9．（2024下·重慶·高三彭水苗族土家族自治縣中學(xué)校校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)=，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．定義域為 B．定義域為
C．定義域為 D．定義域為
10．（2024上·安徽淮北·高一淮北市實驗高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)上，高斯記號是指對取整符號和取小符號的統(tǒng)稱，用于數(shù)論等領(lǐng)域定義在數(shù)學(xué)特別是數(shù)論領(lǐng)域中，有時需要略去一個實數(shù)的小數(shù)部分只研究它的整數(shù)部分，或需要略去整數(shù)部分只研究小數(shù)部分，因而引入高斯記號.設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù).比如：，，.，已知函數(shù)，，（）則下列選項中正確的是（ ）
A．B．的值域為
C．方程無實根D．方程僅有一個實根
三、填空題
11．（2024上·廣東肇慶·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則 .
12．（2024上·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如，，則函數(shù)的值域是 ．
四、解答題
13．（2024上·山東棗莊·高一期末）已知函數(shù)．
(1)點在的圖象上嗎?
(2)當(dāng)時，求的值；當(dāng)時，求的值．
14．（2024上·江蘇揚州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域為集合，函數(shù)的值域為.
(1)當(dāng)時，求；
(2)若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.
B能力提升
1．（2024上·河南商丘·高一?？计谀┤艉瘮?shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·福建泉州·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)存在最大值，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·天津濱海新·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)有最小值，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024上·湖南株洲·高一株洲二中?？计谀┖瘮?shù)的定義域為全體實數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2024下·內(nèi)蒙古赤峰·高三?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)的最小值為-1，則 .
6．（2024上·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第十一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù).
(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并證明．
(2)若對所有，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
C綜合素養(yǎng)
7．（2024上·北京西城·高一統(tǒng)考期末）對于函數(shù)，記所有滿足，都有的函數(shù)構(gòu)成集合；所有滿足，都有的函數(shù)構(gòu)成集合.
(1)分別判斷下列函數(shù)是否為集合中的元素，并說明理由，
①；②；
(2)若（）是集合中的元素，求的最小值；
(3)若，求證：是的充分不必要條件.
第01講 函數(shù)的概念及其表示 (分層精練）
A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）函數(shù)的定義域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)開偶數(shù)次方根號里的數(shù)大于等于零即可得解.
【詳解】由，
得，解得，
所以函數(shù)的定義域是.
故選：B.
2．（2023上·陜西榆林·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的定義域為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】結(jié)合函數(shù)有意義的條件計算即可得.
【詳解】由題意可知，，解得且；
故該函數(shù)定義域為.
故選：B.
3．（2023上·全國·高一期末）函數(shù)的定義域為，若，，則（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】利用賦值法求值即可.
【詳解】因為，，
所以令，得，得，
所以令，得，得.
故選：C
4．（2023上·江蘇常州·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，則（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式計算可得.
【詳解】因為，
所以.
故選：B
5．（2023·全國·高一假期作業(yè)）下面各組函數(shù)中為相同函數(shù)的是（ ）
A．與B．與
C．與D．與
【答案】D
【詳解】函數(shù)的三要素相同的函數(shù)為相同函數(shù)，對于選項A，與對應(yīng)關(guān)系不同，故排除選項A；選項B、C中兩函數(shù)的定義域不同，排除選項B、C．故選D．
6．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若，則（ ）
A．8B．7C．2D．0.5
【答案】A
【分析】分類討論結(jié)合指對互換求解的值即可.
【詳解】當(dāng)時，，所以若，則只能，
所以，所以滿足題意.
故選：A.
7．（2023上·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，對，，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)的解析式求出其值域，分類討論求出的值域，結(jié)合兩值域的關(guān)系可得答案.
【詳解】因為
所以時，，時，，
綜上.
當(dāng)時，，，
由題意，，即，解得；
當(dāng)時，，符合題意；
當(dāng)時，，，
由題意，，即，解得；
綜上可得.
故選：D.
8．（2024上·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的可能值共有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【分析】先得到當(dāng)時，，再分，和三種情況，結(jié)合函數(shù)值域得到方程，求出相應(yīng)的實數(shù)的值，得到答案.
【詳解】當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
若，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
此時的值域為，不合題意；
若，則時，，，
由于，由題意需使；
若，則時，，
由于，故需使，
即實數(shù)的可能值共有2個.
故選：B．
二、多選題
9．（2024下·重慶·高三彭水苗族土家族自治縣中學(xué)校校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)=，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．定義域為 B．定義域為
C．定義域為 D．定義域為
【答案】ABD
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，求得的取值范圍.
【詳解】若函數(shù)有意義，需滿足，即，則，即的定義域為；
故選：ABD
10．（2024上·安徽淮北·高一淮北市實驗高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)上，高斯記號是指對取整符號和取小符號的統(tǒng)稱，用于數(shù)論等領(lǐng)域定義在數(shù)學(xué)特別是數(shù)論領(lǐng)域中，有時需要略去一個實數(shù)的小數(shù)部分只研究它的整數(shù)部分，或需要略去整數(shù)部分只研究小數(shù)部分，因而引入高斯記號.設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù).比如：，，.，已知函數(shù)，，（）則下列選項中正確的是（ ）
A．B．的值域為
C．方程無實根D．方程僅有一個實根
【答案】ACD
【分析】先進(jìn)行分段化簡函數(shù)，并畫函數(shù)，圖象，再結(jié)合圖象逐項判斷即可.
【詳解】由高斯函數(shù)的定義可得：當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，
繪制函數(shù)圖象如圖所示，

