專題2.7 有理數(shù)的乘除法【十大題型】-最新蘇教版七年級上冊數(shù)學精講精練-試卷下載-教習網(wǎng)

1、注重生活聯(lián)系，形式活潑多樣。初中生的數(shù)學思維能力正逐步由直觀形象思維向抽象思維發(fā)展。這個發(fā)展需要一定的過程。
2、注重動手操作，引導學生“做”數(shù)學。有效的數(shù)學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，自主探索與合作交流也是學習數(shù)學的重要方法。
3、注重“過程”和數(shù)學思想方法。新教材通過讓學生親身經(jīng)歷知識的形成過程，使學生的學習過程更多地成為其發(fā)現(xiàn)數(shù)學、了解數(shù)學、體驗數(shù)學的過程。
專題2.7 有理數(shù)的乘除法【十大題型】
【蘇科版2024】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc29337" 【題型1 利用有理數(shù)的乘法辨別符號】 PAGEREF _Tc29337 \h 2
\l "_Tc29585" 【題型2 利用有理數(shù)乘法運算律進行巧算】 PAGEREF _Tc29585 \h 2
\l "_Tc16565" 【題型3 倒數(shù)、絕對值、相反數(shù)的綜合求值】 PAGEREF _Tc16565 \h 3
\l "_Tc4683" 【題型4 有理數(shù)乘法的實際應用】 PAGEREF _Tc4683 \h 3
\l "_Tc20793" 【題型5 有理數(shù)的混合運算】 PAGEREF _Tc20793 \h 4
\l "_Tc2640" 【題型6 有理數(shù)四則運算的實際應用】 PAGEREF _Tc2640 \h 5
\l "_Tc2710" 【題型7 利用倒數(shù)法求解有理數(shù)的除法】 PAGEREF _Tc2710 \h 6
\l "_Tc8083" 【題型8 化簡分數(shù)】 PAGEREF _Tc8083 \h 7
\l "_Tc5600" 【題型9 與有理數(shù)乘除有關的新定義問題】 PAGEREF _Tc5600 \h 8
\l "_Tc28439" 【題型10 有理數(shù)四則運算中的分類討論思想的運用】 PAGEREF _Tc28439 \h 8
知識點1：有理數(shù)的乘法
1.有理數(shù)的乘法
有理數(shù)乘法法則：（下列法則中a、b為正有理數(shù)，c為任意有理數(shù)）
兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，積的絕對值兩乘數(shù)的絕對值的積。任何數(shù)同0相乘，都得0。
即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。
有理數(shù)乘法的運算步驟：先確定積的符號，再確定積的絕對值。
多個有理數(shù)相乘：幾個不是0的數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為正數(shù)；負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積為負數(shù)，即“奇負偶正”。幾個數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0，那么積等于0。
多個有理數(shù)相乘的運算步驟：先用上面的方法確定符號，再將各乘數(shù)的絕對值相乘作為積的絕對值。
2.有理數(shù)乘法運算律
乘法交換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個數(shù)相乘，交換乘數(shù)的位置，積不變。即：。
乘法結合律：一般地，有理數(shù)乘法中，三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積不變。
即：。
乘法分配律：一般地，有理數(shù)乘法中，一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別與這兩個數(shù)相乘，再把積相加。即：。
【題型1 利用有理數(shù)的乘法辨別符號】
【例1】（23-24七年級·浙江紹興·階段練習）4個有理數(shù)相乘，積的符號是負號，則這4個有理數(shù)中，負數(shù)有 ( )
A．1個或3個B．1個或2個C．2個或4個D．3個或4個
【變式1-1】（23-24七年級·安徽合肥·階段練習）若a?b0，那么這兩個數(shù)（）
A．都是正數(shù)B．都是負數(shù)C．一正一負D．符號不能確定
【變式1-2】（23-24七年級·重慶江津·階段練習）已知a>b>c，且a+b+c=0，那么乘積ac的值一定是（）
A．正數(shù)B．負數(shù)C．0D．不能確定
【變式1-3】（23-24七年級·安徽宣城·期末）如圖，A，B兩點在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是a，b，下列式子成立的是（）
A．a(chǎn)b>0B．a(chǎn)+b>0C．a(chǎn)?1b?1>0D．a(chǎn)+1b?1>0
【題型2 利用有理數(shù)乘法運算律進行巧算】
【例2】（23-24七年級·全國·假期作業(yè)）計算：(?1×2)×(?12×32)×(?23×43)×(?34×54)×…×(?20212022×20232022)×(?20222023×20242023)．
