1．（2021·上?！て吣昙?jí)期末）如圖，在正方形中，點(diǎn)E是邊上的一點(diǎn)（與A，B兩點(diǎn)不重合），將繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使與重合，這時(shí)點(diǎn)E落在點(diǎn)F處，聯(lián)結(jié)．
（1）按照題目要求畫出圖形；
（2）若正方形邊長(zhǎng)為3，，求的面積；
（3）若正方形邊長(zhǎng)為m，，比較與的面積大小，并說(shuō)明理由．
2．（2022·上海普陀·七年級(jí)期末）如圖1，長(zhǎng)方形紙片ABCD（AD＞AB），點(diǎn)O位于邊BC上，點(diǎn)E位于邊AD上，將紙片沿OE折疊，點(diǎn)C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C′、D′．
(1)當(dāng)點(diǎn)C′與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖2，如果AD＝12，CD＝8，聯(lián)結(jié)CE，那么△CDE的周長(zhǎng)是 ；
(2)如果點(diǎn)F位于邊AB上，將紙片沿OF折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′．
①當(dāng)點(diǎn)B′恰好落在線段OC′上時(shí)，如圖3，那么∠EOF的度數(shù)為 ；（直接填寫答案）
②當(dāng)∠B′OC′＝20°時(shí)，作出圖形，并寫出∠EOF的度數(shù)．
3．（2021·上海浦東新·七年級(jí)期末）如圖1，圖2，圖3的網(wǎng)格均由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成，圖1是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽所繪制的“弦圖”，它由四個(gè)形狀、大小完全相同的直角三角形組成，趙爽利用這個(gè)“弦圖”對(duì)勾股定理作出了證明，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重要成就，請(qǐng)根據(jù)下列要求解答問(wèn)題．
(1)圖1中的“弦圖”的四個(gè)直角三角形組成的圖形是 對(duì)稱圖形（填“軸”或“中心”）．
(2)請(qǐng)將“弦圖”中的四個(gè)直角三角形通過(guò)你所學(xué)過(guò)的圖形變換，在圖2，3的方格紙中設(shè)計(jì)另外兩個(gè)不同的圖案，畫圖要求：
①每個(gè)直角三角形的頂點(diǎn)均在方格紙的格點(diǎn)上，且四個(gè)三角形互不重疊，不必涂陰影；
②圖2中所設(shè)計(jì)的圖案（不含方格紙）必須是軸對(duì)稱圖形而不是中心對(duì)稱圖形；圖3中所設(shè)計(jì)的圖案（不含方格紙）必須既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．
4．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）如圖，正方形，點(diǎn)是線段延長(zhǎng)線一點(diǎn)，連結(jié)，，
（1）將線段沿著射線運(yùn)動(dòng)，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，用代數(shù)式表示線段掃過(guò)的平面部分的面積.
（2）將三角形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使得與重合，點(diǎn)落在點(diǎn)，用代數(shù)式表示線段掃過(guò)的平面部分的面積.
