二、多選題
9．（2024上·江西·高一校聯(lián)考期末）如圖，已知矩形表示全集，是的兩個(gè)子集，則陰影部分可表示為（ ）

A．B．C．D．
10．（2024上·福建廈門·高二統(tǒng)考期末）已知集合，.若，則實(shí)數(shù)可以為（ ）
A．0B．C．1D．2
三、填空題
11．（2024·湖南·長(zhǎng)沙一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 ．
12．（2024上·安徽合肥·高一合肥一中?？计谀W(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，高二（8）班共有30名同學(xué)參加比賽，有15人參加田徑比賽，14人參加球類比賽，13人參加趣味比賽，同時(shí)參加田徑比賽和球類比賽的有5人，同時(shí)參加田徑比賽和趣味比賽的有4人，有2人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，只參加趣味比賽一項(xiàng)的有 人.
四、解答題
13．（2024上·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）已知集合，，.
(1)求，；
(2)若，求的取值范圍.
14．（2024上·浙江寧波·高一余姚中學(xué)校聯(lián)考期末）已知集合，.
(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)從①；②；③中任選一個(gè)作為已知條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
B能力提升
1．（2024·四川南充·統(tǒng)考一模）已知全集，集合則能表示關(guān)系的圖是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）定義：若集合滿足，存在且，且存在且，則稱集合為嵌套集合．已知集合且，，若集合為嵌套集合，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·重慶·重慶市石柱中學(xué)校校聯(lián)考一模）設(shè)非空集合滿足，，則這樣的的個(gè)數(shù)為 ．
4．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）定義兩個(gè)點(diǎn)集，之間的距離集為，其中表示兩點(diǎn)，之間的距離.已知，，，，，則的一個(gè)可能值為 .
5．（2023上·上?！じ咭恍？计谥校┦怯欣頂?shù)集，集合，在下列集合中：
①；②；
③；④．
與集合相等的集合序號(hào)是 .
C綜合素養(yǎng)
6．（2024上·北京順義·高三統(tǒng)考期末）給定正整數(shù)，設(shè)集合．若對(duì)任意，，，兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于，則稱集合具有性質(zhì)．
(1)分別判斷集合與是否具有性質(zhì)；
(2)若集合具有性質(zhì)，求的值；
(3)若具有性質(zhì)的集合中包含6個(gè)元素，且，求集合．
7．（2024上·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，若非空集合A，B，C同時(shí)滿足以下4個(gè)條件，則稱A，B，C是“無和劃分”：
①；
②，，；
③，且C中的最小元素大于B中的最小元素；
④，，，必有，，.
(1)若，，，判斷A，B，C是否是“無和劃分”，并說明理由.
(2)已知A，B，C是“無和劃分”（）.
（i）證明：對(duì)于任意m，，都有；
（ii）若存在i，，使得，記.證明：Ω中的所有奇數(shù)都屬于A.
（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）
第01講 集合 (分層精練）
A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2024下·內(nèi)蒙古赤峰·高三校考開學(xué)考試）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出集合，再由交集定義求交集.
【詳解】由題意可得，則.
故選：D
2．（2024上·河南焦作·高三統(tǒng)考期末）已知集合，，則（ ）
A．?B．?C．D．
【答案】A
【分析】解出集合，再判斷包含關(guān)系.
【詳解】依題意，，，所以?，
.
故選：A
3．（2024下·黑龍江·高三大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)集合的定義可得集合.
【詳解】因?yàn)榧?，，則.
故選：A.
4．（2024上·河南南陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知集合，，記.則下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先根據(jù)集合對(duì)元素的要求，求得集合,再根據(jù)交集并集的定義判斷A,B兩項(xiàng)，根據(jù)集合新定義和的元素要求，分別求出集合判斷即得.
【詳解】由可得可能的取值有，即，均滿足，故.
對(duì)于A項(xiàng)，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，因，故，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D項(xiàng)，依題有，,則，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：C.
5．（2024上·四川·高三校聯(lián)考期末）集合的一個(gè)真子集可以為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由真子集的定義對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.
【詳解】，故A錯(cuò)誤；
，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)槭羌系淖蛹?，但不是真子集，故D錯(cuò)誤；
是集合的真子集，故C正確.
故選：C.
6．（2024上·山東威海·高三統(tǒng)考期末）設(shè)集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】解出兩個(gè)集合，然后根據(jù)交集的定義得出答案.
【詳解】由題意得：或， ，
所以.
故選：D
7．（2024上·江西·高三校聯(lián)考期末）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解一元二次不等式得集合A和集合B，然后根據(jù)補(bǔ)集運(yùn)算和交集運(yùn)算求解即可.
【詳解】由，得或，所以或，
所以.
由得，所以，
所以.
