新定義”主要是指新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種。
在新高考數(shù)學(xué)科目的考察中，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分的新定義占據(jù)了舉足輕重的地位，該部分內(nèi)容主要檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)函數(shù)的基本概念、核心性質(zhì)及運(yùn)算技巧的掌握程度，同時(shí)也涵蓋了對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解、計(jì)算能力的展現(xiàn)以及其在多種場(chǎng)景下的應(yīng)用。試題設(shè)計(jì)往往緊密貼合現(xiàn)實(shí)生活或科學(xué)情境，旨在評(píng)估學(xué)生運(yùn)用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)體系解決實(shí)際復(fù)雜問(wèn)題的能力。
新定義題型的特點(diǎn)是：通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的：遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決．
對(duì)于新定義的題目，一定要耐心理解定義，新的定義不但考查的是舊的知識(shí)點(diǎn)的延伸，更考查對(duì)于新知識(shí)的獲取理解能力，抓住關(guān)鍵點(diǎn)。對(duì)于以函數(shù)為背景的新定義問(wèn)題的求解策略要緊扣新定義和用好函數(shù)的性質(zhì)，分析新定義的特點(diǎn)，把心定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過(guò)程中；同時(shí)時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的函數(shù)的性質(zhì)的一些因素
（1）可通過(guò)舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡(jiǎn)單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；
（2）可用自己的語(yǔ)言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說(shuō)明對(duì)此信息理解的較為透徹；
（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；
（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書(shū)上的概念.
為此，考生需對(duì)基礎(chǔ)函數(shù)的各種屬性、圖象特征、運(yùn)算規(guī)律有深入透徹的理解，并熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本定義、其蘊(yùn)含的幾何與物理意義以及多樣化的計(jì)算方法。進(jìn)一步地，針對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的典型應(yīng)用，如求解最優(yōu)化問(wèn)題、分析變化率趨勢(shì)、確定曲線在某點(diǎn)的切線方程等，考生應(yīng)具備扎實(shí)的分析思路和有效的解決策略。
綜上所述，備考過(guò)程中，考生應(yīng)高度重視基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固與深化，同時(shí)加強(qiáng)針對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解題訓(xùn)練，以提升自身的綜合應(yīng)用能力。
考點(diǎn)一、高斯取整函數(shù)
1．（2024·山東青島·三模）定義 x 表示不超過(guò) 的最大整數(shù).例如: ，則（ ）
A．B．
C． 是偶函數(shù)D． 是增函數(shù)
2．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）函數(shù)被稱為取整函數(shù)，也稱高斯函數(shù)，其中表示不大于實(shí)數(shù)的最大整數(shù)．若，滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”定義為：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，記表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則稱為“高斯函數(shù)”．例如：，．
(1)設(shè)，，求證：是的一個(gè)周期，且恒成立；
(2)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)．
①求證：；
②求的值．
1．（2024·全國(guó)·一模）數(shù)學(xué)上，常用表示不大于x的最大整數(shù)．已知函數(shù)，則下列正確的是（ ）．
A．函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)B．函數(shù)的零點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)
C．函數(shù)在定義域上的值域是D．不等式解集是
2．（2024·河南開(kāi)封·二模）（多選）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一．用其名字命名的高斯取整函數(shù)為，表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如，．下列命題中正確的有（ ）
A．，
B．，，
C．，
D．，
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）函數(shù)是取整函數(shù)，也被稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如：，.若在函數(shù)的定義域內(nèi)，均滿足在區(qū)間上，是一個(gè)常數(shù)，則稱為的取整數(shù)列，稱為的區(qū)間數(shù)列.下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的區(qū)間數(shù)列的通項(xiàng)
B．的取整數(shù)列的通項(xiàng)
C．的取整數(shù)列的通項(xiàng)
D．若，則數(shù)列的前項(xiàng)和
考點(diǎn)二、二階行列式
1．（2024·福建寧德·模擬預(yù)測(cè)）定義，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·河南·三模）我們稱為“二階行列式”，規(guī)定其運(yùn)算為．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若?duì)定義域內(nèi)的任意都有，則（ ）
A．B．是偶函數(shù)C．是周期函數(shù)D．沒(méi)有極值點(diǎn)
2．（22-23高一下·江西萍鄉(xiāng)·期中）把符號(hào)稱為二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為．已知函數(shù)．
(1)若，，求的值域；
(2)函數(shù)，若對(duì)，，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
考點(diǎn)三、狄利克雷函數(shù)
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet）是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)的結(jié)論正確的是（ ）
A．有零點(diǎn)B．是單調(diào)函數(shù)
C．是奇函數(shù)D．是周期函數(shù)
2．（23-24高三上·廣東惠州·階段練習(xí)）（多選）狄利克雷函數(shù)是由著名德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷創(chuàng)造的，它是定義在實(shí)數(shù)上、值域不連續(xù)的函數(shù)，它在數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程中有很重大的研究意義，例如對(duì)研究微積分就有很重要的作用，其函數(shù)表達(dá)式為（其中為有理數(shù)集，為無(wú)理數(shù)集），則關(guān)于狄利克雷函數(shù)說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．它是偶函數(shù)
C．它是周期函數(shù)，但不存在最小正周期D．它的值域?yàn)?br>1．（2024·廣東惠州·三模）（多選）德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet，1805-1859），是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一．他提出了著名的狄利克雷函數(shù)：，以下對(duì)的說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．的值域?yàn)?br>C．存在是無(wú)理數(shù)，使得
D．，總有
2．（2024·重慶·一模）（多選）德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其命名的函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)集，為有理數(shù)集，則以下關(guān)于狄利克雷函數(shù) 的結(jié)論中，正確的是（ ）
A．函數(shù) 為偶函數(shù)
B．函數(shù) 的值域是
C．對(duì)于任意的 ，都有
D．在 圖象上不存在不同的三個(gè)點(diǎn) ，使得 為等邊三角形
E．在 圖象存在不同的三個(gè)點(diǎn) ，使得 為等邊三角形
考點(diǎn)四、sgnx函數(shù)
1．（2024·山東臨沂·一模）已知函數(shù)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
1．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)上的符號(hào)函數(shù)可以返回一個(gè)整型變量，用來(lái)指出參數(shù)的正負(fù)號(hào)，一般用來(lái)表示，其解析式為.已知函數(shù)，給出下列結(jié)論：
①函數(shù)的最小正周期為；
②函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
③函數(shù)的對(duì)稱中心為；
④在上函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是 .（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）
考點(diǎn)五、最大值最小值函數(shù)
1．（22-23高三上·階段練習(xí)）已知表示，，中的最大值，例如，若函數(shù)，則的最小值為（ ）
A．2.5B．3C．4D．5
2．（2024·廣東韶關(guān)·二模）定義，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，則的值是（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為中最大的數(shù).已知正實(shí)數(shù)，記，則的最小值為（ ）
A．1B．C．2D．4
2．（2024·湖北·一模）記，分別表示函數(shù)在上的最大值和最小值．則 ．
考點(diǎn)六、歐拉函數(shù)
1．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)，且與互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如，，．若，且，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）歐拉函數(shù)是初等數(shù)論中的重要內(nèi)容．對(duì)于一個(gè)正整數(shù)n，歐拉函數(shù)表示小于或等于n且與n互質(zhì)的正整數(shù)的數(shù)目．換句話說(shuō)，是所有不超過(guò)n且與n互素的數(shù)的總數(shù)．如：，．則以下是真命題的有（ ）
A．的定義域?yàn)?，其值域也?br>B．在其定義域上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)
C．不存在，使得方程有無(wú)數(shù)解
D．，當(dāng)且僅當(dāng)n是素?cái)?shù)時(shí)等號(hào)成立
3．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）歐拉函數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè)n為正整數(shù)，集合，歐拉函數(shù)的值等于集合中與n互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)；記表示x除以y的余數(shù)（x和y均為正整數(shù)），
(1)求和；
(2)現(xiàn)有三個(gè)素?cái)?shù)p，q，，，存在正整數(shù)d滿足；已知對(duì)素?cái)?shù)a和，均有，證明：若，則；
(3)設(shè)n為兩個(gè)未知素?cái)?shù)的乘積，，為另兩個(gè)更大的已知素?cái)?shù)，且；又，，，試用，和n求出x的值．
1．（2024·湖北武漢·二模）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：，，則 ；若，則的最大值為 ．
2．（23-24高三上·河北邢臺(tái)·開(kāi)學(xué)考試）歐拉是18世紀(jì)最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家之一，幾乎每個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字，如著名的歐拉函數(shù).歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)n，且與n互素(兩個(gè)數(shù)只有公約數(shù)1)的正整數(shù)的個(gè)數(shù).例如：，.現(xiàn)從中任選兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)相同的概率是 .
考點(diǎn)七、黎曼函數(shù)
8．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）（多選）黎曼函數(shù)（Riemann functin）是一個(gè)特殊的函數(shù)，由德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，其基本定義是：（注：分子與分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，稱為既約分?jǐn)?shù)），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．黎曼函數(shù)的定義域?yàn)?br>C．黎曼函數(shù)的最大值為
D．若是奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則
1．（2024·北京石景山·一模）黎曼函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛應(yīng)用，其一種定義為：時(shí)，．若數(shù)列，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①；②；③；④．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
考點(diǎn)八、曲率
1．（2024·廣西來(lái)賓·模擬預(yù)測(cè)）曲率是數(shù)學(xué)上衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)，對(duì)于曲線，其在點(diǎn)處的曲率，其中是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)．則拋物線上的各點(diǎn)處的曲率最大值為（ ）
A．B．pC．D．
2．（2024·全國(guó)·二模）廣州小蠻腰是廣州市的地標(biāo)性建筑，奇妙的曲線造型讓建筑充滿了美感，數(shù)學(xué)上用曲率表示曲線的彎曲程度.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)記為，則函數(shù)的圖象在x0,fx0的曲率.
(1)求橢圓在處的曲率；
(2)證明：函數(shù)圖象的曲率的極大值點(diǎn)位于區(qū)間.
1．（22-23高三上·山東·階段練習(xí)）（多選）曲線的曲率就是針對(duì)曲線上某個(gè)點(diǎn)的切線方向角對(duì)弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率，表明曲線偏離直線的程度，曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大．曲線在點(diǎn)處的曲率，其中是的導(dǎo)函數(shù)．下面說(shuō)法正確的是（ ）
A．若函數(shù)，則曲線在點(diǎn)與點(diǎn)處的彎曲程度相同
B．若是二次函數(shù)，則曲線的曲率在頂點(diǎn)處取得最小值
C．若函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)?br>D．若函數(shù)，則曲線上任意一點(diǎn)的曲率的最大值為
考點(diǎn)九、極值點(diǎn)與拐點(diǎn)
1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）極值的廣義定義如下：如果一個(gè)函數(shù)在一點(diǎn)的一個(gè)鄰域（包含該點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間）內(nèi)處處都有確定的值，而以該點(diǎn)處的值為最大（?。@函數(shù)在該點(diǎn)處的值就是一個(gè)極大（?。┲?
對(duì)于函數(shù)，設(shè)自變量x從變化到，當(dāng)，是一個(gè)確定的值，則稱函數(shù)在點(diǎn)處右可導(dǎo)；當(dāng)，是一個(gè)確定的值，則稱函數(shù)在點(diǎn)處左可導(dǎo).當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處既右可導(dǎo)也左可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)值相等，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo).
(1)請(qǐng)舉出一個(gè)例子，說(shuō)明該函數(shù)在某點(diǎn)處不可導(dǎo)，但是該點(diǎn)是該函數(shù)的極值點(diǎn)；
(2)已知函數(shù).
（ⅰ）求函數(shù)在處的切線方程；
（ⅱ）若為的極小值點(diǎn)，求a的取值范圍.
2．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.已知函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，則下列說(shuō)法中正確的有（ ）
A．，B．函數(shù)的極大值與極小值之和為2
C．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)D．在區(qū)間上單調(diào)遞減
1．（2024·河南·三模）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)為.若，且，則為曲線的拐點(diǎn).
(1)判斷曲線是否有拐點(diǎn)，并說(shuō)明理由；
(2)已知函數(shù)，若為曲線的一個(gè)拐點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間與極值.
考點(diǎn)十、洛必達(dá)法則
1．（20-21高二下·重慶江北·階段練習(xí)）我們把分子、分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型．兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法．如：，則（ ）
A．0B．C．1D．2
2．（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則
.
②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿足：對(duì)任意，均有成立，且，則稱函數(shù)為區(qū)間上的k階無(wú)窮遞降函數(shù).
結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問(wèn)題：
(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無(wú)窮遞降函數(shù)；
(2)計(jì)算：；
(3)證明：，.
1．（2024·河北邢臺(tái)·二模）在函數(shù)極限的運(yùn)算過(guò)程中，洛必達(dá)法則是解決未定式型或型極限的一種重要方法，其含義為：若函數(shù)和滿足下列條件：
①且（或，）；
②在點(diǎn)的附近區(qū)域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；
③（可為實(shí)數(shù)，也可為），則．
(1)用洛必達(dá)法則求；
(2)函數(shù)（，），判斷并說(shuō)明的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(3)已知，，，求的解析式．
參考公式：，．
考點(diǎn)十一、不動(dòng)點(diǎn)與復(fù)合穩(wěn)定點(diǎn)
1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里的一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，簡(jiǎn)單的講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)．函數(shù)有 個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．
2．（2024·廣東廣州·二模）若是方程的實(shí)數(shù)解，則稱是函數(shù)與的“復(fù)合穩(wěn)定點(diǎn)”．若函數(shù)且與有且僅有兩個(gè)不同的“復(fù)合穩(wěn)定點(diǎn)”，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·貴州黔西·一模）布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可運(yùn)用到有限維空間并構(gòu)成了一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石，得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾().簡(jiǎn)單地講就是:對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得，我們就稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，實(shí)數(shù)為該函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).
(1)求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn);
(2)若函數(shù)有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，且，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
1．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）對(duì)于函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則稱為的不動(dòng)點(diǎn)．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求證；
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
(3)設(shè)，證明．
2．（2024·河北滄州·一模）對(duì)于函數(shù)，，若存在，使得，則稱為函數(shù)的一階不動(dòng)點(diǎn)；若存在，使得，則稱為函數(shù)的二階不動(dòng)點(diǎn)；依此類推，可以定義函數(shù)的階不動(dòng)點(diǎn)．其中一階不動(dòng)點(diǎn)簡(jiǎn)稱為“不動(dòng)點(diǎn)”，二階不動(dòng)點(diǎn)簡(jiǎn)稱為“穩(wěn)定點(diǎn)”，函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”構(gòu)成的集合分別記為和，即，．
(1)若，證明：集合中有且僅有一個(gè)元素；
(2)若，討論集合的子集的個(gè)數(shù)．
考點(diǎn)十二、 可移倒數(shù)點(diǎn)
1．（2024·江蘇蘇州·三模）對(duì)于函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使，其中，則稱為“可移倒數(shù)函”，為“的可移倒數(shù)點(diǎn)”.設(shè)，若函數(shù)恰有3個(gè)“可移1倒數(shù)點(diǎn)”，則的取值范圍（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·山東聊城·二模）對(duì)于函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使，其中，則稱為“可移倒數(shù)函數(shù)”，為“的可移倒數(shù)點(diǎn)”．已知．
(1)設(shè)，若為“的可移倒數(shù)點(diǎn)”，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)，若函數(shù)恰有3個(gè)“可移1倒數(shù)點(diǎn)”，求的取值范圍．
考點(diǎn)十三、泰勒展開(kāi)
1．（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.以上公式稱為泰勒公式.設(shè)，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問(wèn)題.
(1)證明：；
(2)設(shè)，證明：；
(3)設(shè)，若是的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
2．（2024·貴州遵義·三模）英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒（B．Taylr，1685—1731）發(fā)現(xiàn)了：當(dāng)函數(shù)在定義域內(nèi)n階可導(dǎo)，則有如下公式：以上公式稱為函數(shù)的泰勒展開(kāi)式，簡(jiǎn)稱為泰勒公式．其中，，表示的n階導(dǎo)數(shù)，即連續(xù)求n次導(dǎo)數(shù)．根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問(wèn)題：
(1)寫(xiě)出的泰勒展開(kāi)式（至少有5項(xiàng)）；
(2)設(shè)，若是的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)若，k為正整數(shù)，求k的值．
1．（2024·安徽·一模）給出以下三個(gè)材料：
①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作.類似的，函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)，記作，函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的四階導(dǎo)數(shù)……，一般地，函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，記作，；
②若，定義；
③若函數(shù)在包含的某個(gè)開(kāi)區(qū)間上具有任意階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任意有，我們將稱為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒展開(kāi)式.
例如在點(diǎn)處的泰勒展開(kāi)式為
根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：
(1)求出在點(diǎn)處的泰勒展開(kāi)式；
(2)用在點(diǎn)處的泰勒展開(kāi)式前三項(xiàng)計(jì)算的值，精確到小數(shù)點(diǎn)后4位；
(3)現(xiàn)已知，試求的值.
考點(diǎn)十四、麥克勞林展開(kāi)
1．（24-25高三上·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）麥克勞林展開(kāi)式是泰勒展開(kāi)式的一種特殊形式，的麥克勞林展開(kāi)式為：，其中表示的n階導(dǎo)數(shù)在0處的取值，我們稱為麥克勞林展開(kāi)式的第項(xiàng)．例如：．
(1)請(qǐng)寫(xiě)出的麥克勞林展開(kāi)式中的第2項(xiàng)與第4項(xiàng)；
(2)數(shù)學(xué)競(jìng)賽小組發(fā)現(xiàn)的麥克勞林展開(kāi)式為，這意味著：當(dāng)時(shí)，，你能幫助數(shù)學(xué)競(jìng)賽小組完成對(duì)此不等式的證明嗎？
(3)當(dāng)時(shí)，若，求整數(shù)的最大值．
1．（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)在區(qū)間0,1上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
(2)“”是一個(gè)求和符號(hào)，例如，，等等．英國(guó)數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，，這就是麥克勞林展開(kāi)式在三角函數(shù)上的一個(gè)經(jīng)典應(yīng)用．
證明：（i）當(dāng)時(shí)，對(duì)，都有；
（ii）．
考點(diǎn)十五、拉格朗日中值定理
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且在處取得極大值．
(1)求的值與的單調(diào)區(qū)間．
(2)如圖，若函數(shù)y=fx的圖像在連續(xù)，試猜想拉格朗日中值定理，即一定存在，使得，求的表達(dá)式〔用含的式子表示〕．
(3)利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)的連線斜率不大于．
2．（2024·山西·三模）微分中值定理是微積分學(xué)中的重要定理，它是研究區(qū)間上函數(shù)值變化規(guī)律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的內(nèi)容如下:
如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)為，那么在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”.已知函數(shù).