（3）將三角形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)后的三角形有一邊與正方形的一邊完全重合（第（2）小題的情況除外），請(qǐng)?jiān)谌鐖D中畫出符合條件的3種情況，并寫出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角
5．（2022·上海寶山·七年級(jí)期末）數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)：一些復(fù)雜的圖形運(yùn)動(dòng)是由若干個(gè)圖形基本運(yùn)動(dòng)組合形成的，如一個(gè)圖形沿一條直線翻折后再沿這條直線的方向平移，這樣的一種圖形運(yùn)動(dòng)，大家討論后把它稱為圖形的“翻移運(yùn)動(dòng)”，這條直線則稱為（這次運(yùn)動(dòng)的）“翻移線”如圖1，就是由沿直線1翻移后得到的．（先翻折，然后再平移）
(1)在學(xué)習(xí)中，興趣小組的同學(xué)就“翻移運(yùn)動(dòng)”對(duì)應(yīng)點(diǎn)（指圖1中的與，與…）連線是否被翻移線平分發(fā)生了爭(zhēng)議．對(duì)此你認(rèn)為如何？（直接寫出你的判斷）
(2)如圖2，在長(zhǎng)方形中，，點(diǎn)分別是邊中點(diǎn)，點(diǎn)在邊延長(zhǎng)線上，聯(lián)結(jié)，如果是經(jīng)過(guò)“翻移運(yùn)動(dòng)”得到的三角形．請(qǐng)?jiān)趫D中畫出上述“翻移運(yùn)動(dòng)”的“翻移線”直線；聯(lián)結(jié)，線段和直線交于點(diǎn)，若的面積為3，求此長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)的長(zhǎng)．
(3)如圖3，是（2）中的長(zhǎng)方形邊上一點(diǎn)，如果，先按（2）的“翻移線”直線翻折，然后再平移2個(gè)單位，得到，聯(lián)結(jié)線段，分別和“翻移線”交于點(diǎn)和點(diǎn)，求四邊形的面積．
6．（2022·上海浦東新·七年級(jí)期末）生活中，有人喜歡把傳送的便條折成“”形狀，折疊過(guò)程按圖①、②、③、④的順序進(jìn)行（其中陰影部分表示紙條的反面）：如果由信紙折成的長(zhǎng)方形紙條（圖①）長(zhǎng)為厘米，分別回答下列問(wèn)題：
如果長(zhǎng)方形紙條的寬為厘米，并且開(kāi)始折疊時(shí)起點(diǎn)與點(diǎn)的距離為厘米，那么在圖②中，________厘米； 在圖④中，________厘米．
如果長(zhǎng)方形紙條的寬為厘米，現(xiàn)不但要折成圖④的形狀，而且為了美觀，希望紙條兩端超出點(diǎn)的長(zhǎng)度相等，即最終圖形是軸對(duì)稱圖形，試求在開(kāi)始折疊時(shí)起點(diǎn)與點(diǎn)的距離（結(jié)果用表示）．
7．（2021·上海虹口·七年級(jí)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)部有兩個(gè)大小相同的長(zhǎng)方形AEFG、HMCN，HM與EF相交于點(diǎn)P，HN與GF相交于點(diǎn)Q，AG=CM=x，AE=CN=y．
（1）用含有x、y的代數(shù)式表示長(zhǎng)方形AEFG與長(zhǎng)方形HMCN重疊部分的面積S四邊形HPFQ，并求出x應(yīng)滿足的條件；
（2）當(dāng)AG=AE，EF=2PE時(shí)，
①AG的長(zhǎng)為_(kāi)______；
②四邊形AEFG旋轉(zhuǎn)后能與四邊形HMCN重合，請(qǐng)指出該圖形所在平面內(nèi)能夠作為旋轉(zhuǎn)中心的所有點(diǎn)，并分別說(shuō)明如何旋轉(zhuǎn)的．
8．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，（b＞a＞0），將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△．
(1)畫出△．
(2)將△ABC沿射線CB方向平移，平移后得△．
①當(dāng)平移距離等于a（點(diǎn)C2和點(diǎn)B重合）時(shí)，求四邊形的面積．（用a，b的代數(shù)式表示）
②若a＝1，b＝2，當(dāng)△的面積和△的面積相等時(shí)，平移距離多少？（直接寫出答案）
9．（2021·上海黃浦·七年級(jí)期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB邊上的一點(diǎn)．
（1）將△ADE繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DA與DC重合，點(diǎn)E落在點(diǎn)F處，畫出△DCF；
（2）聯(lián)結(jié)EF，若AE＝a，BE＝b，用含a、b的代數(shù)式表示下列三角形的面積并化簡(jiǎn)：
①△EFB的面積是 ．
②△DEF的面積是 ．
10．（2021·上海靜安·七年級(jí)期末）閱讀下列材料，解決問(wèn)題：
在處理分?jǐn)?shù)和分式問(wèn)題時(shí)，有時(shí)由于分子比分母大，或者分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實(shí)際運(yùn)算時(shí)往往難度比較大，這時(shí)我們可以考慮逆用分?jǐn)?shù)（分式）的加減法，將假分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個(gè)整數(shù)（或整式）與一個(gè)真分?jǐn)?shù)和（或差）的形式，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單式的分析來(lái)解決問(wèn)題，我們稱為分離整數(shù)法，此法在處理分式或整除問(wèn)題時(shí)頗為有效，現(xiàn)舉例說(shuō)明．
將分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式．
