（舍去），
所以函數(shù)的零點的集合為.
故選：D.
考點：函數(shù)的奇偶性的運用，分段函數(shù)，函數(shù)的零點，一元二次方程的解法，難度中等.
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知指數(shù)函數(shù)為，則函數(shù)的零點為（ ）
A．B．0
C．1D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，解指數(shù)方程即可作答.
【詳解】函數(shù)，由，即，整理得，解得，
所以函數(shù)的零點為1.
故選：C
3．（2024高三上·江西鷹潭·階段練習(xí)）函數(shù)的零點為（ ）
A．2，3B．2C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，解方程求出函數(shù)零點作答.
【詳解】由，得，即或，解得或，
所以函數(shù)的零點為2，3.
故選：A
4．（2024·山東）已知當(dāng) 時，函數(shù) 的圖象與 的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)m的取值范圍是
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減，且，單調(diào)遞增，且 ，此時有且僅有一個交點；當(dāng)時， ，在 上單調(diào)遞增，所以要有且僅有一個交點，需 選B.
【名師點睛】已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路
(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；
(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．
5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若，則函數(shù)的兩個零點分別位于區(qū)間
A．和內(nèi)B．和內(nèi)
C．和內(nèi)D．和內(nèi)
【答案】A
【詳解】試題分析：，所以有零點，排除B，D選項.當(dāng)時，恒成立，沒有零點，排除C，故選A.另外，也可知內(nèi)有零點.
考點：零點與二分法.
【思路點晴】如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有·，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在使得，這個也就是方程的根.注意以下幾點：①滿足條件的零點可能不唯一；②不滿足條件時，也可能有零點.③由函數(shù)在閉區(qū)間上有零點不一定能推出·，如圖所示.所以·是在閉區(qū)間上有零點的充分不必要條件.
6．（2024·全國）在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，由,利用零點存在定理可得結(jié)果.
【詳解】因為函數(shù)在上連續(xù)單調(diào)遞增，
且,
所以函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，故選C.
【點睛】本題主要考查零點存在定理的應(yīng)用，屬于簡單題.應(yīng)用零點存在定理解題時，要注意兩點：（1）函數(shù)是否為單調(diào)函數(shù)；（2）函數(shù)是否連續(xù).
7．（2024高三上·寧夏·階段練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】求得的解析式，畫出和的圖象，根據(jù)兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)，判斷出函數(shù)的零點個數(shù).
【詳解】依題意，
，
，
，
，
即.
畫出和的圖象如下圖所示，由圖可知，兩個函數(shù)圖象有個交點.
所以函數(shù)有個零點.
故選：A

【點睛】求解函數(shù)零點個數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)來研究.
8．（2024高三上·江蘇淮安·期中）已知函數(shù)，則函數(shù)，的零點個數(shù)（ ）
A．3個B．5個C．10個D．9個
【答案】D
【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究圖象的性質(zhì)，將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點的問題求解.
【詳解】令，則，
令，即，
，令得或，令得，
所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
因為，所以方程有三個解，
當(dāng)時，，，，
當(dāng)時，，，，
當(dāng)時，，，，
當(dāng)時，方程有個根，當(dāng)時，方程有個根，當(dāng)
時，方程有個根，故函數(shù)零點的個數(shù)為個;
同理可得當(dāng)時和時均可得到函數(shù)零點的個數(shù)為個.
故選：D.
【點睛】嵌套函數(shù)的零點問題，通常采用換元法求解，即令，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)和圖象交點的問題，接著不斷分析，層層遞進即可求解.
9．（2024高三上·湖北武漢·階段練習(xí)）的零點個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由題得，在同一坐標系下，作出函數(shù)的圖象，即得解.
【詳解】令，
在同一坐標系下，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，
由于的圖象有兩個交點，
所以的零點個數(shù)為2,
故選：B
【點睛】本題主要考查零點個數(shù)的判定，考查指數(shù)對數(shù)函數(shù)圖象的作法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力.
10．（2024·天津）已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由，結(jié)合已知，將問題轉(zhuǎn)化為與有個不同交點，分三種情況，數(shù)形結(jié)合討論即可得到答案.
【詳解】注意到，所以要使恰有4個零點，只需方程恰有3個實根
即可，
令，即與的圖象有個不同交點.
因為，
當(dāng)時，此時，如圖1，與有個不同交點，不滿足題意；
當(dāng)時，如圖2，此時與恒有個不同交點，滿足題意；
當(dāng)時，如圖3，當(dāng)與相切時，聯(lián)立方程得，
令得，解得（負值舍去），所以.
綜上，的取值范圍為.
故選：D.

