TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc27534" 第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) PAGEREF _Tc27534 \h 1
\l "_Tc31797" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc31797 \h 3
\l "_Tc1215" 第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) PAGEREF _Tc1215 \h 3
\l "_Tc2574" 高頻考點(diǎn)一：集合的基本概念 PAGEREF _Tc2574 \h 3
\l "_Tc29193" 高頻考點(diǎn)二：元素與集合的關(guān)系 PAGEREF _Tc29193 \h 4
\l "_Tc5202" 高頻考點(diǎn)三：集合中元素的特性 PAGEREF _Tc5202 \h 5
\l "_Tc6397" 高頻考點(diǎn)四：集合的表示方法 PAGEREF _Tc6397 \h 5
\l "_Tc6617" 高頻考點(diǎn)五：集合的基本關(guān)系 PAGEREF _Tc6617 \h 6
\l "_Tc13913" 高頻考點(diǎn)六：集合的運(yùn)算 PAGEREF _Tc13913 \h 7
\l "_Tc24720" 高頻考點(diǎn)七：圖的應(yīng)用 PAGEREF _Tc24720 \h 8
\l "_Tc3058" 高頻考點(diǎn)八：集合新定義問(wèn)題 PAGEREF _Tc3058 \h 9
\l "_Tc20521" 第四部分：典型易錯(cuò)題型 PAGEREF _Tc20521 \h 11
\l "_Tc8991" 第五部分：新定義題（解答題） PAGEREF _Tc8991 \h 11
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)
1、元素與集合
（1）集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性.
（2）元素與集合的關(guān)系：屬于 或 不屬于，數(shù)學(xué)符號(hào)分別記為：和.
（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（圖）.
（4）常見(jiàn)數(shù)集和數(shù)學(xué)符號(hào)
說(shuō)明：
①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了.給定集合，可知,在該集合中，,不在該集合中；
②互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的；也就是說(shuō)，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.
集合應(yīng)滿(mǎn)足.
③無(wú)序性：組成集合的元素間沒(méi)有順序之分。集合和是同一個(gè)集合.
④列舉法
把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱(chēng)為描述法.
具體方法是：在花括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫(huà)一條豎線，在豎線后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.
2、集合間的基本關(guān)系
（1）子集（subset）：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合、，如果集合中任意一個(gè)元素都是集合中的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱(chēng)集合為集合的子集 ，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集（prper subset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱(chēng)集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時(shí)，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作.
（4）空集的性質(zhì)： 我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3、集合的基本運(yùn)算
（1）交集：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱(chēng)為與的交集，記作，即．
（2）并集：一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，稱(chēng)為與的并集，記作，即．
（3）補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱(chēng)為集合相對(duì)于全集的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱(chēng)為集合的補(bǔ)集，記作，即．
4、集合的運(yùn)算性質(zhì)
（1），，．
（2），，．
（3），，．
5、高頻考點(diǎn)結(jié)論
（1）若有限集中有個(gè)元素，則的子集有個(gè)，真子集有個(gè)，非空子集有個(gè)，非空真子集有個(gè)．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4）,．
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國(guó)·（乙卷文））設(shè)全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國(guó)（甲卷理））設(shè)全集,集合，（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全國(guó)·（新課標(biāo)Ⅰ））設(shè)集合，，若，則（ ）．
A．2B．1C．D．
4．（2023·全國(guó)（新課標(biāo)Ⅱ））已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．2
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)
高頻考點(diǎn)一：集合的基本概念
典型例題
例題1．（多選）（2024上·河南安陽(yáng)·高一安陽(yáng)一中校聯(lián)考期末）下列說(shuō)法中不正確的是（ ）
A．0與表示同一個(gè)集合；
B．集合與是兩個(gè)相同的集合；
C．方程的所有解組成的集合可表示為；
D．集合可以用列舉法表示．
例題2．（多選）（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．；
B．某中學(xué)新高一全體學(xué)生可以構(gòu)成一個(gè)集合；
C．集合有兩個(gè)元素；
D．小于10的自然數(shù)按從大到小的順序排列和按從小到大的順序排列分別得到不同的兩個(gè)集合.
練透核心考點(diǎn)
1．（2023上·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．0與的意義相同
B．某市文明市民可以組成一個(gè)集合
C．集合是無(wú)限集
D．方程的解集有二個(gè)元素
2．（多選）（2024上·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）(多選題)下列各組對(duì)象能組成集合的是（ ）
A．大于6的所有整數(shù)
B．高中數(shù)學(xué)的所有難題
C．被3除余2的所有整數(shù)
D．函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)
高頻考點(diǎn)二：元素與集合的關(guān)系
典型例題
例題1．（2024上·河南省直轄縣級(jí)單位·高一統(tǒng)考期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
例題2．（2024上·四川德陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）若，則 ．
例題3．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，其中.
(1)若集合中有且僅有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)組成的集合.
(2)若集合中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知集合，若，則a的值可能為（ ）
A．，3B．C．，3，8D．，8
2．（2024上·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）集合，若A中元素至多有1個(gè)，則a的取值范圍是 ．
3．（2024上·云南大理·高一統(tǒng)考期末）已知集合.
(1)當(dāng)時(shí)，求集合；
(2)若集合只有2個(gè)子集，求實(shí)數(shù)的值.
高頻考點(diǎn)三：集合中元素的特性
典型例題
例題1．（2024上·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若集合中的三個(gè)元素分別為,則元素應(yīng)滿(mǎn)足的條件是 ．
例題2．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知集合若，則 .
例題3．（2024上·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，，若，，則 .
練透核心考點(diǎn)
1．（多選）（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)集合，且，則x的值可以為（ ）
A．3B．C．5D．
2．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）集合，若，則
3．（2024上·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知集合 }中各元素之和等于3，求實(shí)數(shù)的值，并用列舉法表示集合.
高頻考點(diǎn)四：集合的表示方法
典型例題
例題1．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，則集合的元素個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．2C．4D．5
例題2．（2023上·云南昆明·高一官渡五中?？计谥校┮阎?，，集合滿(mǎn)足，則所有滿(mǎn)足條件的集合的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
例題3．（2024下·上?！じ咭婚_(kāi)學(xué)考試）用列舉法表示集合為： .
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·四川雅安·高一?？计谀┘嫌昧信e法表示為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）集合的元素個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2024上·上海嘉定·高三?？计谥校┮阎?，則集合用列舉法表示為 .