解：＝．
這樣，分式就拆分成一個(gè)整式x﹣2與一個(gè)分式的和的形式．
（1）將分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分子為整數(shù)的分式的和的形式，則結(jié)果為 ．
（2）已知整數(shù)x使分式的值為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x＝ ．
11．（2021·上海寶山·七年級(jí)期末）數(shù)學(xué)業(yè)余小組在活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)：
……
（1）請(qǐng)你在答題卡中寫出（補(bǔ)上）上述公式中積為的一行；
（2）請(qǐng)仔細(xì)領(lǐng)悟上述公式，并將分解因式：
（3）請(qǐng)將分解因式．
12．（2021·上海寶山·七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)為邊長(zhǎng)為的正方形的邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，連接，將繞著正方形的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到．
（1）寫出上述旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度數(shù)：
（2）連接，求的面積：
（3）如圖中，可以看作由先繞著正方形的頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再沿著方向平移個(gè)單位的二次基本運(yùn)動(dòng)所成，那么是否還可以看作由只通過(guò)一次旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)而成呢？如果可以，請(qǐng)寫出（同時(shí)在圖中畫出）旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度數(shù)，如果不能，則說(shuō)明理由．
13．（2020·上海松江·七年級(jí)期末）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為a，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)G在邊上，點(diǎn)E在邊的延長(zhǎng)線上，交邊于點(diǎn)H．連接、．
（1）用a，b表示的面積，并化簡(jiǎn)；
（2）如果點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、、，
①用a，b表示的面積，并化簡(jiǎn)；
②比較的面積和的面積的大?。?br>14．（2019·上海上?！て吣昙?jí)期末）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，現(xiàn)將長(zhǎng)方形向右平移，再向下平移后到長(zhǎng)方形的位置，
（1）當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)方形ABCD與長(zhǎng)方形A'B'C'D'的重疊部分面積等于________．
（2）如圖，用的代數(shù)式表示長(zhǎng)方形ABCD與長(zhǎng)方形的重疊部分的面積．
（3）如圖，用的代數(shù)式表示六邊形的面積．
15．（2020·上海寶山·七年級(jí)期末）已知：如圖①長(zhǎng)方形紙片ABCD中，．將長(zhǎng)方形紙片ABCD沿直線AE翻折，使點(diǎn)B落在AD邊上，記作點(diǎn)F，如圖②．

（1）當(dāng)，時(shí)，求線段FD的長(zhǎng)度；
（2）設(shè)、，如果再將沿直線EF向右起折，使點(diǎn)A落在射線FD上，記作點(diǎn)G，若線段，請(qǐng)根據(jù)題意畫出圖形，并求出x的值；
（3）設(shè)．，沿直線EF向右翻折后交CD邊于點(diǎn)H，連接FH，當(dāng)時(shí)，求的值．
16．（2020·上海嘉定·七年級(jí)期末）在某班小組學(xué)習(xí)的過(guò)程中，同學(xué)們碰到了這樣的問(wèn)題：“已知，，，求的值”．根據(jù)已知條件中式子的特點(diǎn)，同學(xué)們會(huì)想起，于是問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：“已知，，，求的值”，這樣解答就方便了
（1）通過(guò)閱讀，試求的值；
（2）利用上述解題思路，請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：已知，求的值
17．（2020·上海浦東新·七年級(jí)期末）在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，我們常常會(huì)利用一些變形技巧來(lái)簡(jiǎn)化式子，解答問(wèn)題．
閱讀材料：在解決某些分式問(wèn)題時(shí)，倒數(shù)法是常用的變形技巧之一，所謂倒數(shù)法，即把式子變成其倒數(shù)形式，從而運(yùn)用約分化簡(jiǎn)，以達(dá)到計(jì)算目的．
例：已知：，求代數(shù)式的值．
解：因?yàn)椋裕?br>即，即，
所以．
根據(jù)材料回答問(wèn)題（直接寫出答案）：
（1）已知，則_______．
（2）解分式方程組，解得，方程組的解為_(kāi)______．
18．（2020·上海市川沙中學(xué)南校七年級(jí)期末）如圖1，，，,把繞點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，同時(shí)繞點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)停止旋轉(zhuǎn)時(shí)也隨之停止旋轉(zhuǎn).設(shè)旋轉(zhuǎn)后的兩個(gè)角分別記為、，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒.