(1)若，求函數(shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”；
(2)若，求證:函數(shù)在區(qū)間圖象上任意兩點(diǎn)，連線的斜率不大于；
(3)若，且，求證:.
1．（23-24高二下·江西九江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的在點(diǎn)處的切線；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍；
(3)若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，，且，使得，則稱為“拉格朗日中值函數(shù)”，并稱線段的中點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)“拉格朗日平均值點(diǎn)”.試判斷函數(shù)是否為“拉格朗日中值函數(shù)”，若是，判斷函數(shù)的“拉格朗日平均值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)；若不是，說(shuō)明理由.
2．（2024·廣東·二模）拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，其內(nèi)容為：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為f′x，那么在區(qū)間內(nèi)存在點(diǎn)，使得成立．設(shè)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．易知，在實(shí)數(shù)集上有唯一零點(diǎn)，且．
(1)證明：當(dāng)時(shí)，；
(2)從圖形上看，函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．直接求解的零點(diǎn)是困難的，運(yùn)用牛頓法，我們可以得到零點(diǎn)的近似解：先用二分法，可在中選定一個(gè)作為的初始近似值，使得，然后在點(diǎn)x0,fx0處作曲線y=fx的切線，切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱是的一次近似值；在點(diǎn)x1,fx1處作曲線y=fx的切線，切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱是的二次近似值；重復(fù)以上過(guò)程，得的近似值序列．
①當(dāng)時(shí)，證明：；
②根據(jù)①的結(jié)論，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可以證得：為遞減數(shù)列，且．請(qǐng)以此為前提條件，證明：．
考點(diǎn)十六、帕德近似
1．（22-23高二下·山東濟(jì)南·期中）帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利帕德發(fā)明的用有理數(shù)多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法，給定兩個(gè)正整數(shù)，函數(shù)在處的階帕德近似定義為，且滿足：...已知在處的階帕德近似為.注：，
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)求證：；
(3)求不等式的解集，其中，
2．（2024·福建廈門(mén)·三模）帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法，在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.已知函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，.其中，，…，.已知在處的階帕德近似為.
(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；
(2)設(shè)，證明：；
(3)已知是方程的三個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明：.
1．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，，，注：，，，，
已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在處的階帕德近似，并求的近似數(shù)精確到
(2)在（1）的條件下：
①求證：；
②若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
2．（23-24高二下·湖北·期中）帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：.（注：，為的導(dǎo)數(shù)）已知在處的階帕德近似為.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，；
(3)設(shè)為實(shí)數(shù)，討論方程的解的個(gè)數(shù).
考點(diǎn)十七、萊布尼茨
1．（23-24高二下·貴州安順·期末）固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程為.當(dāng)時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)，類似的我們可以定義雙曲正弦函數(shù).它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì).
(1)求與的導(dǎo)數(shù)；
(2)證明：在上恒成立；
(3)求的零點(diǎn).
2．（2024·甘肅酒泉·三模）十七世紀(jì)至十八世紀(jì)的德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲是世界上第一個(gè)提出二進(jìn)制記數(shù)法的人，用二進(jìn)制記數(shù)只需數(shù)字0和1，對(duì)于整數(shù)可理解為逢二進(jìn)一，例如：自然數(shù)1在二進(jìn)制中就表示為，2表示為，3表示為，5表示為，發(fā)現(xiàn)若可表示為二進(jìn)制表達(dá)式，則，其中，或．
(1)記，求證：；
(2)記為整數(shù)的二進(jìn)制表達(dá)式中的0的個(gè)數(shù)，如，．
（?。┣?；
（ⅱ）求（用數(shù)字作答）．
1．（22-23高一上·江蘇南通·期末）對(duì)于任意兩個(gè)正數(shù)，記曲線與直線軸圍成的曲邊梯形的面積為，并約定和，德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Leibniz）最早發(fā)現(xiàn)．關(guān)于，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線年，萊布尼茨等得出懸鏈線的方程為，其中為參數(shù)．當(dāng)時(shí)，該表達(dá)式就是雙曲余弦函數(shù)，記為，懸鏈線的原理常運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．已知三角函數(shù)滿足性質(zhì)：①導(dǎo)數(shù)：；②二倍角公式：；③平方關(guān)系：．定義雙曲正弦函數(shù)為．
(1)寫(xiě)出，具有的類似于題中①、②、③的一個(gè)性質(zhì)，并證明該性質(zhì)；
(2)任意，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)正項(xiàng)數(shù)列滿足，，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)十八、函數(shù)凹凸性
1．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）給出定義：若函數(shù)在D上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在D上也可導(dǎo)，則稱在D上存在二階導(dǎo)數(shù)，記.若在D上恒成立，則稱在D上為凸函數(shù).以下四個(gè)函數(shù)在上不是是凸函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)是的定義域的子集，若在區(qū)間上，則稱在上是“凸函數(shù)”.已知函數(shù).
(1)若在上為“凸函數(shù)”，求的取值范圍；
(2)若，判斷在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
1．（2024·安徽·三模）丹麥數(shù)學(xué)家琴生是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.若為上任意個(gè)實(shí)數(shù)，滿足，則稱函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.也可設(shè)可導(dǎo)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為在上的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.已知，且，令的最小值為，則為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）閱讀以下材料：
①設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若在區(qū)間D單調(diào)遞增；則稱為區(qū)上的凹函數(shù)；若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù).
②平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)稱為函數(shù)的“切點(diǎn)”，當(dāng)且僅當(dāng)過(guò)點(diǎn)恰好能作曲線的條切線，其中.
(1)已知函數(shù).
（i）當(dāng)時(shí)，討論的凹凸性；
（ii）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在軸右側(cè)且為的“3切點(diǎn)”，求點(diǎn)的集合；
(2)已知函數(shù)，點(diǎn)在軸左側(cè)且為的“3切點(diǎn)”，寫(xiě)出點(diǎn)的集合（不需要寫(xiě)出求解過(guò)程）.
考點(diǎn)十九、切線問(wèn)題
1．（23-24高二下·上海閔行·期末）若函數(shù)的圖像上有兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱該切線為函數(shù)的圖像的“自公切線”.
(1)試判斷函數(shù)與的圖像是否存在“自公切線”（不需要說(shuō)明理由）；
(2)若，求函數(shù)的圖像的“自公切線”方程；
(3)設(shè)，求證：函數(shù)的圖像不存在“自公切線”
2．（23-24高二下·遼寧·階段練習(xí)）曲線的切線?曲面的切平面在平面幾何?立體幾何以及解析幾何中有著重要的應(yīng)用，更是聯(lián)系數(shù)學(xué)與物理學(xué)的重要工具，在極限理論的研究下，導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，更是與切線有著密不可分的關(guān)系，數(shù)學(xué)家們以不同的方法研究曲線的切線?曲面的切平面，用以解決實(shí)際問(wèn)題：
(1)對(duì)于函數(shù)，分別在點(diǎn)處作函數(shù)的切線，記切線與軸的交點(diǎn)分別為，記為數(shù)列的第項(xiàng)，則稱數(shù)列為函數(shù)的“切線軸數(shù)列”，同理記切線與軸的交點(diǎn)分別為，記為數(shù)列的第項(xiàng)，則稱數(shù)列為函數(shù)的“切線軸數(shù)列”.
①設(shè)函數(shù)，記的“切線軸數(shù)列”為；
②設(shè)函數(shù)，記的“切線軸數(shù)列”為，
則，求的通項(xiàng)公式.
(2)在探索高次方程的數(shù)值求解問(wèn)題時(shí)，牛頓在《流數(shù)法》一書(shū)中給出了牛頓迭代法：用“作切線”的方法求方程的近似解.具體步驟如下：設(shè)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取作為的初始近似值，曲線在點(diǎn)處的切線為，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為的1次近似值；曲線在點(diǎn)處的切線為，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱為的2次近似值.一般地，曲線在點(diǎn)處的切線為，記與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為的次近似值.已知二次函數(shù)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，其中.對(duì)函數(shù)持續(xù)實(shí)施牛頓迭代法得到數(shù)列，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列，令數(shù)列滿足，且，證明：.（注：當(dāng)時(shí)，恒成立，無(wú)需證明）
1．（2024·上海黃浦·二模）若函數(shù)的圖象上的兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線互相重合，則稱該切線為函數(shù)的圖象的“自公切線”，稱這兩點(diǎn)為函數(shù)的圖象的一對(duì)“同切點(diǎn)”.
(1)分別判斷函數(shù)與的圖象是否存在“自公切線”，并說(shuō)明理由；
(2)若，求證：函數(shù)有唯一零點(diǎn)且該函數(shù)的圖象不存在“自公切線”；
(3)設(shè)，的零點(diǎn)為，，求證：“存在，使得點(diǎn)與是函數(shù)的圖象的一對(duì)‘同切點(diǎn)’”的充要條件是“是數(shù)列中的項(xiàng)”.
2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；
(2)定義：若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，若在點(diǎn)處的切線與直線平行或重合，則函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，切線叫做函數(shù)的“中值平衡切線”．試判斷函數(shù)是否是“中值平衡函數(shù)”？若是，判斷函數(shù)的“中值平衡切線”的條數(shù)；若不是，說(shuō)明理由；
(3)設(shè)，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
考點(diǎn)二十、類型函數(shù)
1．（2024·浙江·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，如果將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是某個(gè)函數(shù)的圖象，則稱為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)是否為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，并說(shuō)明理由；
(2)已知函數(shù)是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的最大值；
(3)若函數(shù)是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的取值范圍.
2．（2024·黑龍江·三模）若函數(shù)y=fx滿足：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，有恒成立，則稱函數(shù)y=fx為“增函數(shù)”.
(1)求證：函數(shù)不是“增函數(shù)”；
(2)若函數(shù)是“增函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)設(shè)，若曲線y=gx在處的切線方程為，求的值，并證明函數(shù)y=gx是“增函數(shù)”.
1．（2024·貴州六盤(pán)水·三模）若函數(shù)在上有定義，且對(duì)于任意不同的，都有，則稱為上的“k類函數(shù)”
(1)若，判斷是否為上的“4類函數(shù)”；
(2)若為上的“2類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)若為上的“2類函數(shù)”且，證明：，，.
2．（2024·新疆喀什·三模）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：對(duì)于任意的，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．
(1)判斷函數(shù)，是否具有性質(zhì)；（直接寫(xiě)出結(jié)論）
(2)已知函數(shù)（，），判斷是否存在，，使函數(shù)具有性質(zhì)？若存在，求出，的值；若不存在，說(shuō)明理由；
(3)設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，且在區(qū)間上的值域?yàn)閒0,f2π．函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．求證：f2π=2π．
1．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）表示大于或者等于的最小整數(shù)，表示小于或者等于的最大整數(shù)．已知函數(shù) ，且滿足：對(duì)有，則的可能取值是（ ）
A．B．0C．D．
2．（2024·山東菏澤·二模）（多選）函數(shù)的函數(shù)值表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如，．下列結(jié)論正確的有（ ）
A．函數(shù)與函數(shù)無(wú)公共點(diǎn)
B．若，則
C．
D．所有滿足的點(diǎn)組成區(qū)域的面積為
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）著名的德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷在19世紀(jì)提出了這樣一個(gè)“奇怪的”函數(shù)：定義在上的函數(shù).后來(lái)數(shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)該函數(shù)在其定義域上處處不連續(xù)、處處不可導(dǎo)．根據(jù)該函數(shù)，以下是真命題的有（ ）
A．
B．的圖象關(guān)于軸對(duì)稱
C．的圖象關(guān)于軸對(duì)稱
D．存在一個(gè)正三角形，其頂點(diǎn)均在的圖象上
4．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)）記實(shí)數(shù)的最小數(shù)為，若，則函數(shù)的最大值為 ．
5．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）（多選）定義表示中的最小者，設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)為B．有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)為3
C．D．恒成立
6．（23-24高一上·福建三明·期中）已知，定義：，設(shè).若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·江西南昌·三模）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為 .
8．（2024·貴州黔南·二模）歐拉函數(shù)表示不大于正整數(shù)且與互素（互素：公約數(shù)只有1）的正整數(shù)的個(gè)數(shù).已知，其中，，…，是的所有不重復(fù)的質(zhì)因數(shù)（質(zhì)因數(shù)：因數(shù)中的質(zhì)數(shù)）.例如.若數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，則 .
9．（23-24高三下·北京海淀·階段練習(xí)）華人數(shù)學(xué)家李天巖和美國(guó)數(shù)學(xué)家約克給出了“混濁”的數(shù)學(xué)定義：由此發(fā)展的混濁理論在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會(huì)學(xué)領(lǐng)域都有重要作用，在混沌理論中，函數(shù)的周期點(diǎn)是一個(gè)關(guān)鍵概念，定義如下：設(shè)是定義在R上的函數(shù)，對(duì)于，令，若存在正整數(shù)k使得，且當(dāng)時(shí)，，則稱是的一個(gè)周期為k的周期點(diǎn)．若，寫(xiě)出一個(gè)周期為1的周期點(diǎn) ．
10．（22-23高二下·北京海淀·期中）法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日于1778年在其著作《解析函數(shù)論》中提出一個(gè)定理：
如果函數(shù)滿足如下條件：
①的圖象在閉區(qū)間上是連續(xù)不斷的；
②在區(qū)間上都有導(dǎo)數(shù).
則在區(qū)間上至少存在一個(gè)數(shù)，使得.
這就是著名的“拉格朗日中值定理”，其中稱為拉格朗日中值.
請(qǐng)閱讀以上內(nèi)容，回答以下問(wèn)題:
(1)函數(shù)在區(qū)間上的拉格朗日中值為_(kāi)___________；
(2)下列函數(shù)，是否存在以0為拉格朗日中值的區(qū)間?若存在，請(qǐng)將函數(shù)對(duì)應(yīng)的序號(hào)全部填在橫線上____________.
①； ②； ③； ④； ⑤
11．（2024·湖北·一模）我們知道通過(guò)牛頓萊布尼茲公式，可以求曲線梯形（如圖1所示陰影部分）的面積，其中，．如果平面圖形由兩條曲線圍成（如圖2所示陰影部分），曲線可以表示為，曲線可以表示為，那么陰影區(qū)域的面積，其中．
(1)如圖，連續(xù)函數(shù)y=fx在區(qū)間與的圖形分別為直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間與0,2的圖形分別為直徑為2的下、上半圓周，設(shè)．求的值；
(2)在曲線上某一個(gè)點(diǎn)處作切線，便之與曲線和x軸所圍成的面積為，求切線方程；
(3)正項(xiàng)數(shù)列bn是以公差為d（d為常數(shù)，）的等差數(shù)列，，兩條拋物線，記它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為，兩條拋物線圍成的封閉圖形的面積為，求證：．
12．（2024·山西臨汾·三模）記為函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)，，若存在，則稱階可導(dǎo)．英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)：若在附近階可導(dǎo)，則可構(gòu)造（稱其為在處的次泰勒多項(xiàng)式）來(lái)逼近在附近的函數(shù)值．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．在處的3次泰勒多項(xiàng)式為
D．（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)字）
13．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）根據(jù)多元微分求條件極值理論，要求二元函數(shù)在約束條件的可能極值點(diǎn)，首先構(gòu)造出一個(gè)拉格朗日輔助函數(shù)，其中為拉格朗日系數(shù)．分別對(duì)中的部分求導(dǎo)，并使之為0，得到三個(gè)方程組，如下：
，解此方程組，得出解，就是二元函數(shù)在約束條件的可能極值點(diǎn)．的值代入到中即為極值．
補(bǔ)充說(shuō)明：【例】求函數(shù)關(guān)于變量的導(dǎo)數(shù)．即：將變量當(dāng)做常數(shù)，即：，下標(biāo)加上，代表對(duì)自變量x進(jìn)行求導(dǎo)．即拉格朗日乘數(shù)法方程組之中的表示分別對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)．
(1)求函數(shù)關(guān)于變量的導(dǎo)數(shù)并求當(dāng)處的導(dǎo)數(shù)值．
(2)利用拉格朗日乘數(shù)法求：設(shè)實(shí)數(shù)滿足，求的最大值．
(3)①若為實(shí)數(shù)，且，證明：．
②設(shè)，求的最小值．
14．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）記，若存在，滿足：對(duì)任意，均有，則稱為函數(shù)在上的最佳逼近直線.已知函數(shù)，.
(1)請(qǐng)寫(xiě)出在上的最佳逼近直線，并說(shuō)明理由；
(2)求函數(shù)在上的最佳逼近直線.
15．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)y=fx在上可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)為y=f′x.若區(qū)間及實(shí)數(shù)滿足：對(duì)任意成立，則稱函數(shù)y=fx為上的“函數(shù)”.
(1)判斷是否為0,+∞上的函數(shù)，說(shuō)明理由；
(2)若實(shí)數(shù)滿足：為上的函數(shù)，求的取值范圍；
(3)已知函數(shù)y=fx存在最大值．對(duì)于：：對(duì)任意與恒成立，：對(duì)任意正整數(shù)都是上的函數(shù)，問(wèn)：是否為的充分條件？是否為的必要條件？證明你的結(jié)論.
16．（2024·河南信陽(yáng)·二模）已知函數(shù)，其中，.若點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線與函數(shù)圖像的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的一個(gè)“上位點(diǎn)”，現(xiàn)有函數(shù)圖像上的點(diǎn)列，，…，，…，使得對(duì)任意正整數(shù)，點(diǎn)都是點(diǎn)的一個(gè)“上位點(diǎn)”.