高頻考點(diǎn)五：集合的基本關(guān)系
典型例題
例題1．（2023·福建寧德·福建省寧德第一中學(xué)?？级＃┮阎?，集合，，．
（1）求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
例題2．（2024上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知全集，集合．
(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
例題3．（2024上·山東聊城·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的值域?yàn)椋亩x域?yàn)椋?br>(1)求；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
練透核心考點(diǎn)
1．（2024下·浙江溫州·高一浙江省樂(lè)清中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知集合，．
(1)求；
(2)記關(guān)于的不等式的解集為，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
2．（2024上·湖南長(zhǎng)沙·高一統(tǒng)考期末）已知集合或．
(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
3．（2024上·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）設(shè)集合．
(1)求集合；
(2)記或，若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
高頻考點(diǎn)六：集合的運(yùn)算
典型例題
例題1．（2024上·陜西西安·高一西安市西光中學(xué)校聯(lián)考期末）已知集合，，若集合A，B中至少有一個(gè)非空集合，實(shí)數(shù)a的取值范圍 .
例題2．（2024上·山東菏澤·高一菏澤一中?？茧A段練習(xí)）已知集合，，若滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)a的值為 ．
例題3．（2024上·江蘇無(wú)錫·高一江蘇省天一中學(xué)?？计谀┮阎?，，，其中
(1)若；
(2)若，求的取值范圍．
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)集合，，則，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
2．（2024·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若集合，，，則的最小值為 .
3．（2024上·河南洛陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知全集為，，．
(1)求；
(2)若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
業(yè)》《開(kāi)國(guó)大典》三支短視頻，某大學(xué)社團(tuán)有50人，觀看了《青春之歌》的有21人，觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，觀看了《開(kāi)國(guó)大典》的有26人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業(yè)》的有4人，只觀看了《建黨偉業(yè)》和《開(kāi)國(guó)大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和《開(kāi)國(guó)大典》的有6人，三支短視頻全觀看了的有3人，則沒(méi)有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為 .
高頻考點(diǎn)八：集合新定義問(wèn)題
典型例題
例題1．（2024上·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）記為非空集合A中的元素個(gè)數(shù)，定義.若，，且，設(shè)實(shí)數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S，則等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
例題2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）大數(shù)據(jù)時(shí)代，需要對(duì)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，檢索過(guò)程中有時(shí)會(huì)出現(xiàn)笛卡爾積現(xiàn)象，而笛卡爾積會(huì)產(chǎn)生大量的數(shù)據(jù)，對(duì)內(nèi)存、計(jì)算資源都會(huì)產(chǎn)生巨大壓力，為優(yōu)化檢索軟件，編程人員需要了解笛卡爾積．兩個(gè)集合和，用中元素為第一元素，中元素為第二元素構(gòu)成有序?qū)?，所有這樣的有序?qū)M成的集合叫作與的笛卡兒積，又稱(chēng)直積，記為．即且．關(guān)于任意非空集合，下列說(shuō)法一定正確的是（ ）
A．B．
C．?D．
例題3．（2024·廣東·惠州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合中含有三個(gè)元素，同時(shí)滿(mǎn)足①；②；③為偶數(shù)，那么稱(chēng)集合具有性質(zhì).已知集合，對(duì)于集合的非空子集，若中存在三個(gè)互不相同的元素，使得均屬于，則稱(chēng)集合是集合的“期待子集”.
(1)試判斷集合是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；
(2)若集合具有性質(zhì)，證明：集合是集合的“期待子集”；
(3)證明：集合具有性質(zhì)的充要條件是集合是集合的“期待子集”.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)集合為實(shí)數(shù)集的非空子集，若對(duì)任意，，都有，，，則稱(chēng)集合S為“完美集合”，給出下列命題：
①若為“完美集合”，則一定有；
②“完美集合”一定是無(wú)限集；
③集合為“完美集合”；
④ 若為“完美集合”，則滿(mǎn)足的任意集合也是“完美集合”.
其中真命題是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
2．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若一個(gè)集合是另一個(gè)集合的子集，則稱(chēng)兩個(gè)集合構(gòu)成“鯨吞”；若兩個(gè)集合有公共元素且互不為對(duì)方的子集，則稱(chēng)兩個(gè)集合構(gòu)成“蠶食”，對(duì)于集合，，若這兩個(gè)集合構(gòu)成“鯨吞”或“蠶食”，則a的取值集合為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·北京通州·高一統(tǒng)考期末）已知有個(gè)連續(xù)正整數(shù)元素的有限集合（，），記有序數(shù)對(duì)，若對(duì)任意，，，且，A同時(shí)滿(mǎn)足下列條件，則稱(chēng)為元完備數(shù)對(duì).
條件①：；
條件②：.
(1)試判斷是否存在3元完備數(shù)對(duì)和4元完備數(shù)對(duì)，并說(shuō)明理由；
(2)試證明不存在8元完備數(shù)對(duì).
第四部分：典型易錯(cuò)題型
1．（2024上·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，若集合A中至多有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a應(yīng)滿(mǎn)足（ ）
A．B．C．或D．不確定
2．（2023·吉林延邊·統(tǒng)考二模）已知集合的元素只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．B．0C．或0D．無(wú)解
第五部分：新定義題（解答題）
1．（2024·廣東·惠州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合中含有三個(gè)元素，同時(shí)滿(mǎn)足①；②；③為偶數(shù)，那么稱(chēng)集合具有性質(zhì).已知集合，對(duì)于集合的非空子集，若中存在三個(gè)互不相同的元素，使得均屬于，則稱(chēng)集合是集合的“期待子集”.
(1)試判斷集合是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；
(2)若集合具有性質(zhì)，證明：集合是集合的“期待子集”；
(3)證明：集合具有性質(zhì)的充要條件是集合是集合的“期待子集”.
2．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）定義1：通常我們把一個(gè)以集合作為元素的集合稱(chēng)為族（cllectin）.
定義2：集合上的一個(gè)拓?fù)洌╰plgy）乃是的子集為元素的一個(gè)族，它滿(mǎn)足以下條件：（1）和在中；（2）的任意子集的元素的并在中；（3）的任意有限子集的元素的交在中.
