
1.數(shù)列求和重點考查分組轉(zhuǎn)化、錯位相減、裂項相消三種求和方法.2.數(shù)列的綜合問題,一般以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景,與函數(shù)、不等式相結(jié)合,考查最值、范圍以及證明不等式等.3.主要以選擇題、填空題及解答題的形式出現(xiàn),難度中等.
(2024·西安模擬)已知在正項數(shù)列{an}中,a3=4,a2a5=32,且ln an,ln an+1,ln an+2成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=an+(-1)nlg2an+1,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
(2024·茂名模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S5=S4+S3,2a3n-3a2n=1,n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2024·全國甲卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知4Sn=3an+4.(1)求{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=(-1)n-1nan,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
(1)分組轉(zhuǎn)化法求和的關(guān)鍵是將數(shù)列通項轉(zhuǎn)化為若干個可求和的數(shù)列通項的和或差.(2)裂項相消法的基本思路是將通項拆分,可以產(chǎn)生相互抵消的項.(3)用錯位相減法求和時,應(yīng)注意:①等比數(shù)列的公比為負(fù)數(shù)的情形;②在寫出“Sn”和“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”,以便準(zhǔn)確地寫出“Sn-qSn”的表達(dá)式.
(2)(2024·秦皇島模擬)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且數(shù)列{Sn+2}是公比為2的等比數(shù)列.①求{an}的通項公式;
數(shù)列與函數(shù)、不等式,以及數(shù)列新定義的綜合問題,是高考命題的一個方向,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).解決此類問題,一是把數(shù)列看成特殊的函數(shù),利用函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解;二是將新數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列,利用特殊數(shù)列的概念、公式、性質(zhì),結(jié)合不等式的相關(guān)知識求解.
(1)已知函數(shù)f(x)=x5+2x3+3x,數(shù)列{an}的首項為1,且滿足an+3=an(n∈N*).若f(a2 023)+f(a2 024+a2 025)=0,則數(shù)列{an}的前2 026項和為A.0B.1C.675D.2 023
(2)(2024·襄陽模擬)蚊香具有悠久的歷史,我國蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān),如圖為某校數(shù)學(xué)社團用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”.畫法如下:在水平直線上取長度為1的線段AB,作一個等邊三角形ABC,然后以點B為圓心,AB為半徑逆時針畫圓弧交線段CB的延長線于點D(第一段圓弧),再以點C為圓心,CD為半徑逆時針畫圓弧交線段AC的延長線于點E,再以點A為圓心,AE為半徑逆時針畫圓弧……依此類推,當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪?不含△ABC)恰好有15段圓弧時,“蚊香”的長度為 .?
數(shù)列的“新定義問題”,主要是指定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算等,關(guān)鍵是將新數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列,或者找到新數(shù)列的遞推關(guān)系,主要考查的還是數(shù)列的基礎(chǔ)知識.
(1)(2024·南昌模擬)若數(shù)列{an}相鄰兩項的和依次構(gòu)成等差數(shù)列,則稱{an}是“鄰和等差數(shù)列”.例如,數(shù)列1,2,4,5,7,8,10為“鄰和等差數(shù)列”.已知數(shù)列{an}是“鄰和等差數(shù)列”,Sn是其前n項和,且a1=0,a2=1,a3=4,則S200等于A.39 700B.39 800C.39 900D.40 000
3.(2024·雙鴨山模擬)在一個數(shù)列中,如果?n∈N*,都有an·an+1·an+2=8,且a1=1,a2=2,則a1+a2+a3+…+a12等于A.28B.20C.24D.10
5.(2024·杭州模擬)設(shè)數(shù)列{an},{bn}滿足a1=b1=1,an+bn+1=2n,an+1+bn=2n.設(shè)Sn為數(shù)列{an+bn}的前n項和,則S7等于A.110B.120C.288D.306
9.(2024·沈陽模擬)已知公比q大于1的等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=5,a2=2.設(shè)bn=|2lg2an-7|,則數(shù)列{bn}的前10項和S10= .?
10.設(shè)有四個數(shù)的數(shù)列a1,a2,a3,a4,前三個數(shù)構(gòu)成一個等比數(shù)列,其和為k,后三個數(shù)構(gòu)成一個等差數(shù)列,其和為15,且公差非零.對于任意固定的實數(shù)k,若滿足條件的數(shù)列只有一個,則k的值為 .?
13.(2024·佳木斯模擬)復(fù)數(shù)z=i+2i2+3i3+…+2 024i2 024的虛部是 .?
14.(2024·沈陽模擬)設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an=n3-n,n∈N*,該數(shù)列中個位數(shù)字為0的項按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列{bn},則b2 017被7除所得的余數(shù)是 .?
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