（1）如圖2，直線垂直于，將沿直線翻折至，請(qǐng)你直接寫出的度數(shù)，不必說(shuō)明理由；
（2）如圖1，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若射線與重合時(shí)，求的值；
（3）如圖1，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，直接寫出的值，不必說(shuō)明理由.
19．（2019·上海浦東新·七年級(jí)期末）如圖①，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，使．將一把直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊 在射線上，另一邊在直線的下方，其中
將圖②中的三角尺沿直線翻折至， 求的度數(shù)；
將圖①中的三角尺繞點(diǎn)按每秒的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為， 在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，在第幾秒時(shí)，直線恰好平分銳角．
將圖①中的三角尺繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)；當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)均在直線上方時(shí)(如圖③所示)，請(qǐng)?zhí)骄颗c之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必寫出理由．
20．（2018·上海市延安初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，已知三角形紙片，將紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕分別與邊交于點(diǎn)．
（1）畫出直線；
（2）若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，請(qǐng)畫出點(diǎn)；
（3）在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)，如果的面積為2，的面積為，那么的面積等于 ．
21．（2019·上?！ど贤飧街衅吣昙?jí)期末）已知，點(diǎn)和點(diǎn)是線段的兩個(gè)端點(diǎn)，線段，點(diǎn)是點(diǎn)和點(diǎn)的對(duì)稱中心，點(diǎn)是點(diǎn)和點(diǎn)的對(duì)稱中心，以此類推，(圖中未畫出)點(diǎn)是點(diǎn)和點(diǎn)的對(duì)稱中心．(為正整數(shù))
（1）填空：線段____________ ；線段_____________ (用含的最簡(jiǎn)代數(shù)式表示)
（2）試寫出線段的長(zhǎng)度(用含和的代數(shù)式表示，無(wú)需說(shuō)明理由)
22．（2018·上海同濟(jì)大學(xué)附屬存志學(xué)校七年級(jí)期末）在長(zhǎng)方形中，，現(xiàn)將長(zhǎng)方形向上平移，再向左平移后到長(zhǎng)方形的位置(的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，其它類似)．
當(dāng)時(shí)，請(qǐng)畫出平移后的長(zhǎng)方形，并求出長(zhǎng)方形與長(zhǎng)方形的重疊部分的面積．
當(dāng)滿足什么條件時(shí)，長(zhǎng)方形與長(zhǎng)方形有重疊部分(邊與邊疊合不算在內(nèi))，請(qǐng)用的代數(shù)式表示重疊部分的面積．
在平移的過(guò)程中，總會(huì)形成一個(gè)六邊形，試用來(lái)表示六邊形的面積．
23．（2022·上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校七年級(jí)期中）閱讀并思考：
計(jì)算時(shí)，山桂娜同學(xué)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)簡(jiǎn)單的口算方法，具體步驟如下：
第一步：47接近整十?dāng)?shù)50，；
第二步：取50的一半25，；
第三步：
第四步：把第二、三步綜合起來(lái)，．
(1)依此方法計(jì)算49：
第一步：49接近整十?dāng)?shù)50，；
第二步：取50的一半25，；
第三步：
第四步：把第二、三步綜合起來(lái)，．
(2)請(qǐng)你根據(jù)山桂娜同學(xué)的方法，填寫出一個(gè)正確的計(jì)算公式．
．