(1)若，請(qǐng)判斷原點(diǎn)是否存在“上位點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；
(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，請(qǐng)分別求出點(diǎn)、的坐標(biāo)；
(3)若的坐標(biāo)為，記點(diǎn)到直線的距離為.問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)，使得無(wú)窮數(shù)列、、…、…嚴(yán)格減？若存在，求出實(shí)數(shù)的所有可能值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
17．（23-24高二下·江西九江·期末）記為函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)，，若存在，則稱階可導(dǎo).英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)：若在附近階可導(dǎo)，則可構(gòu)造（稱其為在處的次泰勒多項(xiàng)式）來(lái)逼近在附近的函數(shù)值.下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．在處的3次泰勒多項(xiàng)式為D．
18．（23-24高一上·山東臨沂·期末）臨沂一中校本部19、20班數(shù)學(xué)小組在探究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性，還無(wú)法準(zhǔn)確地描述出函數(shù)的圖象，例如函數(shù)和，雖然它們都是增函數(shù)，但是圖像上卻有很大的差異. 通過(guò)觀察圖像和閱讀數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，該小組了解到了函數(shù)的凹凸性的概念. 已知定義：設(shè)連續(xù)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?，如果?duì)于內(nèi)任意兩數(shù)，都有，則稱為上的凹函數(shù)；若，則為凸函數(shù). 對(duì)于函數(shù)的凹凸性，通過(guò)查閱資料，小組成員又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是區(qū)間上的凹函數(shù)，則對(duì)任意的,有不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）. 小組成員通過(guò)詢問(wèn)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)對(duì)他們研究的建議，得到了如下評(píng)注：在運(yùn)用琴生不等式求多元最值問(wèn)題，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù).小組成員選擇了反比例型函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，研究函數(shù)的凹凸性.
(1)設(shè)，求W=的最小值.
(2)設(shè)為大于或等于1的實(shí)數(shù)，證明（提示：可設(shè)）
(3)若a>1，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
19．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）定義：若是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率；已知函數(shù)，，曲線在點(diǎn)處的曲率為；
(1)求實(shí)數(shù)a的值；
(2)對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(3)設(shè)方程在區(qū)間內(nèi)的根為，…比較與的大小，并證明．
20．（2024·浙江紹興·二模）帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利?帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，. 已知在處的階帕德近似為.注：，，，，…
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)當(dāng)時(shí)，試比較與的大小，并證明；
(3)定義數(shù)列：，，求證：.
21．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)）帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個(gè)正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，．注：，，，，…；為的導(dǎo)數(shù)）．已知在處的階帕德近似為．
(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；
(2)比較與的大小；
(3)若有3個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
22．（24-25高三上·江西鷹潭·階段練習(xí)）法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數(shù)論》中給出了一個(gè)定理，具體如下.如果函數(shù)滿足如下條件：①在閉區(qū)間上的圖象是連續(xù)的；②在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo).則在開(kāi)區(qū)間上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得成立，人們稱此定理為“拉格朗日中值定理”.
(1)已知且，
（i）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（ii）當(dāng)時(shí)，求證：.
(2)已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，記作，若，證明：
23．（23-24高三下·重慶渝中·階段練習(xí)）閱讀材料一：“裝錯(cuò)信封問(wèn)題”是由數(shù)學(xué)家約翰·伯努利（Jhann Bernulli，1667～1748）的兒子丹尼爾·伯努利提出來(lái)的，大意如下：一個(gè)人寫(xiě)了封不同的信及相應(yīng)的個(gè)不同的信封，他把這封信都裝錯(cuò)了信封，問(wèn)都裝錯(cuò)信封的這一情況有多少種？后來(lái)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Lenhard Euler，1707～1783）給出了解答：記都裝錯(cuò)封信的情況為種，可以用全排列減去有裝正確的情況種數(shù)，結(jié)合容斥原理可得公式：，其中．
閱讀材料二：英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)在處階可導(dǎo)，則有：，注表示的階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式．閱讀以上材料后請(qǐng)完成以下問(wèn)題：
(1)求出的值；
(2)估算的大?。ūＡ粜?shù)點(diǎn)后2位），并給出用和表示的估計(jì)公式；
(3)求證：，其中．
24．（2024·山東濰坊·三模）一個(gè)完美均勻且靈活的項(xiàng)鏈的兩端被懸掛， 并只受重力的影響，這個(gè)項(xiàng)鏈形成的曲 線形狀被稱為懸鏈線.1691年，萊布尼茨、惠根斯和約翰?伯努利等得到“懸鏈線”方程 ，其中為參數(shù).當(dāng)時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)，類似地雙曲正弦函數(shù) ，它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì).
(1)類比三角函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：
①倍角公式 ；
②平方關(guān)系 ；
③求導(dǎo)公式
寫(xiě)出雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的一個(gè)正確的性質(zhì)并證明；
(2)當(dāng)時(shí)，雙曲正弦函數(shù)圖象總在直線的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若，證明：
25．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）如果三個(gè)互不相同的函數(shù)，，在區(qū)間上恒有或，則稱為與在區(qū)間上的“分割函數(shù)”．
(1)證明：函數(shù)為函數(shù)與在上的分割函數(shù)；
(2)若函數(shù)為函數(shù)與在上的“分割函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若，且存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)為函數(shù)與在區(qū)間上的“分割函數(shù)”，求的最大
第01講 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的新定義綜合
（20類核心考點(diǎn)精講精練）
新定義”主要是指新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種。
在新高考數(shù)學(xué)科目的考察中，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分的新定義占據(jù)了舉足輕重的地位，該部分內(nèi)容主要檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)函數(shù)的基本概念、核心性質(zhì)及運(yùn)算技巧的掌握程度，同時(shí)也涵蓋了對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解、計(jì)算能力的展現(xiàn)以及其在多種場(chǎng)景下的應(yīng)用。試題設(shè)計(jì)往往緊密貼合現(xiàn)實(shí)生活或科學(xué)情境，旨在評(píng)估學(xué)生運(yùn)用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)體系解決實(shí)際復(fù)雜問(wèn)題的能力。
新定義題型的特點(diǎn)是：通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的：遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決．
對(duì)于新定義的題目，一定要耐心理解定義，新的定義不但考查的是舊的知識(shí)點(diǎn)的延伸，更考查對(duì)于新知識(shí)的獲取理解能力，抓住關(guān)鍵點(diǎn)。對(duì)于以函數(shù)為背景的新定義問(wèn)題的求解策略要緊扣新定義和用好函數(shù)的性質(zhì)，分析新定義的特點(diǎn)，把心定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過(guò)程中；同時(shí)時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的函數(shù)的性質(zhì)的一些因素
（1）可通過(guò)舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡(jiǎn)單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；
（2）可用自己的語(yǔ)言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說(shuō)明對(duì)此信息理解的較為透徹；
（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；
（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書(shū)上的概念.
為此，考生需對(duì)基礎(chǔ)函數(shù)的各種屬性、圖象特征、運(yùn)算規(guī)律有深入透徹的理解，并熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本定義、其蘊(yùn)含的幾何與物理意義以及多樣化的計(jì)算方法。進(jìn)一步地，針對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的典型應(yīng)用，如求解最優(yōu)化問(wèn)題、分析變化率趨勢(shì)、確定曲線在某點(diǎn)的切線方程等，考生應(yīng)具備扎實(shí)的分析思路和有效的解決策略。
綜上所述，備考過(guò)程中，考生應(yīng)高度重視基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固與深化，同時(shí)加強(qiáng)針對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解題訓(xùn)練，以提升自身的綜合應(yīng)用能力。
考點(diǎn)一、高斯取整函數(shù)
1．（2024·山東青島·三模）定義 x 表示不超過(guò) 的最大整數(shù).例如: ，則（ ）
A．B．
C． 是偶函數(shù)D． 是增函數(shù)
【答案】B
【分析】A選項(xiàng)，取特殊值，判斷出A選項(xiàng)的真假；B選項(xiàng)，設(shè)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，可得與的關(guān)系，可得，判斷出B選項(xiàng)的真假；C選項(xiàng)，取特殊值，利用偶函數(shù)定義驗(yàn)證，判斷出C的真假；D中，取特殊值，判斷出函數(shù)不是增函數(shù)，判斷出D的真假.
【詳解】A選項(xiàng)，取，則，，顯然，所以A不正確；
B選項(xiàng)，設(shè)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，所以，
所以，所以，所以，即，
所以，所以，故B正確；
C選項(xiàng)，，因?yàn)椋?br>所以，所以不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，所以，所以不是增函數(shù)，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
2．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）函數(shù)被稱為取整函數(shù)，也稱高斯函數(shù)，其中表示不大于實(shí)數(shù)的最大整數(shù)．若，滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)基本不等式求解最值，即可根據(jù)一元二次不等式求解，即可根據(jù)取整函數(shù)的定義求解.
【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
由可得，
所以，故，
故選：C
3．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”定義為：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，記表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則稱為“高斯函數(shù)”．例如：，．
(1)設(shè)，，求證：是的一個(gè)周期，且恒成立；
(2)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)．
①求證：；
②求的值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)①證明見(jiàn)解析；②88.
【分析】（1）根據(jù)新定義的理解，計(jì)算可得，結(jié)合當(dāng)時(shí)即可求解；
（2）①：記，則，利用放縮法可證得、，進(jìn)而，即可證明；②：由①知，由（1）可得，則，令，結(jié)合裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得，即可求解.
【詳解】（1）．
故是的一個(gè)周期．
當(dāng)時(shí)，，，故．
由于周期為，故對(duì)任意，都有．
（2）①記．
，則．
∵
，∴．
而
．∴．
∴，∴．
②由①知，則．
由（1）知：對(duì)任意，都有，
∴．∴．
∵，∴．
令，
∵；
．
∵，∴．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
學(xué)生在理解相關(guān)新概念、新法則(公式)之后，運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)，結(jié)合已掌握的技能，通過(guò)推理、運(yùn)算等解決問(wèn)題.在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì).主要是將新性質(zhì)應(yīng)用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì)，落腳點(diǎn)仍然是數(shù)列求通項(xiàng)或求和.
1．（2024·全國(guó)·一模）數(shù)學(xué)上，常用表示不大于x的最大整數(shù)．已知函數(shù)，則下列正確的是（ ）．
A．函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)B．函數(shù)的零點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)
C．函數(shù)在定義域上的值域是D．不等式解集是
【答案】B
【分析】設(shè)，A選項(xiàng)，注意到，可判斷選項(xiàng)正誤；B選項(xiàng)，等價(jià)于判斷方程根的個(gè)數(shù)；
C選項(xiàng)，通過(guò)分析方程根的存在性可判斷選項(xiàng)正誤；D選項(xiàng)，等價(jià)于解不等式.
【詳解】設(shè)，A選項(xiàng)，，，
因，則不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，令，即函數(shù)的零點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，故B正確；
C選項(xiàng)，若，則，
但，則，即函數(shù)在定義域上的值域不是?1,1，故C錯(cuò)誤.
D選項(xiàng)，，故D錯(cuò)誤.
故選：B
2．（2024·河南開(kāi)封·二模）（多選）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一．用其名字命名的高斯取整函數(shù)為，表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如，．下列命題中正確的有（ ）
A．，
B．，，
C．，
D．，
【答案】BD
【分析】根據(jù)給定的定義，結(jié)合存在量詞命題、全稱量詞命題的真假判斷方法逐項(xiàng)分析即得.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而，
因此，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，，令，則，，
因此，B正確；
對(duì)于C，取，，則，，
顯然，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而，
因此，此時(shí)，D正確.
故選：BD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷全稱量詞命題為真、存在量詞命題為假必須推理論證；判斷全稱量詞命題為假、存在量詞命題為真只需舉例說(shuō)明.
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）函數(shù)是取整函數(shù)，也被稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如：，.若在函數(shù)的定義域內(nèi)，均滿足在區(qū)間上，是一個(gè)常數(shù)，則稱為的取整數(shù)列，稱為的區(qū)間數(shù)列.下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的區(qū)間數(shù)列的通項(xiàng)
B．的取整數(shù)列的通項(xiàng)
C．的取整數(shù)列的通項(xiàng)
D．若，則數(shù)列的前項(xiàng)和
【答案】BD
【分析】由在上，得到，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)，可判定B正確；結(jié)合， 可判定C錯(cuò)誤；得到，利用乘公比錯(cuò)位相減法求和，可判定D正確.
【詳解】對(duì)于A中，因?yàn)樵谏?，，，所以?br>在上，，所以，
在上，，，所以，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B中，由選項(xiàng)A知，，所以B正確.
對(duì)于C中，因?yàn)椋?
所以，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D中，由選項(xiàng)A知，可得，
則，
所以，
兩式相減，所以D正確.
故選：BD.
考點(diǎn)二、二階行列式
1．（2024·福建寧德·模擬預(yù)測(cè)）定義，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由，可得等價(jià)于，即，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：C.
1．（2023·河南·三模）我們稱為“二階行列式”，規(guī)定其運(yùn)算為．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若?duì)定義域內(nèi)的任意都有，則（ ）
A．B．是偶函數(shù)C．是周期函數(shù)D．沒(méi)有極值點(diǎn)
【答案】D
【分析】經(jīng)行列式運(yùn)算后，得到關(guān)系式，將替換為代入，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式，逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】由于，則，
即為：（*），
將替換為代入（*）式，得，且，
得：，
對(duì)于A，取，顯然滿足（*）式，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，定義域?yàn)椋?br>則成立，
所以是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，假設(shè)非零常數(shù)為函數(shù)的周期，即，
則，其中，
即得，，這與假設(shè)為非零常數(shù)矛盾，
所以不是周期函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由于，則，顯然沒(méi)有實(shí)數(shù)解，
所以沒(méi)有極值點(diǎn)，故D正確；
故選：D.
2．（22-23高一下·江西萍鄉(xiāng)·期中）把符號(hào)稱為二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為．已知函數(shù)．
(1)若，，求的值域；
(2)函數(shù)，若對(duì)，，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)新定義運(yùn)算、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二次函數(shù)的性質(zhì)求得的值域.
（2）先求得的最小值，由此轉(zhuǎn)化不等式，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.
【詳解】（1），，
則，
的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，
因?yàn)?，所以?br>（2），
∵，∴，令，則，
函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)的最小值為1，
由題知，，即對(duì)于恒成立，
即對(duì)于恒成立，
令，則，記，，故只要，
①當(dāng)時(shí)，，解得，∴，
②當(dāng)時(shí)，，解得，∴，
③當(dāng)時(shí)，，解得，∴．
綜合①②③得，．
【點(diǎn)睛】二次函數(shù)在閉區(qū)間上取得最值時(shí)的，只能是其圖像的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)或給定區(qū)間的端點(diǎn)．因此，影響二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三個(gè)因素:拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸以及給定區(qū)間的位置．在這三大因素中，最容易確定的是拋物線的開(kāi)口方向（與二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)有關(guān))，而關(guān)于對(duì)稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系的討論是解決二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)三、狄利克雷函數(shù)
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet）是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)的結(jié)論正確的是（ ）
A．有零點(diǎn)B．是單調(diào)函數(shù)
C．是奇函數(shù)D．是周期函數(shù)
【答案】D
【詳解】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的性質(zhì)即可由或均為有理數(shù)求解A，根據(jù)即可判斷單調(diào)性求解B，根據(jù)和同為有理數(shù)或同為無(wú)理數(shù)，即可求解C，根據(jù)和同為有理數(shù)或同為無(wú)理數(shù)即可求解D.
【分析】對(duì)于A，因?yàn)榛蚓鶠橛欣頂?shù)，
所以，故沒(méi)有零點(diǎn)，A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，因?yàn)?，所以?br>故不是單調(diào)函數(shù)，B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，因?yàn)楹屯瑸橛欣頂?shù)或同為無(wú)理數(shù)，所以，
故是偶函數(shù)，C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，設(shè)為任意非零有理數(shù)，則和同為有理數(shù)或同為無(wú)理數(shù)，
所以，故是周期函數(shù)（以任意非零有理數(shù)為周期），D正確，
故選：D.
2．（23-24高三上·廣東惠州·階段練習(xí)）（多選）狄利克雷函數(shù)是由著名德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷創(chuàng)造的，它是定義在實(shí)數(shù)上、值域不連續(xù)的函數(shù)，它在數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程中有很重大的研究意義，例如對(duì)研究微積分就有很重要的作用，其函數(shù)表達(dá)式為（其中為有理數(shù)集，為無(wú)理數(shù)集），則關(guān)于狄利克雷函數(shù)說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．它是偶函數(shù)
C．它是周期函數(shù)，但不存在最小正周期D．它的值域?yàn)?br>【答案】ABC
【分析】根據(jù)題意，由狄利克雷函數(shù)的性質(zhì)，逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，則，故A正確；
若，則，則；若，則，則，所以為偶函數(shù)，故B正確；
設(shè)任意，則，
當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，或，
則，即任意非零有理數(shù)均是的周期，任何無(wú)理數(shù)都不是的周期，故C正確；
函數(shù)的值域?yàn)?，故D錯(cuò)誤；
故選：ABC
1．（2024·廣東惠州·三模）（多選）德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet，1805-1859），是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一．他提出了著名的狄利克雷函數(shù)：，以下對(duì)的說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．的值域?yàn)?br>C．存在是無(wú)理數(shù)，使得
D．，總有
【答案】ABD
【分析】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的定義判斷選項(xiàng)A、B、C；分別對(duì)是無(wú)理數(shù)和有理數(shù)進(jìn)行分類討論可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】由，可得的值域?yàn)椋?br>所以，故選項(xiàng)A、B正確；
因?yàn)楫?dāng)是無(wú)理數(shù)時(shí)，且是無(wú)理數(shù)，
所以，
所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
當(dāng)是無(wú)理數(shù)時(shí)，均為無(wú)理數(shù)，此時(shí)有，
當(dāng)是有理數(shù)時(shí)，均為有理數(shù)，此時(shí)有
所以，總有，故選項(xiàng)D正確.
故選：ABD
2．（2024·重慶·一模）（多選）德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其命名的函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)集，為有理數(shù)集，則以下關(guān)于狄利克雷函數(shù) 的結(jié)論中，正確的是（ ）
A．函數(shù) 為偶函數(shù)
B．函數(shù) 的值域是
C．對(duì)于任意的 ，都有
D．在 圖象上不存在不同的三個(gè)點(diǎn) ，使得 為等邊三角形
E．在 圖象存在不同的三個(gè)點(diǎn) ，使得 為等邊三角形
【答案】ACE
【分析】選項(xiàng)A中注意“若，則；，則”即可；選項(xiàng)B中注意；選項(xiàng)C中，內(nèi)層函數(shù)或，函數(shù)值都是有理數(shù)；選項(xiàng)DE取特殊情況判斷即可.
