二、多選題
9．（23-24高二下·廣東·期中）已知數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，且，則（ ）
A．B．是遞增數(shù)列
C．是等差數(shù)列D．
10．（24-25高二·上海·隨堂練習(xí)）下列可作為數(shù)列1，0，1，0，1，0，…的通項(xiàng)公式的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
11．（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為滿(mǎn)足，則的通項(xiàng)公式為 ．
12．（24-25高三上·江西贛州·開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列an滿(mǎn)足，則 .
四、解答題
13．（24-25高三上·河北承德·開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，等差數(shù)列有，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的最大項(xiàng)的值.
14．（24-25高二上·上海·課前預(yù)習(xí)）已知數(shù)列an滿(mǎn)足，且（為正整數(shù)），通過(guò)計(jì)算、、，是否能猜想其通項(xiàng)公式？
B能力提升
1．（23-24高二下·廣東佛山）將自然數(shù)1，2，3，4，5，……，按照如圖排列，我們將2，4，7，11，16，……都稱(chēng)為“拐角數(shù)”，則下列哪個(gè)數(shù)不是“拐角數(shù)”.（ ）

A．22B．30C．37D．46
2．（23-24高三上·廣東江門(mén)·階段練習(xí)）設(shè)，為正整數(shù)，，，，，…，，…，已知，則的值為（ ）
A．1806B．2005C．3612D．4100
3．（24-25高三上·云南·階段練習(xí)）自然常數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，大約等于2.71828.某人用“調(diào)日法”找逼近的分?jǐn)?shù)，稱(chēng)小于2.718281的值為弱值，大于2.718282的值為強(qiáng)值.由，取2為弱值，3為強(qiáng)值，得，故為弱值，與上一次的強(qiáng)值3計(jì)算得，故為弱值，繼續(xù)計(jì)算，，若某次得到的近似值為弱值，與上一次的強(qiáng)值繼續(xù)計(jì)算得到新的近似值；若某次得到的近似值為強(qiáng)值，與上一次的弱值繼續(xù)計(jì)算得到新的近似值，依此類(lèi)推，若，則 .
4．（23-24高二上·河北保定）某人購(gòu)買(mǎi)某種教育基金，今年5月1日交了10萬(wàn)元，年利率5%，以后每年5月1日續(xù)交2萬(wàn)元，設(shè)從今年起每年5月1日的教育基金總額依次為，，，…….
(1)寫(xiě)出和，并求出與之間的遞推關(guān)系式；
(2)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
1．（22-23高二下·北京延慶·期中）如果數(shù)列對(duì)任意的，，則稱(chēng)為“速增數(shù)列”.
(1)判斷數(shù)列是否為“速增數(shù)列”？說(shuō)明理由；
(2)若數(shù)列為“速增數(shù)列”，且任意項(xiàng)，，，，求正整數(shù)的最大值.
第01講 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 (分層精練）
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升 C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（24-25高二上·福建龍巖·階段練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則根據(jù)題意，該數(shù)列的前4項(xiàng)和（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】判斷或?qū)懗鰯?shù)列中的項(xiàng)
【分析】根據(jù)題意，求出數(shù)列的前4項(xiàng)，從而求和.
【詳解】根據(jù)題意，，
所以該數(shù)列的前4項(xiàng)和.
故選：A
2．（23-24高二上·云南昆明·期末）在數(shù)列中，若，，，則（ ）
A．2B．1C．0D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列周期性的應(yīng)用
【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的周期，再由此求出.
【詳解】在數(shù)列中，，則，
因此數(shù)列數(shù)列的周期為3，所以.
故選：D
3．（23-24高二下·江西·階段練習(xí)）在數(shù)列中，，，則（ ）
A．8B．1C．18D．19
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)數(shù)列遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的項(xiàng)
【分析】利用給定的遞推公式，依次計(jì)算即得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，.
故選：D.
4．（23-24高二上·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）若數(shù)列滿(mǎn)足，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、數(shù)列周期性的應(yīng)用
【分析】根據(jù)遞推式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)，可得an是周期為的周期數(shù)列，從而可求得答案.
【詳解】數(shù)列an滿(mǎn)足，，
，
，
，
，
，
是周期為的周期數(shù)列，
而，
故．
故選：A
5．（24-25高二上·福建龍巖·階段練習(xí)）已知數(shù)列，，且，則（ ）
A．－1B．2C．－2D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列周期性的應(yīng)用、由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)
【分析】根據(jù)遞推公式，可得數(shù)列an為周期為的數(shù)列，從而可解.
