在新課標(biāo)、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推進(jìn)。這不僅僅是一場考試形式的變革，更是對教育模式和教育理念的全面革新。
當(dāng)前的高考試題設(shè)計(jì)，以“三維”減量增質(zhì)為核心理念，力求在減少題目數(shù)量的同時，提升題目的質(zhì)量和考查的深度。這具體體現(xiàn)在以下三個方面：
三考
題目設(shè)計(jì)著重考查學(xué)生的知識主干、學(xué)習(xí)能力和學(xué)科素養(yǎng)，確保試題能夠全面、客觀地反映學(xué)生的實(shí)際水平。
三重
強(qiáng)調(diào)對學(xué)生思維深度、創(chuàng)新精神和實(shí)際應(yīng)用能力的考查，鼓勵學(xué)生不拘泥于傳統(tǒng)模式，展現(xiàn)個人的獨(dú)特見解和創(chuàng)造力。
三突出
試題特別突出對學(xué)生思維過程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過精心設(shè)計(jì)的題目，引導(dǎo)學(xué)生深入思考和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。
面對新高考新結(jié)構(gòu)試卷的5個解答題，每個題目的考查焦點(diǎn)皆充滿變數(shù)，無法提前預(yù)知。圓錐曲線版塊作為一個重要的考查領(lǐng)域，其身影可能悄然出現(xiàn)在第15題中，作為一道13分的題目，難度相對較為適中，易于學(xué)生入手。同樣不能忽視的是，圓錐曲線版塊也可能被置于第18、19題這樣的壓軸大題中，此時的分值將提升至17分，挑戰(zhàn)學(xué)生的解題能力和思維深度，難度自然相應(yīng)加大。
面對如此多變的命題趨勢，教師在教學(xué)備考過程中必須與時俱進(jìn)。不僅要深入掌握不同題目位置可能涉及的知識點(diǎn)及其命題方式，更要能夠靈活應(yīng)對，根據(jù)試題的實(shí)際情況調(diào)整教學(xué)策略。本文基于新高考新結(jié)構(gòu)試卷的特點(diǎn)，結(jié)合具體的圓錐曲線解答題實(shí)例，旨在為廣大師生提供一份詳盡的圓錐曲線解答題綜合訓(xùn)練指南，以期在新高考中取得更好的成績。
考點(diǎn)一、弦長及面積問題
1．（2024·浙江·二模）已知點(diǎn)為拋物線與圓在第一象限的交點(diǎn)，另一交點(diǎn)為.
(1)求；
(2)若點(diǎn)在圓上，直線為拋物線的切線，求的周長．
2．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知雙曲線的離心率為2，頂點(diǎn)到漸近線的距離為．
(1)求的方程；
(2)若直線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且的面積為，求的值．
3．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，點(diǎn)、分別是以橢圓半焦距為半徑的圓與雙曲線的漸近線在第一、二象限的交點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），
(1)求雙曲線的離心率；
(2)求的面積.
4．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知直線過橢圓的右焦點(diǎn)，且交于兩點(diǎn)．
(1)求的離心率；
(2)設(shè)點(diǎn)，求的面積．
5．（2024·四川南充·一模）已知動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和P到定直線的距離的比是常數(shù)，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)，若曲線C上兩點(diǎn)M，N均在x軸上方，且，，求直線FM的斜率.
6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，左?右焦點(diǎn)分別為是橢圓上一點(diǎn)，，直線的斜率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)若過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，求當(dāng)時，的值.
考點(diǎn)二、中點(diǎn)弦問題
1．（2024·貴州黔南·二模）已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，為拋物線上的動點(diǎn)，且的最小值為1.
(1)拋物線的方程；
(2)若直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的坐標(biāo).
2．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知雙曲線E：的右焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為．
(1)求雙曲線E的方程；
(2)是否存在過點(diǎn)的直線l與雙曲線E的左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，且使得，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．
3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:，圓，其中.圓與雙曲線有且僅有兩個交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.
(1)記直線的斜率為，直線的斜率為，求.
(2)當(dāng)直線的斜率為3時，求點(diǎn)坐標(biāo).
4．（23-24高二上·黑龍江佳木斯·期中）已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，且橢圓過點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，是弦的中點(diǎn)，求直線的方程.
5．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率記為.
(1)證明：；
(2)若，焦距為.
①求橢圓的方程；
②若點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，，且直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，求直線的方程.
6．（2024·山西長治·模擬預(yù)測）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)為，且該橢圓過點(diǎn)，直線l交橢圓E于A，B兩點(diǎn).
(1)求橢圓E的方程；
(2)若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線l的方程；
(3)若直線l方程為，過A、B作直線的垂線，垂足分別為P、Q，點(diǎn)R為線段PQ的中點(diǎn)，求證：四邊形ARQF為梯形.
考點(diǎn)三、軌跡問題
1．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知，直線交于點(diǎn)，且直線的斜率之積為，點(diǎn)的軌跡記為曲線．
(1)求的方程．
(2)不過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且直線與的斜率之和為，試問直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由．
2．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）已知圓，過的直線與圓交于兩點(diǎn)，過作的平行線交直線于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)過作兩條互相垂直的直線交曲線于交曲線于，連接弦的中點(diǎn)和的中點(diǎn)交曲線于，若，求的斜率.
3．（2024·浙江溫州·三模）已知直線與雙曲線相切于點(diǎn).
(1)試在集合中選擇一個數(shù)作為的值，使得相應(yīng)的的值存在，并求出相應(yīng)的的值；
(2)過點(diǎn)與垂直的直線分別交軸于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程.
4．（2024·云南·模擬預(yù)測）橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動（與左?右頂點(diǎn)不重合），已知的內(nèi)切圓圓心為，延長交軸于點(diǎn).
(1)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到橢圓的上頂點(diǎn)時，求；
(2)當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時，為定值，求內(nèi)切圓圓心的軌跡方程；
(3)點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為，直線與相交于點(diǎn)，已知點(diǎn)的軌跡為，過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，試說明：是否存在直線，使得點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.
5．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）已知在平面直角坐標(biāo)系中，一直線與從原點(diǎn)出發(fā)的兩條象限角平分線（一、四象限或二、三象限的角平分線）分別交于，兩點(diǎn)，且滿足，線段的中點(diǎn)為，記點(diǎn)的軌跡為．
(1)求軌跡的方程；
(2)點(diǎn)，，，過點(diǎn)的一條直線與交于、兩點(diǎn)，直線，分別交直線于點(diǎn)，，且滿足，，證明：為定值.
6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），過點(diǎn)O作交AB于點(diǎn)D.
(1)求點(diǎn)D的軌跡E的方程；
(2)過C上一點(diǎn)作曲線E的兩條切線分別交y軸于點(diǎn)M，N，求面積的最小值.
考點(diǎn)四、定點(diǎn)定直線問題
1．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知橢圓：的離心率為，右頂點(diǎn)與的上，下頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為．
(1)求的方程；
(2)不過點(diǎn)的動直線與交于，兩點(diǎn)，直線與的斜率之積恒為，證明直線過定點(diǎn)，并求出這個定點(diǎn)．
2．（2024·北京·三模）已知橢圓的短軸長為，左、右頂點(diǎn)分別為，過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)（不與重合），直線與直線交于點(diǎn)．
(1)求橢圓的方程；
(2)求證：點(diǎn)在定直線上.
3．（2024·江西九江·二模）已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在上．
(1)求雙曲線的方程；
(2)直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，，若直線，的斜率互為倒數(shù)，證明：直線過定點(diǎn)．
4．（2024·貴州畢節(jié)·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，動點(diǎn)P滿足，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)過點(diǎn)的直線l與曲線在y軸右側(cè)交于不同的兩點(diǎn)M，N，在線段MN上取異于點(diǎn)M，N的點(diǎn)D，滿足．證明：點(diǎn)D在定直線上．
5．（2024·湖南·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為2的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，.
(1)求E的方程；
(2)直線，過l上一點(diǎn)P作E的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N.求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
6．（2024·河北保定·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過作互相垂直的直線，分別與交于和兩點(diǎn)（A，D在第一象限），當(dāng)直線的傾斜角等于時，四邊形的面積為．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)直線AD與BE交于點(diǎn)Q，證明：點(diǎn)在定直線上．
考點(diǎn)五、定值問題
1．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知橢圓的焦距為，點(diǎn)在上．
(1)求的方程；
(2)點(diǎn)是的左頂點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，分別交直線于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線與軸相交于點(diǎn)，直線的斜率為，求證：為定值．
2．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過點(diǎn)作一條斜率存在且不為0的直線與軸交于點(diǎn)，該直線與的一個交點(diǎn)為，與曲線的另一個交點(diǎn)為．
(1)若平分，求的內(nèi)切圓半徑；
(2)設(shè)直線與的另一個交點(diǎn)為，則直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；否則，說明理由．
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過A?2,0，兩點(diǎn)．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)P，M，N三點(diǎn)在C的右支上，，，證明：
（?。┐嬖诔?shù)，滿足；
（ⅱ）的面積為定值．
4．（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測）已知雙曲線分別是的左、右焦點(diǎn)．若的離心率，且點(diǎn)在上．
(1)求的方程；
(2)若過點(diǎn)的直線與的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，試問是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出常數(shù)的值；若不存在，請說明理由．
5．（2024·山東濟(jì)南·三模）如圖所示，拋物線的準(zhǔn)線過點(diǎn)，
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若角為銳角，以角為傾斜角的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，作線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明:為定值，并求此定值.
6．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）已知兩條拋物線，．
(1)求與在第一象限的交點(diǎn)的坐標(biāo)．
(2)已知點(diǎn)A，B，C都在曲線上，直線AB和AC均與相切．
（?。┣笞C：直線BC也與相切．
（ⅱ）設(shè)直線AB，AC，BC分別與曲線相切于D，E，F(xiàn)三點(diǎn)，記的面積為，的面積為．試判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
考點(diǎn)六、最值及范圍問題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，線段是圓的一條直徑，且的最小值為．
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)作圓的兩條切線，與分別交于異于點(diǎn)的點(diǎn)，求直線斜率的最大值．
2．（2024·全國·三模）如圖，動直線與拋物線：交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是以AB為直徑的圓與的一個交點(diǎn)（不同于A，B），點(diǎn)C在AB上的投影為點(diǎn)M，直線為的一條切線.

