C．D．，且方向相反
8．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）如圖，在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作直線分別交于點(diǎn)，，且，則的最小值為（ ）

A．1B．2C．4D．
二、多選題
9．（23-24高一下·江西九江·階段練習(xí)）以下關(guān)于向量的說法錯(cuò)誤的有（ ）
A．若與同向，且，則；B．為實(shí)數(shù)，若，則與共線．
C．若且，則D．若與共線，與共線，則與共線
10．（23-24高一下·河南南陽·階段練習(xí)）下列命題中錯(cuò)誤的有（ ）
A．的充要條件是且
B．若，則
C．若，則存在實(shí)數(shù)，使得
D．若與是共線向量，則三點(diǎn)共線
三、填空題
11．（21-22高一·全國(guó)·課后作業(yè)）給出下列四個(gè)條件：①；②；③與方向相反；④或，其中能使成立的條件是 .
12．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知、是兩個(gè)不共線的向量，，，若與是共線向量，則實(shí)數(shù) .
四、解答題
13．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，O是正六邊形的中心.

(1)與的模相等的向量有多少個(gè)？
(2)是否存在與長(zhǎng)度相等、方向相反的向量？若存在，有幾個(gè)？
(3)與共線的向量有幾個(gè)？
14．（23-24高一下·江西宜春·階段練習(xí)）如圖所示，在中，為邊上一點(diǎn)，且.過點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)（，兩點(diǎn)不重合）.
(1)用，表示；
(2)若，，求的最小值.
B能力提升
1．（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）在梯形中，，，中，分別是DA，BC的中點(diǎn)，且．設(shè)，，選擇基底，試寫出下列向量在此基底下的分解式：，，．
2．（23-24高二上·貴州黔南·開學(xué)考試）已知向量．
(1)求證：三點(diǎn)共線．
(2)若，求的值．
3．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）如圖，在直角梯形中，與交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.

(1)用和表示；
(2)設(shè)，求的值；
(3)設(shè)，證明：.
C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
1．（23-24高二上·北京·期中）記所有非零向量構(gòu)成的集合為，對(duì)于，定義，
(1)若，求出集合中的三個(gè)元素；
(2)若，其中，求證：一定存在實(shí)數(shù)，且，使得.
第01講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算(分層精練）
A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（23-24高一下·河南鄭州·階段練習(xí)）設(shè)，都是非零向量，下列四個(gè)條件中，能使一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可知，向量與的方向相反，然后即可得出正確的選項(xiàng).
【詳解】由得，所以向量與方向相反.
對(duì)于A：由得向量與的方向相同，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：由得向量與方向相反，故B正確；
對(duì)于C：由得，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：由得向量與的方向相同，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
2．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）已知向量與是兩個(gè)不平行的向量，若且，則等于（ ）
A．B．C．D．不存在這樣的向量
【答案】A
【分析】由零向量與任意向量共線再結(jié)合已知條件得出.
【詳解】因?yàn)橄蛄颗c是兩個(gè)不平行的向量，且且，
所以等于，
故選：A
3．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）在中，已知，設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的線性運(yùn)算求解即得.
【詳解】由，得，即，
所以.
故選：A
4．（23-24高一下·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）是平面內(nèi)不共線兩向量，已知，若三點(diǎn)共線，則k的值是（ ）
A．2B．－3C．－2D．3
【答案】A
【分析】借助平面向量共線定理與平面向量基本定理計(jì)算即可得.
【詳解】，由三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)，使，
即，即，解得.
故選：A.
5．（20-21高一下·四川成都·期中）下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．
B．、是單位向量，則
C．若，則
D．任一非零向量都可以平行移動(dòng)
【答案】C
【分析】運(yùn)用向量、單位向量、相反向量的定義可判斷.
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B項(xiàng)，由單位向量的定義知，，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，由于向量不能比較大小，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)榉橇阆蛄靠梢宰杂善叫幸苿?dòng)，故D項(xiàng)正確.
故選：C.
6．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）在梯形ABCD中，，，與相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
結(jié)合題意，應(yīng)用向量加減、數(shù)乘的幾何意義逐項(xiàng)判斷即可得.
【詳解】對(duì)A：，故A正確；
對(duì)B：由，故，故，
則，故B正確；
對(duì)C：由，故，
故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：，故D正確.
故選：C.
7．（23-24高一下·北京順義·階段練習(xí)）已知為非零向量，且，則一定有（ ）
A．B．，且方向相同
C．D．，且方向相反
【答案】B
【分析】
將已知等式兩邊平方，可得，利用數(shù)量積的定義可得，可知兩向量同向.
【詳解】因?yàn)椋瑑蛇吰椒降?br>，
化簡(jiǎn)得，
即，
則，，
即方向相同，故只有B正確，
故選：B.
8．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）如圖，在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作直線分別交于點(diǎn)，，且，則的最小值為（ ）