【詳解】由于，對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)任意，則，；設(shè)任意，則，
總之，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，f?x=fx恒成立，A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，的值域?yàn)?，，B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)，則，；當(dāng)，則，，C正確；
對(duì)于選項(xiàng)DE，取，，得到為等邊三角形，D錯(cuò)誤E正確.
故選：ACE.
考點(diǎn)四、sgnx函數(shù)
1．（2024·山東臨沂·一模）已知函數(shù)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】理解函數(shù)的性質(zhì)，舉反例說(shuō)明充分性不成立，再利用指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明必要性成立，從而得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，取，則，，
此時(shí)，則不成立，即充分性不成立；
當(dāng)時(shí)，，，所以，即必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
1．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)上的符號(hào)函數(shù)可以返回一個(gè)整型變量，用來(lái)指出參數(shù)的正負(fù)號(hào)，一般用來(lái)表示，其解析式為.已知函數(shù)，給出下列結(jié)論：
①函數(shù)的最小正周期為；
②函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
③函數(shù)的對(duì)稱中心為；
④在上函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是 .（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）
【答案】①④
【分析】作出函數(shù)的圖象，通過(guò)圖象討論函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱中心和零點(diǎn)等問(wèn)題.
【詳解】函數(shù)，畫(huà)出函數(shù)的部分圖象，如圖所示：
，
結(jié)合函數(shù)圖象可知，函數(shù)的最小正周期為，結(jié)論①正確；
由，結(jié)合函數(shù)圖象可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，結(jié)論②錯(cuò)誤；
結(jié)合函數(shù)圖象可知，函數(shù)的對(duì)稱中心為，結(jié)論③錯(cuò)誤；
函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的根，時(shí)方程不成立，
方程等價(jià)于fx=1x，
函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有4個(gè)交點(diǎn)，
所以在上函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4. 結(jié)論④正確.
故答案為：①④
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由符號(hào)函數(shù)的定義，把表示為分段函數(shù)，作出函數(shù)圖象，函數(shù)解析式結(jié)合圖象，解決函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱中心和零點(diǎn)等問(wèn)題.
考點(diǎn)五、最大值最小值函數(shù)
1．（22-23高三上·階段練習(xí)）已知表示，，中的最大值，例如，若函數(shù)，則的最小值為（ ）
A．2.5B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)，，的圖象，根據(jù)函數(shù)的新定義可得的圖象，由圖象即可得最小值.
【詳解】如圖：在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)，，的圖象，
因?yàn)椋缘膱D象如圖實(shí)線所示：
由可得，由可得，
由圖知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以的最小值為，
故選：B.
2．（2024·廣東韶關(guān)·二模）定義，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，則的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值進(jìn)而得，化簡(jiǎn)即可求解.
【詳解】設(shè)，則，
得，
設(shè)，則，
令，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，即，
得，
所以，
得，即.
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是由構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得即為題意所求.
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為中最大的數(shù).已知正實(shí)數(shù)，記，則的最小值為（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)定義可知，，，再由基本不等式可得當(dāng)時(shí)，取得最小值2.
【詳解】由，得，，，
所以，即，因?yàn)椋裕?br>由基本不等式可得，所以，
所以，，
當(dāng)，即時(shí)，取得最小值2.
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)定義得出，，，再結(jié)合基本不等式求得.
2．（2024·湖北·一模）記，分別表示函數(shù)在上的最大值和最小值．則 ．
【答案】2
【分析】根據(jù)題意，由，設(shè)為變量，可通過(guò)分類討論求出，再求出當(dāng)時(shí)的最小值；或由在時(shí)的最大值只可能在或或處取得，結(jié)合圖象可得原式的最小值．
【詳解】由，設(shè)為變量，
，
令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
最大值只可能在或或處取得，
所以的最大值為，
所以，
當(dāng)時(shí)，原式的最小值為2．
或者由在時(shí)的最大值只可能在或
或處取得，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，結(jié)合圖象可得原式的最小值為2．
故答案為：2.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：讀懂題意，分析，最大值只可能在或或處取得，所以的最大值為.
考點(diǎn)六、歐拉函數(shù)
1．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)，且與互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如，，．若，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)歐拉函數(shù)的定義結(jié)合可求得的值，再結(jié)合歐拉函數(shù)的定義可求得的值.
【詳解】與互素且不超過(guò)的正整數(shù)為，與互素且不超過(guò)的正整數(shù)為、，
與互素且不超過(guò)的正整數(shù)為、，與互素且不超過(guò)的正整數(shù)為、、、，
與互素且不超過(guò)的正整數(shù)為、、、，
因?yàn)?，，，，?br>所以，，則，
因?yàn)榕c互素且不超過(guò)的正整數(shù)為、、、，所以，.
故選：B.
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）歐拉函數(shù)是初等數(shù)論中的重要內(nèi)容．對(duì)于一個(gè)正整數(shù)n，歐拉函數(shù)表示小于或等于n且與n互質(zhì)的正整數(shù)的數(shù)目．換句話說(shuō)，是所有不超過(guò)n且與n互素的數(shù)的總數(shù)．如：，．則以下是真命題的有（ ）
A．的定義域?yàn)?，其值域也?br>B．在其定義域上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)
C．不存在，使得方程有無(wú)數(shù)解
D．，當(dāng)且僅當(dāng)n是素?cái)?shù)時(shí)等號(hào)成立
【答案】ACD
【分析】根據(jù)歐拉函數(shù)的定義和性質(zhì)，以及與素?cái)?shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，根據(jù)歐拉函數(shù)的定義，可得歐拉函數(shù)的定義域?yàn)?，其值域也是，所以A正確；
對(duì)于B，歐拉函數(shù)在其定義域上不是單調(diào)遞增的，如，所以B錯(cuò)誤;
對(duì)于C，由于的值域?yàn)?，所以不存在，使方程有無(wú)數(shù)解,故C正確;
對(duì)于D，因?yàn)榈乃匾驍?shù)都是大于1，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)素?cái)?shù)時(shí)等號(hào)成立，故D正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是理解歐拉函數(shù)的定義和性質(zhì)，以及與素?cái)?shù)的關(guān)系.
3．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）歐拉函數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè)n為正整數(shù)，集合，歐拉函數(shù)的值等于集合中與n互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)；記表示x除以y的余數(shù)（x和y均為正整數(shù)），
(1)求和；
(2)現(xiàn)有三個(gè)素?cái)?shù)p，q，，，存在正整數(shù)d滿足；已知對(duì)素?cái)?shù)a和，均有，證明：若，則；
(3)設(shè)n為兩個(gè)未知素?cái)?shù)的乘積，，為另兩個(gè)更大的已知素?cái)?shù)，且；又，，，試用，和n求出x的值．
【答案】(1)，；
(2)證明見(jiàn)解析；
(3).
【分析】（1）利用歐拉函數(shù)的定義直接求出和.
（2）分析求出x與n不互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，求得，設(shè)，，結(jié)合二項(xiàng)式展開(kāi)式證明，再按與分類求證即得.
（3）利用的定義，記，，令，那么，且，，使，則，再探求數(shù)列項(xiàng)數(shù)及遞推關(guān)系即可求得答案.
【詳解】（1）中，與6互質(zhì)的數(shù)有1和5，則；
中，與15互質(zhì)的數(shù)有1、2、4、7、8、11、13和14，則8.
（2）因?yàn)椋琾和q為素?cái)?shù)，則對(duì)，僅當(dāng)或時(shí)，x和n不互質(zhì)，
又，則，，…，或，，…時(shí)，x與n不互質(zhì)，
則，
設(shè)，，可知s，t不全為0，下證時(shí)，；
由題知，，
又，
所以，同理有；
于是記，，
即，同理，記，于是，
則，因?yàn)椋?，所以?br>即；
（i）時(shí)，記，則，
記，又，而，則，
即，即；
（ii）若，不妨設(shè)，于是，
所以，又，，
所以；
綜上，，得證：
（3）因?yàn)?，所以，則，則，
假設(shè)存在，，使得；記，，
令，那么，且，于是，使，則，
從而數(shù)列有且僅有項(xiàng)，
考慮使成立，
則對(duì)于相鄰項(xiàng)有，
將兩式相加并整理得：，
令，得，又由于，，…，及均由和確定，
則數(shù)列的各項(xiàng)也可根據(jù)n和確定，
由上知，，
則，
即，其中是根據(jù)n和唯一確定的.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，涉及函數(shù)新定義問(wèn)題，理解新定義，找出數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想與題意有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，再轉(zhuǎn)化、抽象為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題作答.
1．（2024·湖北武漢·二模）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：，，則 ；若，則的最大值為 ．
【答案】 4
【分析】由歐拉函數(shù)定義，確定中與8互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)求，且，應(yīng)用作差法判斷的單調(diào)性，即可求最大值.
【詳解】由題設(shè)，則中與8互質(zhì)的數(shù)有，共4個(gè)數(shù)，故，
在中，與互質(zhì)的數(shù)為范圍內(nèi)的所有奇數(shù)，共個(gè)，即，
所以，則，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即，
所以的最大值為.
故答案為：4，
2．（23-24高三上·河北邢臺(tái)·開(kāi)學(xué)考試）歐拉是18世紀(jì)最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家之一，幾乎每個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字，如著名的歐拉函數(shù).歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)n，且與n互素(兩個(gè)數(shù)只有公約數(shù)1)的正整數(shù)的個(gè)數(shù).例如：，.現(xiàn)從中任選兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)相同的概率是 .
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)新定義求出的值，然后結(jié)合組合知識(shí)利用古典概型概率公式求解即可.
【詳解】根據(jù)歐拉函數(shù)的定義知，，，，，，，
，，，，
從中任選兩個(gè)數(shù)有種結(jié)果，
其中這兩個(gè)數(shù)相同的有
共8種結(jié)果，
所以根據(jù)古典概率公式得所求的概率為.
故答案為：
考點(diǎn)七、黎曼函數(shù)
8．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）（多選）黎曼函數(shù)（Riemann functin）是一個(gè)特殊的函數(shù)，由德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，其基本定義是：（注：分子與分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，稱為既約分?jǐn)?shù)），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．黎曼函數(shù)的定義域?yàn)?br>C．黎曼函數(shù)的最大值為
D．若是奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則
【答案】BC
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義計(jì)算特殊值判斷A選項(xiàng)，根據(jù)定義域判斷B選項(xiàng)，根據(jù)值域判斷C選項(xiàng)，結(jié)合對(duì)稱性及周期性判斷D選項(xiàng).
【詳解】，錯(cuò)誤.
因?yàn)槭羌燃s真分?jǐn)?shù)，或上的無(wú)理數(shù)，所以黎曼函數(shù)的定義域?yàn)檎_.
又為既約真分?jǐn)?shù)，所以的最大值為正確.
因?yàn)?，所?所以.
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以，
即是以2為周期的周期函數(shù)，
，
所以錯(cuò)誤.
故選:.
1．（2024·北京石景山·一模）黎曼函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛應(yīng)用，其一種定義為：時(shí)，．若數(shù)列，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①；②；③；④．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
【答案】②③④
【分析】根據(jù)黎曼函數(shù)的定義和性質(zhì)逐項(xiàng)分析.
【詳解】對(duì)于①， 時(shí)， ，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②， ，，，故②正確；
對(duì)于③，
，故③正確；
對(duì)于④，， ，
構(gòu)造函數(shù) ， ，則 ，單調(diào)遞增，
，即當(dāng)時(shí) ， ，
，
當(dāng)時(shí)， ，， ，故④正確.
故選：②③④.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：新定義題型的特點(diǎn)是：通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的：遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決．
考點(diǎn)八、曲率
1．（2024·廣西來(lái)賓·模擬預(yù)測(cè)）曲率是數(shù)學(xué)上衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)，對(duì)于曲線，其在點(diǎn)處的曲率，其中是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)．則拋物線上的各點(diǎn)處的曲率最大值為（ ）
A．B．pC．D．
【答案】C
【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′x及導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)公式求出各點(diǎn)處的曲率，并解出最大值即可.
【詳解】由題可知拋物線方程為：，則，，
則該拋物線在各點(diǎn)處的曲率，
當(dāng)時(shí)，取最大值.
故選：C.
2．（2024·全國(guó)·二模）廣州小蠻腰是廣州市的地標(biāo)性建筑，奇妙的曲線造型讓建筑充滿了美感，數(shù)學(xué)上用曲率表示曲線的彎曲程度.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)記為，則函數(shù)的圖象在x0,fx0的曲率.
(1)求橢圓在處的曲率；
(2)證明：函數(shù)圖象的曲率的極大值點(diǎn)位于區(qū)間.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）先求導(dǎo)得出函數(shù)值再計(jì)算曲率；
（2）先求二階導(dǎo)數(shù)得出曲率函數(shù)，再設(shè)變量構(gòu)造新函數(shù)求導(dǎo)得出函數(shù)單調(diào)性繼而得出極值即可判斷證明區(qū)間.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，得，
則
即橢圓在處的曲率為
（2）由，
得，
令，則，
令，.
令，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，，
故存在，使，
當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即.
為的極大值點(diǎn)，由，知，
，即的極大值點(diǎn)位于區(qū)間.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：設(shè)變量構(gòu)造新函數(shù)求導(dǎo)得出函數(shù)單調(diào)性繼而得出極值即可判斷證明區(qū)間.
1．（22-23高三上·山東·階段練習(xí)）（多選）曲線的曲率就是針對(duì)曲線上某個(gè)點(diǎn)的切線方向角對(duì)弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率，表明曲線偏離直線的程度，曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大．曲線在點(diǎn)處的曲率，其中是的導(dǎo)函數(shù)．下面說(shuō)法正確的是（ ）
A．若函數(shù)，則曲線在點(diǎn)與點(diǎn)處的彎曲程度相同
B．若是二次函數(shù)，則曲線的曲率在頂點(diǎn)處取得最小值
C．若函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)?br>D．若函數(shù)，則曲線上任意一點(diǎn)的曲率的最大值為
【答案】ACD
【分析】根據(jù)曲率的定義求出曲率，由曲率函數(shù)為偶函數(shù)判斷A，計(jì)算二次函數(shù)曲率，可知時(shí)有最大值判斷B，求出函數(shù)的曲率函數(shù)，換元后求值域即可判斷C，求出的曲率利用均值不等式求最大值判斷D.
【詳解】對(duì)于A，，，則，
又，所以為偶函數(shù)，曲線在兩點(diǎn)的彎曲長(zhǎng)度相同，故A正確；
對(duì)于B，設(shè)，，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)，曲率取得最大值，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，
，令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增且，單調(diào)遞減
且，單調(diào)遞增且，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在時(shí)單調(diào)遞減，
所以可知在時(shí)單調(diào)遞增，
所以的最大值為，所以，即，故C正確；
對(duì)于D，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確．
故選：ACD．
考點(diǎn)九、極值點(diǎn)與拐點(diǎn)
1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）極值的廣義定義如下：如果一個(gè)函數(shù)在一點(diǎn)的一個(gè)鄰域（包含該點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間）內(nèi)處處都有確定的值，而以該點(diǎn)處的值為最大（?。?，這函數(shù)在該點(diǎn)處的值就是一個(gè)極大（?。┲?
對(duì)于函數(shù)，設(shè)自變量x從變化到，當(dāng)，是一個(gè)確定的值，則稱函數(shù)在點(diǎn)處右可導(dǎo)；當(dāng)，是一個(gè)確定的值，則稱函數(shù)在點(diǎn)處左可導(dǎo).當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處既右可導(dǎo)也左可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)值相等，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo).
(1)請(qǐng)舉出一個(gè)例子，說(shuō)明該函數(shù)在某點(diǎn)處不可導(dǎo)，但是該點(diǎn)是該函數(shù)的極值點(diǎn)；
(2)已知函數(shù).
（?。┣蠛瘮?shù)在處的切線方程；
（ⅱ）若為的極小值點(diǎn)，求a的取值范圍.
【答案】(1)，說(shuō)明見(jiàn)解析
(2)（?。┣芯€方程為，（ⅱ）
【分析】（1）根據(jù)題意，求出函數(shù)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，即可說(shuō)明；
（2）（?。└鶕?jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線；
（ⅱ），通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，解決的極小值問(wèn)題，從而求a的取值范圍.
【詳解】（1），為該函數(shù)的極值點(diǎn)，
當(dāng)，，
當(dāng)，，
則該函數(shù)在處的左導(dǎo)數(shù)為，右導(dǎo)數(shù)為1，
所以該函數(shù)在處不可導(dǎo).
（2）（ⅰ）根據(jù)題意，，則切點(diǎn)，
又，則，
所以切線方程為；
（ⅱ），
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故與同號(hào)，
，先考察的性質(zhì)，
由于為偶函數(shù)，只需分析其在上的性質(zhì)即可，
，，
設(shè)，
則，，
則必有，即.
①否則，若，即，
則必存在一個(gè)區(qū)間，使得，
則在單調(diào)遞減，又，
則在區(qū)間內(nèi)小于0，則在單調(diào)遞減，
又，故在區(qū)間內(nèi)小于0，
故在區(qū)間內(nèi)小于0，
則不可能為的極小值點(diǎn).
②當(dāng)時(shí)，，
令，，
令，
則，
易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，
對(duì)，，
則在區(qū)間上大于0，
故在區(qū)間上單調(diào)遞增.
故在區(qū)間上單調(diào)遞增.
又，故，
故在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又，故，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又，故，，
則，，
故當(dāng)時(shí)，，
由偶函數(shù)知時(shí)，，
故為的極小值點(diǎn)，
所以a的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問(wèn)中由，通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，解決的極小值問(wèn)題，從而求a的取值范圍.
2．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.已知函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，則下列說(shuō)法中正確的有（ ）
A．，B．函數(shù)的極大值與極小值之和為2
C．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)D．在區(qū)間上單調(diào)遞減
【答案】AB
【分析】根據(jù)題意，對(duì)函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo)，可得“拐點(diǎn)”，而“拐點(diǎn)”同時(shí)也滿足函數(shù)解析式，這樣就可以得到參數(shù)的值，進(jìn)而根據(jù)三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得正確答案.
【詳解】由，可得，，
令，得，
因?yàn)楹瘮?shù)圖象的對(duì)稱中心為，
因此，解得，，故選項(xiàng)A正確；
由以上過(guò)程可知，，
且當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
于是在和上都是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，
故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
因?yàn)殛P(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
所以的極大值與極小值之和為，故選項(xiàng)B正確；
因?yàn)楹瘮?shù)極小值，
由三次函數(shù)的性質(zhì)知，只有一個(gè)零點(diǎn)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
故選：AB.