(1)族，族，判斷族與族是否為集合的拓?fù)洌?br>(2)設(shè)有限集為全集
（i）證明：；
（ii）族為集合上的一個(gè)拓?fù)洌C明：由族所有元素的補(bǔ)集構(gòu)成的族為集合上的一個(gè)拓?fù)?數(shù)集
自然數(shù)集
正整數(shù)集
整數(shù)集
有理數(shù)集
實(shí)數(shù)集
符號(hào)
或
第01講 集合
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc21705" 第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) PAGEREF _Tc21705 \h 1
\l "_Tc20466" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc20466 \h 3
\l "_Tc18316" 第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) PAGEREF _Tc18316 \h 4
\l "_Tc686" 高頻考點(diǎn)一：集合的基本概念 PAGEREF _Tc686 \h 4
\l "_Tc5097" 高頻考點(diǎn)二：元素與集合的關(guān)系 PAGEREF _Tc5097 \h 6
\l "_Tc24324" 高頻考點(diǎn)三：集合中元素的特性 PAGEREF _Tc24324 \h 8
\l "_Tc27971" 高頻考點(diǎn)四：集合的表示方法 PAGEREF _Tc27971 \h 10
\l "_Tc28673" 高頻考點(diǎn)五：集合的基本關(guān)系 PAGEREF _Tc28673 \h 13
\l "_Tc10948" 高頻考點(diǎn)六：集合的運(yùn)算 PAGEREF _Tc10948 \h 16
\l "_Tc3894" 高頻考點(diǎn)七：圖的應(yīng)用 PAGEREF _Tc3894 \h 19
\l "_Tc19098" 高頻考點(diǎn)八：集合新定義問(wèn)題 PAGEREF _Tc19098 \h 23
\l "_Tc10612" 第四部分：典型易錯(cuò)題型 PAGEREF _Tc10612 \h 29
\l "_Tc14406" 第五部分：新定義題（解答題） PAGEREF _Tc14406 \h 29
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)
1、元素與集合
（1）集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性.
（2）元素與集合的關(guān)系：屬于 或 不屬于，數(shù)學(xué)符號(hào)分別記為：和.
（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（圖）.
（4）常見(jiàn)數(shù)集和數(shù)學(xué)符號(hào)
說(shuō)明：
①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了.給定集合，可知,在該集合中，,不在該集合中；
②互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的；也就是說(shuō)，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.
集合應(yīng)滿(mǎn)足.
③無(wú)序性：組成集合的元素間沒(méi)有順序之分。集合和是同一個(gè)集合.
④列舉法
把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱(chēng)為描述法.
具體方法是：在花括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫(huà)一條豎線，在豎線后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.
2、集合間的基本關(guān)系
（1）子集（subset）：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合、，如果集合中任意一個(gè)元素都是集合中的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱(chēng)集合為集合的子集 ，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集（prper subset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱(chēng)集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時(shí)，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作.
（4）空集的性質(zhì)： 我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3、集合的基本運(yùn)算
（1）交集：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱(chēng)為與的交集，記作，即．
（2）并集：一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，稱(chēng)為與的并集，記作，即．
（3）補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱(chēng)為集合相對(duì)于全集的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱(chēng)為集合的補(bǔ)集，記作，即．
4、集合的運(yùn)算性質(zhì)
（1），，．
（2），，．
（3），，．
5、高頻考點(diǎn)結(jié)論
（1）若有限集中有個(gè)元素，則的子集有個(gè)，真子集有個(gè)，非空子集有個(gè)，非空真子集有個(gè)．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4）,．
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國(guó)·（乙卷文））設(shè)全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題意可得的值，然后計(jì)算即可.
【詳解】由題意可得，則.
故選：A.
2．（2023·全國(guó)（甲卷理））設(shè)全集,集合，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類(lèi)，以及補(bǔ)集的運(yùn)算即可解出．
【詳解】因?yàn)檎麛?shù)集，，所以，．
故選：A．
3．（2023·全國(guó)·（新課標(biāo)Ⅰ））設(shè)集合，，若，則（ ）．
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)包含關(guān)系分和兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)?，則有：
若，解得，此時(shí)，，不符合題意；
若，解得，此時(shí)，，符合題意；
綜上所述：.
故選：B.
4．（2023·全國(guó)（新課標(biāo)Ⅱ））已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出．
方法二：將集合中的元素逐個(gè)代入不等式驗(yàn)證，即可解出．
【詳解】方法一：因?yàn)?，而?br>所以．
故選：C．
方法二：因?yàn)椋瑢⒋氩坏仁?，只有使不等式成立，所以?br>故選：C．
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)
高頻考點(diǎn)一：集合的基本概念
典型例題
例題1．（多選）（2024上·河南安陽(yáng)·高一安陽(yáng)一中校聯(lián)考期末）下列說(shuō)法中不正確的是（ ）
A．0與表示同一個(gè)集合；
B．集合與是兩個(gè)相同的集合；
C．方程的所有解組成的集合可表示為；
D．集合可以用列舉法表示．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)集合與元素的關(guān)系及集合的表示一一判斷即可得結(jié)論.
【詳解】0是元素不是集合，表示以0為元素的一個(gè)集合，故A錯(cuò)誤；
集合與的構(gòu)成元素完全相同，所以是兩個(gè)相同的集合，故B正確；
方程的所有解組成的集合可表示為，集合中的元素是不同的，故C錯(cuò)誤；
集合表示大于小于的全體實(shí)數(shù)，有無(wú)數(shù)個(gè)且無(wú)法一一列舉出來(lái)，故不可以用列舉法表示，故D錯(cuò)誤．
故選：ACD.
例題2．（多選）（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．；
B．某中學(xué)新高一全體學(xué)生可以構(gòu)成一個(gè)集合；
C．集合有兩個(gè)元素；
D．小于10的自然數(shù)按從大到小的順序排列和按從小到大的順序排列分別得到不同的兩個(gè)集合.
【答案】BC
【分析】區(qū)分0，的含義判斷A；根據(jù)集合的定義判斷B；根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根判斷C；根據(jù)集合元素的無(wú)序性判斷D．
【詳解】對(duì)于A，0是一個(gè)數(shù)，是一個(gè)集合，二者不相等，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，根據(jù)集合定義知，某中學(xué)新高一全體學(xué)生可以構(gòu)成一個(gè)集合，B正確；
對(duì)于C，由于方程的判別式，故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故集合有兩個(gè)元素，C正確；
對(duì)于D，集合的元素具有無(wú)序性，故小于10的自然數(shù)按從大到小的順序排列和按從小到大的順序排列分別得到的兩個(gè)集合是同一個(gè)集合，D錯(cuò)誤，
故選：BC．
練透核心考點(diǎn)
1．（2023上·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．0與的意義相同
B．某市文明市民可以組成一個(gè)集合
C．集合是無(wú)限集
D．方程的解集有二個(gè)元素
【答案】C
【分析】根據(jù)元素與集合的定義逐一判斷即可.