(1)證明：為定值；
(2)求與的內(nèi)切圓半徑之和的取值范圍.
3．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）已知點(diǎn)P為圓 上任意一點(diǎn)， 線段PA的垂直平分線交直線PC于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M 的軌跡為曲線H.
(1)求曲線H的方程;
(2)若過點(diǎn)M 的直線l與曲線H的兩條漸近線交于S，T兩點(diǎn)，且M 為線段ST的中點(diǎn).
(i)證明：直線l與曲線H有且僅有一個交點(diǎn)；
(ii)求 的取值范圍.
4．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知雙曲線一個頂點(diǎn)為，直線過點(diǎn)且交雙曲線右支于兩點(diǎn)，記的面積分別為.當(dāng)與軸垂直時，
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若交軸于點(diǎn)，，.
①求證：為定值；
②若，當(dāng)時，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
5．（2024·重慶·三模）已知F，C分別是橢圓的右焦點(diǎn)、上頂點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，滿足．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)橢圓的下頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，這兩條直線與橢圓的另一個交點(diǎn)分別為M，N，設(shè)直線的斜率為的面積為，當(dāng)時，求的取值范圍．
6．（2024·湖南邵陽·三模）已知橢圓：的離心率為，右頂點(diǎn)與的上，下頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為．
(1)求的方程．
(2)不過點(diǎn)的動直線與交于，兩點(diǎn)，直線與的斜率之積恒為．
（i）證明：直線過定點(diǎn)；
（ii）求面積的最大值．
考點(diǎn)七、新定義問題
1．（2024·山東青島·三模）在平面內(nèi)，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側(cè)的頂點(diǎn)到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為的離心率為2，點(diǎn)為右支上一動點(diǎn)，直線與曲線相切于點(diǎn)，且與的漸近線交于兩點(diǎn)，當(dāng)軸時，直線為的等線.
(1)求的方程;
(2)若是四邊形的等線，求四邊形的面積;
(3)設(shè)，點(diǎn)的軌跡為曲線，證明:在點(diǎn)處的切線為的等線
2．（2024·湖南·二模）直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過點(diǎn)的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.
(1)若圓是直線族的包絡(luò)曲線，求滿足的關(guān)系式；
(2)若點(diǎn)Px0,y0不在直線族：的任意一條直線上，求的取值范圍和直線族的包絡(luò)曲線；
(3)在（2）的條件下，過曲線上兩點(diǎn)作曲線的切線，其交點(diǎn)為.已知點(diǎn)C0,1，若三點(diǎn)不共線，探究是否成立？請說明理由.
3．（2024·新疆烏魯木齊·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，重新定義兩點(diǎn)之間的“距離”為，我們把到兩定點(diǎn)的“距離”之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫“橢圓”．
(1)求“橢圓”的方程；
(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對稱性，并說明理由；
(3)設(shè)，作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為的左頂點(diǎn)為，過作直線交于兩點(diǎn)，的外心為，求證：直線與的斜率之積為定值．
4．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，利用公式①（其中，，，為常數(shù)），將點(diǎn)變換為點(diǎn)的坐標(biāo)，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標(biāo)變換公式，該變換公式①可由，，，組成的正方形數(shù)表唯一確定，我們將稱為二階矩陣，矩陣通常用大寫英文字母，，…表示.
(1)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)按逆時針旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)（到原點(diǎn)距離不變），求坐標(biāo)變換公式及對應(yīng)的二階矩陣；
(2)在平面直角坐標(biāo)系中，求雙曲線繞原點(diǎn)按逆時針旋轉(zhuǎn)（到原點(diǎn)距離不變）得到的雙曲線方程；
(3)已知由（2）得到的雙曲線，上頂點(diǎn)為，直線與雙曲線的兩支分別交于，兩點(diǎn)（在第一象限），與軸交于點(diǎn).設(shè)直線，的傾斜角分別為，，求證：為定值.
5．（2024·江西新余·二模）通過研究，已知對任意平面向量，把繞其起點(diǎn)A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)P，
(1)已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)：
(2)已知二次方程的圖像是由平面直角坐標(biāo)系下某標(biāo)準(zhǔn)橢圓繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)所得的斜橢圓C，
（i）求斜橢圓C的離心率；
（ⅱ）過點(diǎn)作與兩坐標(biāo)軸都不平行的直線交斜橢圓C于點(diǎn)M、N，過原點(diǎn)O作直線與直線垂直，直線交斜橢圓C于點(diǎn)G、H，判斷是否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說明理由.
6．（2024·四川·一模）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與相交于點(diǎn)，，面積的最小值為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：的坐標(biāo)為，直線，與的另一個交點(diǎn)分別為，，直線與軸的交點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
(1)求的值；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)數(shù)列中，是否存在連續(xù)三項(xiàng)（按原順序）構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，指出所有這樣的連續(xù)三項(xiàng)；若不存在，請說明理
新高考新結(jié)構(gòu)命題下的
圓錐曲線解答題綜合訓(xùn)練
（7類核心考點(diǎn)精講精練）
在新課標(biāo)、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推進(jìn)。這不僅僅是一場考試形式的變革，更是對教育模式和教育理念的全面革新。
當(dāng)前的高考試題設(shè)計(jì)，以“三維”減量增質(zhì)為核心理念，力求在減少題目數(shù)量的同時，提升題目的質(zhì)量和考查的深度。這具體體現(xiàn)在以下三個方面：
三考
題目設(shè)計(jì)著重考查學(xué)生的知識主干、學(xué)習(xí)能力和學(xué)科素養(yǎng)，確保試題能夠全面、客觀地反映學(xué)生的實(shí)際水平。
三重
強(qiáng)調(diào)對學(xué)生思維深度、創(chuàng)新精神和實(shí)際應(yīng)用能力的考查，鼓勵學(xué)生不拘泥于傳統(tǒng)模式，展現(xiàn)個人的獨(dú)特見解和創(chuàng)造力。
三突出
試題特別突出對學(xué)生思維過程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過精心設(shè)計(jì)的題目，引導(dǎo)學(xué)生深入思考和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。
面對新高考新結(jié)構(gòu)試卷的5個解答題，每個題目的考查焦點(diǎn)皆充滿變數(shù)，無法提前預(yù)知。圓錐曲線版塊作為一個重要的考查領(lǐng)域，其身影可能悄然出現(xiàn)在第15題中，作為一道13分的題目，難度相對較為適中，易于學(xué)生入手。同樣不能忽視的是，圓錐曲線版塊也可能被置于第18、19題這樣的壓軸大題中，此時的分值將提升至17分，挑戰(zhàn)學(xué)生的解題能力和思維深度，難度自然相應(yīng)加大。
面對如此多變的命題趨勢，教師在教學(xué)備考過程中必須與時俱進(jìn)。不僅要深入掌握不同題目位置可能涉及的知識點(diǎn)及其命題方式，更要能夠靈活應(yīng)對，根據(jù)試題的實(shí)際情況調(diào)整教學(xué)策略。本文基于新高考新結(jié)構(gòu)試卷的特點(diǎn)，結(jié)合具體的圓錐曲線解答題實(shí)例，旨在為廣大師生提供一份詳盡的圓錐曲線解答題綜合訓(xùn)練指南，以期在新高考中取得更好的成績。
考點(diǎn)一、弦長及面積問題
1．（2024·浙江·二模）已知點(diǎn)為拋物線與圓在第一象限的交點(diǎn)，另一交點(diǎn)為.
(1)求；
(2)若點(diǎn)在圓上，直線為拋物線的切線，求的周長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接將點(diǎn)依次代入拋物線、圓的方程中即可求解；
（2）首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求出的方程，根據(jù)對稱性得到的坐標(biāo)，聯(lián)立圓的方程求出的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.
【詳解】（1）由題意，，解得．
（2）
在拋物線與圓的方程中，用替換方程依然成立，
這表明這兩個圖象都關(guān)于軸對稱，所以它們的交點(diǎn)也關(guān)于軸對稱，
由，知．
直線為拋物線的切線，
當(dāng)時，，所以拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為，則．
代入，得或1，故．
則的周長為．
2．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知雙曲線的離心率為2，頂點(diǎn)到漸近線的距離為．
(1)求的方程；
(2)若直線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且的面積為，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由離心率及頂點(diǎn)到漸近線的距離列方程即可求；
（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式，點(diǎn)到直線距離公式求解面積即可.
【詳解】（1）記的半焦距為，由題得的離心率，①
由對稱性不妨設(shè)的頂點(diǎn)為，漸近線方程為，則，②
又，③
聯(lián)立①②③解得，，，
所以的方程為．
（2）設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
由得，
所以，
解得，且，
所以，，
所以．
又點(diǎn)到直線的距離，
所以的面積，
解得或，符合式，
所以或．
3．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，點(diǎn)、分別是以橢圓半焦距為半徑的圓與雙曲線的漸近線在第一、二象限的交點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），
(1)求雙曲線的離心率；
(2)求的面積.
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）由橢圓方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和圓的方程，通過聯(lián)立方程組求出兩點(diǎn)，由，求出的值得雙曲線的離心率；
（2）由的坐標(biāo)，可求出的面積.
【詳解】（1）橢圓中，，，，
橢圓焦點(diǎn)為，∴雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
雙曲線的漸近線方程為，
的方程：.
由得，，.
由題意知，、分別為第一、二象限的交點(diǎn)，
∴，，
∴，，
∵，∴，∴.
化簡整理得，
又∵代入上式，解之得，.
∴雙曲線方程：.
離心率.
（2）由（1）知，，
∴，.
∴.
4．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知直線過橢圓的右焦點(diǎn)，且交于兩點(diǎn)．
(1)求的離心率；
(2)設(shè)點(diǎn)，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意，結(jié)合題目所給信息以及，，之間的關(guān)系，可得橢圓的方程，再根據(jù)離心率公式即可求解；
（2）先得到直線的方程，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式以及三角形面積公式進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）由題，，
且在上有，
解得．
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
離心率．
（2）因?yàn)橹本€經(jīng)過，兩點(diǎn)，
可得直線的方程為，
聯(lián)立，
解得或，
所以直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，
則，
又點(diǎn)到直線的距離．
故的面積．
5．（2024·四川南充·一模）已知動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和P到定直線的距離的比是常數(shù)，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)，若曲線C上兩點(diǎn)M，N均在x軸上方，且，，求直線FM的斜率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)距離公式列出方程即可求解；
（2）設(shè)，可得直線的方程，呢絨聯(lián)立方程組，結(jié)合對稱性與弦長公式列出方程即可求解.
【詳解】（1）由題意，，
整理化簡得，，
所以曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題意，直線的斜率都存在，設(shè)，
則直線的方程為，
分別延長，交曲線于點(diǎn)，
設(shè)，
聯(lián)立，即，
則，
根據(jù)對稱性，可得，
則
，
即，解得，
所以直線FM的斜率為.
6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，左?右焦點(diǎn)分別為是橢圓上一點(diǎn)，，直線的斜率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)若過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，求當(dāng)時，的值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）設(shè)，依題意，由直線的斜率與得到方程，即可求出、、，從而得解；
（2）設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元，列出韋達(dá)定理，設(shè)，由三點(diǎn)共線，推導(dǎo)出，同理可得，從而求出，再由求出，即可求出.
【詳解】（1）設(shè)，橢圓的半焦距為，則.
由題意，知，因?yàn)椋?
因?yàn)?，所?
又，所以，即，
所以，即.
因?yàn)椋獾茫?br>所以，所以橢圓的方程為.
（2）由（1），得F21,0，由題意，知直線的斜率不為，
設(shè)，直線的方程為，
與聯(lián)立，得，
則.
設(shè)，由三點(diǎn)共線，得，
所以，同理可得，
所以，
所以，解得.
當(dāng)時，，解得，所以，
所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為x1,y1、x2,y2；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
考點(diǎn)二、中點(diǎn)弦問題
1．（2024·貴州黔南·二模）已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，為拋物線上的動點(diǎn)，且的最小值為1.
(1)拋物線的方程；
(2)若直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)，結(jié)合拋物線的定義分析可知，即可得方程；
（2）由題意可得直線過點(diǎn)和F1,0，求直線的方程，與拋物線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求中點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】（1）由題意可知：拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，
設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
可得，解得，
所以拋物線的方程為.
（2）由題意可知：直線與拋物線必相交（斜率不為0），
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，線段的中點(diǎn)，
且直線過點(diǎn)和F1,0，
則直線的方程，即，
聯(lián)立方程，消去x得，
則，可知，
將yM=2代入可得，
所以線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為.
2．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知雙曲線E：的右焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為．
(1)求雙曲線E的方程；
(2)是否存在過點(diǎn)的直線l與雙曲線E的左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，且使得，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，．
【分析】（1）根據(jù)漸近線方程和求的值，即可得到雙曲線E的方程；
（2）假設(shè)存在直線l，由得，取的中點(diǎn)，則，進(jìn)而得；又利用得，于是聯(lián)立方程組可得的坐標(biāo)，從而得到直線的斜率并得出直線的方程.
【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線E的一條漸近線方程為，所以，又，
因此，又，，；
則E的方程為．
（2）假設(shè)存在過點(diǎn)的直線l與雙曲線E的左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，且使得，
設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，中點(diǎn)為，又，
由可知為等腰三角形，，且直線l不與x軸重合，
于是，即，
因此，，（Ⅰ）
點(diǎn)在雙曲線上，所以，
①②化簡整理得：，，即，可得，（Ⅱ）
聯(lián)立（Ⅰ）（Ⅱ）得：，，，
解得（舍去），適合題意，則；
由得，
所以直線l的方程為：，即．
3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:，圓，其中.圓與雙曲線有且僅有兩個交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.
(1)記直線的斜率為，直線的斜率為，求.
(2)當(dāng)直線的斜率為3時，求點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）涉及到中點(diǎn)弦，我們可以采用點(diǎn)差法得到，而由可得，兩式相比即可得解；
（2）設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可表示的坐標(biāo)為，由得斜率，由此可列方程求出參數(shù)，進(jìn)而得解.
【詳解】（1）
因?yàn)椋?
又設(shè)，因?yàn)椋?br>所以.
而圓心不在坐標(biāo)軸上，從而，
所以.
所以，
又，所以.
（2）設(shè)直線，與聯(lián)立，化簡并整理得：，
其中.
設(shè)，
所以，
即點(diǎn)坐標(biāo)為.
因?yàn)?，所以，而?br>即，解得.
因此，所以.
4．（23-24高二上·黑龍江佳木斯·期中）已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，且橢圓過點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，是弦的中點(diǎn)，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)橢圓方程，將代入橢圓方程，結(jié)合即可求解.
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，得出，再由中點(diǎn)坐標(biāo)知，求出值，即可得到直線方程.
【詳解】（1）橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且，
則①，
又橢圓過點(diǎn)，所以②，聯(lián)立①②解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題意可知直線的斜率存在，且直線過點(diǎn)，
設(shè)直線的方程為，即，
設(shè)，
則，消去得，
，
所以，，
又是弦的中點(diǎn)，所以，解得，
故直線的方程為
5．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率記為.
(1)證明：；
(2)若，焦距為.
①求橢圓的方程；
②若點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，，且直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，求直線的方程.
【答案】(1)證明見解析
(2)①；②答案見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，由點(diǎn)差法代入計(jì)算，即可證明；
（2）①根據(jù)題意，由條件可得的方程，代入計(jì)算，即可得到橢圓方程；②聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理代入計(jì)算，由可知，，即可得到直線過定點(diǎn)，從而得到結(jié)果.
【詳解】（1）證明：設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
則，
將兩點(diǎn)代入橢圓方程，得
兩式作差得，
所以，
所以，即.
（2）