1．（2024·河南·三模）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)為.若，且，則為曲線的拐點(diǎn).
(1)判斷曲線是否有拐點(diǎn)，并說(shuō)明理由；
(2)已知函數(shù)，若為曲線的一個(gè)拐點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間與極值.
【答案】(1)沒(méi)有拐點(diǎn)，理由見(jiàn)解析
(2)單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值為2，極小值為.
【分析】（1）根據(jù)題意，求得，結(jié)合新定義，即可得到答案；
（2）求得，得到，列出方程求得，得到，求得的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的極值.
【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，
由，得，又由，得，所以曲線沒(méi)有拐點(diǎn).
（2）解：由函數(shù)，
可得，
因?yàn)闉榍€的一個(gè)拐點(diǎn)，所以，
所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，
所以.
當(dāng)或時(shí)，，則的單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，，且不恒成立，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，
故當(dāng)時(shí)，取得極大值，且極大值為；
當(dāng)時(shí)，取得極小值，且極小值為.
考點(diǎn)十、洛必達(dá)法則
1．（20-21高二下·重慶江北·階段練習(xí)）我們把分子、分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型．兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法．如：，則（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】D
【分析】利用洛必達(dá)法則直接求解即可
【詳解】，
故選：D
2．（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則
.
②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿足：對(duì)任意，均有成立，且，則稱函數(shù)為區(qū)間上的k階無(wú)窮遞降函數(shù).
結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問(wèn)題：
(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無(wú)窮遞降函數(shù)；
(2)計(jì)算：；
(3)證明：，.
【答案】(1)不是區(qū)間上的2階無(wú)窮遞降函數(shù)；
(2)
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為區(qū)間上的k階無(wú)窮遞降函數(shù)的定義即可判斷；
（2）通過(guò)構(gòu)造，再結(jié)合即可得到結(jié)果；
（3）通過(guò)換元令令，則原不等式等價(jià)于，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題干中函數(shù)為區(qū)間上的k階無(wú)窮遞降函數(shù)的定義證出，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)，
由于，
所以不成立，
故不是區(qū)間上的2階無(wú)窮遞降函數(shù).
（2）設(shè)，則，
設(shè)，
則，
所以，得.
（3）令，則原不等式等價(jià)于，
即證，
記，則，
所以，
即有對(duì)任意，均有，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，證畢!
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)方法證明不等式成立問(wèn)題時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，注意題干條件中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.
1．（2024·河北邢臺(tái)·二模）在函數(shù)極限的運(yùn)算過(guò)程中，洛必達(dá)法則是解決未定式型或型極限的一種重要方法，其含義為：若函數(shù)和滿足下列條件：
①且（或，）；
②在點(diǎn)的附近區(qū)域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；
③（可為實(shí)數(shù)，也可為），則．
(1)用洛必達(dá)法則求；
(2)函數(shù)（，），判斷并說(shuō)明的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(3)已知，，，求的解析式．
參考公式：，．
【答案】(1)
(2)僅在時(shí)存在1個(gè)零點(diǎn)，理由見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）利用洛必達(dá)法則求解即可；
（2）構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合的單調(diào)性求解即可；
（3）利用累乘法求出的表達(dá)式，然后結(jié)合，利用洛必達(dá)法則求極限即可.
【詳解】（1）
（2），，
所以，．
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，，
當(dāng)時(shí)，，所以僅在時(shí)存在1個(gè)零點(diǎn)．
（3），所以，，…，
將各式相乘得，
兩側(cè)同時(shí)運(yùn)算極限，所以，
即，
令，原式可化為，又，
由（1）得，
故，由題意函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>綜上，
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查新定義，注意理解新定義，結(jié)合洛必達(dá)法則的適用條件，構(gòu)造函數(shù)，從而利用洛必達(dá)法則求極限.
考點(diǎn)十一、不動(dòng)點(diǎn)與復(fù)合穩(wěn)定點(diǎn)
1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里的一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，簡(jiǎn)單的講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)．函數(shù)有 個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．
【答案】1
【分析】由題意可知即求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，對(duì)求導(dǎo)可得的單調(diào)性和值域，即可求出的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【詳解】令，即，
由題意可知即求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，
令，，因?yàn)?，解得：?br>令，，因?yàn)椋獾茫海?br>所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
故在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上所述，僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．
故答案為：1.
2．（2024·廣東廣州·二模）若是方程的實(shí)數(shù)解，則稱是函數(shù)與的“復(fù)合穩(wěn)定點(diǎn)”．若函數(shù)且與有且僅有兩個(gè)不同的“復(fù)合穩(wěn)定點(diǎn)”，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】即有兩個(gè)不同實(shí)根，令，則在0,+∞上有兩個(gè)不同實(shí)根，利用二次方程根的分布即可．
【詳解】且與有且僅有兩個(gè)不同的“復(fù)合穩(wěn)定點(diǎn)”，
，即有兩個(gè)不同實(shí)根，
令，則在0,+∞上有兩個(gè)不同實(shí)根，
，
則的取值范圍為．
故選：D．
3．（2024·貴州黔西·一模）布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可運(yùn)用到有限維空間并構(gòu)成了一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石，得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾().簡(jiǎn)單地講就是:對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得，我們就稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，實(shí)數(shù)為該函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).
(1)求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn);
(2)若函數(shù)有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，且，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)定義求解即可；
（2）根據(jù)題意問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性極值，可得，且的值隨著的值減小而增大，列式求出時(shí)的值，得解.
【詳解】（1）設(shè)的不動(dòng)點(diǎn)為，則，解得，
所以函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為.
（2）函數(shù)有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即方程，即有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
令，則，
當(dāng)x∈0,1時(shí)，φ′x>0，當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，φ′x0，，
所以在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，
又，
所以在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，
綜上所述，函數(shù)有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn).
（3）由（1）知，，
令，則，即，
設(shè)，則滿足，
所以，即，
所以，
所以，即.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)的關(guān)鍵在于對(duì)于第一問(wèn)的靈活運(yùn)用，借助第一問(wèn)結(jié)論，恰當(dāng)換元，得出后，再次適時(shí)換元，是本題的關(guān)鍵點(diǎn)，也是難點(diǎn)，突破換元后裂項(xiàng)相消即可得解.
2．（2024·河北滄州·一模）對(duì)于函數(shù)，，若存在，使得，則稱為函數(shù)的一階不動(dòng)點(diǎn)；若存在，使得，則稱為函數(shù)的二階不動(dòng)點(diǎn)；依此類推，可以定義函數(shù)的階不動(dòng)點(diǎn)．其中一階不動(dòng)點(diǎn)簡(jiǎn)稱為“不動(dòng)點(diǎn)”，二階不動(dòng)點(diǎn)簡(jiǎn)稱為“穩(wěn)定點(diǎn)”，函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”構(gòu)成的集合分別記為和，即，．
(1)若，證明：集合中有且僅有一個(gè)元素；
(2)若，討論集合的子集的個(gè)數(shù)．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
答案見(jiàn)解析
【分析】（1）令，求導(dǎo)，可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)有唯一零點(diǎn)，可得結(jié)論；
（2）由題意可知只需研究的不動(dòng)點(diǎn)即可，令，求出其導(dǎo)數(shù)，判斷其單調(diào)性，然后分類討論的取值范圍，判斷的零點(diǎn)情況，即可判斷的穩(wěn)定點(diǎn)個(gè)數(shù).，進(jìn)而可得集合的子集的個(gè)數(shù).
【詳解】（1）令，求導(dǎo)得，
令，可得，
當(dāng)，，當(dāng)，，
所以，所以有唯一零點(diǎn)，
所以集合中有且僅有一個(gè)元素；
（2）當(dāng)時(shí)，由函數(shù)，
可得導(dǎo)函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，
由反函數(shù)的知識(shí)，穩(wěn)定點(diǎn)在原函數(shù)與反函數(shù)的交點(diǎn)上，
即穩(wěn)定點(diǎn)與的不動(dòng)點(diǎn)等價(jià)，
故只需研究的不動(dòng)點(diǎn)即可；
令，
則，則在上單調(diào)遞減，
①當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)x無(wú)限接近于0時(shí)，趨向于負(fù)無(wú)窮小，
且，
故存在唯一的，使得，即有唯一解，
所以此時(shí)有唯一不動(dòng)點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，
當(dāng)趨向無(wú)窮大時(shí)，趨近于0，此時(shí)，
存在唯一，使得，
此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，
當(dāng)趨近于0時(shí)，趨向于負(fù)無(wú)窮大，當(dāng)向正無(wú)窮大時(shí)，趨向負(fù)無(wú)窮大時(shí)，
設(shè)，則在上單調(diào)遞增，
且，
又在時(shí)單調(diào)遞增，
故（i）當(dāng)時(shí)，即，
此時(shí)，方程有一個(gè)解，即有唯一不動(dòng)點(diǎn)，所以集合的子集有2個(gè)；
（ii）當(dāng)，即，
此時(shí)，方程無(wú)解，即無(wú)不動(dòng)點(diǎn)，所以集合的子集有1個(gè)；
（iii）當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)，方程有兩個(gè)解，即有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，所以集合的子集有4個(gè)；
綜上，當(dāng)時(shí)或時(shí)，集合的子集有2個(gè)；
當(dāng)時(shí)，集合的子集有1個(gè)；
當(dāng)時(shí)，集合的子集有4個(gè).
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題屬新定義題型，讀懂題意是關(guān)鍵；研究方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷方程根（或函數(shù)零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)問(wèn)題．注意分類討論思想的應(yīng)用．
考點(diǎn)十二、 可移倒數(shù)點(diǎn)
1．（2024·江蘇蘇州·三模）對(duì)于函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使，其中，則稱為“可移倒數(shù)函”，為“的可移倒數(shù)點(diǎn)”.設(shè)，若函數(shù)恰有3個(gè)“可移1倒數(shù)點(diǎn)”，則的取值范圍（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用定義轉(zhuǎn)化為求方程恰有3個(gè)不同的實(shí)根，再借助導(dǎo)數(shù)分段探討零點(diǎn)情況即可.
【詳解】依題意，，
由恰有3個(gè)“可移1倒數(shù)點(diǎn)”，得方程恰有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
①當(dāng)時(shí)，，方程可化為，解得，
這與不符，因此在內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)時(shí)，，方程可化為，
該方程又可化為．
設(shè)，則，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，
因此，當(dāng)時(shí)，方程在內(nèi)恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)時(shí)，方程在內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
③當(dāng)時(shí)，沒(méi)有意義，所以不是的實(shí)數(shù)根．
④當(dāng)時(shí)，，方程可化為，
化為，于是此方程在內(nèi)恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
則有，解得，
因此當(dāng)時(shí)，方程在內(nèi)恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
當(dāng)時(shí)，方程在內(nèi)至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
綜上，的取值范圍為．
故選：A
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，求解此類問(wèn)題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．
1．（2024·山東聊城·二模）對(duì)于函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使，其中，則稱為“可移倒數(shù)函數(shù)”，為“的可移倒數(shù)點(diǎn)”．已知．
(1)設(shè)，若為“的可移倒數(shù)點(diǎn)”，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)，若函數(shù)恰有3個(gè)“可移1倒數(shù)點(diǎn)”，求的取值范圍．
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定的定義，列式求出值，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（2）利用定義轉(zhuǎn)化為求方程恰有3個(gè)不同的實(shí)根，再借助導(dǎo)數(shù)分段探討零點(diǎn)情況即可.
【詳解】（1）由為“?x的可移倒數(shù)點(diǎn)”，得，
即，整理，即，解得，
由的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減；
時(shí)，單調(diào)遞增，
所以φx的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．
（2）依題意，，
由恰有3個(gè)“可移1倒數(shù)點(diǎn)”，得方程恰有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
①當(dāng)時(shí)，，方程可化為，解得，
這與不符，因此在0,+∞內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)時(shí)，，方程可化為，
該方程又可化為．
設(shè)，則，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，
因此，當(dāng)時(shí)，方程在內(nèi)恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)時(shí)，方程在內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
③當(dāng)時(shí)，沒(méi)有意義，所以不是的實(shí)數(shù)根．
④當(dāng)時(shí)，，方程可化為，
化為，于是此方程在內(nèi)恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
則有，解得，
因此當(dāng)時(shí)，方程在內(nèi)恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
當(dāng)時(shí)，方程在內(nèi)至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
綜上，的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，求解此類問(wèn)題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．
考點(diǎn)十三、泰勒展開(kāi)
1．（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.以上公式稱為泰勒公式.設(shè)，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問(wèn)題.
(1)證明：；
(2)設(shè)，證明：；
(3)設(shè)，若是的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）首先設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題；
（2）首先由泰勒公式，由和，再求得和的解析式，即可證明；
（3）分和兩種情況討論，求出在附近的單調(diào)區(qū)間，即可求解.
【詳解】（1）設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，：當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
因此，，即.
（2）由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得
所以
即.
（3），則
，設(shè)，
由基本不等式知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.
又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
因此，是的極小值點(diǎn).
下面證明：當(dāng)時(shí)，不是的極小值點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，，
又因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)時(shí)，.
因此，在上單調(diào)遞減.
又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
因此，是的極大值點(diǎn)，不是的極小值點(diǎn).
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)是本題的難點(diǎn)，關(guān)鍵是分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷附近的單調(diào)性.
2．（2024·貴州遵義·三模）英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒（B．Taylr，1685—1731）發(fā)現(xiàn)了：當(dāng)函數(shù)在定義域內(nèi)n階可導(dǎo)，則有如下公式：以上公式稱為函數(shù)的泰勒展開(kāi)式，簡(jiǎn)稱為泰勒公式．其中，，表示的n階導(dǎo)數(shù)，即連續(xù)求n次導(dǎo)數(shù)．根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問(wèn)題：
(1)寫(xiě)出的泰勒展開(kāi)式（至少有5項(xiàng)）；
(2)設(shè)，若是的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)若，k為正整數(shù)，求k的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用泰勒展開(kāi)式求解即可；
（2）先求出，從而可得，由是的極小值點(diǎn)，得，當(dāng)時(shí)，f′x≥0，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而可得出答案；
（3）先利用泰勒展開(kāi)式求出的取值范圍，再將其寫(xiě)成整數(shù)部分加上小數(shù)部分的形式，再利用二項(xiàng)式定理求出的范圍，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
由泰勒展開(kāi)式可得；
（2）因?yàn)椋?br>，
所以，
則，
因?yàn)槭堑臉O小值點(diǎn)，且，
則當(dāng)在的附近時(shí)，即可，
即可，所以，
綜上所述，；
（3）因?yàn)椋?br>所以，
所以，
，
即，
令，則，則，
由二項(xiàng)式定理可知
，
，
所以，即，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)只要應(yīng)用，在導(dǎo)數(shù)解答題中，單調(diào)性問(wèn)題是繞不開(kāi)的一個(gè)問(wèn)題，因?yàn)閱握{(diào)性是解決后續(xù)問(wèn)題的關(guān)鍵，利用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性步驟，先求定義域，再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號(hào)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，若不能直接求出，可能需要多次求導(dǎo).
1．（2024·安徽·一模）給出以下三個(gè)材料：
①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作.類似的，函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)，記作，函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的四階導(dǎo)數(shù)……，一般地，函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，記作，；
②若，定義；
③若函數(shù)在包含的某個(gè)開(kāi)區(qū)間上具有任意階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任意有，我們將稱為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒展開(kāi)式.
例如在點(diǎn)處的泰勒展開(kāi)式為
根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：
(1)求出在點(diǎn)處的泰勒展開(kāi)式；
(2)用在點(diǎn)處的泰勒展開(kāi)式前三項(xiàng)計(jì)算的值，精確到小數(shù)點(diǎn)后4位；
(3)現(xiàn)已知，試求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用階泰勒展開(kāi)式的定義，可求，
（2）由（1）可求；
（3）由（1）可得，進(jìn)而可得，結(jié)合已知可得結(jié)論.
【詳解】（1），，，，
所以，，，，
由
所以
（2）由（1）可得
（3）因?yàn)棰伲?br>對(duì)，
兩邊求導(dǎo)可得：，
所以，
所以②，
比較①②中的系數(shù)，可得：
，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)中的新定義問(wèn)題，關(guān)鍵是審題時(shí)明確階泰勒展開(kāi)式的具體定義；第三問(wèn)關(guān)鍵在于用階泰勒展開(kāi)式表示.
考點(diǎn)十四、麥克勞林展開(kāi)
1．（24-25高三上·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）麥克勞林展開(kāi)式是泰勒展開(kāi)式的一種特殊形式，的麥克勞林展開(kāi)式為：，其中表示的n階導(dǎo)數(shù)在0處的取值，我們稱為麥克勞林展開(kāi)式的第項(xiàng)．例如：．
(1)請(qǐng)寫(xiě)出的麥克勞林展開(kāi)式中的第2項(xiàng)與第4項(xiàng)；
(2)數(shù)學(xué)競(jìng)賽小組發(fā)現(xiàn)的麥克勞林展開(kāi)式為，這意味著：當(dāng)時(shí)，，你能幫助數(shù)學(xué)競(jìng)賽小組完成對(duì)此不等式的證明嗎？
(3)當(dāng)時(shí)，若，求整數(shù)的最大值．
【答案】(1)，
(2)證明見(jiàn)解析
(3)3
【分析】（1）根據(jù)泰勒展開(kāi)式得出第2項(xiàng)及第4項(xiàng)；
（2）構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性證明不等式；
（3）先根據(jù)特殊值法得出的范圍，再應(yīng)用麥克勞林的結(jié)論證明成立即可.
【詳解】（1）因?yàn)?br>所以第2項(xiàng).
（2）設(shè)，
，
因?yàn)樗詥握{(diào)遞增，
所以，
所以.
（3）當(dāng)x=1時(shí)，成立，得出，的最大整數(shù)不超過(guò)3.
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋裕?br>所以，
令
當(dāng)單調(diào)遞增，則，
所以，
故當(dāng)時(shí)，，所以整數(shù)m的最大值為3.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性證明不等式.