【點晴】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道中檔題.
11．（2024·全國）已知函數(shù)．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是
A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）
【答案】C
【詳解】分析：首先根據(jù)g（x）存在2個零點，得到方程有兩個解，將其轉(zhuǎn)化為有兩個解，即直線與曲線有兩個交點，根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，畫出函數(shù)的圖像（將去掉），再畫出直線，并將其上下移動，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，滿足與曲線有兩個交點，從而求得結(jié)果.
詳解：畫出函數(shù)的圖像，在y軸右側(cè)的去掉，
再畫出直線，之后上下移動，
可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線過點A時，直線與函數(shù)圖像有兩個交點，
并且向下可以無限移動，都可以保證直線與函數(shù)的圖像有兩個交點，
即方程有兩個解，
也就是函數(shù)有兩個零點，
此時滿足，即，故選C.
點睛：該題考查的是有關(guān)已知函數(shù)零點個數(shù)求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題，在求解的過程中，解題的思路是將函數(shù)零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)問題，將式子移項變形，轉(zhuǎn)化為兩條曲線交點的問題，畫出函數(shù)的圖像以及相應(yīng)的直線，在直線移動的過程中，利用數(shù)形結(jié)合思想，求得相應(yīng)的結(jié)果.
12．（2024·廣西·一模）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，若是函數(shù)的一個零點，則（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)、函數(shù)零點的定義，列式求解作答.
【詳解】因為是函數(shù)的一個零點，則，于是，即，
而函數(shù)是奇函數(shù)，則有，
所以.
故選：D
13．（2024·吉林·模擬預(yù)測）已知是函數(shù)的一個零點，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由題可得，然后根據(jù)二倍角公式結(jié)合齊次式即得.
【詳解】因為是函數(shù)的一個零點，
所以，即，故，
則．
故選：D．
14．（2024高三上·山東聊城·階段練習(xí)）已知函數(shù)的零點依次為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分別討論 的零點所在的區(qū)間，然后比較大小.
【詳解】對于 ，顯然是增函數(shù)， ，所以 的唯一零點 ；
對于 ，顯然也是增函數(shù)， ，所以 的唯一零點 ；
對于 ，顯然也是增函數(shù)， ，所以 的唯一零點 ；
；
故選：A.
15．（2024·陜西·一模）已知，若是方程的一個解，則可能存在的區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意可得是方程的解，令，對求導(dǎo)，結(jié)合零點存在性定理即可得出答案.
【詳解】，所以，
因為是方程的一個解，
所以是方程的解，令，
則，當(dāng)時，恒成立，
所以單調(diào)遞增，
又，
所以.
故選：C.
16．（2024·山西陽泉·三模）函數(shù)在區(qū)間存在零點．則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)及函數(shù)零點的存在性定理即可求解.
【詳解】由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
因為函數(shù)在區(qū)間存在零點，
所以，即，解得，
所以實數(shù)m的取值范圍是.
故選：B.
17．（2024高三·天津·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，若函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義求出，確定函數(shù)的單調(diào)性，然后由的零點是0得出結(jié)論．
【詳解】∵是奇函數(shù)，∴，，，易知在上是增函數(shù)，
∴有唯一零點0，
函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，∴在上有解，，∴．
故選：A．
【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的零點，解題關(guān)鍵是等價轉(zhuǎn)化，把函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程在某個區(qū)間上有解，從而再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域．
18．（2024高一上·四川資陽·期末）定義在R上函數(shù)，若函數(shù)關(guān)于點對稱，且則關(guān)于x的方程()有n個不同的實數(shù)解，則n的所有可能的值為
A．2B．4
C．2或4D．2或4或6
【答案】B
【分析】由函數(shù)關(guān)于點對稱，得是奇函數(shù)，由此可作出函數(shù)的圖象，利用圖象可分析方程的根的個數(shù)，再用換元法（設(shè)）把原方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，通過這個二次方程根的研究得出原方程解的個數(shù)．
【詳解】∵函數(shù)關(guān)于點對稱，∴是奇函數(shù)，時，在上遞減，在上遞增，
作出函數(shù)的圖象，如圖，由圖可知的解的個數(shù)是1，2，3.
或時，有一個解，時，有兩個解，時，有三個解，
方程中設(shè)，則方程化為，其判別式為恒成立，方程必有兩不等實根，，，，兩根一正一負，不妨設(shè)，
若，則，，和都有兩個根，原方程有4個根；
若，則，，∴，，有三個根，有一個根，原方程共有4個根；
若，則，，∴，，有一個根，有三個根，原方程共有4個根．
綜上原方程有4個根．
故選：B.
【點睛】本題考查考查函數(shù)零點與方程根的個數(shù)問題，解題時作出函數(shù)圖象利用數(shù)形結(jié)合思想求解是明智之舉．而換元把方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解題關(guān)鍵．
19．（2024·廣東揭陽·二模）已知函數(shù)的圖象上存在點P，函數(shù)g（x）=ax-3的圖象上存在點Q，且P，Q關(guān)于原點對稱，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得函數(shù)關(guān)于原點對稱的函數(shù)，把函數(shù)的圖象上存在點Q，且P，Q關(guān)于原點對稱，轉(zhuǎn)化為在上有解，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值，借助有解，即求解．
【詳解】由題意，函數(shù)關(guān)于原點對稱的函數(shù)為，即，
若函數(shù)的圖象上存在點Q，且P，Q關(guān)于原點對稱，
則等價為在上有解，即，在上有解，
由，則，
當(dāng)時，，此時函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)；
當(dāng)時，，此時函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，
即當(dāng)時，取得極小值同時也是最小值，且，即，
當(dāng)時，，即，
設(shè)，要使得有解，
則當(dāng)過點 時，得，過點時，，解得，
綜上可得．
故選C．
【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的有解問題，以及函數(shù)的對稱問題的應(yīng)用，其中把函數(shù)的圖象上存在點Q，且P，Q關(guān)于原點對稱，轉(zhuǎn)化為有解，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值，結(jié)合圖象是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．
20．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，若無零點，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，參變分離成的形式，畫圖可得k的取值范圍.
【詳解】由題知，，設(shè)，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，所以，的圖象如下，由圖可知，當(dāng)時，與無交點，即無零點.
故選：D.
21．（2024·河南洛陽·一模）已知函數(shù)的圖象上存在點，函數(shù)的圖象上存在點，且，關(guān)于軸對稱，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】因為函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱，
根據(jù)已知得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點，
即方程在上有解，
即在上有解．
令，，
則，
可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時，，
由于，，且，
所以．
故選：A．
22．（2024高三上·湖南衡陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)上一點關(guān)于軸對稱點坐標為，則在上，得到方程有解，即函數(shù)與在上有交點，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性和最值，可得實數(shù)的取值范圍．
【詳解】設(shè)上一點，，且關(guān)于軸對稱點坐標為，在上，
有解，即有解.
令，則，，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增
，，，
有解等價于與圖象有交點， .
故選：B
【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在最值中的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想，考查學(xué)生邏輯推理能力與計算能力，屬于中檔題．
23．（2024高二下·浙江寧波·期末）若函數(shù)至少存在一個零點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將條件轉(zhuǎn)化為有解，然后利用導(dǎo)數(shù)求出右邊函數(shù)的值域即可.
【詳解】因為函數(shù)至少存在一個零點
所以有解
即有解
令，
則
因為，且由圖象可知，所以
所以在上單調(diào)遞減，令得
當(dāng)時，單調(diào)遞增
當(dāng)時，單調(diào)遞減
所以
且當(dāng)時
所以的取值范圍為函數(shù)的值域，即
故選：A
【點睛】1.本題主要考查函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性及簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于中檔題.
2. 若方程有根，則的范圍即為函數(shù)的值域
24．（2024高二下·湖北·期中）設(shè)函數(shù)，記，若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意先求函數(shù)的定義域，由方程有解得到方程有解，
即有解，令，根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)的值域即為所求．
【詳解】由題意得函數(shù)的定義域為．
又，
∵函數(shù)至少存在一個零點，
∴方程有解，
即有解．
令，
則，
∴當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減．
∴．
又當(dāng)時，；當(dāng)時，．
要使方程有解，則需滿足，
∴實數(shù)的取值范圍是．
故選D．
【點睛】解答本題的關(guān)鍵是把方程有解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象有公共點的問題，解題時需要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)圖象的大體形狀，然后再根據(jù)數(shù)形結(jié)合求解，屬于中檔題．
25．（2024·福建廈門·一模）若至少存在一個實數(shù)，使得方程成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出，且，設(shè)，則的取值范圍即的值域，利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用能求出實數(shù)的取值范圍．
【詳解】∵，∴，且，
設(shè)，則的取值范圍即的值域．
，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．
∴當(dāng)時，取最大值，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
∴實數(shù)的取值范圍為．
故選：D．
26．（2024高三·湖南長沙·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意得，構(gòu)造新函數(shù)，通過利用函數(shù)的單調(diào)性，可知在處取最小值，函數(shù)至少存在一個零點，只需即可，即可求出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】依題意得，函數(shù)至少存在一個零點，且，
可構(gòu)造函數(shù)和，
因為，開口向上，對稱軸為，所以為單調(diào)遞減，為單調(diào)遞增；
而，則，由于，所以為單調(diào)遞減，為單調(diào)遞增；
可知函數(shù)及均在處取最小值，所以在處取最小值，
又因為函數(shù)至少存在一個零點，只需即可，即：
解得：.
故選：D.
【點睛】本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，通過構(gòu)造新函數(shù)以及利用二次函數(shù)性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性進而求出函數(shù)最小值，結(jié)合零點求出參數(shù)范圍．
27．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】設(shè)，由函數(shù)奇偶性定義得到為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，由零點唯一性得到，求出的值.
【詳解】設(shè)，定義域為R,
∴，
故函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，
故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
∵有唯一零點，
∴，即．
故選：D．
28．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·三模）已知函數(shù)有唯一零點，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】換元后，根據(jù)函數(shù)的對稱性，可知是偶函數(shù)，根據(jù)只有一個零點，可知只能在對稱軸的地方取值，即可求解.
【詳解】令，則，
記，則，令則，所以是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，因為只有唯一的零點，所以零點只能是于是
故選：C
29．（2024高三下·重慶渝北·階段練習(xí)）已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)的值為
A．或B．1或C．或2D．或1
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，利用函數(shù)的奇偶性，求出，結(jié)合函數(shù)的對稱性得出和都關(guān)于對稱，由有唯一零點，可知，即可求.
【詳解】解：已知，①
且，分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，
則，
得：，②
①+②得：，
由于關(guān)于對稱，
則關(guān)于對稱，
為偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，
則關(guān)于對稱，
由于有唯一零點，
則必有，，
即：，
解得：或.
故選：A.
【點睛】本題考查函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用，涉及函數(shù)的奇偶函數(shù)，對稱性和零點，考查函數(shù)思想和分析能力.
30．（2024·甘肅張掖·三模）已知函數(shù)有唯一零點，則負實數(shù)
A．B．C．D．或
【答案】A
【詳解】函數(shù)有唯一零點，
設(shè)
則函數(shù)有唯一零點，
則
設(shè)∴ 為偶函數(shù)，
∵函數(shù) 有唯一零點，
∴與有唯一的交點，
∴此交點的橫坐標為0， 解得 或（舍去），
故選A．
31．（2024高一上·天津南開·期末）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，則m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】存在兩個零點，等價于與的圖象有兩個交點，數(shù)形結(jié)合求解.
【詳解】
存在兩個零點，等價于與的圖象有兩個交點，在同一直角坐標系中繪制兩個函數(shù)的圖象：
由圖可知，保證兩函數(shù)圖象有兩個交點，滿足，解得：
故選：A.
32．（2024高三上·江西·階段練習(xí)）已知，函數(shù)恰有3個零點，則m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分別求出兩段函數(shù)各自的零點，作出圖像利用數(shù)形結(jié)合即可得出答案.
【詳解】設(shè)，，
求導(dǎo)
由反比例函數(shù)及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，
且，，故在內(nèi)必有唯一零點，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
令，解得或2，可作出函數(shù)的圖像，
令，即，在之間解得或或，
作出圖像如下圖
數(shù)形結(jié)合可得：，
故選：A
33．（2024高三上·陜西西安·期末）已知函數(shù)， 若函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．1B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】本題首先通過函數(shù)奇偶性求出，再利用導(dǎo)數(shù)研究其在上的零點個數(shù)即可.
【詳解】當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
，
，且定義域為，關(guān)于原點對稱，故為奇函數(shù)，
所以我們求出時零點個數(shù)即可，
，，令，解得，
故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
且，而，故在有1零點，
，故在上有1零點，圖像大致如圖所示：
故在上有2個零點，又因為其為奇函數(shù)，則其在上也有2個零點，且，故共5個零點，
故選：D.
34．（2024·天津和平·二模）已知函數(shù) ，若函數(shù)在內(nèi)恰有5個零點，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分析可知，對實數(shù)的取值進行分類討論，確定函數(shù)在上的零點個數(shù)，然后再確定函數(shù)在上的零點個數(shù)，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式（組），綜合可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時，對任意的，在上至多個零點，不合乎題意，所以，.
函數(shù)的對稱軸為直線，.
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且.
①當(dāng)時，即當(dāng)時，則函數(shù)在上無零點，
所以，函數(shù)在上有個零點，
當(dāng)時，，則，
由題意可得，解得，此時不存在；
②當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在上只有一個零點，
當(dāng)時，，則，則函數(shù)在上只有個零點，
此時，函數(shù)在上的零點個數(shù)為，不合乎題意；
③當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在上有個零點，
則函數(shù)在上有個零點，
則，解得，此時；
④當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在上有個零點，
則函數(shù)在上有個零點，
則，解得，此時，.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
故選：D.
【點睛】已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
35．（2024·河南洛陽·一模）已知函數(shù)，有三個不同的零點，（其中），則的值為
A．B．C．-1D．1
【答案】D
【詳解】令f（x）=0，分離參數(shù)得a=令h（x）=由h′（x）= 得x=1或x=e．
當(dāng)x∈（0，1）時，h′（x）＜0；當(dāng)x∈（1，e）時，h′（x）＞0；當(dāng)x∈（e，+∞）時，h′（x）＜0．
即h（x）在（0，1），（e，+∞）上為減函數(shù)，在（1，e）上為增函數(shù)．

∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a=令μ=則a=即μ2+（a-1）μ+1-a=0，
μ1+μ2=1-a＜0，μ1μ2=1-a＜0，
對于μ=， 則當(dāng)0＜x＜e時，μ′＞0；當(dāng)x＞e時，μ′＜0．而當(dāng)x＞e時，μ恒大于0．不妨設(shè)μ1＜μ2，則μ1=， =（1-μ1）2（1-μ2）（1-μ3）
=[（1-μ1）（1-μ2）]2=[1-（1-a）+（1-a）]2=1．
故選D．
點睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，極值等性質(zhì)，訓(xùn)練了函數(shù)零點的判斷方法，運用了分離變量法，換元法，函數(shù)構(gòu)造法等數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，綜合性強．
36．（2024高三上·重慶南岸·階段練習(xí)）設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足有三個不同的零點且 則的值是（ ）
A．81B．-81C．9D．-9
【答案】A
【分析】將函數(shù)由三個不同零點轉(zhuǎn)化為方程有三個不同的實根，可得并令，整理得關(guān)于的一元二次方程，若兩根為可求，再由導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性結(jié)合方程最多只有兩個根，可知，即，，進而可求目標式的值.
【詳解】由有三個不同的零點知：有三個不同的實根，即有三個不同實根，
若，則，整理得，若方程的兩根為，
∴，而，
∴當(dāng)時，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增；即當(dāng)時有極小值為，又，有，即.
∵方程最多只有兩個不同根，
∴，即，，
∴.
故選：A
【點睛】關(guān)鍵點點睛：將問題轉(zhuǎn)化為方程有三個不同實根的問題，應(yīng)用換元法轉(zhuǎn)換方程主元為，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究主元的單調(diào)性，由一元二次方程根只有兩個，可得即有，即可求值.
37．（2024高三上·天津南開·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)
①若方程有四個不同的實根，，，，則的取值范圍是
②若方程有四個不同的實根，，，，則的取值范圍是
③若方程有四個不同的實根，則的取值范圍是
④方程的不同實根的個數(shù)只能是1，2，3，6
四個結(jié)論中，正確的結(jié)論個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】作出的圖像，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系，分析問題，即可得出答案．
【詳解】解：對于①：作出的圖像如下：
若方程有四個不同的實根，，，，則，不妨設(shè)，
則，是方程的兩個不等的實數(shù)根，，是方程的兩個不等的實數(shù)根，
所以，，所以，所以，
所以，故①正確；
對于②：由上可知，，，且，
所以，
所以，，
所以，
所以，故②錯誤；
對于③：方程的實數(shù)根的個數(shù)，即為函數(shù)與的交點個數(shù)，
因為恒過坐標原點，當(dāng)時，有3個交點，當(dāng)時最多2個交點，所以，
當(dāng)與相切時，設(shè)切點為，
即，所以，解得，所以，所以，
所以當(dāng)與相切時， 即時，此時有4個交點，
若有4個實數(shù)根，即有4個交點，
當(dāng)時由圖可知只有3個交點，當(dāng)時，
令，，則，則當(dāng)時，即單調(diào)遞增，當(dāng)時，即單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值即最大值，，
又及對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長趨勢可知，當(dāng)無限大時，即在和內(nèi)各有一個零點，即有5個實數(shù)根，故③錯誤；
對于④：，
所以，
所以或，
由圖可知，當(dāng)時，的交點個數(shù)為2，
當(dāng)，0時，的交點個數(shù)為3，
當(dāng)時，的交點個數(shù)為4，
當(dāng)時，的交點個數(shù)為1，
所以若時，則，交點的個數(shù)為個，
若時，則，交點的個數(shù)為3個，
若，則，交點有個，
若且時，則且，交點有個，
若，交點有1個，
綜上所述，交點可能有1，2，3，6個，即方程不同實數(shù)根1，2，3，6，故④正確；
故選：B．
38．（2024高一上·天津·期中）已知函數(shù)，若方程有四個不同的解且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】畫出的圖象，根據(jù)圖象將表示為只含的形式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍.
【詳解】.
先作圖象，由圖象可得
因此為，
，
從而.
故選：A