①因?yàn)?，所以，?
因?yàn)榻咕酁?，所以，所以?br>所以橢圓的方程為.
②聯(lián)立得，
得，
所以.
由（1）得，，由可知，.
因?yàn)椋?br>所以
化簡得，
所以，所以或，滿足（※）式.
當(dāng)時，直線的方程為，過定點(diǎn)2,0（舍去）；
當(dāng)時，直線的方程為，過定點(diǎn).
因?yàn)闉榈妊切危覟榈走?，可求得?br>所以當(dāng)時，，即直線的方程為，
當(dāng)時，，即直線的方程為.
6．（2024·山西長治·模擬預(yù)測）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)為，且該橢圓過點(diǎn)，直線l交橢圓E于A，B兩點(diǎn).
(1)求橢圓E的方程；
(2)若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線l的方程；
(3)若直線l方程為，過A、B作直線的垂線，垂足分別為P、Q，點(diǎn)R為線段PQ的中點(diǎn)，求證：四邊形ARQF為梯形.
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的方程.
（2）利用點(diǎn)差法求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線的方程.
（3）聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，計(jì)算，以及AF與RQ，從而判斷出四邊形ARQF為梯形.
【詳解】（1）由題得，
將代入得：
，
橢圓E的方程為.
（2）設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則，
且，
兩式相減得：，可得，
l方程為，即.
（3）由得：
，且，
，
∴，
又直線的斜率存在，AF與RQ不平行，
∴四邊形ARQF為梯形.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知條件求得，和是兩個未知參數(shù)，要求出兩個參數(shù)的值，需要兩個已知條件，如本題中“橢圓的右焦點(diǎn)以及橢圓所過點(diǎn)”兩個已知條件，再結(jié)合即可求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
考點(diǎn)三、軌跡問題
1．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知，直線交于點(diǎn)，且直線的斜率之積為，點(diǎn)的軌跡記為曲線．
(1)求的方程．
(2)不過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且直線與的斜率之和為，試問直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由．
【答案】(1)
(2)直線過定點(diǎn)，理由見詳解.
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，利用建立等量關(guān)系，求的軌跡方程.
（2）分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出兩根之和和兩根之積，
根據(jù)直線與的斜率之和為得到參數(shù)的關(guān)系，可得直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)斜率不存在時，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可得直線過定點(diǎn).
【詳解】（1）設(shè)，則，，
由題意得，，
整理得，
∴曲線的方程為.
（2）設(shè)，
當(dāng)斜率存在時，設(shè)，
由得，，
∴，即，
∴，
∵直線與的斜率之和為，
∴，
∴，
∴，整理得，
∵，
∴，
∴直線方程為，恒過定點(diǎn).
當(dāng)直線斜率不存在時，，
∵直線與的斜率之和為，
∴，
∴，此時直線，恒過定點(diǎn).
綜上得，直線過定點(diǎn).
2．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）已知圓，過的直線與圓交于兩點(diǎn)，過作的平行線交直線于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)過作兩條互相垂直的直線交曲線于交曲線于，連接弦的中點(diǎn)和的中點(diǎn)交曲線于，若，求的斜率.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)已知條件，可得，，進(jìn)而可以判斷點(diǎn)的軌跡為雙曲線，即可得到軌跡方程.
（2）設(shè)，，分別與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線的方程，再將直線與雙曲線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可，注意討論斜率不存在的情況.
【詳解】（1）根據(jù)題意，因?yàn)?，?br>所以，所以，
所以，
當(dāng)位置互換時，，當(dāng)過的直線與軸重合時無法作出，
所以點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，即，且的雙曲線，
所以 ，的軌跡方程為.
（2）根據(jù)題意可知的斜率存在且不為，
設(shè)的斜率為，，，，，其中，
則，，
聯(lián)立，消去得，
，
所以，，
所以中點(diǎn)坐標(biāo)為，同理可得中點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)，即時，兩中點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，此時直線為，
聯(lián)立，解得，，
所以，，不滿足條件，
當(dāng)時，，
則直線方程，整理得，
令，聯(lián)立得，
，
所以，，，
所以由解得，
當(dāng)時，代入解得或，
當(dāng)時，代入解得或，
綜上的斜率為或
【點(diǎn)睛】解決直線與圓錐曲線相交（過定點(diǎn)、定值）問題的常用步驟：
（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為Ax1,y1，Bx2,y2；
（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于或的一元二次方程；
（3）寫出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為，形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
3．（2024·浙江溫州·三模）已知直線與雙曲線相切于點(diǎn).
(1)試在集合中選擇一個數(shù)作為的值，使得相應(yīng)的的值存在，并求出相應(yīng)的的值；
(2)過點(diǎn)與垂直的直線分別交軸于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程.
【答案】(1)當(dāng)時，；當(dāng)時，.
(2)
【分析】（1）直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，由求得與的函數(shù)關(guān)系，再由的值求出相應(yīng)的的值；
（2）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求直線的斜率，得直線的斜率和方程，求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出分點(diǎn)的坐標(biāo)，由在雙曲線上，得點(diǎn)的軌跡方程.
【詳解】（1）由，消去得，當(dāng)時，直線與雙曲線不相切；
時，由，得，當(dāng)時，不存在；
當(dāng)時，；當(dāng)時，.
（2）設(shè)，則，，
對C求導(dǎo)可得，則，
有，所以，
令，得，所以；令，得，所以，