1．（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)在區(qū)間0,1上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
(2)“”是一個(gè)求和符號(hào)，例如，，等等．英國(guó)數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，，這就是麥克勞林展開(kāi)式在三角函數(shù)上的一個(gè)經(jīng)典應(yīng)用．
證明：（i）當(dāng)時(shí)，對(duì)，都有；
（ii）．
【答案】(1)0
(2)（i）證明見(jiàn)解析（ii）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）函數(shù)在區(qū)間0,1上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于其導(dǎo)函數(shù)在0,1上的變號(hào)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可求出其導(dǎo)函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)研究其導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性即可得解；
（2）（i）構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)結(jié)合題意可得，在構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)多次求導(dǎo)即可得解；（ii）由，可將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，結(jié)合（1）中及（i）中所得，可得，，即可得證.
【詳解】（1），
令，則，
當(dāng)x∈0,1時(shí)，，，則在0,1上恒成立，
故在0,1上單調(diào)遞減，即有f′x在0,1上單調(diào)遞減，
則，
故函數(shù)在區(qū)間0,1上沒(méi)有極值點(diǎn)；
（2）（i）令，其中，，
則，
又當(dāng)時(shí)，，
則
，
即，
令，
則，
令，
則，
由，故，又，
故恒成立，即在0,+∞上單調(diào)遞增，
故，即在0,+∞上恒成立，
即在0,+∞上單調(diào)遞增，故，
即?′x>0在0,+∞上恒成立，故?x在0,+∞上單調(diào)遞增，
則，即；
（ii）由，，
故要證，即證，
即證，只需證，
由（1）知，當(dāng)x∈0,1時(shí)，，
則可令，此時(shí)，
則，即，
即，即，
故只需證，
令，x∈0,+∞，則，
由（i）知，當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，，
即，即，故在0,+∞上單調(diào)遞增，
故，即，即得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（i）問(wèn)中關(guān)鍵點(diǎn)在于借助題目所給條件：當(dāng)時(shí)，，從而構(gòu)造函數(shù)，得到，即可借助導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性；（ii）問(wèn)中關(guān)鍵點(diǎn)在于將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，從而結(jié)合（1）中與（i）中所得證明與.
考點(diǎn)十五、拉格朗日中值定理
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且在處取得極大值．
(1)求的值與的單調(diào)區(qū)間．
(2)如圖，若函數(shù)y=fx的圖像在連續(xù)，試猜想拉格朗日中值定理，即一定存在，使得，求的表達(dá)式〔用含的式子表示〕．
(3)利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)的連線斜率不大于．
【答案】(1)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．
(2)猜想，
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)在處取得極大值得，求出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由斜率公式求出連線的斜率，結(jié)合函數(shù)圖像及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得結(jié)果；
（3）求出，利用基本不等式求出的最大值，根據(jù)（2）的結(jié)論可得結(jié)果.
【詳解】（1）由，得．
由題意，得，解得，
則．
令，即，解得，
令，即，解得，
所以在和上分別單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
所以滿足題意，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）猜想如下：．
因?yàn)楸硎镜膱D像上兩端點(diǎn)連線的斜率，
所以由圖像可知，曲線上至少存在一點(diǎn)且，使得曲線
在該點(diǎn)處的切線與的圖像上兩端點(diǎn)的連線平行．
設(shè)切線的斜率為，即，
故一定存在，使得．
（3）證明：由（1）可知，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．由猜想可知，對(duì)于函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)，在之間
一定存在一點(diǎn)，使得．
又所以．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）求函數(shù)定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）令導(dǎo)數(shù)解不等式，（4）結(jié)合定義域?qū)懗鰡握{(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間.
2．（2024·山西·三模）微分中值定理是微積分學(xué)中的重要定理，它是研究區(qū)間上函數(shù)值變化規(guī)律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的內(nèi)容如下:
如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)為，那么在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”.已知函數(shù).
(1)若，求函數(shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”；
(2)若，求證:函數(shù)在區(qū)間圖象上任意兩點(diǎn)，連線的斜率不大于；
(3)若，且，求證:.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意，解得即可；
（2）不妨設(shè)，，，則，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可證明，再結(jié)合拉格朗日中值定理證明即可；
（3）由拉格朗日中值定理可知只需證明，即證明f′x在上單調(diào)遞減，求出導(dǎo)函數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則，
因?yàn)闉楹瘮?shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)，
則，
即，解得
（2）當(dāng)時(shí)，
不妨設(shè)，，，則，
又，令，
則，
又，所以恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以Fx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以Fx在處取得極大值，即最大值，
所以，所以，
由拉格朗日中值定理可知必存在使得，
即，又，所以，
即函數(shù)在區(qū)間圖象上任意兩點(diǎn)，連線的斜率不大于；
（3）當(dāng)時(shí)，
由拉格朗日中值定理知，存在和，
使得，，
所以只需證明，即證明f′x在上單調(diào)遞減，
又，
令，
則，
令，
則，
當(dāng)時(shí)，
令，，則，則在上單調(diào)遞增，
又，，
所以存在使得，
所以當(dāng)時(shí)，則，即單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，則，即單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值，即最大值，
所以
，
所以，所以在上單調(diào)遞減，
即f′x在上單調(diào)遞減，命題得證.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟
（1）作差或變形；
（2）構(gòu)造新的函數(shù)?x；
（3）利用導(dǎo)數(shù)研究?x的單調(diào)性或最值；
（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．
特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題．
1．（23-24高二下·江西九江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的在點(diǎn)處的切線；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍；
(3)若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，，且，使得，則稱為“拉格朗日中值函數(shù)”，并稱線段的中點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)“拉格朗日平均值點(diǎn)”.試判斷函數(shù)是否為“拉格朗日中值函數(shù)”，若是，判斷函數(shù)的“拉格朗日平均值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)；若不是，說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)是 “拉格朗日中值函數(shù)”，且“拉格朗日平均值點(diǎn)”有無(wú)數(shù)個(gè)；當(dāng)時(shí)，不是“拉格朗日中值函數(shù)”；理由見(jiàn)解析.
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得函數(shù)的在點(diǎn)處的斜率即可求解；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得在上恒成立，參變分離可得即可，求在上的最小值即可得解；
（3）假設(shè)函數(shù)是“拉格朗日中值函數(shù)”， 設(shè)，是上不同的兩點(diǎn)，且，代入，當(dāng)時(shí)，整理得，設(shè)，上式化為，然后構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究此方程是否成立，從而可確定假設(shè)是否成立.
【詳解】（1）由題意可知當(dāng)時(shí)，，，，
所以函數(shù)的在點(diǎn)處切線的斜率，
所以函數(shù)的在點(diǎn)處的切線為.
（2）由題意可得，
若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在恒成立，
即在恒成立，只需即可，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，
所以.
（3）假設(shè)函數(shù)是“拉格朗日中值函數(shù)”，
設(shè)，是上不同的兩點(diǎn)，且，
由題意可得，，
則，
函數(shù)在拉格朗日平均值點(diǎn)處的切線斜率，
由整理可得，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
則函數(shù)是 “拉格朗日中值函數(shù)”，且“拉格朗日平均值點(diǎn)”有無(wú)數(shù)個(gè)；
當(dāng)時(shí)，即，
令，上式化為，即，
令，則，
因?yàn)?，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增，恒成立，
所以在上不存在使得，即不存在這樣的兩點(diǎn)使得；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是 “拉格朗日中值函數(shù)”，且“拉格朗日平均值點(diǎn)”有無(wú)數(shù)個(gè)；當(dāng)時(shí)，不是“拉格朗日中值函數(shù)”.
2．（2024·廣東·二模）拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，其內(nèi)容為：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為f′x，那么在區(qū)間內(nèi)存在點(diǎn)，使得成立．設(shè)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．易知，在實(shí)數(shù)集上有唯一零點(diǎn)，且．
(1)證明：當(dāng)時(shí)，；
(2)從圖形上看，函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．直接求解的零點(diǎn)是困難的，運(yùn)用牛頓法，我們可以得到零點(diǎn)的近似解：先用二分法，可在中選定一個(gè)作為的初始近似值，使得，然后在點(diǎn)x0,fx0處作曲線y=fx的切線，切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱是的一次近似值；在點(diǎn)x1,fx1處作曲線y=fx的切線，切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱是的二次近似值；重復(fù)以上過(guò)程，得的近似值序列．
①當(dāng)時(shí)，證明：；
②根據(jù)①的結(jié)論，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可以證得：為遞減數(shù)列，且．請(qǐng)以此為前提條件，證明：．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以任意，有，另一方面，注意到，即，根據(jù)拉格明日中值定理，即可證明結(jié)論.
（2）①利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行證明即可；②根據(jù)①，及前面的結(jié)論，，，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，結(jié)合拉格朗日中值定理證明結(jié)論.
【詳解】（1）由在R上單調(diào)遞增，得任意，有，
又由，得，根據(jù)拉格明日中值定理，
存在，，
因?yàn)?，所以，?br>所以
（2）①先證，
在處，曲線的切線方程為，
令，得，即，
由于，在R上單調(diào)遞增，則，
而，則有，所以，即；
再證：，
由于在R上單調(diào)遞增，只需證，
曲線的切線方程為，即，
根據(jù)的定義，，
令，，
，，
于是在上單調(diào)遞減，而，
因此，又，即，所以，
綜上.
②由在R上單調(diào)遞增，，得，
則，由①，及前面的結(jié)論，，，
令，則，記，則當(dāng)時(shí)，
，
根據(jù)拉格朗日中值定理，
，，，
即，于是，累乘得，所以
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)y=f(x)是區(qū)間D上的可導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程為：.
考點(diǎn)十六、帕德近似
1．（22-23高二下·山東濟(jì)南·期中）帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利帕德發(fā)明的用有理數(shù)多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法，給定兩個(gè)正整數(shù)，函數(shù)在處的階帕德近似定義為，且滿足：...已知在處的階帕德近似為.注：，
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)求證：；
(3)求不等式的解集，其中，
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）由，利用待定系數(shù)法，即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，即證明，利用換元，轉(zhuǎn)化為證明時(shí)，再構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可證明不等式；
（3）首先由不等式確定或，由（2）的結(jié)果說(shuō)明，求解不等式，再求解不等式，轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解不等式.
【詳解】（1）∵ ∴
∵，則，
由題意得：
∴解得：；
（2）由（1）知，即證
令，則且
即證時(shí)，記
則
∴在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，，即，即成立，
當(dāng)時(shí)，，即，即成立，
綜上所述，時(shí)，
∴成立，即成立.
（3）由題意得：欲使得不等式成立，則至少有，即或
首先考慮，該不等式等價(jià)于，即，
又由（2）知成立，
∴使得成立的的取值范圍是
再考慮，該不等式等價(jià)于，
記，則，
∴當(dāng)時(shí)，時(shí)，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
∴，即，
∴，
當(dāng)時(shí)由，可知成立；
當(dāng)時(shí)由，可知不成立；
所以使得成立的的取值范圍是
綜上可得：不等式的解集為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第1問(wèn)的關(guān)鍵是理解題意，利用待定系數(shù)法求解；第2問(wèn)的關(guān)鍵是換元后構(gòu)造函數(shù)，第3問(wèn)的關(guān)鍵是由不等式構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)解不等式.
2．（2024·福建廈門(mén)·三模）帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法，在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.已知函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，.其中，，…，.已知在處的階帕德近似為.
(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；
(2)設(shè)，證明：；
(3)已知是方程的三個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明：.
【答案】(1)，
(2)證明見(jiàn)解析
(3)，證明見(jiàn)解析
【分析】（1）結(jié)合題意，利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算即可得；
（2）由題意可得，借助導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即其正負(fù)即可得解；
（3）設(shè)，借助導(dǎo)數(shù)，分及進(jìn)行討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與零點(diǎn)的存在性定理計(jì)算可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，存在三個(gè)不等實(shí)根，且滿足，且，結(jié)合（2）中所得，代入計(jì)算并化簡(jiǎn)即可得解.
【詳解】（1）依題意可知，，因?yàn)?，所以?br>此時(shí)，，因?yàn)?，?br>所以，，
因?yàn)?，所以?br>（2）依題意，，
，
故在單調(diào)遞增，
由，故，，，，
綜上，，；
（3）不妨設(shè)，令，
，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，不存在三個(gè)不等實(shí)根；
當(dāng)時(shí)，令，其判別式，
若，即，恒成立，即，
此時(shí)單調(diào)遞減，不存在三個(gè)不等實(shí)根；
若，即，存在兩個(gè)不等正實(shí)根，
此時(shí)有當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
又因?yàn)?，且，故?br>因?yàn)?，所以，即?br>所以，
所以存在，滿足，
又因?yàn)椋?br>故存在，滿足，
故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，存在三個(gè)不等實(shí)根，
且滿足，且，
由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，
因此，，
故，
化簡(jiǎn)可得：，
因此，命題得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于借助導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)的存在性定理得到當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，存在三個(gè)不等實(shí)根，且滿足，且后，結(jié)合（2）中所得，從而得到，再進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得.
1．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，，，注：，，，，
已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在處的階帕德近似，并求的近似數(shù)精確到
(2)在（1）的條件下：
①求證：；
②若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)① 證明見(jiàn)解析；②
【分析】（1）先寫(xiě)出階帕德近似，然后求導(dǎo)得到，，令得，所以，求導(dǎo)得到求解即可；
（2）令，，求導(dǎo)得到判斷Fx在及上均單調(diào)遞減，按照和分類討論求解即可；
由已知令，且，所以是?x的極大值點(diǎn)，求導(dǎo)得到，故，，得到之后寫(xiě)出，然后求導(dǎo)判斷單調(diào)性證明即可.
【詳解】（1）由題可知函數(shù)在處的階帕德近似，
則，，，
由得，所以，
則，又由得，所以，
由得，所以，
所以.
（2）①令，，
因?yàn)椋?br>所以Fx在及上均單調(diào)遞減.
當(dāng)，，即，
而，所以，即，
當(dāng)，，即，
而，所以，即，
所以不等式恒成立；
②由得在上恒成立，
令，且，所以是?x的極大值點(diǎn)，
又，故，則，
當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，，則?′x>0，故?x在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
令，因?yàn)?，所以φx在上單調(diào)遞減，
所以，又因?yàn)樵谏希?br>故當(dāng)時(shí)，，
綜上，當(dāng)時(shí)，恒成立.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
2．（23-24高二下·湖北·期中）帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：.（注：，為的導(dǎo)數(shù)）已知在處的階帕德近似為.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，；
(3)設(shè)為實(shí)數(shù)，討論方程的解的個(gè)數(shù).
【答案】(1)；
(2)證明見(jiàn)解析；
(3)答案見(jiàn)解析.
【分析】（1）根據(jù)列方程組求解可得；
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性，由即可得證；
（3）構(gòu)造函數(shù)，分，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，利用單調(diào)性判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).當(dāng)時(shí)，分單調(diào)區(qū)間討論，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷即可.
【詳解】（1）由，有，
可知，
由題意，，
所以，解得.
（2）由（1）知，，
令，
則，
所以φx在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，
又，
時(shí)，，得證.
（3）的定義域是，
.
①當(dāng)時(shí)，，所以?x在上單調(diào)遞增，且，
所以?x在上存在1個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，令，
由，得.
又因?yàn)?，所?
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所?x在上存在1個(gè)零點(diǎn)，
且；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>，而?x在單調(diào)遞增，且，
而，故，所以?x在上存在1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>，而?x在單調(diào)遞增，且，而，
所以，所以?x在上存在1個(gè)零點(diǎn).
從而?x在上存在3個(gè)零點(diǎn).
綜上所述，當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)解；
當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)解.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，一般從以下方面入手：
（1）轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象相交問(wèn)題進(jìn)行討論；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求極值，根據(jù)極值符號(hào)，結(jié)合單調(diào)性以及變化趨勢(shì)進(jìn)行判斷；
（3）利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷.
考點(diǎn)十七、萊布尼茨
1．（23-24高二下·貴州安順·期末）固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程為.當(dāng)時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)，類似的我們可以定義雙曲正弦函數(shù).它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì).
(1)求與的導(dǎo)數(shù)；
(2)證明：在上恒成立；
(3)求的零點(diǎn).
【答案】(1)，；
(2)證明見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算即可得；
（2）構(gòu)造函數(shù)后，借助導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得；
（3）多次求導(dǎo)最終判斷函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，結(jié)合奇函數(shù)的定義得到為奇函數(shù)，又，即可得其具有唯一零點(diǎn).
【詳解】（1），；
（2）構(gòu)造函數(shù)，，
由（1）知，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故在上單調(diào)遞增，則，
故在上恒成立，即得證；
（3）由，則，
令，則，
令，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，由（2）可知，，
則，
令，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，
則，故在上單調(diào)遞增，
則，故在上單調(diào)遞增，
則，故在上單調(diào)遞增，
則，故在上單調(diào)遞增，
由，
且定義域?yàn)?，則為奇函數(shù)，
由，則在上單調(diào)遞增，
故具有唯一零點(diǎn).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問(wèn)關(guān)鍵點(diǎn)在于借助導(dǎo)數(shù)多次求導(dǎo)最終判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，再結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)得到在上的單調(diào)性.
2．（2024·甘肅酒泉·三模）十七世紀(jì)至十八世紀(jì)的德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲是世界上第一個(gè)提出二進(jìn)制記數(shù)法的人，用二進(jìn)制記數(shù)只需數(shù)字0和1，對(duì)于整數(shù)可理解為逢二進(jìn)一，例如：自然數(shù)1在二進(jìn)制中就表示為，2表示為，3表示為，5表示為，發(fā)現(xiàn)若可表示為二進(jìn)制表達(dá)式，則，其中，或．
(1)記，求證：；
(2)記為整數(shù)的二進(jìn)制表達(dá)式中的0的個(gè)數(shù)，如，．
（?。┣?；
（ⅱ）求（用數(shù)字作答）．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）借助二進(jìn)制的定義計(jì)算可得，，即可得證；
（2）（?。┙柚M(jìn)制的定義可計(jì)算出，即可得表達(dá)式中的0的個(gè)數(shù)；（ⅱ）計(jì)算出從到中，、、，的個(gè)數(shù)，即可得.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>，
，
，
；
（2）（ⅰ），
；
（ⅱ），
，故從到中，
有、、、共個(gè)，
有個(gè)，由，即共有個(gè)，
有個(gè)，由，即共有個(gè)，
……，
有個(gè)，
.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題最后一小問(wèn)關(guān)鍵點(diǎn)在于結(jié)合二進(jìn)制的定義，得到，，通過(guò)組合數(shù)的計(jì)算得到、、、的個(gè)數(shù)，再結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)計(jì)算得到結(jié)果.