A．1B．2C．4D．
【答案】A
【分析】計(jì)算得，再利用三點(diǎn)共線結(jié)論得系數(shù)和為1，即，再利用基本不等式求出最值即可.
【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且，
所以.
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，
即，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
故選：A.
二、多選題
9．（23-24高一下·江西九江·階段練習(xí)）以下關(guān)于向量的說法錯(cuò)誤的有（ ）
A．若與同向，且，則；B．為實(shí)數(shù)，若，則與共線．
C．若且，則D．若與共線，與共線，則與共線
【答案】ABD
【分析】根據(jù)向量的概念判斷A，根據(jù)共線向量的性質(zhì)判斷BD，根據(jù)相等向量定義判斷C.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)橄蛄坎荒鼙容^大小，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的向量，，此時(shí)向量可能不共線，故B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，因?yàn)?，所以，又，所以，故C正確，
對(duì)于D，當(dāng)為零向量時(shí)，對(duì)于任意的向量都滿足與共線，與共線，
此時(shí)與不一定共線，D錯(cuò)誤，
故選：ABD.
10．（23-24高一下·河南南陽·階段練習(xí)）下列命題中錯(cuò)誤的有（ ）
A．的充要條件是且
B．若，則
C．若，則存在實(shí)數(shù)，使得
D．若與是共線向量，則三點(diǎn)共線
【答案】ABC
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的基本概念，以及共線向量的概念與應(yīng)用，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】對(duì)于A中，由的充要條件是且方向相同，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，因?yàn)榕c任意向量共線，原式可能不成立，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C中，當(dāng)時(shí)，不存在實(shí)數(shù)，使得，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D中，因?yàn)榕c是共線向量，且與有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，所以D正確.
故選：ABC.
三、填空題
11．（21-22高一·全國(guó)·課后作業(yè)）給出下列四個(gè)條件：①；②；③與方向相反；④或，其中能使成立的條件是 .
【答案】①③④
【分析】
運(yùn)用向量共線的定義判斷即可.
【詳解】因?yàn)榕c為相等向量，所以，即①能夠使成立；
由于并沒有確定與的方向，即②不一定能使成立；
因?yàn)楫?dāng)與方向相反時(shí)，則，即③能夠使成立；
因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量共線，所以或時(shí)，能夠成立.
故使成立的條件是①③④.
故答案為：①③④.
12．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知、是兩個(gè)不共線的向量，，，若與是共線向量，則實(shí)數(shù) .
【答案】
【分析】設(shè)，，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)、的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】因?yàn)?、是兩個(gè)不共線的向量，，，若與是共線向量，
設(shè)，，則，
所以，，解得.
故答案為：.
四、解答題
13．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，O是正六邊形的中心.

(1)與的模相等的向量有多少個(gè)？
(2)是否存在與長(zhǎng)度相等、方向相反的向量？若存在，有幾個(gè)？
(3)與共線的向量有幾個(gè)？
【答案】(1)23；
(2)存在，4；
(3)9.
【分析】（1）利用正六邊形的特征，結(jié)合平面向量模的意義即可得出結(jié)論.
（2）利用正六邊形的特征，結(jié)合互為相反向量的意義即可得出結(jié)論.
（3）利用正六邊形的特征，結(jié)合共線向量的意義即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）與的模相等的線段是六條邊和六條半徑(如OB)，而每一條線段可以有兩個(gè)向量，
所以這樣的向量共有23個(gè).
（2）存在，由正六邊形的性質(zhì)知，，
所以與的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有，，，，共4個(gè).
（3）由（2）知，，線段OD，AD與OA在同一條直線上，
所以與共線的向量有，，，，，，，，，共9個(gè).
14．（23-24高一下·江西宜春·階段練習(xí)）如圖所示，在中，為邊上一點(diǎn)，且.過點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)（，兩點(diǎn)不重合）.
(1)用，表示；
(2)若，，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；
（2）依題意可得，根據(jù)三點(diǎn)共線的推論得到，再利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.
【詳解】（1）在中，由，
又，所以，
所以
.
（2）因?yàn)?，又，?br>依題意，，所以，，
所以，又，，三點(diǎn)共線，且在線外，
所以有，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).
B能力提升
1．（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）在梯形中，，，中，分別是DA，BC

(1)用和表示；
(2)設(shè)，求的值；
(3)設(shè)，證明：.
【答案】(1)，
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）利用平面向量的加法運(yùn)算并根據(jù)線段的比例關(guān)系可得結(jié)論；
（2）由共線定理根據(jù)三點(diǎn)共線可得結(jié)果；
（3）根據(jù)向量等式得出的表達(dá)式，再由二次函數(shù)性質(zhì)可證明結(jié)論.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>，
.
（2）由（1）得，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，
解得.
（3）由（1）得，設(shè)，
則
又不共線，所以，即.
由，得.
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，故.
C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
1．（23-24高二上·北京·期中）記所有非零向量構(gòu)成的集合為，對(duì)于，定義，
(1)若，求出集合中的三個(gè)元素；
(2)若，其中，求證：一定存在實(shí)數(shù)，且，使得.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】
（1）根據(jù)集合新定義設(shè)，列式化簡(jiǎn)可得，即可得答案；
（2）先證明中向量都是共線向量，設(shè)，根據(jù)集合新定義推出，，可得，結(jié)合為共線向量，推得，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)，由得，
即，不妨令n取1，2，3，則m取3，6，9，
故中的三個(gè)元素為；
（2）先證明中向量都是共線向量，
不妨設(shè)，
因?yàn)?，所以中至少有一個(gè)不為0，
若，記，
顯然，即，故，
任取，因?yàn)?，所以?br>故，則，
故，則，則問題得證；
若，同理可證明，其中；
故綜合上述中向量都是共線向量，
因?yàn)?，所以不妨設(shè)，
則由定義知，即，同理，
故，則，
同理可得，故為共線向量，
即存在實(shí)數(shù)，使，即，
因?yàn)?，所以，所以?br>記，則，
即一定存在實(shí)數(shù)，且，使得.
【點(diǎn)睛】
難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了集合的新定義問題，解答時(shí)要注意理解新定義，并能根據(jù)該定義去解決問題，難點(diǎn)在于第二問的證明，解答時(shí)要首先證明中向量都是共線向量，然后推出，結(jié)合為共線向量，推得，即可證明結(jié)論.

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