【詳解】A：0是集合的一個(gè)元素，因此本選項(xiàng)不正確；
B：因?yàn)槲拿魇忻竦臉?biāo)準(zhǔn)不確定，所以組成不了集合，因此本選項(xiàng)不正確；
C：由，顯然給一個(gè)自然數(shù)的值，都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，
而自然數(shù)集是無(wú)限集，因此集合是無(wú)限集，因此本選項(xiàng)正確；
D：，
方程的解集有一個(gè)元素，因此本選項(xiàng)不正確，
故選：C
2．（多選）（2024上·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）(多選題)下列各組對(duì)象能組成集合的是（ ）
A．大于6的所有整數(shù)
B．高中數(shù)學(xué)的所有難題
C．被3除余2的所有整數(shù)
D．函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)
【答案】ACD
【分析】根據(jù)集合中元素的確定性逐項(xiàng)判斷即可得解.
【詳解】選項(xiàng)A、C、D中的元素符合集合中元素的確定性；而選項(xiàng)B中，“難題”沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)，不符合集合中元素的確定性，不能構(gòu)成集合．
故選：ACD
高頻考點(diǎn)二：元素與集合的關(guān)系
典型例題
例題1．（2024上·河南省直轄縣級(jí)單位·高一統(tǒng)考期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)集合元素之間的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系一一判斷即可.
【詳解】①錯(cuò)誤，中包括0；
②錯(cuò)誤，中沒(méi)有任何元素；
③錯(cuò)誤，與之間為包含關(guān)系，不應(yīng)該用屬于符號(hào)；
由③可知，④正確；
⑤錯(cuò)誤，中有兩個(gè)元素，中只有一個(gè)元素；
⑥正確，有理數(shù)中包括整數(shù).
故選：B
例題2．（2024上·四川德陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）若，則 ．
【答案】2
【分析】分類(lèi)討論結(jié)合互異性即可得出答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以或，
若，，不滿(mǎn)足互異性；
若或2，又，所以，
故答案為：2.
例題3．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，其中.
(1)若集合中有且僅有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)組成的集合.
(2)若集合中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）分類(lèi)討論當(dāng)、時(shí)方程根的個(gè)數(shù)，即可求解；
（2）由（1）可得或，再討論當(dāng)時(shí)的情況即可.
【詳解】（1）若，方程化為，此時(shí)方程有且僅有一個(gè)根；
若，則當(dāng)且僅當(dāng)方程的判別式，即時(shí)，
方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，此時(shí)集合A中有且僅有一個(gè)元素，
∴所求集合；
（2）集合A中至多有一個(gè)元素包括有兩種情況，
①A中有且僅有一個(gè)元素，由（1）可知此時(shí)或，
②A中一個(gè)元素也沒(méi)有，即，此時(shí)，且，解得，
綜合①②知的取值范圍為或.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知集合，若，則a的值可能為（ ）
A．，3B．C．，3，8D．，8
【答案】D
【分析】由集合與元素的關(guān)系分類(lèi)討論即可求解.
【詳解】由題意若，解得或，若，解得，
當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足題意，
當(dāng)時(shí)，違背了集合中元素間的互異性，
當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足題意，
綜上所述，a的值可能為，8.
故選：D.
2．（2024上·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）集合，若A中元素至多有1個(gè)，則a的取值范圍是 ．
【答案】或
【分析】二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合方程的根的性質(zhì)計(jì)算即可得.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，故A中元素只有1個(gè)，符合要求；
當(dāng)時(shí)，對(duì)，需，即；
故答案為：或.
3．（2024上·云南大理·高一統(tǒng)考期末）已知集合.
(1)當(dāng)時(shí)，求集合；
(2)若集合只有2個(gè)子集，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1)
(2)0或
【分析】（1）代入求解出方程的解，則可知；
（2）根據(jù)進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1）的結(jié)果分析即可，當(dāng)時(shí)，考慮的情況，由此可求結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由解得，
所以.
（2）因?yàn)榧现挥袀€(gè)子集，所以集合中只有個(gè)元素，
當(dāng)時(shí)，，顯然滿(mǎn)足；
當(dāng)時(shí)，若中只有個(gè)元素，只需滿(mǎn)足方程僅有個(gè)解，
所以，解得，解方程可得，此時(shí)，滿(mǎn)足條件；
綜上所述，的取值為0或
高頻考點(diǎn)三：集合中元素的特性
典型例題
例題1．（2024上·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若集合中的三個(gè)元素分別為,則元素應(yīng)滿(mǎn)足的條件是 ．
【答案】且且
【分析】根據(jù)元素的互異性，列出不等式組，求解即可.
【詳解】解：由元素的互異性，可知，
解得:且且.
故答案為：且且
例題2．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知集合若，則 .
【答案】
【分析】先通過(guò)集合相等以及集合中元素的互異性求出，然后計(jì)算即可.
【詳解】，
，
，
且，
得.
.
故答案為：.
例題3．（2024上·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，，若，，則 .
【答案】
【分析】首先利用集合與元素的關(guān)系和集合元素的特征得到或，即可得到答案.
【詳解】解：因?yàn)?，所以或或?br>解得或或，
因?yàn)?，所以或或?br>解得或或，
又因?yàn)椋曰?，?
故答案為：
練透核心考點(diǎn)
1．（多選）（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)集合，且，則x的值可以為（ ）
A．3B．C．5D．
【答案】BC
【詳解】∵，則有：
若，則，此時(shí)，不符合題意，故舍去；
若，則或，
當(dāng)時(shí)，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，符合題意；
綜上所述：或.
故選：BC.
2．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）集合，若，則
【答案】
【分析】分和，并結(jié)合集合元素的互異性求解即可.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以，若，則可得或2，
當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足互異性，舍去，
當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足題意;
若，則，此時(shí)，不滿(mǎn)足互異性，舍去；
綜上
故答案為：
3．（2024上·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知集合 }中各元素之和等于3，求實(shí)數(shù)的值，并用列舉法表示集合.
【答案】答案見(jiàn)解析
【分析】化簡(jiǎn)方程為，分、和且，三種情況討論，結(jié)合元素的互異性和題設(shè)條件，即可求解.
【詳解】根據(jù)集合中元素的互異性知，當(dāng)方程有重根時(shí)，
重根只能算作集合的一個(gè)元素，
由，
當(dāng)時(shí)，可得，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可得，符合題意；
當(dāng)且時(shí)，此時(shí)，可得，解得，
此時(shí)，符合題意，
綜上可得，實(shí)數(shù)的值為或.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
高頻考點(diǎn)四：集合的表示方法
典型例題
例題1．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，則集合的元素個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．2C．4D．5
【答案】A
【分析】將的所有可能取值逐個(gè)代入計(jì)算即可得出集合，即可得集合的元素個(gè)數(shù).
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故，共三個(gè)元素.
故選：A.