1．（22-23高一上·江蘇南通·期末）對(duì)于任意兩個(gè)正數(shù)，記曲線與直線軸圍成的曲邊梯形的面積為，并約定和，德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Leibniz）最早發(fā)現(xiàn)．關(guān)于，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)所給新定義運(yùn)算即可判斷AB，取特殊值判斷C，根據(jù)曲邊梯形與梯形面積大小判斷D.
【詳解】由題意，所以，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)或時(shí)，也成立，
綜上，，
對(duì)A，，，即，故A正確；
對(duì)B，，而，所以，故B正確；
對(duì)C，取，則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，如圖，
因?yàn)?，所以?br>即，故D正確.
故選：ABD
2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線年，萊布尼茨等得出懸鏈線的方程為，其中為參數(shù)．當(dāng)時(shí)，該表達(dá)式就是雙曲余弦函數(shù)，記為，懸鏈線的原理常運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．已知三角函數(shù)滿足性質(zhì)：①導(dǎo)數(shù)：；②二倍角公式：；③平方關(guān)系：．定義雙曲正弦函數(shù)為．
(1)寫(xiě)出，具有的類似于題中①、②、③的一個(gè)性質(zhì)，并證明該性質(zhì)；
(2)任意，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)正項(xiàng)數(shù)列滿足，，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)，
(3)存在實(shí)數(shù)，使得成立．
【分析】（1）①求導(dǎo)數(shù)，②用二倍角公式，③利用平方關(guān)系；證明即可；
（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求的取值范圍即可；
（3）方法一、求出，，，猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．方法二、構(gòu)造數(shù)列，根據(jù)，利用遞推公式求解即可．
【詳解】（1）①導(dǎo)數(shù)：，，證明如下：
，
②二倍角公式：，證明如下：
；
③平方關(guān)系：，證明如下：
；
（2）令，，，
①當(dāng)時(shí)，由，
又因?yàn)椋?，等?hào)不成立，
所以，即為增函數(shù)，
此時(shí)，對(duì)任意，恒成立，滿足題意；
②當(dāng)時(shí)，令，，則，可知是增函數(shù)，
由與可知，存在唯一，使得，
所以當(dāng)時(shí)，，則在上為減函數(shù)，
所以對(duì)任意，，不合題意；
綜上知，實(shí)數(shù)的取值范圍是；
（3）方法一、由，函數(shù)的值域?yàn)椋?br>對(duì)于任意大于1的實(shí)數(shù)，存在不為0的實(shí)數(shù)，使得，
類比雙曲余弦函數(shù)的二倍角公式，
由，，，
猜想：，
由數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)時(shí)，成立；
②假設(shè)當(dāng)為正整數(shù)）時(shí)，猜想成立，即，則
，符合上式，
綜上知，；
若，
設(shè)，則，解得：或，
即，所以，即．
綜上知，存在實(shí)數(shù)，使得成立．
方法二、構(gòu)造數(shù)列，且，
因?yàn)椋裕?br>則，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即是以2為公比的等比數(shù)列，
所以，所以，所以，
又因?yàn)椋獾没颍?br>所以，
綜上知，存在實(shí)數(shù)，使得成立．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于新定義的題目，一定要耐心理解定義，新的定義不但考查的是舊的知識(shí)點(diǎn)的延伸，更考查對(duì)于新知識(shí)的獲取理解能力，抓住關(guān)鍵點(diǎn)，解題不是事.
考點(diǎn)十八、函數(shù)凹凸性
1．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）給出定義：若函數(shù)在D上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在D上也可導(dǎo)，則稱在D上存在二階導(dǎo)數(shù)，記.若在D上恒成立，則稱在D上為凸函數(shù).以下四個(gè)函數(shù)在上不是是凸函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給出的導(dǎo)數(shù)新定義逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A：，，，
則在上恒有，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：，，，
則在上恒有，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：，，，
則在上恒有，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，，，
則在上恒有，故D正確.
故選：D.
2．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)是的定義域的子集，若在區(qū)間上，則稱在上是“凸函數(shù)”.已知函數(shù).
(1)若在上為“凸函數(shù)”，求的取值范圍；
(2)若，判斷在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【答案】(1)
(2)1個(gè)
【分析】（1）根據(jù)“凸函數(shù)”定義對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由不等式在恒成立即可求得的取值范圍；
（2）易知，由導(dǎo)函數(shù)求得其在上的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理可知零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè).
【詳解】（1）由可得其定義域?yàn)椋遥?br>所以，
若在上為“凸函數(shù)”可得在恒成立，
當(dāng)時(shí)，顯然符合題意；
當(dāng)時(shí)，需滿足，可得；
綜上可得的取值范圍為；
（2）若，可得，所以，
令，則；
易知在區(qū)間上恒成立，
因此可得在上單調(diào)遞減；
顯然，；
根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得存在使得，
因此可知當(dāng)時(shí)，，即在上為單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，即在上為單調(diào)遞減；
又，顯然在上不存在零點(diǎn)；
而，結(jié)合單調(diào)性可得在上存在一個(gè)零點(diǎn)；
綜上可知，在區(qū)間上僅有1個(gè)零點(diǎn).
1．（2024·安徽·三模）丹麥數(shù)學(xué)家琴生是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.若為上任意個(gè)實(shí)數(shù)，滿足，則稱函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.也可設(shè)可導(dǎo)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為在上的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.已知，且，令的最小值為，則為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】記函數(shù)，先判斷函數(shù)的凹凸性，然后利用琴生不等式得，即可求解.
【詳解】記函數(shù)，首先證明其凹凸性：
，
在0,1上為“凹函數(shù)”.
由琴生不等式，得，
即.
所以，
即當(dāng)時(shí)，取最小值，所以.
故選：B.
2．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）閱讀以下材料：
①設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若在區(qū)間D單調(diào)遞增；則稱為區(qū)上的凹函數(shù)；若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù).
②平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)稱為函數(shù)的“切點(diǎn)”，當(dāng)且僅當(dāng)過(guò)點(diǎn)恰好能作曲線的條切線，其中.
(1)已知函數(shù).
（i）當(dāng)時(shí)，討論的凹凸性；
（ii）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在軸右側(cè)且為的“3切點(diǎn)”，求點(diǎn)的集合；
(2)已知函數(shù)，點(diǎn)在軸左側(cè)且為的“3切點(diǎn)”，寫(xiě)出點(diǎn)的集合（不需要寫(xiě)出求解過(guò)程）.
【答案】(1)（i）答案見(jiàn)解析；（ii）或
(2)點(diǎn)的集合為或或
【分析】（1）（i）利用導(dǎo)函數(shù)并對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，即可得出函數(shù)的單調(diào)性，可得其凹凸性；
（ii）根據(jù)“切點(diǎn)”的定義，由切點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成方程根的個(gè)數(shù)即可得出點(diǎn)的集合；
（2）根據(jù)函數(shù)利用“切點(diǎn)”的定義，得出單調(diào)性即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
令，
所以.
（i）當(dāng)時(shí)，，令，解得；
令，解得；
故為區(qū)間上的凹函數(shù)，為區(qū)間上的凸函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
令，解得或，
故為區(qū)間上的凹函數(shù)，為區(qū)間和上的凸函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，故為區(qū)間上的凸函數(shù)；.
當(dāng)時(shí)，令，
解得，
令，解得或，
故為區(qū)間上的凹函數(shù)，為區(qū)間和上的凸函數(shù)；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，為區(qū)間上的凹函數(shù)，為區(qū)間
和上的凸函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，為區(qū)間上的凸函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，為區(qū)間上的凹函數(shù)，為區(qū)間和
上的凸函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，為區(qū)間上的凹函數(shù)，為區(qū)間上的凸函數(shù)；
（ii）當(dāng)時(shí)，，
故在點(diǎn)處的切線方程為.
設(shè)為的“3切點(diǎn)”，
則關(guān)于的方程有三個(gè)不同的解，
即關(guān)于的方程有三個(gè)不同的解，
令，
所以直線與曲線恰有三個(gè)不同的交點(diǎn).
.
當(dāng)時(shí)，隨變化情況如下：
故；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，隨變化情況如下：
故；
綜上所述，點(diǎn)的集合為
或
（2）點(diǎn)的集合為或或
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題在求解“切點(diǎn)”問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是利用其定義將切線問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求解方程根的個(gè)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性即可得出結(jié)論.
考點(diǎn)十九、切線問(wèn)題
1．（23-24高二下·上海閔行·期末）若函數(shù)的圖像上有兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱該切線為函數(shù)的圖像的“自公切線”.
(1)試判斷函數(shù)與的圖像是否存在“自公切線”（不需要說(shuō)明理由）；
(2)若，求函數(shù)的圖像的“自公切線”方程；
(3)設(shè)，求證：函數(shù)的圖像不存在“自公切線”
【答案】(1)答案見(jiàn)詳解
(2)
(3)證明見(jiàn)詳解
【分析】（1）對(duì)于函數(shù)：結(jié)合其圖象分析判斷即可；對(duì)于函數(shù)：結(jié)合的單調(diào)性分析判斷；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并設(shè)出切點(diǎn)，求出處的切線方程，再利用“雙重切線”的定義求出切線方程；
（3）假設(shè)存在，設(shè)切線方程，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求切線方程，列方程組，結(jié)合題意分析該方程組解的個(gè)數(shù)即可判斷.
【詳解】（1）對(duì)于函數(shù)：
由函數(shù)的圖象可知：和為函數(shù)的“自公切線”，
所以函數(shù)的圖像存在“自公切線”；
對(duì)于函數(shù)：則，可知在R上單調(diào)遞增，
可知，可知，即任意不同兩點(diǎn)的切線斜率不相等，
所以函數(shù)的圖像不存在“自公切線”.
（2）函數(shù)，求導(dǎo)得，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，
設(shè)切點(diǎn)，則存在，使得，
則在點(diǎn)處的切線方程為，在點(diǎn)處的切線方程為，
因此，消去可得，
令，求導(dǎo)得，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，函數(shù)的零點(diǎn)為，因此，
所以曲線y=gx的“雙重切線”的方程為.
（3）假設(shè)函數(shù)y=fx的圖像存在“自公切線”，設(shè)為，
因?yàn)閒x=ax3+bx2+cx+da≠0，則，
則，，
可知y=fx在處的切線方程為，
整理得，
則，即，
可知方程有兩個(gè)不相等的根，則，
且也為方程的根，
則，
整理得，
且，即，
可得，即，
可得，整理得，
則，整理得，解得，
即此時(shí)方程只有一個(gè)解，
這與題意相矛盾，即假設(shè)不成立，
所以函數(shù)y=fx的圖像不存在“自公切線”.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)過(guò)某點(diǎn)切線方程（斜率）或其與某線平行、垂直或重合等求參數(shù)問(wèn)題的解法：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系構(gòu)建方程(組)或函數(shù)求解．
2．（23-24高二下·遼寧·階段練習(xí)）曲線的切線?曲面的切平面在平面幾何?立體幾何以及解析幾何中有著重要的應(yīng)用，更是聯(lián)系數(shù)學(xué)與物理學(xué)的重要工具，在極限理論的研究下，導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，更是與切線有著密不可分的關(guān)系，數(shù)學(xué)家們以不同的方法研究曲線的切線?曲面的切平面，用以解決實(shí)際問(wèn)題：
(1)對(duì)于函數(shù)，分別在點(diǎn)處作函數(shù)的切線，記切線與軸的交點(diǎn)分別為，記為數(shù)列的第項(xiàng)，則稱數(shù)列為函數(shù)的“切線軸數(shù)列”，同理記切線與軸的交點(diǎn)分別為，記為數(shù)列的第項(xiàng)，則稱數(shù)列為函數(shù)的“切線軸數(shù)列”.
①設(shè)函數(shù)，記的“切線軸數(shù)列”為；
②設(shè)函數(shù)，記的“切線軸數(shù)列”為，
則，求的通項(xiàng)公式.
(2)在探索高次方程的數(shù)值求解問(wèn)題時(shí)，牛頓在《流數(shù)法》一書(shū)中給出了牛頓迭代法：用“作切線”的方法求方程的近似解.具體步驟如下：設(shè)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取作為的初始近似值，曲線在點(diǎn)處的切線為，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為的1次近似值；曲線在點(diǎn)處的切線為，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱為的2次近似值.一般地，曲線在點(diǎn)處的切線為，記與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為的次近似值.已知二次函數(shù)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，其中.對(duì)函數(shù)持續(xù)實(shí)施牛頓迭代法得到數(shù)列，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列，令數(shù)列滿足，且，證明：.（注：當(dāng)時(shí)，恒成立，無(wú)需證明）
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求出函數(shù)，在時(shí)的切線方程，由此可求，再利用錯(cuò)位相減法求；
（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義證明，由此可得，證明為等比數(shù)列，結(jié)合所給結(jié)論，利用放縮法和等比數(shù)列求和公式證明結(jié)論.
【詳解】（1）由題意則.
設(shè)切點(diǎn)為
則過(guò)切點(diǎn)的切線為
令，整理得，
所以.
由題意則.
設(shè)切點(diǎn)為則過(guò)切點(diǎn)的切線為.
令整理得
所以.
對(duì)于當(dāng)是正奇數(shù)時(shí)；當(dāng)是正偶數(shù)時(shí)即
.
所以
兩式相減，得
所以.
（2）因?yàn)槎魏瘮?shù)有兩個(gè)不等實(shí)根,
所以不妨設(shè)，
則，
因?yàn)樗?br>所以在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處的切線方程為
令則
即，
因?yàn)?br>所以.
因?yàn)樗运?
令則，又
所以，
數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.
.
由因?yàn)樗约?
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，數(shù)列求和，證明不等式，第一問(wèn)解題的關(guān)鍵在于結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，進(jìn)一步求出，利用錯(cuò)位相減法求和，第二問(wèn)解決的關(guān)鍵在于結(jié)合所給結(jié)論，通過(guò)適當(dāng)放縮，證明結(jié)論.
1．（2024·上海黃浦·二模）若函數(shù)的圖象上的兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線互相重合，則稱該切線為函數(shù)的圖象的“自公切線”，稱這兩點(diǎn)為函數(shù)的圖象的一對(duì)“同切點(diǎn)”.
(1)分別判斷函數(shù)與的圖象是否存在“自公切線”，并說(shuō)明理由；
(2)若，求證：函數(shù)有唯一零點(diǎn)且該函數(shù)的圖象不存在“自公切線”；
(3)設(shè)，的零點(diǎn)為，，求證：“存在，使得點(diǎn)與是函數(shù)的圖象的一對(duì)‘同切點(diǎn)’”的充要條件是“是數(shù)列中的項(xiàng)”.
【答案】(1)函數(shù)的圖象存在“自公切線”； 函數(shù)的圖象不存在“自公切線”，理由見(jiàn)解析；
(2)證明見(jiàn)解析；
(3)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）由直線切的圖象于點(diǎn)判斷，由導(dǎo)數(shù)確定意見(jiàn)性判斷.
（2）利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理推理即得唯一零點(diǎn)，再假定存在“自公切線”，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，證明在上無(wú)解即得.
（3）求出在點(diǎn)與處的切線方程，利用（2）的結(jié)論，結(jié)合誘導(dǎo)公式，及充要條件的證明方法推理即得.
【詳解】（1）顯然直線切的圖象于點(diǎn)，
直線是的圖象的一條“自公切線”，因此函數(shù)的圖象存在“自公切線”；
對(duì)于是嚴(yán)格減函數(shù)，則在不同點(diǎn)處的切線斜率不同，
所以函數(shù)的圖象不存在“自公切線”.
（2）由恒成立，且僅當(dāng)時(shí)，
則是上的嚴(yán)格增函數(shù)，可得它至多有一個(gè)零點(diǎn)，
令，
由的圖象是連續(xù)曲線，且，
因此在上存在零點(diǎn)，即在上存在零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)；
假設(shè)的圖象存在“自公切線”，則存在且，
使得的圖象在與處的切線重合，即，有，不妨設(shè)，
切線，，
有相同截距，即，而，
則，即，
則有，即，令，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，，因此當(dāng)時(shí)，，
即在上無(wú)解，
所以的圖象不存在“自公切線”.
（3）對(duì)給定的，由（2）知有唯一零點(diǎn)，即唯一確定，
又在點(diǎn)處的切線方程為，即，
在點(diǎn)處的切線方程為，
若存在，使得點(diǎn)與是函數(shù)圖象的一對(duì)“同切點(diǎn)”，
則，又，則，
所以，且，從而存在，
使得，代入，可得，則，即是數(shù)列中的項(xiàng)；
反之，若是數(shù)列中的項(xiàng)，則存在，使得，即，
由（2）中的嚴(yán)格增，可知嚴(yán)格增，又且，可知，
令，則且，
即，可得，所以存在，
使得點(diǎn)與是函數(shù)的圖象的一對(duì)“同切點(diǎn)”.
所以存在，使得點(diǎn)與是函數(shù)圖象的一對(duì)“同切點(diǎn)”的充要條件是“是數(shù)列中的項(xiàng)”.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)y=f(x)是區(qū)間D上的可導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程為：.
2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；
(2)定義：若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，若在點(diǎn)處的切線與直線平行或重合，則函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，切線叫做函數(shù)的“中值平衡切線”．試判斷函數(shù)是否是“中值平衡函數(shù)”？若是，判斷函數(shù)的“中值平衡切線”的條數(shù)；若不是，說(shuō)明理由；
(3)設(shè)，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，且函數(shù)的“中值平衡切線”有無(wú)數(shù)條；當(dāng)時(shí)，不是“中值平衡函數(shù)”，理由見(jiàn)解析；
(3)
【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；
（2）先利用“中值平衡函數(shù)”的定義將其化為能否成立，再討論與，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判定函數(shù)是否是“中值平衡函數(shù)”，是否存在“中值平衡切線”；
（3）將化為，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，通過(guò)研究導(dǎo)數(shù)的符號(hào)得到函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求最值，得到參數(shù)的范圍．
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，，
∴在處的切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，切線方程為．
（2）若函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，則存在，
使得，即，
（※）
①當(dāng)時(shí)，（※）對(duì)任意的都成立，
∴函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，且函數(shù)的“中值平衡切線”有無(wú)數(shù)條；
②當(dāng)時(shí)，有，設(shè)，則方程在區(qū)間上有解，
記函數(shù)，則，∴函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，
∵，∴當(dāng)時(shí)，，
即方程在區(qū)間上無(wú)解，即函數(shù)不是“中值平衡函數(shù)”；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，且函數(shù)的“中值平衡切線”有無(wú)數(shù)條；當(dāng)時(shí)，不是“中值平衡函數(shù)”；
（3）由，得，
記，，
∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
∴，
，記，
，，
，
時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；
，，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為．
考點(diǎn)二十、類型函數(shù)
1．（2024·浙江·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，如果將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是某個(gè)函數(shù)的圖象，則稱為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)是否為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，并說(shuō)明理由；
(2)已知函數(shù)是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的最大值；
(3)若函數(shù)是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的取值范圍.
