專題29 求數(shù)列的通項(xiàng)公式10題型分類-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(cè)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.數(shù)列的通項(xiàng)公式
如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．
2.數(shù)列的遞推公式
如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式，知道了首項(xiàng)和遞推公式，就能求出這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)．
一、單選題
1．（2024高二上·浙江嘉興·期中）“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國(guó)來華傳教偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”．“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將正整數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（）
A．17B．37C．107D．128
2．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題，其各項(xiàng)規(guī)律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，記此數(shù)列為，則（）
A．650B．1050C．2550D．5050
3．（2024·吉林·三模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第25項(xiàng)與第24項(xiàng)的差為（）
A．22B．24C．25D．26
4．（2024·吉林通化·模擬預(yù)測(cè)）“楊輝三角”是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)成就，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，從第三行起，每一行的第三個(gè)數(shù)1，，，，構(gòu)成數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則（）
A．B．C．D．
5．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）數(shù)列1，3，7，15，……的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）
A．B．C．D．
6．（2024·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：，，，則（）
A．B．
C．D．
7．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，則（）
A．2023B．2024C．4045D．4047
8．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是（）
A．B．C．D．n
9．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）
A．B．
C．D．
10．（2024高二下·河南·期中）已知數(shù)列滿足，(，)，則數(shù)列的通項(xiàng)（）
A．B．
C．D．
11．（2024高三下·安徽·階段練習(xí)）在數(shù)列中，且，則它的前項(xiàng)和（）
A．B．C．D．
12．（2024高三上·江蘇淮安·階段練習(xí)）天干地支紀(jì)年法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，2022年是壬寅年，請(qǐng)問：在100年后的2122年為（）
A．壬午年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年
13．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，則（）
A．B．1C．4043D．4044
14．（2024·云南玉溪·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，若，則（）
A．B．C．D．2
15．（2024高三上·福建龍巖·期末）數(shù)列滿足，，且其前項(xiàng)和為.若，則正整數(shù)（）
A．99B．103C．107D．198
二、填空題
16．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .
17．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知數(shù)列中，，且（，且），則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
18．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且，則的通項(xiàng)公式是．
19．（2024高二上·河南·階段練習(xí)）若數(shù)列滿足（為常數(shù)），則稱數(shù)列為等比和數(shù)列，稱為公比和，已知數(shù)列是以3為公比和的等比和數(shù)列，其中，，則 .
20．（2024高三上·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）若數(shù)列滿足，則 .
21．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）數(shù)列滿足，前16項(xiàng)和為540，則．
22．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）數(shù)列滿足，前16項(xiàng)和為508，則．
23．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，，則的通項(xiàng)公式為．
24．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則．
25．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則．
三、解答題
26．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列，，且對(duì)于時(shí)恒有，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
27．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：求.
28．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列是首項(xiàng)為.
(1)求通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
29．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}中，，，求{an}的通項(xiàng).
30．（2024高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，滿足，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若不等式對(duì)任意正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
31．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在數(shù)列{}中，求通項(xiàng)公式．
32．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
33．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
34．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在數(shù)列中，求．
35．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，求的通項(xiàng)公式．
36．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
37．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列中，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和.
38．（2024·廣東潮州·二模）已知數(shù)列滿足，.
(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.
39．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（）.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
40．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足．
(1)寫出數(shù)列的前3項(xiàng)；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
41．（2024·河北衡水·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)積．
42．（2024·海南?？凇ひ荒＃┮阎黜?xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前n項(xiàng)和.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若對(duì)任意，且當(dāng)時(shí)，總有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
43．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.證明：是等比數(shù)列.
44．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，且，，
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；
(2)證明：.
45．（2024高三下·河北石家莊·階段練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為且當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
46．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
47．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
48．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
49．（2024·江西·三模）已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和．
50．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知．證明：是等差數(shù)列；
51．（2024高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）為數(shù)列的前n項(xiàng)積，且．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求的通項(xiàng)公式．
52．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，且．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)求的最大值．
53．（2024高三下·陜西西安·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)積.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，數(shù)列的前n項(xiàng)為，求的最小值.
54．（2024高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)的積，且，為數(shù)列的前n項(xiàng)的和，若（，）.
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）求的通項(xiàng)公式.
55．（2024高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求的通項(xiàng)公式．
56．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）數(shù)列滿足：，求通項(xiàng).
57．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.
58．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求的最小值．
59．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，且
(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使得不等式成立的n的最小值．
60．（2024高二下·黑龍江哈爾濱·期中）在數(shù)列中，，且對(duì)任意的，都有.