例題2．（2023上·云南昆明·高一官渡五中校考期中）已知集合，，集合滿(mǎn)足，則所有滿(mǎn)足條件的集合的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)集合的定義求得，再根據(jù)集合的包含關(guān)系，即可求得.
【詳解】，又，，
故集合為包含元素和，且為的子集，
故集合可以為：，則集合的個(gè)數(shù)是個(gè).
故選：B.
例題3．（2024下·上海·高一開(kāi)學(xué)考試）用列舉法表示集合為： .
【答案】
【分析】對(duì)、的符號(hào)進(jìn)行分類(lèi)討論，求出的值，即可得出所求集合.
【詳解】分以下幾種情況討論：
①當(dāng)，時(shí)，；
②當(dāng)，時(shí)，；
③當(dāng)，時(shí)，；
④當(dāng)，時(shí)，.
綜上所述，.
故答案為：.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·四川雅安·高一?？计谀┘嫌昧信e法表示為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解出不等式后，由即可得.
【詳解】由可得，又，故該集合為.
故選：D.
2．（2024上·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）集合的元素個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】利用，討論， 可得答案.
【詳解】因?yàn)?，，，所?br>時(shí)；時(shí)；時(shí)；時(shí)；時(shí)，
共有5個(gè)元素，
故選：C.
3．（2024上·上海嘉定·高三?？计谥校┮阎希瑒t集合用列舉法表示為 .
【答案】
【分析】根據(jù)描述法表示的集合的意義，列舉集合中的元素.
【詳解】，為單調(diào)遞減函數(shù)，值域?yàn)椋?br>因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以.
故答案為：
高頻考點(diǎn)五：集合的基本關(guān)系
典型例題
例題1．（2023·福建寧德·福建省寧德第一中學(xué)?？级＃┮阎?，集合，，．
（1）求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）分別求出集合與,然后將和集合取交集即可;
（2）先求出,再由,可分和兩種情況討論,可求出的取值范圍.
【詳解】（1）由題意,,解得,
即集合,則或,
又,所以;
（2）,,
若,則,解得;
若,則,解得.
故的取值范圍是或.
【點(diǎn)睛】本題考查了集合間的交集、并集和補(bǔ)集的運(yùn)算,考查了不等式的解法,考查了集合間的包含關(guān)系,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.
例題2．（2024上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知全集，集合．
(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，按照并集定義，求出，再利用補(bǔ)集的定義，即可求解；
（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)集合是否為空集分類(lèi)討論，確定集合的端點(diǎn)位置，即可求出結(jié)論.
【詳解】（1）時(shí)，集合，
則；
又，所以或.
（2）若，
當(dāng)，即，即；
當(dāng)時(shí)，應(yīng)滿(mǎn)足，解得；
綜上知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
例題3．（2024上·山東聊城·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的值域?yàn)?，的定義域?yàn)椋?br>(1)求；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在上的最大值和最小值，即可得出集合；
（2）求出集合，利用集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，解之即可.
【詳解】（1）解：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
所以，當(dāng)時(shí)有最大值，且最大值為，
當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，
所以．
（2）解：由，得，解得，
所以，，
因?yàn)椋?，解得?br>故實(shí)數(shù)的取值范圍．
練透核心考點(diǎn)
1．（2024下·浙江溫州·高一浙江省樂(lè)清中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知集合，．
(1)求；
(2)記關(guān)于的不等式的解集為，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）先解不等式求得集合，然后根據(jù)補(bǔ)集、交集的知識(shí)求得正確答案.
（2）根據(jù)集合的包含關(guān)系列不等式，由此求得的取值范圍.
【詳解】（1）由解得，所以.
由得或，解得或，
所以，，
所以.
（2）由，解得，
所以，要使，
則需或，解得或.
2．（2024上·湖南長(zhǎng)沙·高一統(tǒng)考期末）已知集合或．
(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由補(bǔ)集、并集的概念即可求解.
（2）由包含關(guān)系分類(lèi)討論即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，或，
所以，因此，.
（2）當(dāng)時(shí)，則時(shí)，即當(dāng)時(shí)，成立，
當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，
由，可得，解得，此時(shí)．
綜上，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
3．（2024上·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）設(shè)集合．
(1)求集合；
(2)記或，若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先解一元二次不等式再應(yīng)用交集計(jì)算即可；
（2）根據(jù)必要不充分得出集合間關(guān)系再列不等式組求解即可.
【詳解】（1）根據(jù)題意，可得或，
，
所以．
（2）因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，
所以是的真子集，又或，
可得（等號(hào)不同時(shí)取到），解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
高頻考點(diǎn)六：集合的運(yùn)算
典型例題
例題1．（2024上·陜西西安·高一西安市西光中學(xué)校聯(lián)考期末）已知集合，，若集合A，B中至少有一個(gè)非空集合，實(shí)數(shù)a的取值范圍 .
【答案】或且
【分析】先考慮A，B為空集得出a的范圍，再利用補(bǔ)集思想求得結(jié)果.
【詳解】對(duì)于集合A，由，解得;
對(duì)于集合B，由，解得.
因?yàn)锳,B兩個(gè)集合中至少有一個(gè)集合不為空集,
所以a的取值范圍是或，且
故答案為：或且
例題2．（2024上·山東菏澤·高一菏澤一中?？茧A段練習(xí)）已知集合，，若滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)a的值為 ．
【答案】－3
【分析】根據(jù)交集定義，若，則且，從而討論集合的情況，確定實(shí)數(shù)a的值.
【詳解】由題意可得，且，
當(dāng)時(shí)，解得，
此時(shí)，，，不符合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，解得，
當(dāng)時(shí)，，，中元素不滿(mǎn)足互異性，不符合題意，舍去，
當(dāng)時(shí)，，，，符合題意，
綜上所述，，
故答案為：－3.
例題3．（2024上·江蘇無(wú)錫·高一江蘇省天一中學(xué)校考期末）已知集合，，，其中
(1)若；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出集合，，，利用交集定義能求出；
（2）由，，得，由此能求出的取值范圍．
【詳解】（1）集合或，
，
，
；
（2），，其中
，解得，
的取值范圍是
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)集合，，則，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
【答案】
【分析】由題意可以先將所給集合化簡(jiǎn)，若滿(mǎn)足，則，故只需根據(jù)包含關(guān)系列出不等式組求出參數(shù)范圍即可.
【詳解】由題意，或，
若滿(mǎn)足，則，
又因?yàn)椋?br>所以，解得.
故答案為：.
2．（2024·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若集合，，，則的最小值為 .
【答案】6
【分析】先求出集合，然后由，從而求解.
【詳解】由，解得，所以，
因?yàn)椋?，所以?br>所以的最小值為.