39．（2024高一上·四川南充·期末）已知函數(shù)，若方程有四個不同的實根，，，，滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象關(guān)系，得出，，即可求解的取值范圍.
【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示：
方程有四個不同的實根，，，，滿足，
則，
即：，所以，
，所以，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得：，
，
考慮函數(shù)單調(diào)遞增，
，
所以時的取值范圍為.
故選：A
【點睛】此題考查函數(shù)零點的綜合應(yīng)用，涉及分段函數(shù)，關(guān)鍵在于根據(jù)對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象性質(zhì)找出零點的等量關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系求解取值范圍.
40．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝，若互不相等的實數(shù)x1，x2，x3滿足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），則的取值范圍是（ ）
A．（）B．（1，4）C．（，4）D．（4，6）
【答案】A
【分析】由函數(shù)解析式作出圖像，令f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，t∈（0，），把轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)求解．
【詳解】解：畫出分段函數(shù)f(x)＝的圖像如圖：
令互不相等的實數(shù)x1，x2，x3滿足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，t∈（0，），
則x1∈，x2∈（0，1），x3∈（1，2），
則＝1+t+1﹣t+22t﹣2＝2+22t﹣2，
又t∈（0，），
∴∈（）．
故選：A．
41．（2024·遼寧大連·一模）牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法．對于非線性可導(dǎo)函數(shù)在附近一點的函數(shù)值可用代替，該函數(shù)零點更逼近方程的解，以此法連續(xù)迭代，可快速求得合適精度的方程近似解．利用這個方法，解方程，選取初始值，在下面四個選項中最佳近似解為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出迭代關(guān)系為，結(jié)合逐項計算可得出結(jié)果.
【詳解】令，則，
令，即，可得，
迭代關(guān)系為，
取，則，，
故選：D.
42．（2024·天津）設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有6個零點，則a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由最多有2個根，可得至少有4個根，分別討論當(dāng)和時兩個函數(shù)零點個數(shù)情況，再結(jié)合考慮即可得出.
【詳解】最多有2個根，所以至少有4個根，
由可得，
由可得，
（1）時，當(dāng)時，有4個零點，即；
當(dāng)，有5個零點，即；
當(dāng)，有6個零點，即；
（2）當(dāng)時，，
，
當(dāng)時，，無零點；
當(dāng)時，，有1個零點；
當(dāng)時，令，則，此時有2個零點；
所以若時，有1個零點.
綜上，要使在區(qū)間內(nèi)恰有6個零點，則應(yīng)滿足
或或，
則可解得a的取值范圍是.
【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是分成和兩種情況分別討論兩個函數(shù)的零點個數(shù)情況.
43．（2024·全國）函數(shù)在的零點個數(shù)為
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】令，得或，再根據(jù)x的取值范圍可求得零點.
【詳解】由，
得或，，
．
在的零點個數(shù)是3，
故選B．
【點睛】本題考查在一定范圍內(nèi)的函數(shù)的零點個數(shù)，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取特殊值法，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想解題．
44．（2024·湖南）已知函數(shù)與圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】由題可得存在滿足
,
令,
因為函數(shù)和在定義域內(nèi)都是單調(diào)遞增的,
所以函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的,
又因為趨近于時,函數(shù)且在上有解(即函數(shù)有零點),
所以,
故選：B.
考點：指對數(shù)函數(shù) 方程 單調(diào)性
45．（2024·安徽）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點的是
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由選項可知，項均不是偶函數(shù)，故排除，項是偶函數(shù)，但項與軸沒有交點，即項的函數(shù)不存在零點，故選A.
考點：1.函數(shù)的奇偶性；2.函數(shù)零點的概念.
46．（2024·湖南）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【詳解】由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其頂點為(2,1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，可知點(2,1)位于函數(shù)f(x)＝2ln x圖象的下方，故函數(shù)f(x)＝2ln x的圖象與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋5的圖象有2個交點．
47．（2024·福建）若函數(shù)的零點與 的零點之差的絕對值不超過0.25， 則可以是
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】試題分析：因為函數(shù)g(x)＝4x＋2x－2在R上連續(xù)，且，，設(shè)函數(shù)的g(x)＝4x＋2x－2的零點為，根據(jù)零點存在性定理，有，則，所以，又因為f (x)＝4x－1的零點為，函數(shù)f (x)＝(x－1)2的零點為x=1，f (x)＝ex－1的零點為，f (x)＝ln(x－0．5)的零點為，符合為，所以選A．
考點： 零點的概念，零點存在性定理．
48．（2024高三上·河南許昌·開學(xué)考試）已知二次函數(shù)的兩個零點為，若，，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)零點的定義，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解即可.
【詳解】由，，得，，由，
由，解得，
．
，
故選：D
【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)已知不等式得到是解題的關(guān)鍵.
49．（河北省唐山市第十一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）函數(shù)f(x)=的零點所在的一個區(qū)間是
A．（-2，-1）B．（-1,0）C．（0,1）D．（1,2）
【答案】B
【詳解】試題分析：因為函數(shù)f(x)=2+3x在其定義域內(nèi)是遞增的，那么根據(jù)f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函數(shù)的零點存在性定理可知，函數(shù)的零點的區(qū)間為（-1,0），選B．
考點：本試題主要考查了函數(shù)零點的問題的運用．
點評：解決該試題的關(guān)鍵是利用零點存在性定理，根據(jù)區(qū)間端點值的乘積小于零，得到函數(shù)的零點的區(qū)間．
50．（2024高三上·江西·開學(xué)考試）函數(shù)的零點所在區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)零點存在性定理分析判斷
【詳解】因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
所以至多有一個零點，
因為，，
所以在零點在區(qū)間，
故選：A．
51．（2024·浙江）已知是函數(shù)的一個零點，若，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】轉(zhuǎn)化是函數(shù)的一個零點為是函數(shù)與的交點的橫坐標，畫出函數(shù)圖像，利用圖像判斷即可
【詳解】因為是函數(shù)的一個零點，則是函數(shù)與的交點的橫坐標，畫出函數(shù)圖像，如圖所示，
則當(dāng)時，在下方，即；
當(dāng)時，在上方，即，
故選：B
【點睛】本題考查函數(shù)的零點問題，考查數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想
52．（2024高二下·河南·期末）對實數(shù)和，定義運算“”：，設(shè)函數(shù)，，若函數(shù)的圖象與軸恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)新定義的運算法則，列出函數(shù)的解析式，從而問題轉(zhuǎn)化為圖象的交點問題，結(jié)合圖象即可得解.
【詳解】由，得=，
因為函數(shù)的圖象與軸恰有兩個公共點，
所以的圖象有兩個交點，如圖：