所以，即，
則，所以，得，，
即P的軌跡方程是
4．（2024·云南·模擬預(yù)測）橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動（與左?右頂點(diǎn)不重合），已知的內(nèi)切圓圓心為，延長交軸于點(diǎn).
(1)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到橢圓的上頂點(diǎn)時，求；
(2)當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時，為定值，求內(nèi)切圓圓心的軌跡方程；
(3)點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為，直線與相交于點(diǎn)，已知點(diǎn)的軌跡為，過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，試說明：是否存在直線，使得點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由的內(nèi)切圓圓即為的重心可得答案；
（2）延長交軸于點(diǎn)，設(shè)，由點(diǎn)是內(nèi)切圓圓心，結(jié)合相關(guān)代點(diǎn)可求內(nèi)切圓圓心的軌跡方程；
（3）設(shè)，，結(jié)合由三點(diǎn)共線，由三點(diǎn)共線，在曲線上，故可得點(diǎn)的軌跡方程，再結(jié)合點(diǎn)差法可求得答案.
【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到橢圓的上頂點(diǎn)時，如圖，
則，.
的內(nèi)切圓圓即為的重心.
從而由重心的三等分點(diǎn)性質(zhì)，知，.
則.
（2）當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時，設(shè)Px0,y0，過點(diǎn)作橢圓左準(zhǔn)線的垂線，垂足為，
則，這里是的離心率.
又，所以.
同理可得：，
延長交軸于點(diǎn)，設(shè)，
由于點(diǎn)是內(nèi)切圓圓心，故平分，
從而由角平分線定理得：，即，解得：①.
設(shè)內(nèi)切圓圓心，由.
得：②.
聯(lián)立①②得：，.
又因?yàn)镻x0,y0在橢圓上，且不與左右頂點(diǎn)重合（即）.
從而即，且.
故內(nèi)切圓圓心的軌跡方程為：.
（3）由于點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，故可設(shè)，，.
由三點(diǎn)共線可得：③，由三點(diǎn)共線可得：④，
且由相交可知，即.
聯(lián)立③④并去分母即有，解得，.
這得到，，然后代入條件及剛剛得到的，
就得到，.
整理即得點(diǎn)的軌跡方程為：.
設(shè)直線經(jīng)過并與交于兩點(diǎn)，且是的中點(diǎn).
假設(shè)直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時直線與沒有交點(diǎn)（注意限制條件），矛盾.
所以直線的斜率存在，設(shè)，，且.
由于是的中點(diǎn)，故，，即，.
由于點(diǎn)，在曲線上，故，
從而
，
故，從而直線的斜率.
又因?yàn)橹本€經(jīng)過，所以滿足條件的直線只可能是.
經(jīng)檢驗(yàn)，直線的確與交于兩點(diǎn)，，
且的中點(diǎn)是.
所以滿足條件的直線存在，且只有.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于第3小問對點(diǎn)差法的使用.
5．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）已知在平面直角坐標(biāo)系中，一直線與從原點(diǎn)出發(fā)的兩條象限角平分線（一、四象限或二、三象限的角平分線）分別交于，兩點(diǎn)，且滿足，線段的中點(diǎn)為，記點(diǎn)的軌跡為．
(1)求軌跡的方程；
(2)點(diǎn)，，，過點(diǎn)的一條直線與交于、兩點(diǎn)，直線，分別交直線于點(diǎn)，，且滿足，，證明：為定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）分別設(shè)出，，的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件得到，，利用，得到，計(jì)算即可得到軌跡方程；
（2）設(shè)直線的方程，Ax1,y1，Bx2,y2，將直線方程和的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到，，分別寫出直線，和的方程并寫出，兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用，得到，，將韋達(dá)定理代入并化簡即可求解.
【詳解】（1）設(shè)在第一象限角平分線上，則在第四象限角平分線上，
，，則，，
（若在第三象限角平分線上，則在第二象限角平分線上，則，）
即，
，
，
設(shè)，則，，
，
軌跡的方程為；
（2）
易知直線的斜率一定存在，設(shè)，Ax1,y1，Bx2,y2，
由得，
直線與交于、兩點(diǎn)，
，解得且，
，，
，，，
直線，分別交直線于點(diǎn)，，
由得，
同理得，
，
由得，同理可得，
則
為定值.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程和交點(diǎn)坐標(biāo)為x1,y1，x2,y2；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為，（或，）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），過點(diǎn)O作交AB于點(diǎn)D.
(1)求點(diǎn)D的軌跡E的方程；
(2)過C上一點(diǎn)作曲線E的兩條切線分別交y軸于點(diǎn)M，N，求面積的最小值.
【答案】(1)
(2)8．
【分析】（1）由拋物線準(zhǔn)線方程即可得到p，從而求得拋物線方程，然后利用兩個垂直轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為0，再結(jié)合點(diǎn)D在直線AB上，得到等式，消元即可求得點(diǎn)D軌跡方程；
（2）易知，利用切線方程求出M，N的坐標(biāo)，然后求得MN，最后用表示的面積，再利用基本不等式即可求得面積的最小值.
【詳解】（1）由題意可得，即，所以拋物線方程為
設(shè)，則，
因?yàn)椋裕?br>及，又由題意可知，所以
又，且
所以，
即，
又因?yàn)辄c(diǎn)D在直線AB上，且，
所以，即，
所以，
由①②式可得，
當(dāng)時，，解得；，此時；
當(dāng)時，消可得，，即，
點(diǎn)2,0同樣滿足該方程，
顯然D與O不重合，所以，
綜上，點(diǎn)D的軌跡E的方程為；
（2）因?yàn)?，結(jié)合題意可得切線斜率存在且都不為0，
設(shè)切線的斜率為，的斜率分別為，則
切線方程為，即，
令，得，
，
又，消元得
因?yàn)橄嗲?，所以?br>即
易知的斜率分別為是方程③的兩個根，
所以，
所以，
所以，
所以，
令，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號.
綜上，面積的最小值為8.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（1）小題的關(guān)鍵是利用兩個垂直，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0的等量關(guān)系，然后借助點(diǎn)在直線上，利用向量共線得到另一個等量關(guān)系，消元即可求得動點(diǎn)的軌跡方程；第（2）小題的關(guān)鍵是利用切線方程與圓的方程聯(lián)立，求得一個關(guān)于斜率k的一元二次方程，把兩條切線的斜率轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于k的一元二次方程的兩根，用韋達(dá)定理求出MN的值，最后求得面積關(guān)于的表達(dá)式.
考點(diǎn)四、定點(diǎn)定直線問題
1．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知橢圓：的離心率為，右頂點(diǎn)與的上，下頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為．
(1)求的方程；
(2)不過點(diǎn)的動直線與交于，兩點(diǎn)，直線與的斜率之積恒為，證明直線過定點(diǎn)，并求出這個定點(diǎn)．
【答案】(1)；
(2)證明見解析；
【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率及三角形面積，列出方程組求解即得；
（2）對直線的斜率分等于0和不等于0討論，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用斜率坐標(biāo)公式，結(jié)合韋達(dá)定理推理即得.
【詳解】（1）令橢圓的半焦距為c，由離心率為，得，
解得，
由三角形面積為，得，則，，
所以的方程是.
（2）由（1）知，點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為0時，設(shè)直線，
則，，且，即，
，不合題意；
當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，
由消去x得：，
則，
直線與的斜率分別為，，
于是
，整理得，解得或，
當(dāng)時，直線過點(diǎn)，不符合題意，因此，
直線：恒過定點(diǎn).