故答案為：.
3．（2024上·河南洛陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知全集為，，．
(1)求；
(2)若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根據(jù)補(bǔ)集與交集的定義，計(jì)算即可；
（2）根據(jù)得，由此列出不等式組求得實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>所以或，
所以；
（2）因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)椋?br>時(shí)，，解得；
時(shí)，，解得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
高頻考點(diǎn)七：圖的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某小學(xué)對(duì)小學(xué)生的課外活動(dòng)進(jìn)行了調(diào)查.調(diào)查結(jié)果顯示：參加舞蹈課外活動(dòng)的有63人，參加唱歌課外活動(dòng)的有89人，參加體育課外活動(dòng)的有47人，三種課外活動(dòng)都參加的有24人，只選擇兩種課外活動(dòng)參加的有46人，不參加其中任何一種課外活動(dòng)的有15人.問(wèn)接受調(diào)查的小學(xué)生共有多少人？（ ）
A．120B．144C．177D．192
【答案】A
【分析】用韋恩圖表示題設(shè)中的集合關(guān)系，結(jié)合三個(gè)集合的容斥原理，即得解
【詳解】
如圖所示，用韋恩圖表示題設(shè)中的集合關(guān)系，不妨將參加舞蹈、唱歌、體育課外活動(dòng)的小學(xué)生分別用集合表示，
則
不妨設(shè)總?cè)藬?shù)為，韋恩圖中三塊區(qū)域的人數(shù)分別為
即
由容斥原理：
解得：
故選：A
例題2．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｊ行兄袑W(xué)?？计谀┒x集合運(yùn)算且稱(chēng)為集合A與集合B的差集；定義集合運(yùn)算稱(chēng)為集合A與集合B的對(duì)稱(chēng)差，有以下4個(gè)等式：①；②；③；④，則4個(gè)等式中恒成立的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】B
【分析】利用題設(shè)中的新定義，可判定①正確；利用集合運(yùn)算的韋恩圖法，可判定②正確、④錯(cuò)誤；利用題設(shè)中的定義與集合的運(yùn)算方法，可判定③正確.
【詳解】對(duì)于①中，由，所以①正確；
對(duì)于②中，由且，
同理可得：,
則，
所以，
所以表示的集合為圖（1）中陰影部分所表示的集合，如圖所示，
同理，也表示圖（1）中陰影部分所表示的集合，
所以，所以②正確；
對(duì)于③中，由，所以③正確；
對(duì)于④中，如圖（2）所示，可得，所以④錯(cuò)誤.
故選：B.
例題3．（2024上·山東濱州·高一?？计谀┠嘲嗯e行數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競(jìng)賽，每人至少參加一科，已知參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有27人，參加物理競(jìng)賽的有25人，參加化學(xué)競(jìng)賽的有27人，其中同時(shí)只參加數(shù)學(xué)、物理兩科的有10人，同時(shí)只參加物理、化學(xué)兩科的有7人，同時(shí)只參加數(shù)學(xué)、化學(xué)兩科的有11人，而參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科的有4人，則全班共有 人．
【答案】43
【分析】設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競(jìng)賽的同學(xué)組成的集合分別為A、B、C，根據(jù)題意畫(huà)出維恩圖求解.
【詳解】設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競(jìng)賽的同學(xué)組成的集合分別為A、B、C，
由題意畫(huà)出維恩圖，如圖所示：

全班人數(shù)為（人）.
故答案為：43
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·湖南長(zhǎng)沙·高一湖南師大附中校考期末）已知全集為U，集合M，N滿(mǎn)足??，則下列運(yùn)算結(jié)果為U的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)??，結(jié)合交并補(bǔ)的運(yùn)算即可判斷選項(xiàng)
【詳解】如圖，
因?yàn)??，所以，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)??，所以，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)??，所以，故D正確.
故選：D
2．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）某社區(qū)老年大學(xué)秋季班開(kāi)課，開(kāi)設(shè)課程有舞蹈，太極、聲樂(lè).已知秋季班課程共有90人報(bào)名，其中有45人報(bào)名舞蹈，有26人報(bào)名太極，有33人報(bào)名聲樂(lè)，同時(shí)報(bào)名舞蹈和報(bào)名聲樂(lè)的有8人，同時(shí)報(bào)名聲樂(lè)和報(bào)名太極的有5人，沒(méi)有人同時(shí)報(bào)名三門(mén)課程，現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論：
①同時(shí)報(bào)名舞蹈和報(bào)名太極的有3人；
②只報(bào)名舞蹈的有36人；
③只報(bào)名聲樂(lè)的有20人；
④報(bào)名兩門(mén)課程的有14人.
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是 .
【答案】②③④
【分析】畫(huà)出圖，結(jié)合圖形求出同時(shí)報(bào)名舞蹈和報(bào)名太極的人數(shù)，再逐一分析即可得解.
【詳解】如圖，設(shè)同時(shí)報(bào)名舞蹈和報(bào)名太極的有x人，
則，解得，
所以同時(shí)報(bào)名舞蹈和報(bào)名太極的有1人，
只報(bào)名舞蹈的有人，只報(bào)名聲樂(lè)的有人，
報(bào)名兩門(mén)課程的有人.
故答案為：②③④.

3．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，電影頻道推出“經(jīng)典頻傳：看電影，學(xué)黨史”系列短視頻，傳揚(yáng)中國(guó)共產(chǎn)黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來(lái)精神感召.現(xiàn)有《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開(kāi)國(guó)大典》三支短視頻，某大學(xué)社團(tuán)有50人，觀看了《青春之歌》的有21人，觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，觀看了《開(kāi)國(guó)大典》的有26人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業(yè)》的有4人，只觀看了《建黨偉業(yè)》和《開(kāi)國(guó)大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和《開(kāi)國(guó)大典》的有6人，三支短視頻全觀看了的有3人，則沒(méi)有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為 .
【答案】3
【分析】把大學(xué)社團(tuán)50人形成的集合記為全集U，觀看了《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開(kāi)國(guó)大典》三
支短視頻的人形成的集合分別記為A，B，C，作出韋恩圖，數(shù)形結(jié)合計(jì)算即得.
【詳解】把大學(xué)社團(tuán)50人形成的集合記為全集U，觀看了《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開(kāi)國(guó)大典》三
支短視頻的人形成的集合分別記為A，B，C，依題意，作出韋恩圖，如圖，

觀察韋恩圖：因觀看了《青春之歌》的有21人，則只看了《青春之歌》的有(人)，
因觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，則只看了《建黨偉業(yè)》的有(人)，
因觀看了《開(kāi)國(guó)大典》的有26人，則只看了《開(kāi)國(guó)大典》的有(人)，
因此，至少看了一支短視頻的有(人)，
所以沒(méi)有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為.