(3)利用乘法運(yùn)算說(shuō)明第（2）小題中這個(gè)公式的正確性．
(4)寫出利用這個(gè)公式計(jì)算的過(guò)程．
(5)計(jì)算也有一個(gè)簡(jiǎn)單的口算方法，具體步驟如下：
第一步：；
第二步：；
第三步：前面兩步的結(jié)果綜合起來(lái)，的結(jié)果是4221．
寫出上述過(guò)程所依據(jù)的計(jì)算公式_______________________．
(6)利用乘法運(yùn)算說(shuō)明第（5）小題中這個(gè)公式的正確性．
24．（2022·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）利用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算：
（1） = ；
= ．
在多項(xiàng)式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面計(jì)算結(jié)果作為結(jié)論逆運(yùn)用，則成為因式分解中的立方和與立方差公式．
已知，利用自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，以及立方和與立方差公式，解決下列問(wèn)題：
（2） ；（直接寫出答案）
（3） ；（直接寫出答案）
（4） ；（寫出解題過(guò)程）
25．（2021·上?！て吣昙?jí)期中）閱讀理解題
閱讀材料：
兩個(gè)兩位數(shù)相乘，如果這兩個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字的和是10，該類乘法的速算方法是：將一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字與另一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字加1的和相乘，所得的積作為計(jì)算結(jié)果的前兩位，將兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字之積作為計(jì)算結(jié)果的后兩位（數(shù)位不足兩位，用0補(bǔ)齊）．
比如，它們乘積的前兩位是，它們乘積的后兩位是，所以；
再如，它們乘積的前兩位是，它們乘積的后兩位是，所以；
又如，，不足兩位，就將6寫在百位：，不足兩位，就將9寫在個(gè)位，十位上寫0，所以
該速算方法可以用我們所學(xué)的整式乘法與分解因式的知識(shí)說(shuō)明其合理性；
設(shè)其中一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字是，（、表示1~9的整數(shù)），則該數(shù)可表示為，另一因數(shù)可表示為．
兩數(shù)相乘可得：
.
（注：其中表示計(jì)算結(jié)果的前兩位，表示計(jì)算結(jié)果的后兩位．）
問(wèn)題：
兩個(gè)兩位數(shù)相乘，如果其中一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相同，另一因數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和是10．
如、、等．
（1）探索該類乘法的速算方法，請(qǐng)以為例寫出你的計(jì)算步驟；
（2）設(shè)十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相同的因數(shù)的十位數(shù)字是，則該數(shù)可以表示為_(kāi)__________．
設(shè)另一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字是，則該數(shù)可以表示為_(kāi)__________．（、表示1~9的正整數(shù)）
（3）請(qǐng)針對(duì)問(wèn)題（1）（2）中的計(jì)算，模仿閱讀材料中所用的方法寫出如：的運(yùn)算式：____________________
26．（2021·上海·七年級(jí)期中）我們知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如圖可以得到．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）寫出圖中所表示的數(shù)學(xué)等式；
（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：已知，，求的值；