2．（2024·北京·三模）已知橢圓的短軸長為，左、右頂點(diǎn)分別為，過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)（不與重合），直線與直線交于點(diǎn)．
(1)求橢圓的方程；
(2)求證：點(diǎn)在定直線上.
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即可得解.
（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，再求出直線與直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，并結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算即得.
【詳解】（1）依題意，，半焦距，則，
所以橢圓的方程為.
（2）顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線，
由消去x并整理得，
，設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
則，且有，
直線，直線，
聯(lián)立消去y得，即，
整理得，
即，
于是，而，
則，因此，
所以點(diǎn)在定直線上.
3．（2024·江西九江·二模）已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在上．
(1)求雙曲線的方程；
(2)直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，，若直線，的斜率互為倒數(shù)，證明：直線過定點(diǎn)．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)離心率及，，的平方關(guān)系得出，再由點(diǎn)在上，可求解，，進(jìn)而可得雙曲線的方程；
（2）當(dāng)斜率不存在時，顯然不滿足條件．當(dāng)斜率存在時，設(shè)其方程為，與方程聯(lián)立聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線，的斜率，，由，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得與的關(guān)系，從而可證得直線過定點(diǎn)．
【詳解】（1）由已知得，，所以，
又點(diǎn)在上，故，
解得，，
所以雙曲線的方程為：．
（2）當(dāng)斜率不存在時，顯然不滿足條件．
當(dāng)斜率存在時，設(shè)其方程為，與方程聯(lián)立聯(lián)立，消去得，
由已知得，且，
設(shè)，，則，，
直線，的斜率分別為，，
由已知，故，
即，
所以，
化簡得，又已知不過點(diǎn)，故，
所以，即，
故直線的方程為，所以直線過定點(diǎn)．
4．（2024·貴州畢節(jié)·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，動點(diǎn)P滿足，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)過點(diǎn)的直線l與曲線在y軸右側(cè)交于不同的兩點(diǎn)M，N，在線段MN上取異于點(diǎn)M，N的點(diǎn)D，滿足．證明：點(diǎn)D在定直線上．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，根據(jù)斜率乘積為定值化簡即可；
（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立雙曲線方程得到韋達(dá)定理式，化簡弦長得，代入韋達(dá)定理式計(jì)算即可.
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
由得，化簡整理得，
所以曲線的方程為.
（2）若直線l的斜率不存在，則直線l與曲線只有一個交點(diǎn)，不符合題意，
所以直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為，
設(shè)點(diǎn)，
聯(lián)立方程組，整理得，易知，
，解得，
，解得或，
綜上或，
因?yàn)椋?br>同理由得，
化簡整理得，
所以，
化簡整理得，代入，
化簡整理得，
所以點(diǎn)D在定直線上．

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法聯(lián)立雙曲線方程得到韋達(dá)定理式，再對化簡得，代入韋達(dá)定理式計(jì)算即可.
5．（2024·湖南·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為2的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，.
(1)求E的方程；
(2)直線，過l上一點(diǎn)P作E的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N.求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)證明見詳解；定點(diǎn)坐標(biāo)為
【分析】（1）根據(jù)已知條件，設(shè)直線的方程為，設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)拋物線的弦長求得，即得答案；
（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立拋物線方程，得到韋達(dá)定理，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，設(shè)出切線與的方程，兩者聯(lián)立，可求出，即可證得直線過定點(diǎn)，并得出該定點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】（1）
由已知，，過F且斜率為2的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，
設(shè)的方程為，Ax1,y1,Bx2,y2,
聯(lián)立，得，則，
則，
所以，
解得，
故拋物線E的方程為：.
（2）設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立，得，
，即，
所以，，
令，當(dāng)時，
可化為，則，
則在處的切線的方程為：，
即，
同理可得切線的方程為：，
聯(lián)立與的方程，解得，
所以，則，滿足，
則直線的方程為，
所以直線過定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線和拋物線的位置關(guān)系中，證明直線過定點(diǎn)問題，一般是設(shè)出直線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡，求得參數(shù)之間的關(guān)系式，再對直線分離參數(shù)，求得定點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而證明直線過定點(diǎn).
6．（2024·河北保定·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過作互相垂直的直線，分別與交于和兩點(diǎn)（A，D在第一象限），當(dāng)直線的傾斜角等于時，四邊形的面積為．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)直線AD與BE交于點(diǎn)Q，證明：點(diǎn)在定直線上．
【答案】(1)
(2)證明見解析.
【分析】（1）由拋物線的對稱性知，由四邊形的面積求出，又的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理及焦點(diǎn)弦公式求出，即可得解；
（2）設(shè)直線的方程為y=kx?1，則直線的方程為，設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，表示出直線、的方程，聯(lián)立解得，即可得證.
【詳解】（1）當(dāng)直線的傾斜角等于時，直線的傾斜角等于，
直線的方程為，由拋物線的對稱性知，
所以，得．
聯(lián)立方程組，消去得．
設(shè)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則，．
又，所以，所以的方程為．
（2）由（1）知F1,0，依題意，可設(shè)直線的方程為y=kx?1，
則直線的方程為．
聯(lián)立方程組消去得，顯然，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則．
設(shè)，同理可得，
所以，同理可得．
直線的方程為，
即．
同理，直線的方程為
．
兩直線方程聯(lián)立得，解得，
即直線與的交點(diǎn)在定直線上．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為x1,y1、x2,y2；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
考點(diǎn)五、定值問題
1．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知橢圓的焦距為，點(diǎn)在上．
(1)求的方程；
(2)點(diǎn)是的左頂點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，分別交直線于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線與軸相交于點(diǎn)，直線的斜率為，求證：為定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由題意得，，再結(jié)合可求出，從而可求出的方程；
（2）設(shè)，將直線方程代入橢圓方程化簡，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線,的方程,求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，則表示出，化簡后與相乘可得結(jié)論.
【詳解】（1）由題意可知，，即，
，
解得 ，
所以橢圓的方程為．
（2）證明：設(shè)，
由消去，整理得，
，
所以，
又，所以直線的方程為，
其與直線的交點(diǎn)為，
同理，
所以的中點(diǎn)為，
又， 所以

所以為定值．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓方程的求法，考查橢圓中的定值問題，第（2）問解題的關(guān)鍵是將直線方程代入橢圓方程化簡利用根與系數(shù)的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于較難題.
2．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過點(diǎn)作一條斜率存在且不為0的直線與軸交于點(diǎn)，該直線與的一個交點(diǎn)為，與曲線的另一個交點(diǎn)為．
(1)若平分，求的內(nèi)切圓半徑；
(2)設(shè)直線與的另一個交點(diǎn)為，則直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；否則，說明理由．
【答案】(1)
(2)是，且該定值為
【分析】（1）結(jié)合題意可得直線的方程，即可得點(diǎn)坐標(biāo)，從而結(jié)合斜率公式可得，即可通過求角平分線交點(diǎn)得到內(nèi)切圓圓心坐標(biāo)，即可得內(nèi)切圓半徑；
（2）設(shè)出直線的方程，通過聯(lián)立曲線，逐步得到所需點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)，從而結(jié)合斜率公式表示斜率后求解即可得.
【詳解】（1）由可得，則，
，
故，令，解得或，
當(dāng)時，交點(diǎn)為點(diǎn)，舍去，當(dāng)時，，
即，則，故，，
則，令，則，即，
則為的角平分線，聯(lián)立，有，
則點(diǎn)為內(nèi)心，
故的內(nèi)切圓半徑等于圓心到軸的距離，即；
（2）設(shè)，聯(lián)立，可得，
則，則，即，
聯(lián)立，有，
則，則，即，
則，故，
聯(lián)立，得，
則由，，故，
則，即，
故，
即直線的斜率是否為定值，且該定值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于借助所設(shè)直線方程，通過聯(lián)立曲線，逐步得到所需點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)，從而結(jié)合斜率公式表示斜率后求解.
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過A?2,0，兩點(diǎn)．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)P，M，N三點(diǎn)在C的右支上，，，證明：
（?。┐嬖诔?shù)，滿足；
（ⅱ）的面積為定值．
【答案】(1)
(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）證明見解析
【分析】（1）設(shè)C的方程為，其中．由C過A，B兩點(diǎn)，代入解得，即可.
（2）（ⅰ）設(shè)Px0,y0，Mx1,y1，Nx2,y2，其中，，．因?yàn)椋灾本€BM的斜率為，方程為．
聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理得到，．
同理，．再結(jié)合向量運(yùn)算即可解決.
（ⅱ）結(jié)合前面結(jié)論，運(yùn)用點(diǎn)到直線距離公式，三角形面積公式可解.
【詳解】（1）設(shè)C的方程為，其中．
由C過A，B兩點(diǎn)，故，，解得，．
因此C的方程為．
（2）（?。┰O(shè)Px0,y0，Mx1,y1，Nx2,y2，其中，，i＝0，1，2．