(1)證明：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；
(2)若，且數(shù)列的前項(xiàng)積為，求和.
61．（2024高三上·安徽·階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：，，.
（1）判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列，并說明理由；
（2）若，設(shè)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
62．（2024高二·江蘇·專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，設(shè)．
(1)求，；
(2)判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由；
(3)的通項(xiàng)公式，并求其前項(xiàng)和為．
63．（2024高三·福建福州·階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足且．
（I）證明數(shù)列為等差數(shù)列；
（II）若記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
64．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，數(shù)列滿足，且．
(1)求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．
65．（2024·四川·一模）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足.
（1）求，及的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
66．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列中，設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
67．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在數(shù)列中，，且，求其通項(xiàng)公式．
（一）
觀察法
觀察法即根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過觀察分析數(shù)列各項(xiàng)的變化規(guī)律，求其通項(xiàng)．使用觀察法時(shí)要注意： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①觀察數(shù)列各項(xiàng)符號(hào)的變化，考慮通項(xiàng)公式中是否有或者部分． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②考慮各項(xiàng)的變化規(guī)律與序號(hào)的關(guān)系． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③應(yīng)特別注意自然數(shù)列、正奇數(shù)列、正偶數(shù)列、自然數(shù)的平方、與有關(guān)的數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由它們組成的數(shù)列．
題型1：觀察法
1-1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”，“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，······，則第十層有（）個(gè)球．

A．12B．20C．55D．110
1-2．（2024·遼寧·三模）線性分形又稱為自相似分形，其圖形的結(jié)構(gòu)在幾何變換下具有不變性，通過不斷迭代生成無限精細(xì)的結(jié)構(gòu).一個(gè)正六邊形的線性分形圖如下圖所示，若圖1中正六邊形的邊長(zhǎng)為1，圖中正六邊形的個(gè)數(shù)記為，所有正六邊形的周長(zhǎng)之和?面積之和分別記為，其中圖中每個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是圖中每個(gè)正六邊形邊長(zhǎng)的，則下列說法正確的是（）
A．B．
C．存在正數(shù)，使得恒成立D．
1-3．（2024高二上·山東聊城·期中）若數(shù)列的前4項(xiàng)分別是，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）
A．B．C．D．
71．（2024高三上·河北唐山·期中）若數(shù)列的前6項(xiàng)為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為（）
A．B．
C．D．
（二）
1.累加法：形如的解析式
形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：
將上述個(gè)式子兩邊分別相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；
= 2 \* GB3 ② 若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；
= 3 \* GB3 ③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；
= 4 \* GB3 ④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和．
2.累乘法：形如的解析式
形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：
將上述個(gè)式子兩邊分別相乘，可得：
有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．
題型2：累加法
2-1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，，則（）
A．B．C．D．
2-2．（2024·新疆喀什·模擬預(yù)測(cè)）若，則（）
A．55B．56C．45D．46
2-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則的通項(xiàng)為( )
A．B．
C．D．
2-4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且對(duì)任意的正整數(shù)n，都滿足：，若，則（）
A．B．C．D．
題型3：累乘法
3-1．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）數(shù)列中，，（為正整數(shù)），則的值為（）
A．B．C．D．
3-2．（2024高二上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，則（）
A．506B．1011C．2022D．4044
3-3．（2024高一下·青海西寧·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則( )
A．B．C．D．
（三）
待定系數(shù)法
（一）形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：
（1）若時(shí)，數(shù)列{}為等差數(shù)列；
（2）若時(shí)，數(shù)列{}為等比數(shù)列；
（3）若且時(shí)，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求．方法有如下兩種：
法一：設(shè)，展開移項(xiàng)整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得
法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如型的遞推式：
（1）當(dāng)為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時(shí)：
法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得
法二：當(dāng)?shù)墓顬闀r(shí)，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：求出，再可求出
（2）當(dāng)為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時(shí)：
法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得
法二：當(dāng)?shù)墓葹闀r(shí)，由遞推式得：——①，，兩邊同時(shí)乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在求出
法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q， r均為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再求出．
（3）當(dāng)為任意數(shù)列時(shí)，可用通法：
在兩邊同時(shí)除以可得到，令，則，在通過累加法，求出之后得．
題型4：待定系數(shù)法
4-1．（2024·四川樂山·三模）已知數(shù)列滿足，，則．
4-2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .
4-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知：，時(shí)，，求的通項(xiàng)公式．
（四）
同除法
對(duì)于an＋1＝pan＋cqn(其中p,q,c均為常數(shù))型
方法一：觀察所給的遞推公式，它一定可以變形為an＋1＋xqn+1＝p(an＋xqn ),將遞推關(guān)系an＋1＝pan＋cqn待入得pan＋cqn＋xqn+1＝p(an＋xqn )解得x＝ eq \f(c,p－q),則由原遞推公式構(gòu)造出了an＋1＋ eq \f(c,p－q)·qn+1＝p(an＋ eq \f(c,p－q)·qn )，而數(shù)列{an＋ eq \f(c,p－q)·qn}是以a1＋ eq \f(c,p－q)·q為首相以為公比的等比數(shù)列。（注：應(yīng)用待定系數(shù)法時(shí)，要求pq，否則待定系數(shù)法會(huì)失效）
方法二：將an＋1＝pan＋cqn兩邊分別除以,則有 eq \f(an+1,pn+1) ＝ eq \f(an,pn) ＋ eq \f(cqn,pn+1)然后利用累加法求得。
方法三：將an＋1＝pan＋cqn兩邊分別除以qn+1，則有，然后利用待定系數(shù)法求解。
題型5：同除法
5-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
5-2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（五）
取倒數(shù)法
對(duì)于，取倒數(shù)得．
當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列；
當(dāng)時(shí)，令，則，可用待定系數(shù)法求解．
題型6：取倒數(shù)法
6-1．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）數(shù)列中，，，則．
6-2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：求通項(xiàng).
6-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)，數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（六）
取對(duì)數(shù)法
形如的遞推公式，則常常兩邊取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．
題型7：取對(duì)數(shù)法
7-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
7-2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，，證明：存在常數(shù)，使得對(duì)于任意的，都有．
（七）
已知通項(xiàng)公式與前項(xiàng)的和關(guān)系求通項(xiàng)問題
對(duì)于給出關(guān)于與的關(guān)系式的問題，解決方法包括兩個(gè)轉(zhuǎn)化方向，在應(yīng)用時(shí)要合理選擇．一個(gè)方向是轉(zhuǎn)化為的形式，手段是使用類比作差法，使=（，），故得到數(shù)列的相關(guān)結(jié)論，這種方法適用于數(shù)列的前項(xiàng)的和的形式相對(duì)獨(dú)立的情形；另一個(gè)方向是將轉(zhuǎn)化為（，），先考慮與的關(guān)系式，繼而得到數(shù)列的相關(guān)結(jié)論，然后使用代入法或者其他方法求解的問題，這種情形的解決方法稱為轉(zhuǎn)化法，適用于數(shù)列的前項(xiàng)和的形式不夠獨(dú)立的情況．
簡(jiǎn)而言之，求解與的問題，方法有二，其一稱為類比作差法，實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化的形式為的形式，適用于的形式獨(dú)立的情形，其二稱為轉(zhuǎn)化法，實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化的形式為的形式，適用于的形式不夠獨(dú)立的情形；不管使用什么方法，都應(yīng)該注意解題過程中對(duì)的范圍加以跟蹤和注意，一般建議在相關(guān)步驟后及時(shí)加注的范圍．
題型8：已知通項(xiàng)公式與前項(xiàng)的和關(guān)系求通項(xiàng)問題
8-1．（2024·青海西寧·二模）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（）
A．2020B．2021C．2022D．2024
8-2．（2024高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，，則的值為
A．－8B．6C．－5D．4
8-3．（2024·陜西渭南·二模）已知數(shù)列中，，前n項(xiàng)和為.若，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為 .
8-4．（2024高三下·湖南·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)已知，，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.
（八）
周期數(shù)列
（1）周期數(shù)列型一：分式型
（2）周期數(shù)列型二：三階遞推型
（3）周期數(shù)列型三：乘積型
（4）周期數(shù)列型四：反解型
題型9：周期數(shù)列
9-1．（2024高二上·黑龍江·期中）已知數(shù)列滿足，，則（）
A．B．C．D．
9-2．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）
A．B．
C．D．
9-3．（2024高二上·河南周口·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若，則（）
A．B．
C．D．
9-4．（2024高二上·吉林·期末）已知數(shù)列滿足：，，，，則（）.
A．B．C．1D．2
（九）
前n項(xiàng)積型
類比前項(xiàng)和求通項(xiàng)過程：
（1），得
（2）時(shí)，
題型10：前n項(xiàng)積型
10-1．（2024·福建南平·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)積．已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
10-2．（2024高二上·山東威?！て谀┰O(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．
(1)求，；
(2)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
10-3．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,數(shù)列的前項(xiàng)積.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多