（3）小明同學(xué)打算用張邊長(zhǎng)為的正方形，張邊長(zhǎng)為的正方形，張相鄰兩邊長(zhǎng)為分別為、的長(zhǎng)方形紙片拼出了一個(gè)面積為 長(zhǎng)方形，那么他總共需要多少?gòu)埣埰?br>27．（2022·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）工廠接到訂單，需要邊長(zhǎng)為（a+3）和3的兩種正方形卡紙．
（1）倉(cāng)庫(kù)只有邊長(zhǎng)為（a+3）的正方形卡紙，現(xiàn)決定將部分邊長(zhǎng)為（a+3）的正方形紙片，按圖甲所示裁剪得邊長(zhǎng)為3的正方形．
①如圖乙，求裁剪正方形后剩余部分的面積（用含a代數(shù)式來(lái)表示）；
②剩余部分沿虛線又剪拼成一個(gè)如圖丙所示長(zhǎng)方形（不重疊無(wú)縫隙），則拼成的長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)多少？（用含a代數(shù)式來(lái)表示）；
（2）若將裁得正方形與原有正方形卡紙放入長(zhǎng)方體盒子底部，按圖1，圖2兩種方式放置（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），盒子底部中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2測(cè)得盒子底部長(zhǎng)方形長(zhǎng)比寬多3，則S2﹣S1的值為 ．
28．（2021·上海·七年級(jí)期中）賈憲三角（如圖）最初于11世紀(jì)被發(fā)現(xiàn)，原圖（圖2左）載于我國(guó)北宋時(shí)期數(shù)學(xué)家賈憲的著作中.這一成果比國(guó)外領(lǐng)先600年！這個(gè)三角形的構(gòu)造法則是：兩腰都是1，其余每個(gè)數(shù)為其上方左右兩數(shù)之和.它給出（a+b）n（n為正整數(shù)）展開(kāi)式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律.例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)著的展開(kāi)式中的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)著展開(kāi)式中的系數(shù)；等等．
(1)請(qǐng)根據(jù)賈憲三角直接寫出的展開(kāi)式：
．
．
（2）請(qǐng)用多項(xiàng)式乘法或所學(xué)的乘法公式驗(yàn)證你寫出的的結(jié)果．
29．（2021·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）甲?乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)到B地，距離為100千米．
（1）若甲從A地出發(fā)，先以20千米/小時(shí)的速度到達(dá)中點(diǎn)，再以25千米/小時(shí)的速度到達(dá)B地，求走完全程所用的時(shí)間．
（2）若甲從A地出發(fā)，先以千米/小時(shí)的速度到達(dá)中點(diǎn)，再以千米/小時(shí)的速度到達(dá)B地．乙從A地出發(fā)到B地的速度始終保持V千米/小時(shí)不變，請(qǐng)問(wèn)甲?乙誰(shuí)先到達(dá)B地?
（3）若甲以a千米/時(shí)的速度行走x小時(shí)，乙以b千米/時(shí)的速度行走x小時(shí)，此時(shí)甲距離終點(diǎn)為千米，乙距離終點(diǎn)為千米．分式對(duì)一切有意義的x值都有相同的值，請(qǐng)?zhí)剿鱝，b應(yīng)滿足的條件．
30．（2021·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）“拼圖，推演，得到了整式的乘法的法則和乘法公式．教材第9章頭像拼圖這樣，借助圖形往往能把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象.
【分?jǐn)?shù)運(yùn)算】
怎樣理解？

從圖形的變化過(guò)程可以看出，長(zhǎng)方形先被平均分成3份，取其中的2份（涂部分）；再將涂色部分平均分成5份，取其中4份（涂部分）.這樣，可看成原長(zhǎng)方形被平均分成15份，取出其中8份，所以的占原長(zhǎng)方形的，即.
【嘗試推廣】
（1）①類比分?jǐn)?shù)運(yùn)算，猜想的結(jié)果是____________；（a、b、c、d均為正整數(shù)，且，）；
②請(qǐng)用示意圖驗(yàn)證①的猜想并用文字簡(jiǎn)單解釋.
（2）①觀察下圖，填空：____________；
②若a、b均為正整數(shù)且，猜想的運(yùn)算結(jié)果，并用示意圖驗(yàn)證你的猜想，同時(shí)加以簡(jiǎn)單的文字解釋.