由圖可知，當(dāng)時，函數(shù)的圖象有兩個公共點，
所以的取值范圍是，
故選：B．
53．（2024高三下·上海寶山·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義域在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則關(guān)于在R上零點的說法正確的是（ ）
A．有4個零點，其中只有一個零點在內(nèi)
B．有4個零點，其中只有一個零點在內(nèi)，兩個在內(nèi)
C．有5個零點，都不在內(nèi)
D．有5個零點，其中只有一個零點在內(nèi)，一個在
【答案】C
【分析】解法一：先研究時，零點的情況，根據(jù)零點的情況，以及函數(shù)圖象的平移，即可得出時零點的個數(shù).然后根據(jù)奇函數(shù)的對稱性以及特性，即可得出答案；解法二：求解方程，也可以得出時零點的個數(shù). 然后根據(jù)奇函數(shù)的對稱性以及特性，即可得出答案.
【詳解】解法一：根據(jù)對稱性可以分三種情況研究
(1)的情況，是把拋物線與軸交點為向上平移了0.02，則與軸交點變至之間了，所以在之間有兩個零點；
(2)當(dāng)時，，根據(jù)對稱性之間也有兩個零點
(3)是定義在R上的奇函數(shù)，故，
所以有五個零點.
解法二：
(1)直接解方程的兩根
也可以得兩根為，都在之間；
(2)當(dāng)時，，根據(jù)對稱性之間也有兩個零點
(3)是定義在R上的奇函數(shù)，故，
所以有五個零點.
故選：C.
【點睛】方法點睛：先求出時，零點的情況.然后根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案.
54．（2024·湖南·模擬預(yù)測）有甲、乙兩個物體同時從A地沿著一條固定路線運動，甲物體的運動路程（千米）與時間t（時）的關(guān)系為，乙物體運動的路程（千米）與時間t（時）的關(guān)系為，當(dāng)甲、乙再次相遇時，所用的時間t（時）屬于區(qū)間（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)零點作答.
【詳解】設(shè)當(dāng)甲、乙再次相遇時，所用的時間為t小時，則，
令，，求導(dǎo)得，由得，
而函數(shù)在上單調(diào)遞增，即當(dāng)時，，當(dāng)，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
而當(dāng)時，，，，因此存在唯一，使得，
所以當(dāng)甲、乙再次相遇時，所用的時間t（時）屬于區(qū)間.
故選：B
55．（2024高一·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）關(guān)于的方程，給出下列四個命題：
①存在實數(shù)，使得方程恰有2個不同的實根；
②存在實數(shù)，使得方程恰有4個不同的實根；
③存在實數(shù)，使得方程恰有5個不同的實根；
④存在實數(shù)，使得方程恰有8個不同的實根.
其中假命題的個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】令，則，作出這兩個函數(shù)的圖象，利用兩個函數(shù)的圖象可得結(jié)果.
【詳解】令，則，
作出這兩個函數(shù)的圖象，如圖：

由圖可知，
當(dāng)時，只有一個大于的根，則方程恰有兩個實根；故①為真命題；
當(dāng)時，由得或，
當(dāng)時，，當(dāng)時，或，此時原方程恰有5個實根，故③為真命題；
當(dāng)時，有兩個實根，兩個實根在內(nèi)，此時原方程有8個實根，故④為真命題；
當(dāng)時，由得，則方程恰有4個實根；此時原方程恰有4個實根，故②為真命題.
故選：A
【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)造兩個函數(shù)，利用兩個函數(shù)的圖象求解是本題的解題關(guān)鍵.
56．（2024高一上·浙江金華·階段練習(xí)）是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，其圖象如圖所示：令，則下列關(guān)于函數(shù)的敘述正確的是（ ）
A．若，則函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱
B．若，，則方程有大于2的實根
C．若，，則方程有兩個實根
D．若，，則方程有三個實根
【答案】B
【分析】A.取，判斷；B.由，仍是奇函數(shù)，2仍是它的一個零點，再由上下平移判斷； C.取，判斷；D.取，判斷.
【詳解】A.若，，則函數(shù)不是奇函數(shù)，其圖象不可能關(guān)于原點對稱，故錯誤；
B.當(dāng)時，仍是奇函數(shù)，2仍是它的一個零點，但單調(diào)性與相反，若再加b，，則圖象又向下平移個單位長度，所以有大于2的實根，故正確；
C.若，，則，其圖象由的圖象向上平移2個單位長度，那么只有1個零點，所以只有1個實根，故錯誤；
D.若，，則的圖象由的圖象向下平移3個單位長度，它只有1個零點，即只有一個實根，故錯誤.
故選：B.
57．（2024高一上·廣東中山·期中）下列圖像表示的函數(shù)中能用二分法求零點的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先判斷圖像對應(yīng)的是否函數(shù)，再判斷它們是不是變號零點，逐項判斷可得答案.
【詳解】四個圖像中，與x軸垂直的直線和圖像只有一個交點，所以四個圖像都表示函數(shù)的圖像，
對于A，函數(shù)圖像和x軸無交點，所以無零點，故錯誤；
對于B，D，函數(shù)圖像和x軸有交點，函數(shù)均有零點，但它們均是不變號零點，因此都不能用二分法求零點；
對于C，函數(shù)圖像是連續(xù)不斷的，且函數(shù)圖像與x軸有交點，并且其零點為變號零點.
故選：C．
58．（2024高一下·湖北·階段練習(xí)）某同學(xué)用二分法求函數(shù)的零點時，計算出如下結(jié)果：，，下列說法正確的有（ ）
A．是滿足精度為的近似值.
B．是滿足精度為的近似值
C．是滿足精度為的近似值
D．是滿足精度為的近似值
【答案】B
【分析】根據(jù)二分法基本原理滿足判斷即可.
【詳解】，又
A錯誤；
，又，
滿足精度為的近似值在內(nèi)，則B正確，D錯誤；
， C錯誤.
故選：B.
59．（2024高一下·江蘇南京·期中）用二分法研究函數(shù)的零點時，第一次計算，得，，第二次應(yīng)計算，則等于（ ）
A．1B．C．0.25D．0.75
【答案】C
【分析】根據(jù)二分法的定義計算可得；
【詳解】解：因為，，所以在內(nèi)存在零點，
根據(jù)二分法第二次應(yīng)該計算，其中；
故選：C
二、多選題
60．（2024高三上·遼寧大連·階段練習(xí)）已知函數(shù)，下列關(guān)于函數(shù)的零點個數(shù)的說法中，正確的是（ ）
A．當(dāng)，有1個零點B．當(dāng)時，有3個零點
C．當(dāng)，有2個零點D．當(dāng)時，有7個零點
【答案】ABD
【分析】將函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為解的個數(shù)問題，設(shè)，即有，然后結(jié)合每個選項中t的范圍作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求解相應(yīng)方程的解，進而確定函數(shù)零點個數(shù).
【詳解】令，則，設(shè)，則等價于，
則函數(shù)的零點個數(shù)問題即為解的個數(shù)問題；
二次函數(shù)，其圖象開口向上，過點，對稱軸為，
對于A，當(dāng)時，作出函數(shù)的圖象如圖：

由圖象可知有一個根，
則由可知此時方程只有一個解，
此時函數(shù)的零點個數(shù)為1，A正確；
對于B，當(dāng)時，，
作出函數(shù)的圖象如圖：

由圖象可知有一個根，
令，令，
則有3個解，即和，
此時此時函數(shù)有3個零點，B正確；
對于C，當(dāng)時，分析同A，函數(shù)有1個零點，C錯誤；
對于D，當(dāng)時，，
作出函數(shù)的圖象如圖：

由圖象可知有3個根，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
則對于，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時共有3個解；
對于，此時有1個解，
即有2個解，
對于，此時有1個解，
即無解，
故此時函數(shù)有7個零點，D正確；
故選：ABD
【點睛】方法點睛：本題是關(guān)于復(fù)合函數(shù)的零點的判斷問題，首先將零點問題轉(zhuǎn)化為方程的解的問題；解答時要采用換元的方法，利用數(shù)形結(jié)合法，先判斷外層函數(shù)對應(yīng)方程的解的個數(shù)問題，繼而求解內(nèi)層函數(shù)對應(yīng)方程的解.
61．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)有4個零點，分別為，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．的取值與無關(guān)D．的最小值為10
【答案】AD
【分析】根據(jù)題意分析可得：原函數(shù)的4個零點可表示為直線與函數(shù)交點的橫坐標，結(jié)合圖象以及基本不等式逐項分析判斷.
【詳解】令，可得：
當(dāng)時，即，可得；
當(dāng)時，即，可得，；
當(dāng)時，即，可得，.
原函數(shù)的4個零點可表示為直線與函數(shù)交點的橫坐標，
對于選項A、C：如圖所示，是方程的兩個解，
根據(jù)韋達定理可得：，即可知選項A成立，選項C不成立；
對于選項B：因為，結(jié)合圖象可得，即可知選項B不成立；
對于選項D：其中，
則有，當(dāng)且僅當(dāng)時，成立，
綜上所述：的最小值為10，選項D成立.
故選：AD.