故選：B
8．（2024上·湖南岳陽(yáng)·高一校考期末）已知，，若集合，則的值為（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，由集合相等列出方程，即可求得，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，解得或
當(dāng)時(shí)，不滿足集合元素的互異性，
故，，.
故選：B.
二、多選題
9．（2024上·江西·高一校聯(lián)考期末）如圖，已知矩形表示全集，是的兩個(gè)子集，則陰影部分可表示為（ ）

A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】利用集合的交集、并集以及補(bǔ)集的定義，結(jié)合韋恩圖分析各選項(xiàng)即可求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)圖示可知陰影部分表示的元素是屬于集合，而不屬于集合，
即在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)元素，則滿足，且，即且；
因此陰影部分可表示為，即A正確；
且，因此陰影部分可表示為，C正確；
易知陰影部分表示的集合是和的真子集，即B錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10．（2024上·福建廈門·高二統(tǒng)考期末）已知集合，.若，則實(shí)數(shù)可以為（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】ABC
【分析】由已知，圓在圓的內(nèi)部或圓上，即圓心距小于或等于半徑差.
【詳解】由題意，，即圓在圓的內(nèi)部或圓上，
則，即.
故選：ABC

三、填空題
11．（2024·湖南·長(zhǎng)沙一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】先利用基本不等式求得集合，再由得到，即可求得.
【詳解】由集合中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
故．因?yàn)椋?，所以，故?shí)數(shù)m的取值范圍為．
故答案為：.
12．（2024上·安徽合肥·高一合肥一中?？计谀W(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，高二（8）班共有30名同學(xué)參加比賽，有15人參加田徑比賽，14人參加球類比賽，13人參加趣味比賽，同時(shí)參加田徑比賽和球類比賽的有5人，同時(shí)參加田徑比賽和趣味比賽的有4人，有2人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，只參加趣味比賽一項(xiàng)的有 人.
【答案】6
【分析】根據(jù)韋恩圖計(jì)算得到答案.
【詳解】如圖所示，設(shè)同時(shí)參加田徑和球類比賽有人，
可得，解得．
易知只參加趣味比賽一項(xiàng)的有6人，
故答案為：6
四、解答題
13．（2024上·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）已知集合，，.
(1)求，；
(2)若，求的取值范圍.
【答案】(1)，或
(2)
【分析】（1）根據(jù)并集、補(bǔ)集、交集的知識(shí)求得正確答案.
（2）根據(jù)列不等式，從而求得的取值范圍.
【詳解】（1）依題意，集合，，
所以，或，
所以或.
（2）由于，若，
則.
14．（2024上·浙江寧波·高一余姚中學(xué)校聯(lián)考期末）已知集合，.
(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)從①；②；③中任選一個(gè)作為已知條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，寫出集合，并解出集合，利用并集的定義可得出集合；
（2）根據(jù)所選條件可得出，分、兩種情況討論，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式（組），綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）解：由，得，得，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以.
（2）解：若選①，因?yàn)?，則，
當(dāng)，即，得；
當(dāng)時(shí)，則有，解得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是；
若選②，因?yàn)?，則，
當(dāng)，即，得；
當(dāng)時(shí)，則有，解得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是；
若選③，因?yàn)?，則，
當(dāng)，即，得；
當(dāng)時(shí)，則有，解得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
B能力提升
1．（2024·四川南充·統(tǒng)考一模）已知全集，集合則能表示關(guān)系的圖是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解出集合后，求得，逐項(xiàng)分析即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>，
所以，
對(duì)于A，，錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，錯(cuò)誤；
對(duì)于D，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)符合題意，
故選：B.
2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）定義：若集合滿足，存在且，且存在且，則稱集合為嵌套集合．已知集合且，，若集合為嵌套集合，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可求出集合，分類討論求出集合，再根據(jù)嵌套集合的定義即可得解.
【詳解】因?yàn)?，所有?br>由，得，
如圖，作出函數(shù)的圖象，
由圖可知，不等式的解集為，
所以且，
由，得，
當(dāng)，即時(shí)，則，不符題意；
當(dāng)，即時(shí)，則，
由，得，
根據(jù)嵌套集合得定義可得，解得；
當(dāng)，即時(shí)，則，
由，得，
根據(jù)嵌套集合得定義可得，無解，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：A.
3．（2023·重慶·重慶市石柱中學(xué)校校聯(lián)考一模）設(shè)非空集合滿足，，則這樣的的個(gè)數(shù)為 ．
【答案】
【分析】利用非空集合子集的個(gè)數(shù)計(jì)算公式可求滿足條件的的個(gè)數(shù).