故答案為：3
高頻考點(diǎn)八：集合新定義問(wèn)題
典型例題
例題1．（2024上·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）記為非空集合A中的元素個(gè)數(shù)，定義.若，，且，設(shè)實(shí)數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S，則等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件可得或，再根據(jù)集合中的方程的根的個(gè)數(shù)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論即可求得實(shí)數(shù)的所有可能取值，即可得出結(jié)果.
【詳解】由定義得，又，則或，
由方程，得或，
當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
而方程有一根為0，則另一根必為0，，此時(shí)無(wú)實(shí)根，因此；
當(dāng)時(shí)，必有，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
并且都不是方程的根，
顯然方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且異于，
于是，解得或，
當(dāng)時(shí)，方程的根為，滿(mǎn)足題意，
當(dāng)時(shí)，方程的根為，滿(mǎn)足題意，
因此或，所以，.
故選：C
例題2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）大數(shù)據(jù)時(shí)代，需要對(duì)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，檢索過(guò)程中有時(shí)會(huì)出現(xiàn)笛卡爾積現(xiàn)象，而笛卡爾積會(huì)產(chǎn)生大量的數(shù)據(jù)，對(duì)內(nèi)存、計(jì)算資源都會(huì)產(chǎn)生巨大壓力，為優(yōu)化檢索軟件，編程人員需要了解笛卡爾積．兩個(gè)集合和，用中元素為第一元素，中元素為第二元素構(gòu)成有序?qū)Γ羞@樣的有序?qū)M成的集合叫作與的笛卡兒積，又稱(chēng)直積，記為．即且．關(guān)于任意非空集合，下列說(shuō)法一定正確的是（ ）
A．B．
C．?D．
【答案】D
【分析】舉例說(shuō)明判斷ABC；利用給定的定義結(jié)合集合運(yùn)算的意義推理判斷D.
【詳解】對(duì)于A，若，則，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，則，
而，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，則，
，，，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，任取元素，則且，則且，
于是且，即，
反之若任取元素，則且，
因此且，即且，
所以，即，D正確.
故選：D
例題3．（2024·廣東·惠州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合中含有三個(gè)元素，同時(shí)滿(mǎn)足①；②；③為偶數(shù)，那么稱(chēng)集合具有性質(zhì).已知集合，對(duì)于集合的非空子集，若中存在三個(gè)互不相同的元素，使得均屬于，則稱(chēng)集合是集合的“期待子集”.
(1)試判斷集合是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；
(2)若集合具有性質(zhì)，證明：集合是集合的“期待子集”；
(3)證明：集合具有性質(zhì)的充要條件是集合是集合的“期待子集”.
【答案】(1)不具有，理由見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）分取到的三個(gè)元素都是奇數(shù)和有偶數(shù)2，兩種情況比較三個(gè)條件，即可判斷；
（2）首先根據(jù)性質(zhì)，確定集合，再根據(jù)“期待子集”的定義，確定集合是集合的“期待子集”；
（3）首先證明充分性，存在三個(gè)互不相同的，使得均屬于
證明滿(mǎn)足性質(zhì)的三個(gè)條件；再證明必要性，首先設(shè)滿(mǎn)足條件的，再證明均屬于，即可證明.
【詳解】（1）集合不具有性質(zhì)，理由如下：
（i）從集合中任取三個(gè)元素均為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，不滿(mǎn)足條件③
（ii）從集合中任取三個(gè)元素有一個(gè)為，另外兩個(gè)為奇數(shù)時(shí)，不妨設(shè)，，
則有，即，不滿(mǎn)足條件②，
綜上所述，可得集合不具有性質(zhì).
（2）證明：由是偶數(shù)，得實(shí)數(shù)是奇數(shù)，
當(dāng)時(shí)，由，得，即，不合題意，
當(dāng)時(shí)，由，得，即，或（舍），
因?yàn)槭桥紨?shù)，所以集合，
令，解得，
顯然，
所以集合是集合的“期待子集”得證.
（3）證明：
先證充分性：
當(dāng)集合是集合的“期待子集”時(shí)，存在三個(gè)互不相同的，使得均屬于，
不妨設(shè)，令，，，則，即滿(mǎn)足條件①，
因?yàn)?，所以，即滿(mǎn)足條件②，
因?yàn)?，所以為偶?shù)，即滿(mǎn)足條件③，
所以當(dāng)集合是集合的“期待子集”時(shí)，集合具有性質(zhì).
再證必要性：
當(dāng)集合具有性質(zhì)，則存在，同時(shí)滿(mǎn)足①；②；③為偶數(shù)，
令，，，則由條件①得，
由條件②得，
由條件③得均為整數(shù)，
因?yàn)椋?br>所以，且均為整數(shù)，
所以，
因?yàn)椋?br>所以均屬于，
所以當(dāng)集合具有性質(zhì)時(shí)，集合是集合的“期待子集”.
綜上所述，集合是集合的“期待子集”的充要條件是集合具有性質(zhì).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用“性質(zhì)”和“期待子集”的定義.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)集合為實(shí)數(shù)集的非空子集，若對(duì)任意，，都有，，，則稱(chēng)集合S為“完美集合”，給出下列命題：
①若為“完美集合”，則一定有；
②“完美集合”一定是無(wú)限集；
③集合為“完美集合”；
④ 若為“完美集合”，則滿(mǎn)足的任意集合也是“完美集合”.
其中真命題是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】A
【分析】對(duì)于①③，可以利用完美集合的定義分析判斷，對(duì)于②④可以舉反例分析判斷.
【詳解】對(duì)于①，若為“完美集合”，對(duì)任意的，，①對(duì)；
對(duì)于②，完美集合不一定是無(wú)限集，例如，②錯(cuò)；
對(duì)于③，集合，
在集合中任意取兩個(gè)元素，，，其中、、、為整數(shù)，
則，，
，
集合為“完美集合”，③對(duì)；
對(duì)于④，，，也滿(mǎn)足④，但是集合不是一個(gè)完美集合，④錯(cuò).
故選：A.
2．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若一個(gè)集合是另一個(gè)集合的子集，則稱(chēng)兩個(gè)集合構(gòu)成“鯨吞”；若兩個(gè)集合有公共元素且互不為對(duì)方的子集，則稱(chēng)兩個(gè)集合構(gòu)成“蠶食”，對(duì)于集合，，若這兩個(gè)集合構(gòu)成“鯨吞”或“蠶食”，則a的取值集合為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】討論和，求得集合，再由新定義，得到的方程，即可解得的值．
【詳解】解：集合，，
，，
若，則，
即有；
若，可得，，
不滿(mǎn)足；
若，兩個(gè)集合有公共元素，但互不為對(duì)方子集，
可得或，解得或．
綜上可得，或或2.