【點睛】方法點睛：利用函數(shù)零點求參數(shù)值或取值范圍的方法
（1）利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；
（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解；
（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解．
62．（2024高三上·重慶渝中·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有個不等的實根、、、且，則下列判斷正確的是（ ）
A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，的范圍為
C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，的范圍為
【答案】ABC
【分析】令，求出方程的兩根，數(shù)形結(jié)合可判斷A選項；根據(jù)零點個數(shù)得出關(guān)于的不等式組，求出的范圍，可判斷BD選項；利用二次函數(shù)的對稱性與對數(shù)運算可判斷C選項.
【詳解】令，則，，
A.當(dāng)時，，，由有解，有4解，故，A對；
B.當(dāng)時，則方程、各有一解，
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
由圖可得，解得，B對；
C.當(dāng)時，如下圖所示：
由圖象可知，點、關(guān)于直線對稱，則，
由圖可知，，，由可得，所以，，
則，因此，，C對；
D.當(dāng)時，有兩種情況：或，
從而可得的范圍為，D錯.
故選：ABC.
【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
63．（2024高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且時，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的解集為
B．當(dāng)時，
C．有且只有兩個零點
D．
【答案】ABD
【分析】由函數(shù)的奇偶性求解可判斷B；利用B中的結(jié)論及已知條件解不等式可判斷A；由函數(shù)的解析式及奇函數(shù)的性質(zhì)求出零點可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值可判斷D.
【詳解】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，
當(dāng)時，，則，故B正確；
當(dāng)時，，由即，解得；
當(dāng)時，，由即，解得，
所以的解集為，故A正確；
當(dāng)時，由，解得；
因為是定義在上的奇函數(shù)，所以；
當(dāng)時，由，解得，
故有且只有三個零點，故C錯誤；
當(dāng)時，，，
故在上單調(diào)遞增，所以，，
則，故D正確．
故選：ABD．
64．（2024高一上·山東菏澤·期末）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．函數(shù)有且僅有一個零點0B．
C．在上單調(diào)遞增D．在上單調(diào)遞減
【答案】BC
【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷單調(diào)性和零點．
【詳解】由函數(shù)，可得有兩個零點0、1，故A錯誤；
由于，故B正確；
當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；
當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，故D錯誤．
故選：BC．
三、填空題
65．（2024·山東）已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù),若方程在區(qū)間上有四個不同的根，則
【答案】
【分析】說明函數(shù)是周期為8的函數(shù)，求出其對稱軸，畫出函數(shù)的大致圖像，根據(jù)圖像判斷即可.
【詳解】解：定義在R上的奇函數(shù)，所以，，
又，所以，8是函數(shù)的一個周期，
所以，所以是函數(shù)的一條對稱軸，函數(shù)的對稱軸是，根據(jù)以上性質(zhì)畫出函數(shù)的大致圖像:

有圖像知，，所以，
故答案為：
【點睛】把函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性與方程的根的個數(shù)結(jié)合起來考查，中檔題.
66．（2024·天津）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是 .
【答案】
【分析】函數(shù)過定點（0，-2），由數(shù)形結(jié)合：
【考點定位】本題考查函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查學(xué)生畫圖、識圖以及利用圖像解決問題的能力.
67．（2024·安徽）在平面直角坐標系中，若直線與函數(shù)的圖像只有一個交點，則的值為 .
【答案】
【詳解】試題分析：時取得最小值．即函數(shù)的圖像的最低點為．
當(dāng)時，由數(shù)形結(jié)合可知此時直線與的圖像必有兩個交點，故舍；
當(dāng)時，要使直線與的圖像只有一個交點，則有直線必過點，
即，解得．
綜上可得．
考點：1函數(shù)圖像交點問題；2數(shù)形結(jié)合思想．
68．（2024高三·全國·專題練習(xí)）人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題．牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法．這種求方程根的方法，在科學(xué)界已被廣泛采用．例如求方程的近似解，先用函數(shù)零點存在定理，令，，，得上存在零點，取，牛頓用公式反復(fù)迭代，以作為的近似解，迭代兩次后計算得到的近似解為 ；以為初始區(qū)間，用二分法計算兩次后，以最后一個區(qū)間的中點值作為方程的近似解，則近似解為 ．
【答案】
【分析】第一空，理解消楚“迭代”的含義，實際上是一個遞推數(shù)列，反復(fù)代入給定的表達式，計算即可；第二空，根據(jù)二分法依次取區(qū)間中點值計算即可.
【詳解】已知，則．
迭代1次后，；
選代2次后，；
用二分法計算第1次，區(qū)間的中點為，，，所以近似解在區(qū)間上；
用二分法計算第2次，區(qū)間的中點為，，，所以近似解在區(qū)間上，取其中點值，
故所求近似解為．
故答案為：，
69．（2003·全國）方程的根 ．（結(jié)果精確到0.1）
【答案】2.6
【分析】首先確定根在之間，設(shè)，通過二分法結(jié)合計算器確定其答案.
【詳解】設(shè)，函數(shù)單調(diào)遞增，
且
，
，
結(jié)果保留到,則.
故答案為：.
70．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知實數(shù)，滿足，，則 .
【答案】4
【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化公式，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和零點存在原理進行求解即可.
【詳解】由，即，
即，
令，則，
即，即.
由，得，
設(shè)函數(shù)，顯然該函數(shù)增函數(shù)，
又，
所以函數(shù)在上有唯一的零點，
因此，即，
所以.
故答案為：4.
71．（2024·新疆·二模）已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】通過對進行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)零點的存在性定理，判斷出函數(shù)在定義上的零點，進而得出結(jié)果．
【詳解】因為，所以
當(dāng)時，有，解得，所以當(dāng)時，有兩個零點，不符合題意；
當(dāng)時，由，解得或，且有，，
當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
又因為，，
所以，存在一個正數(shù)零點，所以不符合題意；
當(dāng)時，令，解得或，且有，
當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
又因為，，
所以，存在一個負數(shù)零點，要使存在唯一的零點，
則滿足，解得或，又因為，所以，
綜上，的取值范圍是．
故答案為：.
72．（2024·天津濱海新·三模）已知函數(shù)，若函數(shù)在上恰有三個不同的零點，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，利用分段函數(shù)的表達式，結(jié)合題意將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．
【詳解】當(dāng)時，，
因為恰有三個不同的零點，
函數(shù)在上恰有三個不同的零點，即有三個解，
而無解，故.
當(dāng)時，函數(shù)在上恰有三個不同的零點，
即，即與的圖象有三個交點，如下圖，
當(dāng)時，與必有1個交點，
所以當(dāng)時，有2個交點，
即，即令在內(nèi)有兩個實數(shù)解，
，