因?yàn)椋灾本€BM的斜率為，方程為．
由，得，
所以，
．
因此．
同理可得直線AN的斜率為，直線AN的方程為．
由，得，
所以，
，
因此
．
則，即存在，滿足．
（ⅱ）由（?。?，直線MN的方程為，
所以點(diǎn)P到直線MN的距離．
而，
所以的面積為定值．
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題屬于中難題，考查直線與雙曲線．本題第（1）小問設(shè)問基礎(chǔ)，但需要注意所設(shè)方程的形式；第（2）（?。┬栐陬}干條件翻譯上未設(shè)置較多障礙，但是對4個坐標(biāo)分量的求解非?？简?yàn)學(xué)生的代數(shù)基本功和計(jì)算能力，區(qū)分度較大．
4．（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測）已知雙曲線分別是的左、右焦點(diǎn)．若的離心率，且點(diǎn)在上．
(1)求的方程；
(2)若過點(diǎn)的直線與的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，試問是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出常數(shù)的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，為定值．
【分析】（1）根據(jù)已知列方程組求解求出雙曲線方程；
（2）先聯(lián)立方程組求出兩根和兩根積，再應(yīng)用弦長公式，最后計(jì)算得出定值.
【詳解】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為cc>0，
由題意可得，解得，所以的方程為．
（2）
假設(shè)存在常數(shù)滿足條件，由（1）知，
設(shè)直線，
聯(lián)立方程得，消去，整理可得，
所以，，
．
因?yàn)橹本€過點(diǎn)且與的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，所以兩點(diǎn)在軸同側(cè)，所以．
此時，即，所以．
設(shè)，將代入拋物線方程，得，
則，
所以
．
所以．
故當(dāng)時，為定值，所以，當(dāng)時，為定值．
5．（2024·山東濟(jì)南·三模）如圖所示，拋物線的準(zhǔn)線過點(diǎn)，
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若角為銳角，以角為傾斜角的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，作線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明:為定值，并求此定值.
【答案】(1)y2＝8x
(2)證明見解析，8
【分析】（1）根據(jù)準(zhǔn)線過點(diǎn)即可求出p，進(jìn)而可知拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）假設(shè)直線的方程，與拋物線聯(lián)立，進(jìn)而可以得到與其中垂線的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可以表示出中垂線方程，進(jìn)而求點(diǎn)的坐標(biāo)，再求即可.
【詳解】（1）解:(1)由題意得
∴拋物線的方程為
（2）設(shè)，直線AB的斜率為
則直線方程為
將此式代入，得，
故
設(shè)的中垂線為直線m，設(shè)直線m與的交點(diǎn)為
則
故直線m的方程為
令得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為
故
∴為定值8
6．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）已知兩條拋物線，．
(1)求與在第一象限的交點(diǎn)的坐標(biāo)．
(2)已知點(diǎn)A，B，C都在曲線上，直線AB和AC均與相切．
（?。┣笞C：直線BC也與相切．
（ⅱ）設(shè)直線AB，AC，BC分別與曲線相切于D，E，F(xiàn)三點(diǎn)，記的面積為，的面積為．試判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
【答案】(1)
(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）是定值，定值為
【分析】（1）聯(lián)立方程求解即可；
（2）（?。┰O(shè)點(diǎn)可得直線AB，AC，BC的方程，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理分析證明；（ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，進(jìn)而可得相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求面積分析求解.
【詳解】（1）聯(lián)立方程，且，可得，
故有，從而，代入得，
所以兩拋物線在第一象限的交點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）（?。┰O(shè)，，，
由題可知，，均不為0且不相等，直線AB，AC的斜率均存在，
則直線AB：，即直線AB：，
同理可得BC：，AC：．
聯(lián)立，消去y得，
由AB與相切，得，
同理由AC與相切，得．
則，可得，
所以，即，
所以直線BC也與相切，證畢；
（ⅱ）不妨設(shè)，且A在B上方．
由于，在拋物線上，求導(dǎo)得，
所以點(diǎn)E，F(xiàn)處的切線方程為，，
得，解得，即，
同理，．
過C作y軸的平行線CP交AB于P點(diǎn)，過D作y軸的平行線DQ交EF于Q點(diǎn)，
則，，
由直線AB：，與聯(lián)立，得，
所以，
同理由直線EF：，與聯(lián)立，得，
所以，故，
所以．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
考點(diǎn)六、最值及范圍問題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，線段是圓的一條直徑，且的最小值為．
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)作圓的兩條切線，與分別交于異于點(diǎn)的點(diǎn)，求直線斜率的最大值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用展開計(jì)算求最值可得的值；
（2）設(shè)直線的方程為，直線的方程為，根據(jù)與圓相切求出滿足的二次方程，求出直線斜率的斜率，利用導(dǎo)數(shù)求解最值.
【詳解】（1）連接，由題意知
，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時取等號，
得，
所以的方程為；
（2）由題意知，
連接，則，
所以．
又當(dāng)時，圓與軸相切，不滿足題意；
當(dāng)時，圓與軸相切，不滿足題意，
故且．
設(shè)直線的方程為，
因?yàn)橹本€為圓的切線，所以，
整理得．②
設(shè)直線的方程為，
同理可得，
所以是關(guān)于的方程的兩個根，
所以．設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
由得，同理可得，
所以直線的斜率為，
設(shè)，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，．
所以直線斜率的最大值為．
2．（2024·全國·三模）如圖，動直線與拋物線：交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是以AB為直徑的圓與的一個交點(diǎn)（不同于A，B），點(diǎn)C在AB上的投影為點(diǎn)M，直線為的一條切線.

(1)證明：為定值；
(2)求與的內(nèi)切圓半徑之和的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用判別式法求得，進(jìn)而表示出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，設(shè)，利用圓的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為，代入坐標(biāo)運(yùn)算得，即可證明；
（2）先根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓半徑公式求出兩個直角三角形的內(nèi)切圓半徑，然后結(jié)合的內(nèi)切圓半徑為R得，進(jìn)而利用函數(shù)的單調(diào)性求得R的范圍，即可求解的范圍.
【詳解】（1）由，消去y得.
由，，得.
所以的方程為，所以，.
設(shè)，則由，得，
結(jié)合，求得，所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，
所以，為定值.
（2）先證明直角三角形內(nèi)切圓半徑公式：
對于，，其內(nèi)切圓半徑為r，則，
從而，
設(shè)，內(nèi)切圓的半徑分別為，，
則，同理.
設(shè)的內(nèi)切圓半徑為R，則.
所以，
因?yàn)?br>，
因?yàn)槭顷P(guān)于a的單調(diào)遞增函數(shù)，所以是關(guān)于a的單調(diào)遞減函數(shù)，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以.
故與內(nèi)切圓的半徑之和的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是計(jì)算出，再求出，最后利用函數(shù)單調(diào)性即可得到答案.
3．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）已知點(diǎn)P為圓 上任意一點(diǎn)， 線段PA的垂直平分線交直線PC于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M 的軌跡為曲線H.
(1)求曲線H的方程;
(2)若過點(diǎn)M 的直線l與曲線H的兩條漸近線交于S，T兩點(diǎn)，且M 為線段ST的中點(diǎn).
(i)證明：直線l與曲線H有且僅有一個交點(diǎn)；
(ii)求 的取值范圍.
【答案】(1)
(2)( i )證明見解析，( ii)
【分析】(1) 由雙曲線的定義進(jìn)行求解；
(2) ( i ) 設(shè)，求出，由直線l與曲線H方程進(jìn)行求解；
（ii）由，則利用基本不等式求解．
【詳解】（1）M為的垂直平分線上一點(diǎn), 則 ，
則
∴點(diǎn)M的軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線, 且，
故點(diǎn)M的軌跡方程為
（2）( i ) 設(shè)，雙曲線的漸近線方程為：，
如圖所示：
則①，②，
①+②得， ，
①-②得， ，
則，得
由題可知，則，
得，即，
∴直線的方程為，即，
又∵點(diǎn)M在曲線H上，則 ，得，
將方程聯(lián)立，得，
得，
由，可知方程有且僅有一個解，
得直線l與曲線H有且僅有一個交點(diǎn).
（ii）由（i）聯(lián)立 ，可得，同理可得， ，
則 ，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.
故的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問中的第2小問中，先要計(jì)算，再由基本不等式求解范圍．
4．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知雙曲線一個頂點(diǎn)為，直線過點(diǎn)且交雙曲線右支于兩點(diǎn)，記的面積分別為.當(dāng)與軸垂直時，
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若交軸于點(diǎn)，，.
①求證：為定值；
②若，當(dāng)時，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）由題意可得，再由結(jié)合三角形面積公式可求得，由此可得雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）①由向量的坐標(biāo)表示求得，代入雙曲線方程得，同理可得，再由韋達(dá)定理即可得到，得證；
②由得到，結(jié)合①中結(jié)論可將式子化簡為，再利用換元法與雙勾函數(shù)的單調(diào)性即可求得m的取值范圍.
【詳解】（1）由題意得，，
則當(dāng)l與x軸垂直時，不妨設(shè)，
由，得，
將代入方程，得，解得，
所以雙曲線E的方程為．
（2）①設(shè)，，，
由與，得，
即，，將代入E的方程得：，
整理得：①，
同理由可得②．
由①②知，，是方程的兩個不等實(shí)根．
由韋達(dá)定理知，所以為定值．
②又，即，
整理得：，
又，且，所以，則，
整理得，又，故，
而由①知，，故，
代入，
令，得，
由雙勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，
所以m的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答圓錐曲線的范圍問題的方法與策略：
（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；
（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.
5．（2024·重慶·三模）已知F，C分別是橢圓的右焦點(diǎn)、上頂點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，滿足．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)橢圓的下頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，這兩條直線與橢圓的另一個交點(diǎn)分別為M，N，設(shè)直線的斜率為的面積為，當(dāng)時，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 利用橢圓的定義，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)知，，則，解出a，b即可得橢圓方程；
(2)設(shè)的方程為代入橢圓方程，求出M的坐標(biāo)，可得，用代替k，可得，求出的面積S，可得，解不等式可得k的取值范圍．
【詳解】（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，
由對稱性知四邊形是平行四邊形，所以，．
由橢圓定義知，則，．
設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的幾何性質(zhì)知，，則，
所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．則，
所以直線，
如圖所示，

