A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（23-24高二下·江蘇·階段練習）若某質(zhì)點的運動方程是（單位：），則在時的瞬時速度為（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二下·重慶黔江·階段練習）設(shè)函數(shù)在處存在導數(shù)為2，則（ ）
A．1B．2C．D．3
3．（23-24高二下·重慶·階段練習）下列函數(shù)求導正確的是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二上·山西·期末）若函數(shù)，則（ ）
A．0B．C．D．
5．（2024高二下·全國·專題練習）函數(shù)的導函數(shù)，滿足關(guān)系式，則的值為（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高二下·湖南岳陽·開學考試）設(shè)函數(shù)的圖象與軸相交于點，則該曲線在點處的切線方程為（ ）
A．B．
C．D．
7．（21-22高二下·北京房山·期中）函數(shù)的圖象如圖所示，則 與的大小關(guān)系是（ ）
C． D．
三、填空題
11．（23-24高三下·天津·開學考試）函數(shù)的圖象在處切線的斜率為 .
12．（23-24高三下·廣西南寧·開學考試）已知，則曲線在點處的切線方程為 .
四、解答題
13．（23-24高二下·江蘇·階段練習）已知曲線，設(shè)點坐標為，
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求曲線過點的切線方程．
(3)若曲線在點處的切線與曲線相切，求點的坐標
14．（23-24高二上·湖南岳陽·期末）已知點和點是曲線上的兩點，且點的橫坐標是，點的縱坐標是，求：
(1)割線的斜率；
(2)在點處的切線方程.
15．（23-24高二上·安徽蕪湖·期末）已知函數(shù)與函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求曲線與曲線在公共點處的公切線方程．
B能力提升
1．（2024·河北·一模）函數(shù)的導數(shù)仍是x的函數(shù)，通常把導函數(shù)的導數(shù)叫做函數(shù)的二階導數(shù)，記作，類似地，二階導數(shù)的導數(shù)叫做三階導數(shù)，三階導數(shù)的導數(shù)叫做四階導數(shù)……．一般地，階導數(shù)的導數(shù)叫做n階導數(shù)，函數(shù)的n階導數(shù)記為，例如的n階導數(shù)．若，則（ ）
A．B．50C．49D．
2．（23-24高三下·安徽·階段練習）已知函數(shù)在點處的切線與曲線只有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·山東聊城·期末）最優(yōu)化原理是指要求目前存在的多種可能的方案中，選出最合理的，達到事先規(guī)定的最優(yōu)目標的方案，這類問題稱之為最優(yōu)化問題.為了解決實際生活中的最優(yōu)化問題，我們常常需要在數(shù)學模型中求最大值或者最小值.下面是一個有關(guān)曲線與直線上點的距離的最值問題，請你利用所學知識來解答：若點是曲線上任意一點，則到直線的距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·廣東·一模）設(shè)點在曲線上，點在直線上，則的最小值為（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高三上·河北·階段練習）已知，，若直線與曲線相切，則的最小值為（ ）
A．7B．8C．9D．10
C新定義題
1．（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學工具——洛必達法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導函數(shù)分別為，，且，則
.
②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿足：對任意，均有成立，且，則稱函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù).
結(jié)合以上兩個信息，回答下列問題：
(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù)；
(2)計算：；
(3)證明：，.
第01講 導數(shù)的概念及運算(分層精練）
A夯實基礎(chǔ)B能力提升C新定義題
A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（23-24高二下·江蘇·階段練習）若某質(zhì)點的運動方程是（單位：），則在時的瞬時速度為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
利用物理上“質(zhì)點在時的瞬時速度即質(zhì)點的位移的導函數(shù)在時的函數(shù)值”即可求得.
【詳解】由求導得，則在時的瞬時速度為.
故選：B.
2．（23-24高二下·重慶黔江·階段練習）設(shè)函數(shù)在處存在導數(shù)為2，則（ ）
A．1B．2C．D．3
【答案】C
【分析】
利用導數(shù)的定義即可得解.
【詳解】由依題意，知，
則.
故選：C.
3．（23-24高二下·重慶·階段練習）下列函數(shù)求導正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式判斷即可.