故選：A.
3．（2024上·北京通州·高一統(tǒng)考期末）已知有個(gè)連續(xù)正整數(shù)元素的有限集合（，），記有序數(shù)對(duì)，若對(duì)任意，，，且，A同時(shí)滿(mǎn)足下列條件，則稱(chēng)為元完備數(shù)對(duì).
條件①：；
條件②：.
(1)試判斷是否存在3元完備數(shù)對(duì)和4元完備數(shù)對(duì)，并說(shuō)明理由；
(2)試證明不存在8元完備數(shù)對(duì).
【答案】(1)答案見(jiàn)解析；
(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）利用元完備數(shù)對(duì)的定義推理判斷即得.
（2）令，根據(jù)元完備數(shù)對(duì)的定義確定的所有可能情況，再導(dǎo)出矛盾即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，得，不符合題意，
所以不存在3元完備數(shù)對(duì)；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，，時(shí)，
滿(mǎn)足且，符合題意，
所以為4元完備數(shù)對(duì).
（2）假設(shè)存在8元完備數(shù)對(duì)，
當(dāng)時(shí)，令，則，且，
則有以下三種可能：①；②；③
當(dāng)時(shí)，于是，即，
由，得或，
而，則有，
因此，，…，，分別為1，2，…，7，8或2，3，…，8，1或7，6，…，1，8或8，7，…，2，1，
由得或，與已知矛盾，則當(dāng)時(shí)，不存在8元完備數(shù)對(duì)；
綜上可得：或，
故選：C.
第五部分：新定義題（解答題）
1．（2024·廣東·惠州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合中含有三個(gè)元素，同時(shí)滿(mǎn)足①；②；③為偶數(shù)，那么稱(chēng)集合具有性質(zhì).已知集合，對(duì)于集合的非空子集，若中存在三個(gè)互不相同的元素，使得均屬于，則稱(chēng)集合是集合的“期待子集”.
(1)試判斷集合是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；
(2)若集合具有性質(zhì)，證明：集合是集合的“期待子集”；
(3)證明：集合具有性質(zhì)的充要條件是集合是集合的“期待子集”.
【答案】(1)不具有，理由見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）分取到的三個(gè)元素都是奇數(shù)和有偶數(shù)2，兩種情況比較三個(gè)條件，即可判斷；
（2）首先根據(jù)性質(zhì)，確定集合，再根據(jù)“期待子集”的定義，確定集合是集合的“期待子集”；
（3）首先證明充分性，存在三個(gè)互不相同的，使得均屬于
證明滿(mǎn)足性質(zhì)的三個(gè)條件；再證明必要性，首先設(shè)滿(mǎn)足條件的，再證明均屬于，即可證明.
【詳解】（1）集合不具有性質(zhì)，理由如下：
（i）從集合中任取三個(gè)元素均為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，不滿(mǎn)足條件③
（ii）從集合中任取三個(gè)元素有一個(gè)為，另外兩個(gè)為奇數(shù)時(shí)，不妨設(shè)，，
則有，即，不滿(mǎn)足條件②，
綜上所述，可得集合不具有性質(zhì).
（2）證明：由是偶數(shù)，得實(shí)數(shù)是奇數(shù)，
當(dāng)時(shí)，由，得，即，不合題意，
當(dāng)時(shí)，由，得，即，或（舍），
因?yàn)槭桥紨?shù)，所以集合，
令，解得，
顯然，
所以集合是集合的“期待子集”得證.
（3）證明：
先證充分性：
當(dāng)集合是集合的“期待子集”時(shí)，存在三個(gè)互不相同的，使得均屬于，
不妨設(shè)，令，，，則，即滿(mǎn)足條件①，
因?yàn)?，所以，即滿(mǎn)足條件②，
因?yàn)?，所以為偶?shù)，即滿(mǎn)足條件③，
所以當(dāng)集合是集合的“期待子集”時(shí)，集合具有性質(zhì).
再證必要性：
當(dāng)集合具有性質(zhì)，則存在，同時(shí)滿(mǎn)足①；②；③為偶數(shù)，
令，，，則由條件①得，
由條件②得，
由條件③得均為整數(shù)，
因?yàn)椋?br>所以，且均為整數(shù)，
所以，
因?yàn)椋?br>所以均屬于，
所以當(dāng)集合具有性質(zhì)時(shí)，集合是集合的“期待子集”.
綜上所述，集合是集合的“期待子集”的充要條件是集合具有性質(zhì).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用“性質(zhì)”和“期待子集”的定義.
2．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）定義1：通常我們把一個(gè)以集合作為元素的集合稱(chēng)為族（cllectin）.
定義2：集合上的一個(gè)拓?fù)洌╰plgy）乃是的子集為元素的一個(gè)族，它滿(mǎn)足以下條件：（1）和在中；（2）的任意子集的元素的并在中；（3）的任意有限子集的元素的交在中.
(1)族，族，判斷族與族是否為集合的拓?fù)洌?br>(2)設(shè)有限集為全集
（i）證明：；
（ii）族為集合上的一個(gè)拓?fù)洌C明：由族所有元素的補(bǔ)集構(gòu)成的族為集合上的一個(gè)拓?fù)?
【答案】(1)都是集合的拓?fù)?br>(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)集合的拓?fù)涠x判斷即可；
（2）（i）根據(jù)集合的拓?fù)涠x證明充要性即可；
（ii）結(jié)合（i）的結(jié)論，根據(jù)集合的拓?fù)涠x證明.
【詳解】（1）族，都是集合的拓?fù)?
（2）（i）設(shè)，則，
故存在整數(shù)使，因此，得.
設(shè)，則存在整數(shù)使，故，
因此，得
（ii）因?yàn)椋?，所以，?br>設(shè)為的任意子集，則，
，
因?yàn)?，故?br>，
因?yàn)?，?
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決集合創(chuàng)新型問(wèn)題的方法：（1）緊扣定義，首項(xiàng)分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問(wèn)題本質(zhì)弄清楚，并能夠運(yùn)用到具體的解題過(guò)程中；（2）用好集合性質(zhì)，集合性質(zhì)時(shí)破解新定義型集合問(wèn)題的基礎(chǔ)，也是突破口，在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì).
數(shù)集
自然數(shù)集
正整數(shù)集
整數(shù)集
有理數(shù)集
實(shí)數(shù)集
符號(hào)
或

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