【詳解】根據(jù)題意，，
則，
所以數(shù)列an為周期為的數(shù)列，
則.
故選：A
6．（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）一只蜜蜂從蜂房出發(fā)向右爬，每次只能爬向右側(cè)相鄰的兩個(gè)蜂房（如圖），例如：從蜂房只能爬到1號(hào)或2號(hào)蜂房，從1號(hào)蜂房只能爬到2號(hào)或3號(hào)蜂房，…，以此類(lèi)推，用表示蜜蜂爬到號(hào)蜂房的方法數(shù)，則（ ）
A．10B．55C．89D．99
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)數(shù)列遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的項(xiàng)
【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的遞推公式，再依次計(jì)算求出.
【詳解】依題意，（，），，，
所以.
故選：C
7．（23-24高二下·遼寧沈陽(yáng)·期中）某牧場(chǎng)今年年初牛的存欄數(shù)為1200頭，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為，且在每年年底賣(mài)出100頭牛.若該牧場(chǎng)從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)構(gòu)成數(shù)列，，則大約為（參考數(shù)據(jù)：（ ）
A．1420B．1480C．1520D．1580
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)、寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用
【分析】由題意得數(shù)列遞推公式，再用構(gòu)造法求出通項(xiàng)，代入計(jì)算即可.
【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，則，
于是數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為1.1的等比數(shù)列，
則，即，
所以.
故選：B
8．（23-24高二下·河南南陽(yáng)·期中）在數(shù)列an中，，則數(shù)列an的前項(xiàng)和（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】分組（并項(xiàng)）法求和、數(shù)列周期性的應(yīng)用、根據(jù)數(shù)列遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的項(xiàng)
【分析】列出數(shù)列的前幾項(xiàng)，即可得到數(shù)列an是以為周期的周期數(shù)列，再利用并項(xiàng)求和法計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，，所以?br>所以數(shù)列an是以為周期的周期數(shù)列，
又，，
所以.
故選：B
二、多選題
9．（23-24高二下·廣東·期中）已知數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，且，則（ ）
A．B．是遞增數(shù)列
C．是等差數(shù)列D．
【答案】ABD
【知識(shí)點(diǎn)】寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、判斷或?qū)懗鰯?shù)列中的項(xiàng)、判斷數(shù)列的增減性、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)
【分析】分析可知數(shù)列是以首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列可得，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】因?yàn)?，則，
且，可知數(shù)列是以首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列，
則，即.
對(duì)于選項(xiàng)A：，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以是遞增數(shù)列，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)閿?shù)列是以首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列，
所以不是等差數(shù)列，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：，故D正確；
故選：ABD.
10．（24-25高二·上?！るS堂練習(xí)）下列可作為數(shù)列1，0，1，0，1，0，…的通項(xiàng)公式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【知識(shí)點(diǎn)】觀察法求數(shù)列通項(xiàng)
【分析】根據(jù)選項(xiàng)，分為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況判定，即可求解.
【詳解】對(duì)A：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，故A正確；
對(duì)B：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，故B正確；
對(duì)C：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，故C正確；
對(duì)D：，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
三、填空題
11．（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為滿(mǎn)足，則的通項(xiàng)公式為 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)
【分析】根據(jù)給定條件，利用的關(guān)系求出通項(xiàng)公式.
【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，
而不滿(mǎn)足上式，
所以的通項(xiàng)公式為.
故答案為：
12．（24-25高三上·江西贛州·開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列an滿(mǎn)足，則 .
【答案】1
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)數(shù)列遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的項(xiàng)、數(shù)列周期性的應(yīng)用、由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)
【分析】由題意可知數(shù)列an是周期為的數(shù)列，且每項(xiàng)的積為，由此即可求出結(jié)果.
【詳解】依題意，，，所以，
所以數(shù)列是周期為的數(shù)列，且每項(xiàng)的積為，
又，所以.
故答案為：1.
四、解答題
13．（24-25高三上·河北承德·開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，等差數(shù)列有，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的最大項(xiàng)的值.
【答案】(1)，
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】確定數(shù)列中的最大（?。╉?xiàng)、寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可以求出an的通項(xiàng)公式，再結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過(guò)解方程組求出bn的通項(xiàng)公式；
（2）利用作差比較法判斷數(shù)列的單調(diào)性，再利用單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以，
設(shè)等差數(shù)列bn的公差為，
因?yàn)?，?br>所以，
即，.
（2）由上可知，.
