第六章　§6.4　數(shù)列中的構(gòu)造問題-2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（課件+講義+練習(xí)）-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

1、揣摩例題。課本上和老師講解的例題，一般都具有一定的典型性和代表性。要認真研究，深刻理解，要透過“樣板”，學(xué)會通過邏輯思維，靈活運用所學(xué)知識去分析問題和解決問題，特別是要學(xué)習(xí)分析問題的思路、解決問題的方法，并能總結(jié)出解題的規(guī)律。 2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識的深入理解。在解題時，要獨立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。 3、加強審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認真分析條件與目標的聯(lián)系，確定解題思路。 4、重視錯題?！板e誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯因，及時進行總結(jié)，三五個字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯誤不犯第二次。
§6.4　數(shù)列中的構(gòu)造問題
數(shù)列中的構(gòu)造問題是歷年高考的一個熱點內(nèi)容，主、客觀題均可出現(xiàn)，一般通過構(gòu)造新的數(shù)列求數(shù)列的通項公式.
命題點1　an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0，其中a1＝a)例1　已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋2，則an＝___________.
題型一　an＋1＝pan＋f(n)型
∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.
命題點2　an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)例2　若a1＝1，an＋1＝2an－3n，n∈N*，求數(shù)列{an}的通項公式.
設(shè)an＋1＋λ(n＋1)＋u＝2(an＋λn＋u)，所以an＋1＝2an＋λn＋u－λ，
又a1－3－3＝－5≠0，
所以數(shù)列{an－3n－3}是以－5為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an－3n－3＝－5·2n－1，所以an＝－5·2n－1＋3n＋3.
命題點3　an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)例3　已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*，則數(shù)列{an}的通項公式為A.an＝(2n＋1)·3n B.an＝(n－1)·2nC.an＝(2n－1)·3n D.an＝(n＋1)·2n
跟蹤訓(xùn)練1　(多選)已知數(shù)列{an}，下列結(jié)論正確的有A.若a1＝2,2(n＋1)an－nan＋1＝0，則an＝n·2nB.在數(shù)列{an}中，a1＝1，且an＝2an－1＋3(n≥2，且n∈N*)，則數(shù)列{an} 的通項公式為an＝2n＋1－3
D.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋n－1，則數(shù)列{an}的通項公式為 an＝2n－n＋1
∵2(n＋1)an－nan＋1＝0，
由an＝2an－1＋3(n≥2)，得an＋3＝2(an－1＋3)，
又a1＋3＝1＋3＝4，于是數(shù)列{an＋3}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，∴an＋3＝4×2n－1，即an＝2n＋1－3，∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋1－3，故B正確；
設(shè)an＋1＋k(n＋1)＋b＝2(an＋kn＋b)，所以an＋1＝2an＋kn＋b－k，
由an＋1＝2an＋n－1，
即{an＋n}是首項為a1＋1＝2，公比為2的等比數(shù)列.∴an＋n＝2×2n－1＝2n，故an＝2n－n，故D錯誤.
例4　已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2).(1)求證：{an＋1＋2an}是等比數(shù)列；
題型二　相鄰兩項的差為特殊數(shù)列(an＋1＝pan＋qan－1型，其中a1＝a，a2＝b)
∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2).∵a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1＝15，
∴數(shù)列{an＋1＋2an}是以15為首項，3為公比的等比數(shù)列.
(2)求數(shù)列{an}的通項公式.
由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，則an＋1＝－2an＋5×3n，∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n).又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0，∴{an－3n}是以2為首項，－2為公比的等比數(shù)列.∴an－3n＝2×(－2)n－1，即an＝－(－2)n＋3n.
可以化為an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的兩個根，若1是方程的根，則直接構(gòu)造數(shù)列{an－an－1}，若1不是方程的根，則需要構(gòu)造兩個數(shù)列，采取消元的方法求數(shù)列{an}.
因為3anan＋2－anan＋1＝2an＋1an＋2，an≠0，
題型三　倒數(shù)為特殊數(shù)列
2.在數(shù)列{an}中，若a1＝3，an＋1＝，則an等于A.2n－1　　　　B.3n－1　　　　C.　　　　D.
lg3an＋1＝2lg3an，則數(shù)列{lg3an}是以lg3a1＝1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則lg3an＝1·2n－1＝2n－1，即an＝　 .
3.已知數(shù)列{an}中，a1＝1，2an＋1an＝(n＋1)an－nan＋1，則數(shù)列{an}的通項公式為
2an＋1an＝(n＋1)an－nan＋1，顯然an≠0，
因為an＋an＋1＝2n＋1(n≥2)，所以an＋1－(n＋1)＝－(an－n)(n≥2).因為a2－2＝－1，所以{an－n}從第二項起是公比為－1的等比數(shù)列，所以an＝n＋(－1)n－1(n≥2)，
所以S2 023＝1＋2－1＋3＋1＋…＋2 023＋1＝2 023×1 012，S2 024＝1＋2－1＋3＋1＋…＋2 024－1＝2 023×1 013，
二、多項選擇題5.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2＝3，且an＋1＝3Sn＋2(n∈N*)，則下列說法正確的有
由題意，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2＝3，且an＋1＝3Sn＋2，則a2＝3S1＋2＝3a1＋2，
因為an＋1＝3Sn＋2，①所以當n≥2 時，an＝3Sn－1＋2，②①－②得，an＋1－an＝3an，即an＋1＝4an，
故數(shù)列{an}不是等比數(shù)列，故C錯誤；
當n≥2時，an＋1＝4an，則a3＝4a2＝12，a4＝4a3＝48，
由an＋1＝3Sn＋2，得Sn＋1－Sn＝3Sn＋2，所以Sn＋1＝4Sn＋2，令Sn＋1＋λ＝4(Sn＋λ)，
則Sn＋1＝4Sn＋3λ，
公比為4的等比數(shù)列，故D正確.
6.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an－3an＋1＝2anan＋1(n∈N*)，則下列結(jié)論正確的是
因為an－3an＋1＝2anan＋1，
所以{an}為遞減數(shù)列，故C錯誤；
三、填空題7.已知首項為1的數(shù)列{an}滿足an＋1＝5an－3，則an＝____________.
8.(2023·阜陽統(tǒng)考)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝1，an＋1＋an＝3×2n，則S10＝________.
方法一　由an＋1＋an＝3×2n，得an＋1－2n＋1＝－(an－2n).又a1－21＝－1，所以{an－2n}是首項為－1，公比為－1的等比數(shù)列，所以an－2n＝(－1)n，即an＝2n＋(－1)n，
方法二　∵an＋1＋an＝3×2n，∴a2＋a1＝3×2，a4＋a3＝3×23，a6＋a5＝3×25，a8＋a7＝3×27，a10＋a9＝3×29，
四、解答題9.已知數(shù)列{an}中，a1＝2，且an＝2an－1－n＋2(n≥2，n∈N*).(1)求a2，a3，并證明{an－n}是等比數(shù)列；
由a1＝2，an＝2an－1－n＋2(n≥2，n∈N*)，得a2＝2a1－2＋2＝4，a3＝2a2－3＋2＝7，∵an－n＝2an－1－2n＋2＝2[an－1－(n－1)]，a1－1＝1，
∴{an－n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.
(2)求{an}的通項公式.
由(1)知an－n＝1×2n－1＝2n－1，∴an＝2n－1＋n.
當n＝2時，4S4＋5S2＝8S3＋S1，
∵4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，∴4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)，
∴4an＋2＋an＝4an＋1，
(3)求數(shù)列{an}的通項公式.