二、多選題
9．（23-24高二下·廣東·期中）已知數(shù)列的首項，前n項和為，且，則（ ）
A．B．是遞增數(shù)列
C．是等差數(shù)列D．
10．（24-25高二·上?！るS堂練習(xí)）下列可作為數(shù)列1，0，1，0，1，0，…的通項公式的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
11．（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為滿足，則的通項公式為 ．
12．（24-25高三上·江西贛州·開學(xué)考試）已知數(shù)列an滿足，則 .
四、解答題
13．（24-25高三上·河北承德·開學(xué)考試）已知數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，等差數(shù)列有，.
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的最大項的值.
14．（24-25高二上·上?！ふn前預(yù)習(xí)）已知數(shù)列an滿足，且（為正整數(shù)），通過計算、、，是否能猜想其通項公式？
B能力提升
1．（23-24高二下·廣東佛山）將自然數(shù)1，2，3，4，5，……，按照如圖排列，我們將2，4，7，11，16，……都稱為“拐角數(shù)”，則下列哪個數(shù)不是“拐角數(shù)”.（ ）

A．22B．30C．37D．46
2．（23-24高三上·廣東江門·階段練習(xí)）設(shè)，為正整數(shù)，，，，，…，，…，已知，則的值為（ ）
A．1806B．2005C．3612D．4100
3．（24-25高三上·云南·階段練習(xí)）自然常數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)，大約等于2.71828.某人用“調(diào)日法”找逼近的分?jǐn)?shù)，稱小于2.718281的值為弱值，大于2.718282的值為強值.由，取2為弱值，3為強值，得，故為弱值，與上一次的強值3計算得，故為弱值，繼續(xù)計算，，若某次得到的近似值為弱值，與上一次的強值繼續(xù)計算得到新的近似值；若某次得到的近似值為強值，與上一次的弱值繼續(xù)計算得到新的近似值，依此類推，若，則 .
4．（23-24高二上·河北保定）某人購買某種教育基金，今年5月1日交了10萬元，年利率5%，以后每年5月1日續(xù)交2萬元，設(shè)從今年起每年5月1日的教育基金總額依次為，，，…….
(1)寫出和，并求出與之間的遞推關(guān)系式；
(2)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式.
C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
1．（22-23高二下·北京延慶·期中）如果數(shù)列對任意的，，則稱為“速增數(shù)列”.
(1)判斷數(shù)列是否為“速增數(shù)列”？說明理由；
(2)若數(shù)列為“速增數(shù)列”，且任意項，，，，求正整數(shù)的最大值.
第01講 數(shù)列的概念與簡單表示法 (分層精練）
A夯實基礎(chǔ) B能力提升 C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（24-25高二上·福建龍巖·階段練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，則根據(jù)題意，該數(shù)列的前4項和（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】A
【知識點】判斷或?qū)懗鰯?shù)列中的項
【分析】根據(jù)題意，求出數(shù)列的前4項，從而求和.
【詳解】根據(jù)題意，，
所以該數(shù)列的前4項和.
故選：A
2．（23-24高二上·云南昆明·期末）在數(shù)列中，若，，，則（ ）
A．2B．1C．0D．
【答案】D
【知識點】數(shù)列周期性的應(yīng)用
【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的周期，再由此求出.
【詳解】在數(shù)列中，，則，
因此數(shù)列數(shù)列的周期為3，所以.
故選：D
3．（23-24高二下·江西·階段練習(xí)）在數(shù)列中，，，則（ ）
A．8B．1C．18D．19
【答案】D
【知識點】根據(jù)數(shù)列遞推公式寫出數(shù)列的項
【分析】利用給定的遞推公式，依次計算即得結(jié)果.
【詳解】因為，，
所以，.
故選：D.
4．（23-24高二上·河南洛陽·階段練習(xí)）若數(shù)列滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點】由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、數(shù)列周期性的應(yīng)用
【分析】根據(jù)遞推式寫出數(shù)列的前幾項，可得an是周期為的周期數(shù)列，從而可求得答案.
【詳解】數(shù)列an滿足，，
，
，
，
，
，
是周期為的周期數(shù)列，
而，
故．
故選：A
5．（24-25高二上·福建龍巖·階段練習(xí)）已知數(shù)列，，且，則（ ）
A．－1B．2C．－2D．
【答案】A
【知識點】數(shù)列周期性的應(yīng)用、由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)
【分析】根據(jù)遞推公式，可得數(shù)列an為周期為的數(shù)列，從而可解.
【詳解】根據(jù)題意，，
則，
所以數(shù)列an為周期為的數(shù)列，
則.