31．（2021·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）定義：如果一個(gè)分式能化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個(gè)分式為“和諧分式”．如：，，則和都是“和諧分式”．
（1）下列分式中，不屬于“和諧分式”的是 （填序號(hào)）．
① ② ③ ④
（2）將“和諧分式”化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式．
（3）應(yīng)用：先化簡(jiǎn)，并求取什么整數(shù)時(shí)，該式的值為整數(shù)．
32．（2021·上海·七年級(jí)期末）在某班小組學(xué)習(xí)的過(guò)程中，同學(xué)們碰到了這樣的問(wèn)題：“已知，，，求的值”．根據(jù)已知條件中式子的特點(diǎn)，同學(xué)們會(huì)想起，于是問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：“已知，，，求的值”，這樣解答就方便了．
(1)通過(guò)閱讀，試求的值；
(2)利用上述解題思路請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：已知，求的值．
33．（2022·山西晉中·七年級(jí)期中）數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，它包含兩個(gè)方面，第一種是“以數(shù)解形”，第二種是“以形助數(shù)”，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微”．請(qǐng)你使用數(shù)形結(jié)合這種思想解決下面問(wèn)題：
圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2a，寬為2b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分為四塊完成相同的小長(zhǎng)方形，然后按照?qǐng)D2的形狀拼成一個(gè)正方形．
(1)觀察圖2，用兩種方法計(jì)算陰影部分的面積，可以得到一個(gè)等式，請(qǐng)使用代數(shù)式，，ab寫出這個(gè)等式_____________．
(2)運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算：若m、n為實(shí)數(shù)，且，，試求的值．
(3)如圖3，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分的面積．
34．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1的兩個(gè)長(zhǎng)方形可以按不同的形式拼成圖2和圖3兩個(gè)圖形．
(1)在圖2中的陰影部分的面積S1可表示為 ；（寫成多項(xiàng)式乘法的形式）；在圖3中的陰影部分的面積S2可表示為 ；（寫成兩數(shù)平方差的形式）；
(2)比較圖2與圖3的陰影部分面積，可以得到的等式是 ；
A.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
B.（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C.（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2
(3)請(qǐng)利用所得等式解決下面的問(wèn)題：
①已知4m2﹣n2＝12，2m＋n＝4，則2m﹣n＝ ；
②計(jì)算（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1的值，并直接寫出該值的個(gè)位數(shù)字是多少．
35．（2022·山東省青島第六十三中學(xué)八年級(jí)期中）數(shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想．我們常利用數(shù)形結(jié)合思想，借助形的幾何直觀性來(lái)闡明數(shù)之間某種關(guān)系，如：探索整式乘法的一些法則和公式．
(1)探究一：
將圖1的陰影部分沿虛線剪開(kāi)后，拼成圖2的形狀，拼圖前后圖形的面積不變，因此可得一個(gè)多項(xiàng)式的分解因式____________________．
(2)探究二：類似地，我們可以借助一個(gè)棱長(zhǎng)為的大正方體進(jìn)行以下探索：
在大正方體一角截去一個(gè)棱長(zhǎng)為的小正方體，如圖3所示，則得到的幾何體的體積為_(kāi)___________；
(3)將圖3中的幾何體分割成三個(gè)長(zhǎng)方體①、②、③，如圖4、圖5所示，∵，，，∴長(zhǎng)方體①的體積為．類似地，長(zhǎng)方體②的體積為_(kāi)_______，長(zhǎng)方體③的體積為_(kāi)_______；（結(jié)果不需要化簡(jiǎn)）
(4)用不同的方法表示圖3中幾何體的體積，可以得到的恒等式（將一個(gè)多項(xiàng)式因式分解）為_(kāi)_____________．
(5)問(wèn)題應(yīng)用：利用上面的結(jié)論，解決問(wèn)題：已知a-b=6，ab=2，求的值．
(6)類比以上探究，嘗試因式分解：= ．
36．（2022·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)期末）方法探究：
已知二次多項(xiàng)式，我們把代入多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)，由此可以推斷多項(xiàng)式中有因式（x＋3）．設(shè)另一個(gè)因式為（x＋k），多項(xiàng)式可以表示成，則有，因?yàn)閷?duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)是對(duì)應(yīng)相等的，即，解得，因此多項(xiàng)式分解因式得：．我們把以上分解因式的方法叫“試根法”．