設(shè)，
聯(lián)立，消去并整理得，．．．
所以，所以，．．
所以，．
同理可得：，所以，
所以，
由，得，
整理得，得，．
又，所以，所以或．
所以的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了橢圓方程的求解以及直線和橢圓位置關(guān)系中的三角形面積問題，綜合性較強(qiáng)，難點(diǎn)在于計(jì)算過程相當(dāng)復(fù)雜，計(jì)算量較大，并且基本都是有關(guān)字母參數(shù)的運(yùn)算，十分容易出錯.
6．（2024·湖南邵陽·三模）已知橢圓：的離心率為，右頂點(diǎn)與的上，下頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為．
(1)求的方程．
(2)不過點(diǎn)的動直線與交于，兩點(diǎn)，直線與的斜率之積恒為．
（i）證明：直線過定點(diǎn)；
（ii）求面積的最大值．
【答案】(1)；
(2)（i）證明見解析；（ii）.
【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率及三角形面積，列出方程組求解即得.
（2）（i）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用斜率坐標(biāo)公式，結(jié)合韋達(dá)定理推理即得；（ii）由（i）的信息，借助三角形面積建立函數(shù)關(guān)系，再求出最大值.
【詳解】（1）令橢圓的半焦距為c，由離心率為，得，解得，
由三角形面積為，得，則，，
所以的方程是.
（2）（i）由（1）知，點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，
由消去x得：，
則，
直線與的斜率分別為，，
于是
，整理得，解得或，
當(dāng)時，直線過點(diǎn)，不符合題意，因此，
直線：恒過定點(diǎn).
（ii）由（i）知，，
則，
因此的面積
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以面積的最大值為.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)為變量，建立函數(shù)關(guān)系求解作答.
考點(diǎn)七、新定義問題
1．（2024·山東青島·三模）在平面內(nèi)，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側(cè)的頂點(diǎn)到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為的離心率為2，點(diǎn)為右支上一動點(diǎn)，直線與曲線相切于點(diǎn)，且與的漸近線交于兩點(diǎn)，當(dāng)軸時，直線為的等線.
(1)求的方程;
(2)若是四邊形的等線，求四邊形的面積;
(3)設(shè)，點(diǎn)的軌跡為曲線，證明:在點(diǎn)處的切線為的等線
【答案】(1)
(2)12
(3)證明見解析
【分析】（1）利用已知等量關(guān)系建立方程，求解各個元素，得到雙曲線方程即可.
（2）利用給定定義，求解關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，最后得到四邊形面積即可.
（3）利用給定條件和新定義證明即可.
【詳解】（1）由題意知，顯然點(diǎn)在直線的上方，
因?yàn)橹本€為的等線，所以，
解得，所以的方程為
（2）設(shè)Px0,y0，切線，代入得:
故，
該式可以看作關(guān)于的一元二次方程，
所以，即方程為
當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，也成立
漸近線方程為，不妨設(shè)在上方，
聯(lián)立得，故，
所以是線段的中點(diǎn)，因?yàn)榈竭^的直線距離相等，
則過點(diǎn)的等線必定滿足:到該等線距離相等，
且分居兩側(cè)，所以該等線必過點(diǎn)，即的方程為，
由，解得，故 .
所以，
所以，
所以，所以
（3）
設(shè)，由，所以，
故曲線的方程為
由（*）知切線為，也為，即，即
易知與在的右側(cè)，在的左側(cè)，分別記到的距離為，
由（2）知，
所以
由得
因?yàn)椋?br>所以直線為的等線 .
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解析幾何，解題關(guān)鍵是利用給定定義和條件，然后結(jié)合前問結(jié)論，得到，證明即可．
2．（2024·湖南·二模）直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過點(diǎn)的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.
(1)若圓是直線族的包絡(luò)曲線，求滿足的關(guān)系式；
(2)若點(diǎn)Px0,y0不在直線族：的任意一條直線上，求的取值范圍和直線族的包絡(luò)曲線；
(3)在（2）的條件下，過曲線上兩點(diǎn)作曲線的切線，其交點(diǎn)為.已知點(diǎn)C0,1，若三點(diǎn)不共線，探究是否成立？請說明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)成立，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)包絡(luò)曲線的定義利用直線和圓相切即可得；
（2）易知方程無解，根據(jù)判別式可得，證明可得直線族的包絡(luò)曲線為；
（3）法一：求出兩點(diǎn)處曲線的切線的方程，解得，根據(jù)平面向量夾角的表達(dá)式即可得，即；
法二：過分別作準(zhǔn)線的垂線，連接，由導(dǎo)數(shù)求得切線斜率并利用拋物線定義和三角形內(nèi)角關(guān)系即可證明.
【詳解】（1）由定義可知，與相切，
則圓的圓心到直線的距離等于1，
則，.
（2）點(diǎn)Px0,y0不在直線族的任意一條直線上，
所以無論取何值時，無解.
將整理成關(guān)于的一元二次方程，
即.
若該方程無解，則，即.
證明：在上任取一點(diǎn)在該點(diǎn)處的切線斜率為，
于是可以得到在點(diǎn)處的切線方程為：，
即.
今直線族中，
則直線為，
所以該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線，
而對任意都是拋物線在點(diǎn)處的切線.
所以直線族的包絡(luò)曲線為.
（3）法一：已知C0,1，設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
則，；
由（2）知在點(diǎn)Ax1,y1處的切線方程為；
同理在點(diǎn)Bx2,y2處的切線方程為；
聯(lián)立可得，所以.
因此，
同理.
所以，，
即，可得，
所以成立.
法二：過分別作準(zhǔn)線的垂線，連接，如圖所示：
則，因?yàn)椋@然.
又由拋物線定義得，故為線段的中垂線，得到，即.
同理可知，
所以，即.
則.
所以成立.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于理解包絡(luò)曲線的定義，利用直線和曲線相切求出包絡(luò)曲線的方程為并進(jìn)行證明，再利用拋物線定義和性質(zhì)即可得出結(jié)論.
3．（2024·新疆烏魯木齊·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，重新定義兩點(diǎn)之間的“距離”為，我們把到兩定點(diǎn)的“距離”之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫“橢圓”．
(1)求“橢圓”的方程；
(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對稱性，并說明理由；
(3)設(shè)，作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為的左頂點(diǎn)為，過作直線交于兩點(diǎn)，的外心為，求證：直線與的斜率之積為定值．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）設(shè)“橢圓”上任意一點(diǎn)為Px,y，則，再根據(jù)兩點(diǎn)之間的“距離”得新定義即可得解；
（2）將點(diǎn)分別代入即可判斷其對稱性，取絕對值符號，進(jìn)而可得出范圍；
（3）先求出橢圓方程，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，分別求出直線的方程，設(shè)，再次求出的關(guān)系，進(jìn)而求出，從而可得出結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)“橢圓”上任意一點(diǎn)為Px,y，則，
即，即，
所以“橢圓”的方程為；
（2）由方程，得，
因?yàn)?，所以，即?br>所以或或，
解得，
由方程，得，
即，所以，所以，
所以“橢圓”的范圍為，，
將點(diǎn)代入得，，
即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于軸對稱，
將點(diǎn)代入得，，
即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于軸對稱，
將點(diǎn)代入得，，
即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于原點(diǎn)對稱，
所以“橢圓”關(guān)于軸，軸，原點(diǎn)對稱；