故選：A
6．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）一只蜜蜂從蜂房出發(fā)向右爬，每次只能爬向右側(cè)相鄰的兩個蜂房（如圖），例如：從蜂房只能爬到1號或2號蜂房，從1號蜂房只能爬到2號或3號蜂房，…，以此類推，用表示蜜蜂爬到號蜂房的方法數(shù)，則（ ）
A．10B．55C．89D．99
【答案】C
【知識點】根據(jù)數(shù)列遞推公式寫出數(shù)列的項
【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的遞推公式，再依次計算求出.
【詳解】依題意，（，），，，
所以.
故選：C
7．（23-24高二下·遼寧沈陽·期中）某牧場今年年初牛的存欄數(shù)為1200頭，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為，且在每年年底賣出100頭牛.若該牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)構(gòu)成數(shù)列，，則大約為（參考數(shù)據(jù)：（ ）
A．1420B．1480C．1520D．1580
【答案】B
【知識點】構(gòu)造法求數(shù)列通項、寫出等比數(shù)列的通項公式、由遞推關(guān)系式求通項公式、等比數(shù)列的簡單應(yīng)用
【分析】由題意得數(shù)列遞推公式，再用構(gòu)造法求出通項，代入計算即可.
【詳解】依題意，當(dāng)時，，則，
于是數(shù)列是首項為，公比為1.1的等比數(shù)列，
則，即，
所以.
故選：B
8．（23-24高二下·河南南陽·期中）在數(shù)列an中，，則數(shù)列an的前項和（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識點】分組（并項）法求和、數(shù)列周期性的應(yīng)用、根據(jù)數(shù)列遞推公式寫出數(shù)列的項
【分析】列出數(shù)列的前幾項，即可得到數(shù)列an是以為周期的周期數(shù)列，再利用并項求和法計算可得.
【詳解】因為，，所以，
所以數(shù)列an是以為周期的周期數(shù)列，
又，，
所以.
故選：B
二、多選題
9．（23-24高二下·廣東·期中）已知數(shù)列的首項，前n項和為，且，則（ ）
A．B．是遞增數(shù)列
C．是等差數(shù)列D．
【答案】ABD
【知識點】寫出等比數(shù)列的通項公式、判斷或?qū)懗鰯?shù)列中的項、判斷數(shù)列的增減性、構(gòu)造法求數(shù)列通項
【分析】分析可知數(shù)列是以首項為4，公比為4的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列可得，進而逐項分析判斷.
【詳解】因為，則，
且，可知數(shù)列是以首項為4，公比為4的等比數(shù)列，
則，即.
對于選項A：，故A正確；
對于選項B：因為，所以是遞增數(shù)列，故B正確；
對于選項C：因為數(shù)列是以首項為4，公比為4的等比數(shù)列，
所以不是等差數(shù)列，故C錯誤；
對于選項D：，故D正確；
故選：ABD.
10．（24-25高二·上海·隨堂練習(xí)）下列可作為數(shù)列1，0，1，0，1，0，…的通項公式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【知識點】觀察法求數(shù)列通項
【分析】根據(jù)選項，分為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況判定，即可求解.
【詳解】對A：當(dāng)為奇數(shù)時，，
當(dāng)為偶數(shù)時，，故A正確；
對B：當(dāng)為奇數(shù)時，，，
當(dāng)為偶數(shù)時，，，故B正確；
對C：當(dāng)為奇數(shù)時，，，
當(dāng)為偶數(shù)時，，，故C正確；
對D：，故D錯誤.
故選：ABC.
三、填空題
11．（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為滿足，則的通項公式為 ．
【答案】
【知識點】利用an與sn關(guān)系求通項或項
【分析】根據(jù)給定條件，利用的關(guān)系求出通項公式.
【詳解】數(shù)列的前項和，當(dāng)時，，
而不滿足上式，
所以的通項公式為.
故答案為：
12．（24-25高三上·江西贛州·開學(xué)考試）已知數(shù)列an滿足，則 .
【答案】1
【知識點】根據(jù)數(shù)列遞推公式寫出數(shù)列的項、數(shù)列周期性的應(yīng)用、由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)
【分析】由題意可知數(shù)列an是周期為的數(shù)列，且每項的積為，由此即可求出結(jié)果.
【詳解】依題意，，，所以，
所以數(shù)列是周期為的數(shù)列，且每項的積為，
又，所以.
故答案為：1.
四、解答題
13．（24-25高三上·河北承德·開學(xué)考試）已知數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，等差數(shù)列有，.