【詳解】對于A：，故A錯誤；
對于B：，故B錯誤；
對于C：，故C錯誤；
對于D：，故D正確.
故選：D
4．（23-24高二上·山西·期末）若函數(shù)，則（ ）
A．0B．C．D．
【答案】A
【分析】
求導，再令即可得解.
【詳解】，
所以.
故選：A.
5．（2024高二下·全國·專題練習）函數(shù)的導函數(shù)，滿足關(guān)系式，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
求導后，代入，求出答案.
【詳解】
由進行求導得：，
當時，可得：，解得：.
故選：A.
6．（23-24高二下·湖南岳陽·開學考試）設(shè)函數(shù)的圖象與軸相交于點，則該曲線在點處的切線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
求出點的坐標，再利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程.
【詳解】函數(shù)，由，得，則點，
由，求導得，則，于是，
所以該曲線在點處的切線方程為.
故選：B
7．（21-22高二下·北京房山·期中）函數(shù)的圖象如圖所示，則 與的大小關(guān)系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由導數(shù)的幾何意義和函數(shù)的圖象可得答案.
【詳解】
與分別表示在和處切線的斜率，
由圖象得，且在處切線的斜率比處切線斜率小，
所以；
故選：A
8．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知函數(shù)，則的圖象在處的切線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
求出導函數(shù)后計算出切線斜率，然后寫出切線方程．
【詳解】
由題意知，
所以，又，
所以的圖象在處的切線方程為，即.
故選：A.
二、多選題
9．（23-24高二下·湖北·階段練習）下列命題正確的有（ ）
A．已知函數(shù)在上可導，若，則
B．
C．已知函數(shù)，若，則
D．設(shè)函數(shù)的導函數(shù)為，且，則
【答案】CD
【分析】
根據(jù)導數(shù)的定義可判斷A的正誤，根據(jù)導數(shù)的四則運算可判斷BD的正誤，根據(jù)復合函數(shù)的導數(shù)的運算規(guī)則可判斷C的正誤.
【詳解】對于A，，故A錯誤.
對于B，，故B錯誤.
對于C，，若，則即，故C正確.
對于D，，故，故，故D正確.
故選：CD.
10．（2024高二下·全國·專題練習）各地房產(chǎn)部門為盡快穩(wěn)定房價，提出多種房產(chǎn)供應方案，其中之一就是在規(guī)定的時間T內(nèi)完成房產(chǎn)供應量任務(wù)．已知房產(chǎn)供應量Q與時間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則在以下四種房產(chǎn)供應方案中，在時間內(nèi)供應效率（單位時間的供應量）不逐步提高的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)變化率的知識，結(jié)合曲線在某點處的導數(shù)的幾何意義可得結(jié)果.
【詳解】當單位時間的供應量逐步提高時，供應量的增長速度越來越快，圖象上切線的斜率隨著自變量的增加會越來越大，
故曲線是上升的，且越來越陡峭，
所以函數(shù)的圖象應一直是下凹的，則選項B滿足條件，
所以在時間內(nèi)供應效率（單位時間的供應量）不逐步提高的有ACD選項．
故選：ACD．
三、填空題
11．（23-24高三下·天津·開學考試）函數(shù)的圖象在處切線的斜率為 .
【答案】/
【分析】
首先求函數(shù)的導數(shù)，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義，即可求解.
【詳解】由題意可知，，，
根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)的圖象在處切線的斜率為.
故答案為：
12．（23-24高三下·廣西南寧·開學考試）已知，則曲線在點處的切線方程為 .
【答案】
【分析】根據(jù)導數(shù)的運算性質(zhì)，結(jié)合導數(shù)的幾何意義進行求解即可.
【詳解】，
所以曲線在點處的切線方程為，
故答案為：
四、解答題
13．（23-24高二下·江蘇·階段練習）已知曲線，設(shè)點坐標為，
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求曲線過點的切線方程．
(3)若曲線在點處的切線與曲線相切，求點的坐標
【答案】(1)
(2)或
(3)或.
【分析】
（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，再由點斜式計算可得；
（2）設(shè)切點為，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，再將點代入切線方程中，求出，即可求出切線方程；
（3）設(shè)，表示出曲線在點處的切線，聯(lián)立直線與，根據(jù)求出，即可求出點的坐標.