問(wèn)題解決：
(1)對(duì)于二次多項(xiàng)式，我們把x＝ 代入該式，會(huì)發(fā)現(xiàn)成立；
(2)對(duì)于三次多項(xiàng)式，我們把x＝1代入多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)，由此可以推斷多項(xiàng)式中有因式（），設(shè)另一個(gè)因式為（），多項(xiàng)式可以表示成，試求出題目中a，b的值；
(3)對(duì)于多項(xiàng)式，用“試根法”分解因式．
37．（2022·浙江杭州·七年級(jí)期中）觀察下列各式：
，
(1)從上面的算式及計(jì)算結(jié)果，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫下面的空格：________；
(2)用數(shù)學(xué)的整體思想方法，設(shè)，分解因式：，；
(3)已知，a、b、c、d都是正整數(shù)，且，化簡(jiǎn)求的值．
38．（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）知識(shí)與方法上的類比是探索發(fā)展重要途徑，是發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、結(jié)論的重要方法．閱讀材料：利用整體思想解題，運(yùn)用代數(shù)式的恒等變形，使不少依照常規(guī)思路難以解決的問(wèn)題找到簡(jiǎn)便解決方法，常用的途徑有：（1）整體觀察；（2）整體設(shè)元；（3）整體代入；（4）整體求和等．
例1：分解因式
解：將“”看成一個(gè)整體，令
原式
例2：已知，求的值．
解：
請(qǐng)根據(jù)閱讀材料利用整體思想解答下列問(wèn)題：
(1)根據(jù)材料，請(qǐng)你模仿例1嘗試對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解；
(2)計(jì)算：______
(3)①已知，求的值；
②若，直接寫出的值．
39．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）我們定義：如果兩個(gè)分式與的差為常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)為正數(shù)，則稱是的“雅中式”，這個(gè)常數(shù)稱為關(guān)于的“雅中值”．
如分式，，，則是的“雅中式”，關(guān)于的“雅中值”為．
（1）已知分式，，判斷是否為的“雅中式”，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若是，請(qǐng)證明并求出關(guān)于的“雅中值”；
（2）已知分式，，是的“雅中式”，且關(guān)于的“雅中值”是，為整數(shù)，且“雅中式”的值也為整數(shù)，求所代表的代數(shù)式及所有符合條件的的值之和；
（3）已知分式，，（、、為整數(shù)），是的“雅中式”，且關(guān)于的“雅中值”是1，求的值．
40．（2020·湖南·李達(dá)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）閱讀下面材料并解答問(wèn)題
材料：將分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式．
解：由分母為，可設(shè)，
則
∵對(duì)任意上述等式均成立，
∴且，∴，
∴
這樣，分式被拆分成了一個(gè)整式與一個(gè)分式的和
解答：（1）將分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式
（2）求出的最小值．
41．（2021·山東·夏津縣萬(wàn)隆實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）[知識(shí)生成]通常，用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)恒等式．
例如：如圖①是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按圖②的形狀拼成一個(gè)正方形．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）圖②中陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)是________________；
（2）請(qǐng)用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積：
方法1:________________________；方法2：_______________________；
（3）觀察圖②，請(qǐng)你寫出（a+b）2、、之間的等量關(guān)系是____________________________________________；
（4）根據(jù)（3）中的等量關(guān)系解決如下問(wèn)題:若，，則=
[知識(shí)遷移]
類似地，用兩種不同的方法計(jì)算同一幾何體的體積，也可以得到一個(gè)恒等式．
（5）根據(jù)圖③，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：____________________________；
（6）已知，，利用上面的規(guī)律求的值．

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