當(dāng)時，函數(shù)在上恰有三個不同的零點，
即，即與的圖象有三個交點，如下圖，

當(dāng)時，必有1個交點，
當(dāng)時，與有2個交點，
所以，即在上有根，
令
故，解得：.
綜上所述：的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查函數(shù)方程的應(yīng)用，結(jié)合分段函數(shù)的表達式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點個數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．
73．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）若曲線有兩條過的切線，則a的范圍是 .
【答案】
【分析】由題可將曲線有兩條過的切線轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線有兩個交點.后利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，畫出大致圖象，即可得答案.
【詳解】設(shè)切線切點為，因，則切線方程為：.
因過，則，由題函數(shù)圖象
與直線有兩個交點.，
得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
又，，.
據(jù)此可得大致圖象如下.則由圖可得，當(dāng)時，曲線有兩條過的切線.
故答案為：
74．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知實數(shù)m，n滿足，則 .
【答案】
【分析】首先根據(jù)條件進行同構(gòu)變形，從而構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.
【詳解】因為，所以，
故，即，
即.
由，得.
令，因為增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
而，故，解得，則.
故答案為：
75．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，則 ．
【答案】2
【分析】根據(jù)零點的定義，等價轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)求交點，根據(jù)反函數(shù)的定義，結(jié)合對稱性，可得答案.
【詳解】由，得， 函數(shù)與互為反函數(shù)，
在同一坐標系中分別作出函數(shù)，，的圖象，
如圖所示，則，，由反函數(shù)性質(zhì)知A，B關(guān)于對稱，
則，.
故答案為：.
76．（2024高二下·安徽蚌埠·期末）已知函數(shù)，，若函數(shù)存在零點2023，則函數(shù)一定存在零點，且 ．（只寫一個即可）
【答案】
【分析】由函數(shù)存在零點2023求得值，代入函數(shù)，再求解方程 得答案.
【詳解】存在零點2023，
是方程的根，即，
所以.
由，得,
得，
即一定是方程的一個根，
也就是函數(shù)一定存在零點，且.
故答案為：.
（一）
求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間
求函數(shù)零點的方法：
（1）代數(shù)法，即求方程的實根，適合于宜因式分解的多項式；（2）幾何法，即利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)找出零點，適合于宜作圖的基本初等函數(shù).
題型1：求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間
1-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)， ，函數(shù)的零點為 .
【答案】
【分析】第一空：利用代入法直接求解即可；第二空，令，分類討論即可得解.
【詳解】因為，
所以，則；
令，則，即，
當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，，解得（舍去）；
綜上：函數(shù)的零點為.
故答案為：；.
1-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的零點為 ．
【答案】4
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義及函數(shù)零點的定義計算即可.
【詳解】依題意有，
所以.
故答案為：4.
1-3．（2007·湖南）函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點個數(shù)是
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【詳解】試題分析：解：在同一坐標系中畫出函數(shù)的圖象和函數(shù)g（x）=lg2x的圖象，如下圖所示：
由函數(shù)圖象得，兩個函數(shù)圖象共有3個交點，故選C.
考點：1.函數(shù)的圖象與圖象變化；2.零點個數(shù)．
1-4．（2024·湖北）方程的實數(shù)解的個數(shù)為 .
【答案】2
【詳解】因為,作出函數(shù)的圖像，從圖像可以觀察到兩函數(shù)的圖像有兩個公共點，所以方程的實數(shù)解的個數(shù)為2.
1-5．（2024·北京）已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點的區(qū)間是
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】因為，，所以由根的存在性定理可知：選C.
考點：本小題主要考查函數(shù)的零點知識，正確理解零點定義及根的存在性定理是解答好本類題目的關(guān)鍵.
1-6．（2024高三上·陜西渭南·階段練習(xí)）已知函數(shù)的零點位于區(qū)間內(nèi)，則 .
【答案】2
【分析】利用函數(shù)單調(diào)性和零點存在性定理可知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點即可得出結(jié)果.
【詳解】由題意可知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
易知，
而，所以,
根據(jù)零點存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點，
所以可得.
故答案為：
1-7．（2024高一上·北京·期中）設(shè)函數(shù)y＝x3與y＝的圖象的交點為(x0，y0)，則x0所在的區(qū)間是（ ）
A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)
【答案】B
【解析】函數(shù)y＝x3與y＝的圖象的交點的橫坐標即為的零點，將問題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)的零點所在區(qū)間的問題，再由函數(shù)零點的存在性定理可得到答案．
【詳解】設(shè)，則是增函數(shù)，又
.
所以，
所以x0所在的區(qū)間是(1，2)
故選：B
【點睛】本題考查函數(shù)圖象的交點，考查函數(shù)的零點，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)，正確運用函數(shù)零點存在定理，屬于中檔題.
（二）
利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍
本類問題應(yīng)細致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)關(guān)系，列關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式，從而獲解.
題型2：利用函數(shù)的零點(個數(shù)）確定參數(shù)的取值范圍
2-1．（2024·天津北辰·三模）設(shè)，對任意實數(shù)x，記．若有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】分析函數(shù)的零點，由條件列不等式求a的取值范圍.
【詳解】令，
因為函數(shù)有一個零點，函數(shù)至多有兩個零點，
又有三個零點，
所以必須有兩個零點，且其零點與函數(shù)的零點不相等，
且函數(shù)與函數(shù)的零點均為函數(shù)的零點，
由可得，，所以，
所以為函數(shù)的零點，
即，
所以，
令，可得，
由已知有兩個根，
設(shè)，則有兩個正根，
所以，，
所以，故，
當(dāng)時，有兩個根，
設(shè)其根為，，則，
設(shè)，則，，
所以，
令，則，
則，，
且，，
所以當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，為函數(shù)的零點，又也為函數(shù)的零點，
且與互不相等，
所以當(dāng)時，函數(shù)有三個零點.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：函數(shù)零點的求解與判斷方法：
(1)直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．
(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．
(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．
2-2．（2024高一上·江西·階段練習(xí)）函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先判斷出在上是增函數(shù)，利用零點存在定理列不等式，即可求a的范圍.
【詳解】∵和在上是增函數(shù)，
∴在上是增函數(shù)，
∴只需即可，即，解得.
故選：D.
2-3．（2024高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上有零點，則實數(shù)的取值范圍 .
【答案】
【分析】通過討論的范圍，利用函數(shù)的單調(diào)性及零點存在定理判斷函數(shù)的零點個數(shù)，從而確定的范圍.
【詳解】當(dāng)時，，，，
故，由零點存在性定理知：在區(qū)間上至少有1個零點；
當(dāng)時，，符合題意；
當(dāng)時，，
，
由零點存在性定理知，在區(qū)間至少有1個零點；
當(dāng)時，
，
因為，，所以，，
當(dāng)時，，，遞增，
當(dāng)時，，，遞減，
故在上遞增，在上遞減，
又，即在上，，
故在區(qū)間上沒有零點．
所以，當(dāng)時，函數(shù)在上有零點.
令，，
可知為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，
從而，當(dāng)時，函數(shù)在上有零點.
又當(dāng)時，，符合題意，
綜上，實數(shù)的取值范圍．
故答案為：．
2-4．（2024·浙江紹興·二模）已知函數(shù)，若在區(qū)間上有零點，則的最大值為 .
【答案】
【分析】設(shè)，即可求出b，繼而求出的表達式，將看作主元，配方得，記，即可求解最大值.
【詳解】設(shè)，則，
此時，則，
令，
當(dāng)時，，
記，則，
所以在上遞增，在上遞減，
故,所以，
所以的最大值為.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題是雙參數(shù)函數(shù)的零點問題，
第一步消參：通過設(shè)零點，代入方程，得到其中一個參數(shù)的表達式，
第二步主元法求最值：將所求表達式通過主元法（關(guān)于另一個參數(shù)）構(gòu)造函數(shù)求出最值，即可求解.
2-5．（2024·天津）設(shè),函數(shù),若恰有兩個零點，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)絕對值的意義，去掉絕對值，求出零點，再根據(jù)根存在的條件即可判斷的取值范圍．
【詳解】（1）當(dāng)時，，
即，
若時，，此時成立；
若時，或，
若方程有一根為，則，即且；
若方程有一根為，則，解得：且；
若時，，此時成立．
（2）當(dāng)時，，
即，
若時，，顯然不成立；
若時，或，
若方程有一根為，則，即；
若方程有一根為，則，解得：；
若時，，顯然不成立；
綜上，
當(dāng)時，零點為，；
當(dāng)時，零點為，；
當(dāng)時，只有一個零點；
當(dāng)時，零點為，；
當(dāng)時，只有一個零點；
當(dāng)時，零點為，；
當(dāng)時，零點為．
所以，當(dāng)函數(shù)有兩個零點時，且．
故答案為：．
【點睛】本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)定義去掉絕對值，求出方程的根，再根據(jù)根存在的條件求出對應(yīng)的范圍，然后根據(jù)范圍討論根（或零點）的個數(shù)，從而解出．
2-6．（2024·天津）設(shè)，對任意實數(shù)x，記．若至少有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】設(shè)，，分析可知函數(shù)至少有一個零點，可得出，求出的取值范圍，然后對實數(shù)的取值范圍進行分類討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，綜合可求得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】設(shè)，，由可得.
要使得函數(shù)至少有個零點，則函數(shù)至少有一個零點，則，
解得或.
①當(dāng)時，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：
此時函數(shù)只有兩個零點，不合乎題意；
②當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的兩個零點分別為、，
要使得函數(shù)至少有個零點，則，
所以，，解得；
③當(dāng)時，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：
由圖可知，函數(shù)的零點個數(shù)為，合乎題意；
④當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的兩個零點分別為、，
要使得函數(shù)至少有個零點，則，
可得，解得，此時.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
（三）
嵌套函數(shù)的零點問題
1、涉及幾個根的取值范圍問題，需要構(gòu)造新的函數(shù)來確定取值范圍．
2、二次函數(shù)作為外函數(shù)可以通過參變分離減少運算，但是前提就是函數(shù)的基本功要扎實．
題型3：嵌套函數(shù)的零點問題
3-1．（2024高三上·浙江紹興·期中）已知函數(shù)有三個不同的零點.其中，則的值為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】令，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，畫出圖象，從而考慮有兩個不同的根，從而可得或，結(jié)合圖象可得，，，結(jié)合韋達定理即可得到所求值．
【詳解】解：令，則，
故當(dāng)時，，是增函數(shù)，
當(dāng)時，，是減函數(shù)，
可得處取得最小值，
，，畫出的圖象，
由可化為，
故結(jié)合題意可知，有兩個不同的根，
故，故或，
不妨設(shè)方程的兩個根分別為，，
①若，，
與相矛盾，故不成立；
②若，則方程的兩個根，一正一負；
不妨設(shè)，結(jié)合的性質(zhì)可得，，，，
故
又，，
．
故選：A．