【答案】(1)不是，理由見(jiàn)解析
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義直接判斷即可.
（2）將已知條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線最多一個(gè)交點(diǎn)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程根的關(guān)系，分離，構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為新函數(shù)在上單調(diào)，進(jìn)而求解.
（3）同問(wèn)題（2）根據(jù)已知條件構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為新函數(shù)在上單調(diào)，求導(dǎo)，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題求最值即可.
【詳解】（1）函數(shù)不是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，理由如下：
逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與軸重合，
當(dāng)時(shí)，有無(wú)數(shù)個(gè)與之對(duì)應(yīng)，與函數(shù)的概念矛盾，
因此函數(shù)不是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.
（2）由題意可得
函數(shù)與函數(shù)最多有1個(gè)交點(diǎn)，
且，
所以最多有一個(gè)根，
即最多有一個(gè)根，
因此函數(shù)與函數(shù)R最多有1個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)在上單調(diào)，
因?yàn)?，且?br>所以，所以，
即，，即的最大值為.
（3）由題意可得函數(shù)與函數(shù)最多有1個(gè)交點(diǎn)，
即，
即函數(shù)與函數(shù)最多有1個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)在上單調(diào)，
，當(dāng)時(shí)，
所以，
令，則，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)減，且，
所以存在，使，
即，
所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
所以，
即.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)的零點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程的根的關(guān)系，我們經(jīng)常進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化：
函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)方程的根的個(gè)數(shù)函數(shù)與圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
另外，恒成立求參數(shù)范圍問(wèn)題往往分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求構(gòu)造函數(shù)的最值來(lái)求出參數(shù)范圍，例：若恒成立，只需，恒成立，只需.
2．（2024·黑龍江·三模）若函數(shù)y=fx滿足：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，有恒成立，則稱函數(shù)y=fx為“增函數(shù)”.
(1)求證：函數(shù)不是“增函數(shù)”；
(2)若函數(shù)是“增函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)設(shè)，若曲線y=gx在處的切線方程為，求的值，并證明函數(shù)y=gx是“增函數(shù)”.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)，證明見(jiàn)解析
【分析】（1）利用給定新函數(shù)定義，舉反例即可證明.
（2）結(jié)合新函數(shù)定義得恒成立，利用不等式求解范圍即可.
（3）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)后，令導(dǎo)數(shù)函數(shù)值為1，可得該方程的根，且時(shí)其中一個(gè)根，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可證明該函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞增，故有且僅有，而后設(shè)出，根據(jù)在0,+∞上是嚴(yán)格增函數(shù)，可得在0,+∞上是嚴(yán)格增函數(shù)，又，則，即可證明.
【詳解】（1）取，則，因?yàn)椋?br>故函數(shù)不是“增函數(shù)”.
（2）因?yàn)楹瘮?shù)是“增函數(shù)”，
故任意的，有恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，
又，故，則，
則，即.
（3），
根據(jù)題意，得，可得方程的一個(gè)解，
令，則，故在0,+∞上是嚴(yán)格增函數(shù)，
所以是唯一解，
又，此時(shí)在處的切線方程即為，故；
設(shè)，其中，
，由在0,+∞上是嚴(yán)格增函數(shù)以及，
得，
即，
所以在0,+∞上是嚴(yán)格增函數(shù)，
因?yàn)?，則，故，得證，
所以函數(shù)y=gx是“增函數(shù)”.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題時(shí)給出函數(shù)的新定義，由此去判斷求解問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是要理解函數(shù)的新定義，明確其含義，依此取判斷解決問(wèn)題.
1．（2024·貴州六盤(pán)水·三模）若函數(shù)在上有定義，且對(duì)于任意不同的，都有，則稱為上的“k類函數(shù)”
(1)若，判斷是否為上的“4類函數(shù)”；
(2)若為上的“2類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)若為上的“2類函數(shù)”且，證明：，，.
【答案】(1)是
(2)
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由新定義可知，利用作差及不等式的性質(zhì)證明即可；
（2）由已知條件轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意，都有，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后進(jìn)行分離參數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可；
（3）分和兩種情況進(jìn)行證明，，用放縮法進(jìn)行證明即可.
【詳解】（1）函數(shù)是上的“4類函數(shù)”，理由如下：
不妨設(shè)，所以，
，
所以是上的“4類函數(shù)”；
（2），，
由題意知，對(duì)于任意不同的都有，
不妨設(shè)，則，
故且，
所以為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，
所以對(duì)任意的，即，
由，令，則，，
令得在上單調(diào)遞增，，
由，令，
只需，，
令得在單調(diào)遞增，
所以，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為；
（3）證明：因?yàn)闉樯系摹?類函數(shù)”，所以，
不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>所以
，
綜上所述，，，.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)方法：①分離參數(shù)恒成立或恒成立；②數(shù)形結(jié)合（的圖象在上方即可）；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.
2．（2024·新疆喀什·三模）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：對(duì)于任意的，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．
(1)判斷函數(shù)，是否具有性質(zhì)；（直接寫(xiě)出結(jié)論）
(2)已知函數(shù)（，），判斷是否存在，，使函數(shù)具有性質(zhì)？若存在，求出，的值；若不存在，說(shuō)明理由；
(3)設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，且在區(qū)間上的值域?yàn)閒0,f2π．函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．求證：f2π=2π．
【答案】(1)具有性質(zhì)
(2)存在，，
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）利用定義直接判斷即可；
（2）假設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，可求出，進(jìn)而得到，再根據(jù)定義驗(yàn)證即可；
（3）分析可知函數(shù)在的值域?yàn)?，由在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)可知時(shí)不合題意，再求解當(dāng)時(shí)，與函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)矛盾，由此可得，進(jìn)而得證．
【詳解】（1）因?yàn)?，則，又，
所以，故函數(shù)具有性質(zhì)；
因?yàn)?，則，又，
，故具有性質(zhì)．
（2）若函數(shù)具有性質(zhì)，則，即f(0)=sinφ=0，
因?yàn)?，所以，所以?br>若f(2π)≠0，不妨設(shè)f(2π)>0，由，
得（*），
只要充分大時(shí)，kf(2π)將大于1，而的值域?yàn)椋?br>故等式（*）不可能成立，所以必有f(2π)=0成立，
即sin(2ωπ)=0，因?yàn)?，所以?br>所以2ωπ=4π，則，此時(shí)，
則，
而f(x)+f(2π)=sin2x+sin4π=sin2x，即有成立，
所以存在，使函數(shù)具有性質(zhì)．
（3）證明：由函數(shù)具有性質(zhì)及（2）可知，，
由可知函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，則，
即sin(f(2π))=sin(f(0))=0，所以f(2π)=kπ，；
由，f(2π)=kπ以及題設(shè)可知，
函數(shù)在的值域?yàn)椋郧遥?br>當(dāng)，及時(shí)，均有，
這與在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)矛盾，因此或；
當(dāng)時(shí)，f(2π)=π，函數(shù)在的值域?yàn)椋?br>此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?,1，
而，于是函數(shù)在的值域?yàn)椋?br>此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?1,0，
函數(shù)在當(dāng)時(shí)和時(shí)的取值范圍不同，
與函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)矛盾，
故，即，命題得證．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于以函數(shù)為背景的新定義問(wèn)題的求解策略：
1、緊扣新定義，首先分析新定義的特點(diǎn)，把心定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過(guò)程中；
2、用好函數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的函數(shù)的性質(zhì)的一些因素.
1．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）表示大于或者等于的最小整數(shù)，表示小于或者等于的最大整數(shù)．已知函數(shù) ，且滿足：對(duì)有，則的可能取值是（ ）
A．B．0C．D．
【答案】C
【分析】由題意得在上單調(diào)遞減，結(jié)合題意得出當(dāng)時(shí)，要單調(diào)遞減，且，分別代入的值進(jìn)行判斷即可．
【詳解】由得在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，要遞減，且，
對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，不合題意，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，不合題意，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，符合題意，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，不合題意，故D錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于定義表示大于或者等于的最小整數(shù)，應(yīng)用與函數(shù)中，函數(shù)圖象不易判斷，可將選項(xiàng)中的值代入進(jìn)行判斷可簡(jiǎn)化問(wèn)題．
2．（2024·山東菏澤·二模）（多選）函數(shù)的函數(shù)值表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如，．下列結(jié)論正確的有（ ）
A．函數(shù)與函數(shù)無(wú)公共點(diǎn)
B．若，則
C．
D．所有滿足的點(diǎn)組成區(qū)域的面積為
【答案】ABD
【分析】作出函數(shù)與函數(shù)的圖像，即可判斷；根據(jù)的取值范圍，分別求出，的值，判斷B；對(duì)的取值分類討論，即可判斷C；對(duì)的取值分類討論，求出點(diǎn)組成區(qū)域的面積，判斷D．
【詳解】對(duì)于A：函數(shù)與函數(shù)的圖象如圖所示，
由圖可得函數(shù)與函數(shù)無(wú)公共點(diǎn)，A正確；
對(duì)于B：若x∈0,1，則，則，
，
即，B正確；
對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)組成區(qū)域的面積為1，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)組成區(qū)域的面積為1，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)組成區(qū)域的面積為1，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)組成區(qū)域的面積為，
綜上點(diǎn)組成區(qū)域的面積為，D正確．
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查命題真假的判斷、函數(shù)的新定義，解題的關(guān)鍵是理解新符號(hào)的含義，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力和作圖能力，屬于難題．
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）著名的德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷在19世紀(jì)提出了這樣一個(gè)“奇怪的”函數(shù)：定義在上的函數(shù).后來(lái)數(shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)該函數(shù)在其定義域上處處不連續(xù)、處處不可導(dǎo)．根據(jù)該函數(shù)，以下是真命題的有（ ）
A．
B．的圖象關(guān)于軸對(duì)稱
C．的圖象關(guān)于軸對(duì)稱
D．存在一個(gè)正三角形，其頂點(diǎn)均在的圖象上
【答案】BCD
【分析】特殊值代入驗(yàn)證A，D；利用偶函數(shù)定義判斷B，C.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，，，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
若是無(wú)理數(shù)，則是無(wú)理數(shù)，所以，；
若是有理數(shù)，則是有理數(shù)，所以，；
所以，
故是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，B正確；
對(duì)于C，由B可知，，所以，
故是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，C正確；
對(duì)于D，設(shè)， ，C0,1，
則，所以是等邊三角形，
又因?yàn)椋?，，所以的頂點(diǎn)均在的圖象上，D正確.
故選：BCD
4．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)）記實(shí)數(shù)的最小數(shù)為，若，則函數(shù)的最大值為 ．
【答案】
【分析】由題意在同一個(gè)坐標(biāo)系中，分別作出三個(gè)函數(shù)的圖像，再按要求得到的圖象，結(jié)合圖像易得函數(shù)的最大值．
【詳解】
如圖所示，在同一個(gè)坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)的圖象，
而的圖象即是圖中勾勒出的實(shí)紅線部分，
要求的函數(shù)的最大值即圖中最高點(diǎn)的縱坐標(biāo).
由聯(lián)立解得，，故所求函數(shù)的最大值為．
故答案為：．
5．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）（多選）定義表示中的最小者，設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)為B．有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)為3
C．D．恒成立
【答案】ACD
【分析】根據(jù)函數(shù)的新定義得到分段函數(shù)的解析式，畫(huà)出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象和選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解．
【詳解】由題意，函數(shù)作出函數(shù)的圖象，如圖所示，
由圖象知，有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)為，所以A正確；
函數(shù)有兩個(gè)極大值點(diǎn)1和3，所以B錯(cuò)誤；
令，可得或或，解得或，
即當(dāng)時(shí)，，所以C正確；
由圖象知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值，
所以存在實(shí)數(shù)，使得恒成立，所以D正確.
故選：ACD．
6．（23-24高一上·福建三明·期中）已知，定義：，設(shè).若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】用分段函數(shù)表示出函數(shù)，利用函數(shù)零點(diǎn)的意義變形，構(gòu)造函數(shù)并畫(huà)出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求出的范圍.
【詳解】令函數(shù)，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，
而，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
于是函數(shù)，則，
令函數(shù)，由，得，
因此函數(shù)的零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
當(dāng)，恒有，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，

觀察圖象知，當(dāng)，即時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
如圖，直線過(guò)點(diǎn)，它與的圖象交于兩點(diǎn)，當(dāng)x1，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)．
【分析】（1）先證明在0,1為凹函數(shù)，再利用琴生不等式求解；
（2）證明在為凹函數(shù)再結(jié)合琴生不等式得證；
（3）分離參數(shù)，求函數(shù)最值得解.
【詳解】（1）記函數(shù)，首先證明其凹凸性：
,則
所以在0,1為凹函數(shù).
由琴生不等式，得，
即
所以，當(dāng)時(shí)，W的最小值為.
（2）設(shè),因?yàn)楣?br>要證只需證
由琴生不等式，只需證在為凹函數(shù).
設(shè)，
下證，即證，
即證,
化簡(jiǎn)得.
即證
式顯然成立，所以成立，?x在為凹函數(shù)，則得證.
（3）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即，因?yàn)?即恒成立，
可得在時(shí)恒成立．
因?yàn)?，所以，，所以?br>由，及，可得，所以．
故．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用，解決問(wèn)題關(guān)鍵是將凹凸性和琴生不等式聯(lián)系起來(lái).
19．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）定義：若是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率；已知函數(shù)，，曲線在點(diǎn)處的曲率為；
(1)求實(shí)數(shù)a的值；
(2)對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(3)設(shè)方程在區(qū)間內(nèi)的根為，…比較與的大小，并證明．
【答案】(1)
(2)
(3)，證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)曲率的定義求解即可；
（2）分及兩種情況討論，分別判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可；
（3）令，利用導(dǎo)數(shù)分析可知，，由單調(diào)遞減即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）由已知，
所以，解得（舍去），
所以；
（2）由（1）得，，
則，
對(duì)任意的，，即恒成立，
令，則，不等式恒成立，
當(dāng)時(shí)，，原不等式化為，
令，
則
，
所以?x在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，
所以，
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為；
（3），證明如下：
由已知方程可化為，
令，則，
因?yàn)椋裕?br>所以φ′x0，從而，得證.
【詳解】（1）平方關(guān)系：；
倍角公式：；
導(dǎo)數(shù)：.
理由如下：平方關(guān)系，；
倍角公式：；
導(dǎo)數(shù)：，；
以上三個(gè)結(jié)論，證對(duì)一個(gè)即可.
（2）構(gòu)造函數(shù)，x∈0,+∞，由（1）可知，
①當(dāng)時(shí)，由，
又因?yàn)?，故，等?hào)不成立，
所以，故為嚴(yán)格增函數(shù)，
此時(shí)，故對(duì)任意，恒成立，滿足題意；
②當(dāng)時(shí)，令，
則，可知是嚴(yán)格增函數(shù)，
由與可知，存在唯一，使得，
故當(dāng)時(shí)，，則在上為嚴(yán)格減函數(shù)，
故對(duì)任意，，即，矛盾；
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為；
（3）因?yàn)椋?br>所以原式變?yōu)椋?br>即證，
設(shè)函數(shù)，即證，，
設(shè)，，
時(shí)，在0,+∞上單調(diào)遞增，即在0,+∞上單調(diào)遞增，
設(shè)，則，
由于在0,+∞上單調(diào)遞增，，
所以，即?′x>0，故?x在0,+∞上單調(diào)遞增，
又，所以時(shí)，?x>0，
所以，即，
因此恒成立，所以原不等式成立，得證.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)新定義的題型要注意一下幾點(diǎn)：
（1）讀懂定義所給的主要信息篩選出重要的關(guān)鍵點(diǎn)
（2）利用好定義所給的表達(dá)式以及相關(guān)的條件
（3）含有參數(shù)是要注意分類討論的思想.
三、解答題
25．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）如果三個(gè)互不相同的函數(shù)，，在區(qū)間上恒有或，則稱為與在區(qū)間上的“分割函數(shù)”．
(1)證明：函數(shù)為函數(shù)與在上的分割函數(shù)；
(2)若函數(shù)為函數(shù)與在上的“分割函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若，且存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)為函數(shù)與在區(qū)間上的“分割函數(shù)”，求的最大值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）根據(jù)給定的定義，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式和恒成立即可.
（2）由“分割函數(shù)”定義得恒成立，借助導(dǎo)數(shù)及二次函數(shù)性質(zhì)求解即得.
（3）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，再利用“分割函數(shù)”的定義確定圖象的切線及切點(diǎn)橫坐標(biāo)范圍，然后求出直線被函數(shù)圖象所截弦長(zhǎng)，利用不等式性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)求出最大值即得.
【詳解】（1）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，則在處取得極大值，即為最大值，
即，則當(dāng)時(shí)，；
設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞咸，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則在處取得極小值，即為最小值，
即，則當(dāng)時(shí)，，
于是當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)為函數(shù)與在上的“分割函數(shù)”.
（2）因?yàn)楹瘮?shù)為函數(shù)與在上的“分割函數(shù)”，
則對(duì)，恒成立，
而，于是函數(shù)在處的切線方程為，
因此函數(shù)的圖象在處的切線方程也為，又，
則，解得，
于是對(duì)恒成立，
即對(duì)恒成立，
因此，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（3）對(duì)于函數(shù)，
當(dāng)和時(shí)，，當(dāng)和時(shí)，，
則為的極小值點(diǎn)，為極大值點(diǎn)，
函數(shù)的圖象如圖，
由函數(shù)為函數(shù)與在區(qū)間上的“分割函數(shù)”，
得存在，使得直線與函數(shù)的圖象相切，
且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
此時(shí)切線方程為，即，
設(shè)直線與的圖象交于點(diǎn)，
則消去y得，則，
于是
令，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，，
因此的最大值為，所以的最大值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問(wèn)題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問(wèn)題的
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增
+
0
-
0
+
?x
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
1
0
0
減
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增
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