2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第01講導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算(含新定義解答題)(分層精練)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（23-24高二下·江蘇·階段練習(xí)）若某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是（單位：），則在時(shí)的瞬時(shí)速度為（）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二下·重慶黔江·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為2，則（）
A．1B．2C．D．3
3．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）下列函數(shù)求導(dǎo)正確的是（）
A．B．C．D．
4．（23-24高二上·山西·期末）若函數(shù)，則（）
A．0B．C．D．
5．（2024高二下·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，滿足關(guān)系式，則的值為（）
A．B．C．D．
6．（23-24高二下·湖南岳陽·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)，則該曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）
A．B．
C．D．
7．（21-22高二下·北京房山·期中）函數(shù)的圖象如圖所示，則與的大小關(guān)系是（）
C． D．
三、填空題
11．（23-24高三下·天津·開學(xué)考試）函數(shù)的圖象在處切線的斜率為 .
12．（23-24高三下·廣西南寧·開學(xué)考試）已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為 .
四、解答題
13．（23-24高二下·江蘇·階段練習(xí)）已知曲線，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求曲線過點(diǎn)的切線方程．
(3)若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，求點(diǎn)的坐標(biāo)
14．（23-24高二上·湖南岳陽·期末）已知點(diǎn)和點(diǎn)是曲線上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，求：
(1)割線的斜率；
(2)在點(diǎn)處的切線方程.
15．（23-24高二上·安徽蕪湖·期末）已知函數(shù)與函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求曲線與曲線在公共點(diǎn)處的公切線方程．
B能力提升
1．（2024·河北·一模）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是x的函數(shù)，通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作，類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……．一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)記為，例如的n階導(dǎo)數(shù)．若，則（）
A．B．50C．49D．
2．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·山東聊城·期末）最優(yōu)化原理是指要求目前存在的多種可能的方案中，選出最合理的，達(dá)到事先規(guī)定的最優(yōu)目標(biāo)的方案，這類問題稱之為最優(yōu)化問題.為了解決實(shí)際生活中的最優(yōu)化問題，我們常常需要在數(shù)學(xué)模型中求最大值或者最小值.下面是一個(gè)有關(guān)曲線與直線上點(diǎn)的距離的最值問題，請(qǐng)你利用所學(xué)知識(shí)來解答：若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則到直線的距離的最小值為（）
A．B．C．D．
4．（2024·廣東·一模）設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在直線上，則的最小值為（）
A．B．
C．D．
5．（23-24高三上·河北·階段練習(xí)）已知，，若直線與曲線相切，則的最小值為（）
A．7B．8C．9D．10
C新定義題
1．（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則
.
②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿足：對(duì)任意，均有成立，且，則稱函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù).
結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問題：
(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù)；
(2)計(jì)算：；
(3)證明：，.
第01講導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算(分層精練）
A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C新定義題
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（23-24高二下·江蘇·階段練習(xí)）若某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是（單位：），則在時(shí)的瞬時(shí)速度為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
利用物理上“質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度即質(zhì)點(diǎn)的位移的導(dǎo)函數(shù)在時(shí)的函數(shù)值”即可求得.
【詳解】由求導(dǎo)得，則在時(shí)的瞬時(shí)速度為.
故選：B.
2．（23-24高二下·重慶黔江·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為2，則（）
A．1B．2C．D．3
【答案】C
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)的定義即可得解.
【詳解】由依題意，知，
則.
故選：C.
3．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）下列函數(shù)求導(dǎo)正確的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式判斷即可.
【詳解】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，故D正確.
故選：D
4．（23-24高二上·山西·期末）若函數(shù)，則（）
A．0B．C．D．
【答案】A
【分析】
求導(dǎo)，再令即可得解.
【詳解】，
所以.
故選：A.
5．（2024高二下·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，滿足關(guān)系式，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
求導(dǎo)后，代入，求出答案.
【詳解】
由進(jìn)行求導(dǎo)得：，
當(dāng)時(shí)，可得：，解得：.
故選：A.
6．（23-24高二下·湖南岳陽·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)，則該曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.
【詳解】函數(shù)，由，得，則點(diǎn)，
由，求導(dǎo)得，則，于是，
所以該曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
故選：B
7．（21-22高二下·北京房山·期中）函數(shù)的圖象如圖所示，則與的大小關(guān)系是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的圖象可得答案.
【詳解】
與分別表示在和處切線的斜率，
由圖象得，且在處切線的斜率比處切線斜率小，
所以；
故選：A
8．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知函數(shù)，則的圖象在處的切線方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
求出導(dǎo)函數(shù)后計(jì)算出切線斜率，然后寫出切線方程．
【詳解】
由題意知，
所以，又，
所以的圖象在處的切線方程為，即.
故選：A.
二、多選題
9．（23-24高二下·湖北·階段練習(xí)）下列命題正確的有（）
A．已知函數(shù)在上可導(dǎo)，若，則
B．
C．已知函數(shù)，若，則
D．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則
【答案】CD
【分析】
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可判斷A的正誤，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算可判斷BD的正誤，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則可判斷C的正誤.
【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤.
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤.
對(duì)于C，，若，則即，故C正確.
對(duì)于D，，故，故，故D正確.