故，故A正確；
由圖可知，的值域為，故B錯誤；
由高斯函數(shù)的定義可得：當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，
繪制函數(shù)圖象如圖所示，

對于C，由選項A知，在上的值域為，
所以方程無實根，故C正確；
對于D，當(dāng)時，即，解得，
當(dāng)時，即，解得，
結(jié)合函數(shù)圖象知，方程僅有一個實根，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題
11．（2024上·廣東肇慶·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則 .
【答案】1
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式計算即可.
【詳解】由題意可知：，，
所以.
故答案為：1
12．（2024上·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如，，則函數(shù)的值域是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，當(dāng)時，得到，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可求解函數(shù)的值域，得到答案.
【詳解】由函數(shù)的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，
當(dāng)時，可得，則，
可得，
因為，可得，所以函數(shù)的值域是.
故答案為：.
四、解答題
13．（2024上·山東棗莊·高一期末）已知函數(shù)．
(1)點在的圖象上嗎?
(2)當(dāng)時，求的值；當(dāng)時，求的值．
【答案】(1)不在
(2)當(dāng)時，；當(dāng)時，.
【分析】（1）計算出的值，即可得出結(jié)論；
（2）代值計算可得出的值，解方程，可得出的值.
【詳解】（1）解：因為，所以，點不在的圖象上.
（2）解：當(dāng)時，；
若，則，即，解得.
14．（2024上·江蘇揚州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域為集合，函數(shù)的值域為.
(1)當(dāng)時，求；
(2)若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分別求出集合、，再求兩個集合的并集；
（2）根據(jù)題意，確定兩個集合的包含關(guān)系，然后求得取值范圍.
【詳解】（1）由題意得
所以，所以；
當(dāng)時，在上單調(diào)增，則，
∴；
（2）若是的必要不充分條件，則是的真子集.
當(dāng)時，在上單調(diào)增，
則，所以，解得；
當(dāng)時，，不符合題意；
當(dāng)時，在上單調(diào)減，則，不符合題意；
綜上，.
B能力提升
1．（2024上·河南商丘·高一?？计谀┤艉瘮?shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為對任意，同時恒大于0且恒不為1，分情況討論求實數(shù)的取值范圍即可.
【詳解】的定義域為，
則對任意，同時恒大于0且恒不為1，
對于，若，則時，不滿足題意；
若，則恒成立，
因為，要滿足恒大于0且恒不為1，則，
所以的取值范圍是．
故選:A．
2．（2024上·福建泉州·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)存在最大值，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】判斷時，，無最大值，由判斷在時的單調(diào)性，可得單調(diào)性，確定最大值，結(jié)合題意列出不等式，即可求得答案.
【詳解】當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，此時，無最大值；
又因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，，
結(jié)合題意可得，解得，
即實數(shù)的取值范圍為，
故選：B
3．（2024上·天津濱海新·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)有最小值，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由分段函數(shù)解析式，結(jié)合指數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，討論、研究有最小值情況下參數(shù)范圍.
【詳解】由在上遞增，且值域為，
則，解得.
故答案為：2.
6．（2024上·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第十一中學(xué)校考期末）已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并證明．
(2)若對所有，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定的函數(shù)解析式，利用奇函數(shù)、偶函數(shù)定義判斷即得.
（2）探討函數(shù)的單調(diào)性，并求出最小值，再借助一次型函數(shù)圖象與性質(zhì)列出不等式，求解即得.
【詳解】（1）函數(shù)是奇函數(shù)，
當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，則，
因此，恒有成立，
所以函數(shù)是奇函數(shù).
（2）當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞減，又，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，，
由對所有恒成立，得，即，
令，依題意，任意，，
于是，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
C綜合素養(yǎng)
7．（2024上·北京西城·高一統(tǒng)考期末）對于函數(shù)，記所有滿足，都有的函數(shù)構(gòu)成集合；所有滿足，都有的函數(shù)構(gòu)成集合.
(1)分別判斷下列函數(shù)是否為集合中的元素，并說明理由，
①；②；
(2)若（）是集合中的元素，求的最小值；
(3)若，求證：是的充分不必要條件.
【答案】(1)答案見解析
(2)1
(3)證明見解析
【分析】（1）判斷①時，取結(jié)合定義進(jìn)行分析；判斷②時，根據(jù)的結(jié)果進(jìn)行分析；
（2）分別考慮： ，然后根據(jù)定義結(jié)合對數(shù)運算以及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析出時，時，由此可確定出的最小值；
（3）根據(jù)定義直接分析充分性，證明必要性成立時取，然后分析在上的單調(diào)性，由此推出矛盾完成證明.
【詳解】（1）①不是.
當(dāng)時，，
，
所以不是集合中的元素；
②是.
，，
所以是集合中的元素.
（2）當(dāng)時，，，
，
因為，在上單調(diào)遞減，
故成立，即；
若，令，，
，
因為，在上單調(diào)遞減，
所以，因此，
綜上所述，的最小值為1.
（3）充分性：因為，所以，，，進(jìn)而，
同理，相加得，即，所以充分性滿足；
必要性：設(shè)，，，
所以，此時，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，因此，所以必要性不滿足；
綜上所述，是的充分不必要條件.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)與不等式的綜合，涉及參數(shù)范圍求解、充分不必要條件的證明等問題，對學(xué)生的分析與推理能力要求較高，難度較大.解答本題第三問的關(guān)鍵：證明充分性時，通過將和加起來，以此證明；證明必要性時，構(gòu)造并分析的單調(diào)性是證明的關(guān)鍵.

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