【詳解】（1）由，可得，
所以，
則曲線在點處的切線方程為，即；
（2）設(shè)切點為，則，
所以切線方程為，即，
又切線過點，所以，即，
即，即，
即，即，解得或，
則切線方程為或，
所以過點的切線方程為或.
（3）設(shè)，則，，
所以曲線在點處的切線為，
又曲線在點處的切線與曲線相切，
由，可得，
則，解得或，
則或，
所以或.
14．（23-24高二上·湖南岳陽·期末）已知點和點是曲線上的兩點，且點的橫坐標是，點的縱坐標是，求：
(1)割線的斜率；
(2)在點處的切線方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出點、的坐標，利用斜率公式可求得割線的斜率；
（2）求出切線的斜率，再利用點斜式可得出所求切線的方程.
【詳解】（1）解：當時，，即點，
令，可得，解得，即點，
因此，割線的斜率為.
（2）解：對函數(shù)求導得，
所以，曲線在點處切線的斜率為，
所以，曲線在點處的切線方程為，即.
15．（23-24高二上·安徽蕪湖·期末）已知函數(shù)與函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求曲線與曲線在公共點處的公切線方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求導，然后根據(jù)導數(shù)的幾何意義結(jié)合條件即得；
（2）設(shè)曲線與曲線的公切點為，然后根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得切點，進而即得.
【詳解】（1），，.
在點處的切線方程為：；
（2）設(shè)曲線與曲線的公切點為，
，，
令，即，
或（舍），
，
∴所求公切線方程：，即.
B能力提升
1．（2024·河北·一模）函數(shù)的導數(shù)仍是x的函數(shù)，通常把導函數(shù)的導數(shù)叫做函數(shù)的二階導數(shù)，記作，類似地，二階導數(shù)的導數(shù)叫做三階導數(shù)，三階導數(shù)的導數(shù)叫做四階導數(shù)……．一般地，階導數(shù)的導數(shù)叫做n階導數(shù)，函數(shù)的n階導數(shù)記為，例如的n階導數(shù)．若，則（ ）
A．B．50C．49D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)條件，列舉的前幾項，根據(jù)規(guī)律，寫出，代入，即可求解.
【詳解】由，，
，，
依此類推，，
所以.
故選：A
2．（23-24高三下·安徽·階段練習）已知函數(shù)在點處的切線與曲線只有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出切線方程，再對分和討論即可.
【詳解】由得，
所以切線方程是，
①若，則曲線為，顯然切線與該曲線只有一個公共點，
②若，則，
【詳解】令，得，代入曲線，
所以的最小值即為點到直線的距離.
故選：B.
5．（23-24高三上·河北·階段練習）已知，，若直線與曲線相切，則的最小值為（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】設(shè)出切點坐標，利用導數(shù)求得切線方程的斜率，即為直線方程得，再利用基本不等式即可.
【詳解】設(shè)切點為，由題得，
所以切線的斜率，且
所以切線方程為，
即，與直線相同，
所以，整理得，
所以，
當且僅當，時，取得最小值9．
故選：C
C新定義題
1．（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學工具——洛必達法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導函數(shù)分別為，，且，則
.
②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿足：對任意，均有成立，且，則稱函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù).
結(jié)合以上兩個信息，回答下列問題：
(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù)；
(2)計算：；
(3)證明：，.
【答案】(1)不是區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù)；
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù)的定義即可判斷；
（2）通過構(gòu)造，再結(jié)合即可得到結(jié)果；
（3）通過換元令令，則原不等式等價于，再通過構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題干中函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù)的定義證出，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)，
由于，
所以不成立，
故不是區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù).
（2）設(shè)，則，
設(shè)，
則，
所以，得.
（3）令，則原不等式等價于，
即證，
記，則，
所以，
即有對任意，均有，
所以，
因為，
所以，
所以，證畢!
【點睛】方法點睛：利用函數(shù)方法證明不等式成立問題時，應準確構(gòu)造相應的函數(shù)，注意題干條件中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.

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