（3）由題意可設(shè)橢圓的方程為，
將點(diǎn)代入得，解得，
所以橢圓的方程為，，
由題意可設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，得，
恒成立，
則，
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，
所以直線的中垂線的方程為，
同理直線的中垂線的方程為，
設(shè)，則是方程的兩根，
即是方程的兩根，
所以，
又因，
所以，
兩式相比得，所以，
所以，
所以直線與的斜率之積為定值．

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
4．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，利用公式①（其中，，，為常數(shù)），將點(diǎn)變換為點(diǎn)的坐標(biāo)，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標(biāo)變換公式，該變換公式①可由，，，組成的正方形數(shù)表唯一確定，我們將稱為二階矩陣，矩陣通常用大寫英文字母，，…表示.
(1)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)按逆時針旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)（到原點(diǎn)距離不變），求坐標(biāo)變換公式及對應(yīng)的二階矩陣；
(2)在平面直角坐標(biāo)系中，求雙曲線繞原點(diǎn)按逆時針旋轉(zhuǎn)（到原點(diǎn)距離不變）得到的雙曲線方程；
(3)已知由（2）得到的雙曲線，上頂點(diǎn)為，直線與雙曲線的兩支分別交于，兩點(diǎn)（在第一象限），與軸交于點(diǎn).設(shè)直線，的傾斜角分別為，，求證：為定值.
【答案】(1)公式為，二階矩陣為
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）設(shè)，，通過，計(jì)算整理可得答案；
（2）利用（1）的結(jié)果代入計(jì)算即可；
（3）設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立，求出的斜率，然后利用韋達(dá)定理計(jì)算，進(jìn)而求出，則可得為定值.
【詳解】（1）設(shè)，，則，，，
故，
，
所以坐標(biāo)變換公式為，
該變換所對應(yīng)的二階矩陣為；
（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)角是的旋轉(zhuǎn)變換下所得點(diǎn)坐標(biāo)為.
則，即，
得，則，所求曲線方程為；
（3）
①直線斜率存在時，可設(shè)直線的方程為，
設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2
由，得，
所以，，且，
當(dāng)時，取，，所以直線方程為：，
直線方程與雙曲線方程聯(lián)立可得，解得或，
所以，.
所以，所以，可得；
當(dāng)時，設(shè)的斜率分別為，
，，
所以，
，
所以.
因?yàn)樵诘谝幌笙蓿?，所以，所?
②直線斜率不存在時，可得，
可得，，
所以，同理可得.
綜上可得，為定值，得證.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：
(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個定值與變量無關(guān)．
(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
5．（2024·江西新余·二模）通過研究，已知對任意平面向量，把繞其起點(diǎn)A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)P，
(1)已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)：
(2)已知二次方程的圖像是由平面直角坐標(biāo)系下某標(biāo)準(zhǔn)橢圓繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)所得的斜橢圓C，
（i）求斜橢圓C的離心率；
（ⅱ）過點(diǎn)作與兩坐標(biāo)軸都不平行的直線交斜橢圓C于點(diǎn)M、N，過原點(diǎn)O作直線與直線垂直，直線交斜橢圓C于點(diǎn)G、H，判斷是否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說明理由.
【答案】(1)
(2)（i）；（ⅱ）是，2
【分析】（1）借助所給定義計(jì)算即可得；
（2）（i）計(jì)算出該斜橢圓的長軸長與焦距，結(jié)合離心率定義計(jì)算即可得；
（ⅱ）法一：設(shè)出直線、，聯(lián)立斜橢圓方程可得與交點(diǎn)橫坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，結(jié)合弦長公式即可表示出，計(jì)算即可得；
法二：將所有點(diǎn)、直線與曲線都繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)后，再設(shè)出直線、旋轉(zhuǎn)后方程，聯(lián)立標(biāo)準(zhǔn)方程可得與交點(diǎn)縱坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，結(jié)合弦長公式即可表示出，計(jì)算即可得.
【詳解】（1）由已知可得，則，
設(shè)，則，
所以，，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（2）（i）由與交點(diǎn)為和，則，
由與交點(diǎn)為和，
則，所以，；
（ⅱ）法一：設(shè)直線：，、Nx2,y2，
與斜橢圓聯(lián)立：，
有，
∵，，
∴
，
設(shè)直線：，代入斜橢圓，
有，
∴，∴，
故.
法二：將橢圓順時針旋轉(zhuǎn)，由①可得橢圓方程為，
點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為，
當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)后斜率不存在時，，，，
當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)后斜率存在時，設(shè)直線旋轉(zhuǎn)后為，
旋轉(zhuǎn)后、Nx2,y2，
與橢圓方程聯(lián)立，即，
可得，
，，
，
設(shè)直線旋轉(zhuǎn)后為，代入橢圓方程中，
有，，
.
綜上所述，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于對旋轉(zhuǎn)后的方程的理解與運(yùn)用，最后一問可直接在旋轉(zhuǎn)后的斜橢圓上計(jì)算，也可在標(biāo)準(zhǔn)橢圓下計(jì)算，其旋轉(zhuǎn)前后的線段長度不變.
6．（2024·四川·一模）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與相交于點(diǎn)，，面積的最小值為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：的坐標(biāo)為，直線，與的另一個交點(diǎn)分別為，，直線與軸的交點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
(1)求的值；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)數(shù)列中，是否存在連續(xù)三項(xiàng)（按原順序）構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，指出所有這樣的連續(xù)三項(xiàng)；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由見解析
【分析】（1）設(shè)直線與相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后聯(lián)立拋物線和直線方程，利用韋達(dá)定理計(jì)算出需要的值，最后表示出面積，計(jì)算其最值，求出即可；
（2）利用拋物線中點(diǎn)弦定理，求出相關(guān)直線方程，然后表示出，然后找到兩者關(guān)系，最后利用其關(guān)系求得通項(xiàng)公式即可；
（3）利用等差中項(xiàng)的判斷方式，判斷數(shù)列不可能存在連續(xù)三項(xiàng)是等差數(shù)列.
【詳解】（1）設(shè)直線，Ax1,y1,Bx2,y2
聯(lián)立，得，
得
由韋達(dá)定理可知：
由題可知：
因?yàn)槊娣e的最小值為，且，
所以.
（2）設(shè)，
由題可知，，兩式求差可得
所以，
所以直線方程為，整理得
同理：方程為：
令可得
可知，方程為：
因?yàn)檫^焦點(diǎn)12,0，所以有
方程為：
令可得
由，可知
因?yàn)椋?br>得
取對數(shù)可得
由題可知，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；
所以有
解得
（3）不存在，理由如下
假設(shè)存在，則一定有
因?yàn)?，?br>化簡得
因?yàn)?br>顯然
所以在無解；
故不存在連續(xù)的三項(xiàng)為等差數(shù)列.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第一問，可以利用常規(guī)的計(jì)算方式計(jì)算，也可以利用拋物線的焦點(diǎn)三角形的面積公式（為直線傾斜角）判斷即可，最好證明該二級結(jié)論；
第二問，主要是需要找到關(guān)系，所以需要多建立直線方程，最好用相同的容易計(jì)算的方式，所以利用中點(diǎn)弦定理，建立方程，比較容易計(jì)算，得到，此種數(shù)列，去對數(shù)求解即可;
第三問，判斷是否存在連續(xù)三項(xiàng)為等差數(shù)列，假設(shè)存在，然后直接用反證法證明即

相關(guān)試卷

2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講義第12講新高考新結(jié)構(gòu)命題下的解三角形解答題綜合訓(xùn)練(學(xué)生版+解析)：

這是一份2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講義第12講新高考新結(jié)構(gòu)命題下的解三角形解答題綜合訓(xùn)練(學(xué)生版+解析)，共78頁。

2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講義第10講新高考新結(jié)構(gòu)命題下的概率統(tǒng)計(jì)解答題綜合訓(xùn)練(學(xué)生版+解析)：

這是一份2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講義第10講新高考新結(jié)構(gòu)命題下的概率統(tǒng)計(jì)解答題綜合訓(xùn)練(學(xué)生版+解析)，共97頁。

2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講義第08講新高考新結(jié)構(gòu)命題下的立體幾何解答題綜合訓(xùn)練(學(xué)生版+解析)：

這是一份2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講義第08講新高考新結(jié)構(gòu)命題下的立體幾何解答題綜合訓(xùn)練(學(xué)生版+解析)，共120頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講義第05講新高考新結(jié)構(gòu)命題下的數(shù)列解答題綜合訓(xùn)練(學(xué)生版+解析)

2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講義第05講新高考新結(jié)構(gòu)命題下的數(shù)列解答題綜合訓(xùn)練(學(xué)生版+解析)
2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講義第04講新高考新結(jié)構(gòu)命題下的新定義解答題綜合訓(xùn)練(學(xué)生版+解析)

2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講義第04講新高考新結(jié)構(gòu)命題下的新定義解答題綜合訓(xùn)練(學(xué)生版+解析)
新高考新結(jié)構(gòu)命題下的新定義解答題綜合訓(xùn)練（學(xué)生及教師版）

新高考新結(jié)構(gòu)命題下的新定義解答題綜合訓(xùn)練（學(xué)生及教師版）
第17講 新高考新結(jié)構(gòu)命題下的導(dǎo)數(shù)解答題綜合訓(xùn)練（11類核心考點(diǎn)精練）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫（新高考通用）

第17講 新高考新結(jié)構(gòu)命題下的導(dǎo)數(shù)解答題綜合訓(xùn)練（11類核心考點(diǎn)精練）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫（新高考通用）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部