【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，同時考查了分類討論思想的應(yīng)用，屬于難題．
3-2．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有三個不同的實數(shù)解，則正實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】化簡函數(shù)解析式，分析可知關(guān)于的方程、共有個不同的實數(shù)解，利用代數(shù)法可知方程有兩個根，分析可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】因為，
由可得，
所以，關(guān)于的方程、共有個不同的實數(shù)解.
①先討論方程的解的個數(shù).
當(dāng)時，由，可得，
當(dāng)時，由，可得，
當(dāng)時，由，可得，
所以，方程只有兩解和；
②下面討論方程的解的個數(shù).
當(dāng)時，由可得，可得或，
當(dāng)時，由，可得，此時方程有無數(shù)個解，不合乎題意，
當(dāng)時，由可得，
因為，由題意可得或或，
解得或.
因此，實數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
3-3．（2024·河南安陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則關(guān)于的方程有個不同實數(shù)解，則實數(shù)滿足（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】C
【分析】令，利用換元法可得，由一元二次方程的定義知該方程至多有兩個實根、，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合題意和圖象可得、，進而得出結(jié)果.
【詳解】令，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：
由于方程至多兩個實根，設(shè)為和，
由圖象可知，直線與函數(shù)圖象的交點個數(shù)可能為0?2?3?4，
由于關(guān)于x的方程有7個不同實數(shù)解，
則關(guān)于u的二次方程的一根為，則，
則方程的另一根為，
直線與函數(shù)圖象的交點個數(shù)必為4，則，解得.
所以且.
故選：C.
3-4．（2024·四川廣安·一模）已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)解，則的所有可能的值為
A．B．或C．或D．或或
【答案】A
【詳解】在和上單增，上單減，又當(dāng)時，時，故的圖象大致為：
令，則方程必有兩個根，且，不仿設(shè) ，當(dāng)時，恰有，此時，有個根，，有個根，當(dāng)時必有，此時無根，有個根，當(dāng)時必有，此時有個根，，有個根，綜上，對任意，方程均有個根，故選A.
【方法點睛】已知函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)，求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：(1)直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．一是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為的交點個數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題 .
（四）
二分法
所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點的近似值.
題型4：二分法
4-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點，要求精確度為時，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】由于長度等于1區(qū)間，每經(jīng)這一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，那么?jīng)過次操作后，區(qū)間長度變?yōu)?，若要求精確度為時則，解不等式即可求出所需二分區(qū)間的最少次數(shù).
【詳解】因為開區(qū)間的長度等于1，每經(jīng)這一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?br>所以經(jīng)過次操作后，區(qū)間長度變?yōu)椋?br>令，解得，且，
故所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為7.
故選：C.
4-2．（2024高一上·遼寧·期中）用二分法求方程的近似解時，可以取的一個區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)零點存在定理進行判斷.
【詳解】設(shè)，易知為增函數(shù)，而，，
∴函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，
即用二分法求方程的近似解時，可以取的一個區(qū)間是．
故選：A．
4-3．（2024高一上·四川廣安·期中）函數(shù)的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法逐次計算，參考數(shù)據(jù)如下：


那么方程的一個近似解（精確度為0.1）為（ ）
A．1.5B．1.25C．1.41D．1.44
【答案】C
【分析】根據(jù)二分法的定義和精確度的要求分析判斷即可
【詳解】由所給數(shù)據(jù)可知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個根，
因為，，
所以根在內(nèi)，
因為，所以不滿足精確度，
繼續(xù)取區(qū)間中點，
因為 ，，
所以根在區(qū)間，
因為，所以不滿足精確度，
繼續(xù)取區(qū)間中點，
因為，，
所以根在區(qū)間內(nèi)，
因為滿足精確度，
因為，所以根在內(nèi)，
所以方程的一個近似解為，
故選：C
4-4．（2024高一上·貴州遵義·期末）利用二分法求方程的近似解，可以取的一個區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)，根據(jù)當(dāng)連續(xù)函數(shù)滿足（a）（b）時，在區(qū)間上有零點，即方程在區(qū)間上有解，進而得到答案．
【詳解】解：設(shè)，
當(dāng)連續(xù)函數(shù)滿足（a）（b）時，在區(qū)間上有零點，
即方程在區(qū)間上有解，
又（2），（3），
故（2）（3），
故方程在區(qū)間上有解，
即利用二分法求方程的近似解，可以取的一個區(qū)間是.
故選：C．
4-5．（2024高三上·寧夏·期末）用二分法求函數(shù)的一個零點，根據(jù)參考數(shù)據(jù)，可得函數(shù)的一個零點的近似解（精確到0.1）為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，，，，）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根據(jù)函數(shù)特點及所給數(shù)據(jù)計算相關(guān)函數(shù)值，再結(jié)合零點存在定理即可獲得解答.
【詳解】由題意可知：
，
，
又因為函數(shù)在上連續(xù)，所以函數(shù)在區(qū)間上有零點，
約為
故選：C.
【點睛】函數(shù)零點的求解與判斷方法：
(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．
(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．
(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．
4-6．（2024高三上·湖南長沙·期中）用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點，要求精確度為0.01時，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】由題可得經(jīng)過n次操作后，區(qū)間的長度為，令即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，原來區(qū)間的長度等于1，每經(jīng)過二分法的一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?br>則經(jīng)過n次操作后，區(qū)間的長度為，若，即.
故選：B．

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備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點突破和專題檢測專題09函數(shù)與方程4題型分類(原卷版+解析)：

這是一份備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點突破和專題檢測專題09函數(shù)與方程4題型分類(原卷版+解析)，共93頁。試卷主要包含了函數(shù)的零點，方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系，零點存在性定理，二分法，用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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