故選：CD.
10．（2024高二下·全國(guó)·專題練習(xí)）各地房產(chǎn)部門為盡快穩(wěn)定房?jī)r(jià)，提出多種房產(chǎn)供應(yīng)方案，其中之一就是在規(guī)定的時(shí)間T內(nèi)完成房產(chǎn)供應(yīng)量任務(wù)．已知房產(chǎn)供應(yīng)量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則在以下四種房產(chǎn)供應(yīng)方案中，在時(shí)間內(nèi)供應(yīng)效率（單位時(shí)間的供應(yīng)量）不逐步提高的有（）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)變化率的知識(shí)，結(jié)合曲線在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得結(jié)果.
【詳解】當(dāng)單位時(shí)間的供應(yīng)量逐步提高時(shí)，供應(yīng)量的增長(zhǎng)速度越來越快，圖象上切線的斜率隨著自變量的增加會(huì)越來越大，
故曲線是上升的，且越來越陡峭，
所以函數(shù)的圖象應(yīng)一直是下凹的，則選項(xiàng)B滿足條件，
所以在時(shí)間內(nèi)供應(yīng)效率（單位時(shí)間的供應(yīng)量）不逐步提高的有ACD選項(xiàng)．
故選：ACD．
三、填空題
11．（23-24高三下·天津·開學(xué)考試）函數(shù)的圖象在處切線的斜率為 .
【答案】/
【分析】
首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.
【詳解】由題意可知，，，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)的圖象在處切線的斜率為.
故答案為：
12．（23-24高三下·廣西南寧·開學(xué)考試）已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為 .
【答案】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.
【詳解】，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
故答案為：
四、解答題
13．（23-24高二下·江蘇·階段練習(xí)）已知曲線，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求曲線過點(diǎn)的切線方程．
(3)若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，求點(diǎn)的坐標(biāo)
【答案】(1)
(2)或
(3)或.
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再由點(diǎn)斜式計(jì)算可得；
（2）設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再將點(diǎn)代入切線方程中，求出，即可求出切線方程；
（3）設(shè)，表示出曲線在點(diǎn)處的切線，聯(lián)立直線與，根據(jù)求出，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo).
【詳解】（1）由，可得，
所以，
則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；
（2）設(shè)切點(diǎn)為，則，
所以切線方程為，即，
又切線過點(diǎn)，所以，即，
即，即，
即，即，解得或，
則切線方程為或，
所以過點(diǎn)的切線方程為或.
（3）設(shè)，則，，
所以曲線在點(diǎn)處的切線為，
又曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，
由，可得，
則，解得或，
則或，
所以或.
14．（23-24高二上·湖南岳陽·期末）已知點(diǎn)和點(diǎn)是曲線上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，求：
(1)割線的斜率；
(2)在點(diǎn)處的切線方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，利用斜率公式可求得割線的斜率；
（2）求出切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程.
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，
令，可得，解得，即點(diǎn)，
因此，割線的斜率為.
（2）解：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，
所以，曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，
所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.
15．（23-24高二上·安徽蕪湖·期末）已知函數(shù)與函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求曲線與曲線在公共點(diǎn)處的公切線方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合條件即得；
（2）設(shè)曲線與曲線的公切點(diǎn)為，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)，進(jìn)而即得.
【詳解】（1），，.
在點(diǎn)處的切線方程為：；
（2）設(shè)曲線與曲線的公切點(diǎn)為，
，，
令，即，
或（舍），
，
∴所求公切線方程：，即.
B能力提升
1．（2024·河北·一模）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是x的函數(shù)，通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作，類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……．一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)記為，例如的n階導(dǎo)數(shù)．若，則（）
A．B．50C．49D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)條件，列舉的前幾項(xiàng)，根據(jù)規(guī)律，寫出，代入，即可求解.
【詳解】由，，
，，
依此類推，，
所以.
故選：A
2．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出切線方程，再對(duì)分和討論即可.
【詳解】由得，
所以切線方程是，
①若，則曲線為，顯然切線與該曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
②若，則，
【詳解】令，得，代入曲線，
所以的最小值即為點(diǎn)到直線的距離.
故選：B.
5．（23-24高三上·河北·階段練習(xí)）已知，，若直線與曲線相切，則的最小值為（）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程的斜率，即為直線方程得，再利用基本不等式即可.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由題得，
所以切線的斜率，且
所以切線方程為，
即，與直線相同，
所以，整理得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取得最小值9．
故選：C
C新定義題
1．（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則
.
②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿足：對(duì)任意，均有成立，且，則稱函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù).
結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問題：
(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù)；
(2)計(jì)算：；
(3)證明：，.
【答案】(1)不是區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù)；
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù)的定義即可判斷；
（2）通過構(gòu)造，再結(jié)合即可得到結(jié)果；
（3）通過換元令令，則原不等式等價(jià)于，再通過構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題干中函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù)的定義證出，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)，
由于，
所以不成立，
故不是區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù).
（2）設(shè)，則，
設(shè)，
則，
所以，得.
（3）令，則原不等式等價(jià)于，
即證，
記，則，
所以，
即有對(duì)任意，均有，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，證畢!
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)方法證明不等式成立問題時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，注意題干條件中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.

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