所以令，
則有，
當(dāng)時(shí)，，
即數(shù)列從第一項(xiàng)起一直增加到第10項(xiàng)，
當(dāng)時(shí)，，
即數(shù)列從第10項(xiàng)開(kāi)始遞減，
因此為數(shù)列的最大項(xiàng)，，
所以數(shù)列的最大項(xiàng)的值為.
14．（24-25高二上·上海·課前預(yù)習(xí)）已知數(shù)列an滿(mǎn)足，且（為正整數(shù)），通過(guò)計(jì)算、、，是否能猜想其通項(xiàng)公式？
【答案】能，.
【知識(shí)點(diǎn)】構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)
【分析】通過(guò)計(jì)算，能歸納猜想出的通項(xiàng)公式，再利用取倒數(shù)法證明猜想.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，，
所以能猜想出的通項(xiàng)公式為．
證明如下：因?yàn)椋?br>所以，
所以，
故選：B.
2．（23-24高三上·廣東江門(mén)·階段練習(xí)）設(shè)，為正整數(shù)，，，，，…，，…，已知，則的值為（ ）
A．1806B．2005C．3612D．4100
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)規(guī)律填寫(xiě)數(shù)列中的某項(xiàng)
【分析】根據(jù)已知條件化簡(jiǎn)歸納通項(xiàng)公式即可求參.
【詳解】,
,
,
依此類(lèi)推得出,
所以,
所以.
故選：A.
3．（24-25高三上·云南·階段練習(xí)）自然常數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，大約等于2.71828.某人用“調(diào)日法”找逼近的分?jǐn)?shù)，稱(chēng)小于2.718281的值為弱值，大于2.718282的值為強(qiáng)值.由，取2為弱值，3為強(qiáng)值，得，故為弱值，與上一次的強(qiáng)值3計(jì)算得，故為弱值，繼續(xù)計(jì)算，，若某次得到的近似值為弱值，與上一次的強(qiáng)值繼續(xù)計(jì)算得到新的近似值；若某次得到的近似值為強(qiáng)值，與上一次的弱值繼續(xù)計(jì)算得到新的近似值，依此類(lèi)推，若，則 .
【答案】6
【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的概念及辨析、數(shù)列新定義
【分析】根據(jù)題意利用“調(diào)日法”不斷計(jì)算，進(jìn)行歸納推理能求出結(jié)果．
【詳解】因?yàn)闉槿踔?，則與上一次的強(qiáng)值3計(jì)算得為強(qiáng)值，
與上一次的弱值計(jì)算得為弱值，
與上一次的強(qiáng)值計(jì)算得為強(qiáng)值，
與上一次的弱值計(jì)算得，故.
故答案為：.
4．（23-24高二上·河北保定）某人購(gòu)買(mǎi)某種教育基金，今年5月1日交了10萬(wàn)元，年利率5%，以后每年5月1日續(xù)交2萬(wàn)元，設(shè)從今年起每年5月1日的教育基金總額依次為，，，…….
(1)寫(xiě)出和，并求出與之間的遞推關(guān)系式；
(2)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】(1)，，
(2)證明見(jiàn)解析，
【知識(shí)點(diǎn)】求遞推關(guān)系式、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列
【分析】（1）由已知可得和，仿寫(xiě)可得與之間的遞推關(guān)系式；
（2）結(jié)合上問(wèn)中的遞推關(guān)系再證明即可，再由基本量法求出通項(xiàng)；
【詳解】（1），，
，
（2）證明：
是以50為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
，
C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
1．（22-23高二下·北京延慶·期中）如果數(shù)列對(duì)任意的，，則稱(chēng)為“速增數(shù)列”.
(1)判斷數(shù)列是否為“速增數(shù)列”？說(shuō)明理由；
(2)若數(shù)列為“速增數(shù)列”，且任意項(xiàng)，，，，求正整數(shù)的最大值.
【答案】(1)是，理由見(jiàn)解析
(2)64.
【知識(shí)點(diǎn)】由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、數(shù)列新定義
【分析】（1）計(jì)算，，得到即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)“速增數(shù)列”的概念得，，，，得出，又，，，即可得出答案.
【詳解】（1）數(shù)列是“速增數(shù)列”.
數(shù)列對(duì)，，，
所以，
所以，數(shù)列為“速增數(shù)列”.
（2）因?yàn)閿?shù)列an為“速增數(shù)列”，，，且.
所以，對(duì)，，，
所以，，，，.
相加得，，
即.
所以.
因?yàn)?，，所以的最大值?4.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)列的新定義問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)題意利用累加法的思想確定是解題的關(guān)鍵.

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2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第01講函數(shù)的概念及其表示(含新定義解答題)(分層精練)(學(xué)生版+解析)

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