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的最大項的值.
【答案】(1)，
(2)
【知識點】確定數(shù)列中的最大（?。╉棥懗龅缺葦?shù)列的通項公式、等差數(shù)列通項公式的基本量計算
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項公式可以求出an的通項公式，再結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，通過解方程組求出bn的通項公式；
（2）利用作差比較法判斷數(shù)列的單調(diào)性，再利用單調(diào)性進行求解即可.
【詳解】（1）因為數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以，
設(shè)等差數(shù)列bn的公差為，
因為，，
所以，
即，.
（2）由上可知，.
所以令，
則有，
當(dāng)時，，
即數(shù)列從第一項起一直增加到第10項，
當(dāng)時，，
即數(shù)列從第10項開始遞減，
因此為數(shù)列的最大項，，
所以數(shù)列的最大項的值為.
14．（24-25高二上·上?！ふn前預(yù)習(xí)）已知數(shù)列an滿足，且（為正整數(shù)），通過計算、、，是否能猜想其通項公式？
【答案】能，.
【知識點】構(gòu)造法求數(shù)列通項
【分析】通過計算，能歸納猜想出的通項公式，再利用取倒數(shù)法證明猜想.
【詳解】因為，，
所以，，，
所以能猜想出的通項公式為．
證明如下：因為，
所以，
所以，
故選：B.
2．（23-24高三上·廣東江門·階段練習(xí)）設(shè)，為正整數(shù)，，，，，…，，…，已知，則的值為（ ）
A．1806B．2005C．3612D．4100
【答案】A
【知識點】根據(jù)規(guī)律填寫數(shù)列中的某項
【分析】根據(jù)已知條件化簡歸納通項公式即可求參.
【詳解】,
,
,
依此類推得出,
所以,
所以.
故選：A.
3．（24-25高三上·云南·階段練習(xí)）自然常數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)，大約等于2.71828.某人用“調(diào)日法”找逼近的分?jǐn)?shù)，稱小于2.718281的值為弱值，大于2.718282的值為強值.由，取2為弱值，3為強值，得，故為弱值，與上一次的強值3計算得，故為弱值，繼續(xù)計算，，若某次得到的近似值為弱值，與上一次的強值繼續(xù)計算得到新的近似值；若某次得到的近似值為強值，與上一次的弱值繼續(xù)計算得到新的近似值，依此類推，若，則 .
【答案】6
【知識點】數(shù)列的概念及辨析、數(shù)列新定義
【分析】根據(jù)題意利用“調(diào)日法”不斷計算，進行歸納推理能求出結(jié)果．
【詳解】因為為弱值，則與上一次的強值3計算得為強值，
與上一次的弱值計算得為弱值，
與上一次的強值計算得為強值，
與上一次的弱值計算得，故.
故答案為：.
4．（23-24高二上·河北保定）某人購買某種教育基金，今年5月1日交了10萬元，年利率5%，以后每年5月1日續(xù)交2萬元，設(shè)從今年起每年5月1日的教育基金總額依次為，，，…….
(1)寫出和，并求出與之間的遞推關(guān)系式；
(2)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式.
【答案】(1)，，
(2)證明見解析，
【知識點】求遞推關(guān)系式、等比數(shù)列通項公式的基本量計算、由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列
【分析】（1）由已知可得和，仿寫可得與之間的遞推關(guān)系式；
（2）結(jié)合上問中的遞推關(guān)系再證明即可，再由基本量法求出通項；
【詳解】（1），，
，
（2）證明：
是以50為首項，為公比的等比數(shù)列.
，
C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
1．（22-23高二下·北京延慶·期中）如果數(shù)列對任意的，，則稱為“速增數(shù)列”.
(1)判斷數(shù)列是否為“速增數(shù)列”？說明理由；
(2)若數(shù)列為“速增數(shù)列”，且任意項，，，，求正整數(shù)的最大值.
【答案】(1)是，理由見解析
(2)64.
【知識點】由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、數(shù)列新定義
【分析】（1）計算，，得到即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)“速增數(shù)列”的概念得，，，，得出，又，，，即可得出答案.
【詳解】（1）數(shù)列是“速增數(shù)列”.
數(shù)列對，，，
所以，
所以，數(shù)列為“速增數(shù)列”.
（2）因為數(shù)列an為“速增數(shù)列”，，，且.
所以，對，，，
所以，，，，.
相加得，，
即.
所以.
因為，，所以的最大值為64.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了數(shù)列的新定義問題，意在考查學(xué)生的計算能力、轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)題意利用累加法的思想確定是解題的關(guān)鍵.

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