【詳解】由題設(shè)可得，
這5組中的每一組中的元素必定同時(shí)出現(xiàn)在集合中，
故這樣的非空集合的個(gè)數(shù)為，
故答案為：
4．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）定義兩個(gè)點(diǎn)集，之間的距離集為，其中表示兩點(diǎn)，之間的距離.已知，，，，，則的一個(gè)可能值為 .
【答案】（答案不唯一，可填，中任何一個(gè)）.
【分析】根據(jù)集合表示雙曲線上支，集合表示直線，將轉(zhuǎn)化為直線與漸近線平行，在漸近線下方，且與漸近線的距離為1即可求解.
【詳解】，即，，故集合表示雙曲線上支的點(diǎn)，
集合表示直線上的點(diǎn)，，
故直線與漸近線平行，在漸近線下方，即，且與漸近線的距離為1.
雙曲線的漸近線為，不妨取，則，平行線的距離，
故，，.
故答案為：（答案不唯一，可填，中任何一個(gè)）.
5．（2023上·上?！じ咭恍？计谥校┦怯欣頂?shù)集，集合，在下列集合中：
①；②；
③；④．
與集合相等的集合序號(hào)是 .
【答案】④
【分析】集合相等的條件為集合中的元素相同，根據(jù)此條件分別判斷①②③④中四個(gè)集合中元素是否與集合一致即可.
【詳解】對(duì)于①，因?yàn)?，設(shè)，
則，
不妨取，可知，而，顯然，所以①與集合不相等；
（2）若集合具有性質(zhì)，記，則，
令，則，從而必有，
不妨設(shè)，則，且，
令，，則，且，且，
以下分類討論：
1）當(dāng)時(shí)，若，此時(shí)，滿足性質(zhì)；
若，舍；若，無解；
2）當(dāng)時(shí)，則，注意且，可知無解；
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，
綜上；
（3）首先容易知道集合中有0，有正數(shù)也有負(fù)數(shù)，
不妨設(shè)，其中，，
根據(jù)題意，
且，從而或，
1）當(dāng)時(shí)，，
并且，，
由上可得，并且，
綜上可知；
2）當(dāng)時(shí)，同理可得，
據(jù)此，當(dāng)中有包含6個(gè)元素，且時(shí)，符合條件的集合有5個(gè)，
分別是，，或.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是確定滿足性質(zhì)的集合里面有0，再對(duì)其他元素進(jìn)行討論.
7．（2024上·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，若非空集合A，B，C同時(shí)滿足以下4個(gè)條件，則稱A，B，C是“無和劃分”：
①；
②，，；
③，且C中的最小元素大于B中的最小元素；
④，，，必有，，.
(1)若，，，判斷A，B，C是否是“無和劃分”，并說明理由.
(2)已知A，B，C是“無和劃分”（）.
（i）證明：對(duì)于任意m，，都有；
（ii）若存在i，，使得，記.證明：Ω中的所有奇數(shù)都屬于A.
（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）
【答案】(1)不是，理由見解析
(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析
【分析】（1）可取，，從而可求解.
（2）（i）利用假設(shè)法存在，，使得，根據(jù)題意證得假設(shè)不成立，從而求解；（ii）利用，，是“無和劃分”，分別設(shè)出存在且，且最小值設(shè)為，然后分類討論不同的情況，從而可求解.
【詳解】（1）不是.
取，，則，說明A，B，C不是“無和劃分”.
（2）（i）假設(shè)存在，，使得，記的最小值為，
則，；
設(shè)中最小的元素為，則，所以，
所以，（否則與，，矛盾），
（否則與，矛盾），所以，
因?yàn)椋?，不同屬于C.
所以，這與矛盾.
所以假設(shè)不成立，原命題成立.
（ii）因?yàn)锳，B，C是“無和劃分”，且存在，，使得，記的最小值為，所以，；
由（1）知，，，，
因?yàn)?，所以，，所以?br>設(shè)中最小的元素為，若，則，所以，
所以，（否則與，，矛盾），
所以（否則與，矛盾），
所以，又因?yàn)楹筒煌瑢儆贑，所以，
這與，矛盾，所以，即.
所以，所以.
所以，，所以（否則與，矛盾），所以.
若，則與和矛盾，所以，所以，
（否則與，矛盾），
（否則與，矛盾），所以.
以此類推，對(duì)于任意奇數(shù)，都有，.
所以為偶數(shù)（否則，，與和矛盾），
所以，均為奇數(shù).
因?yàn)?，所以（否則與，矛盾），所以，
所以，所以（否則與，矛盾），所以，
以此類推，對(duì)于任意大于，小于或等于n的奇數(shù)都屬于集合.
綜上所述，中的所有奇數(shù)都屬于集合.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)題意對(duì)“無和劃分”的定義，分別設(shè)出集合中最小值記為，然后分別討論時(shí)對(duì)應(yīng)的情況，從而可求解證明.

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