【變式2-1】（23-24七年級·全國·課后作業(yè)）計算1557×716，最簡便的方法是（）
A．15+57×716B．16?27×716C．1107×716D．10+557×716
【變式2-2】（23-24七年級·全國·隨堂練習）用簡便方法計算：
(1)?7.5×+25×?0.04；
(2)?4120×1.25×?8．
【變式2-3】（23-24七年級·江蘇鹽城·階段練習）用簡便方法計算：
(1)191718×?9；
(2)0.618×97+3×0.618．
知識點2：倒數(shù)
1）倒數(shù)的概念：乘積是的兩個數(shù)互為倒數(shù)。
2）倒數(shù)的性質(zhì)：（1）倒數(shù)是成對出現(xiàn)的，單獨一個數(shù)不能稱為倒數(shù)。（2）沒有倒數(shù)。（3）互為倒數(shù)的兩個數(shù)的乘積一定是，即，互為倒數(shù)，則；反之亦然．
3）求一個非零有理數(shù)的倒數(shù)，把它的分子和分母顛倒位置即可。
（1）非零整數(shù)可以看作分母為的分數(shù)后再求倒數(shù)；（2）帶分數(shù)一定要先化成假分數(shù)之后再求倒數(shù)。
【題型3 倒數(shù)、絕對值、相反數(shù)的綜合求值】
【例3】（23-24七年級·重慶·期末）?1.5的倒數(shù)的絕對值的相反數(shù)為．
【變式3-1】（23-24七年級·浙江·階段練習）甲、乙兩同學進行數(shù)字猜謎游戲，甲說：一個數(shù)a的相反數(shù)是它本身，乙說：一個數(shù)b的倒數(shù)也是它本身，則a-b=
【變式3-2】（23-24七年級·四川成都·期末）若a，b互為相反數(shù)，a+1的倒數(shù)是?14，則b的值為．
【變式3-3】（23-24七年級·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）已知a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，m的絕對值等于4，p是數(shù)軸上原點表示的數(shù)．
(1)分別直接寫出a+b，cd，m，p的值；
(2)p?cd+a+bcd+m的值是多少？
【題型4 有理數(shù)乘法的實際應用】
【例4】（23-24七年級·廣東廣州·開學考試）如圖，把A，B，C，D，E這五部分用四種不同的顏色著色，且相鄰的部分不能使用同一種顏色，不相鄰的部分可以使用同一種顏色．那么，這幅圖一共有種不同的著色方法．

【變式4-1】（23-24七年級·黑龍江大慶·期末）某商店將一種取暖器先提價20%，然后宣傳打八五折銷售，取暖器的現(xiàn)價（）
A．和原來一樣B．比原來降了C．比原來漲了D．無法判斷
【變式4-2】（23-24·江西吉安·三模）《九章算術》是我國古代第一部數(shù)學專著，不僅最早提到分數(shù)問題，也首先記錄了“盈不足”等問題，在第七章“盈不足”中有這樣一個問題：“今有蒲生一日，長三尺．蒲生日自半”．其意思是“有蒲這種植物，蒲第一日長了3尺，以后蒲每日生長的長度是前一日生長的長度的一半”．根據(jù)題意，第三日蒲生長的長度為尺．
【變式4-3】（23-24七年級·山東臨沂·期末）某公園門票價格如下表，有28名中學生游公園，則最少應付費元．（游客只能在公園售票處購票）
知識點3：有理數(shù)的除法
1）有理數(shù)除法法則1：除以一個不等于的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。即：，()。
有理數(shù)除法法則2：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，且商的絕對值等于被除數(shù)的絕對值除以除數(shù)的絕對值的商。除以任何一個不等于的數(shù)，都得。
2）有理數(shù)除法的運算步驟：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果。
有理數(shù)的乘除混合運算：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果。
【題型5 有理數(shù)的混合運算】
【例5】（23-24七年級·重慶九龍坡·階段練習）計算
(1)?25÷?13÷?325×523
(2)1÷?18+73÷15?23
【變式5-1】（23-24七年級·福建廈門·期中）下面是小明的計算過程，請仔細閱讀，并解答下面的問題．
計算：(?15)÷(13?3?32)×6
解：原式=(?15)÷(?256)×6……第一步
=(?15)÷(?25)……第二步
=?35……第三步
解答過程是否有錯，若有，錯在第幾步？錯誤原因是什么？最后請寫出正確的過程．
【變式5-2】（23-24七年級·吉林白城·階段練習）計算：?45×214+?14×45?112×?45．
【變式5-3】（23-24七年級·河北石家莊·階段練習）老師布置了一道練習：計算?16÷14?13×12．
嘉嘉和淇淇的解答過程如下：
(1)①嘉嘉解題過程中開始出現(xiàn)錯誤的是第______步；
②淇淇解題過程中開始出現(xiàn)錯誤的是第______步．
(2)把正確的解題過程寫出來．
(3)計算：?24×34+16?58÷14．
【題型6 有理數(shù)四則運算的實際應用】
【例6】（23-24七年級·山東威?！て谥校庀蠼y(tǒng)計資料表明：高山上的溫度每升高100米，平均氣溫下降0.6℃．已知山腳的溫度是8℃．
(1)若這座山的高度是2千米，求山頂?shù)臏囟龋?br>(2)小明在上山過程中看到溫度計上的讀數(shù)是?1℃，此時他距山腳有多高？
【變式6-1】（23-24七年級·貴州銅仁·階段練習）某服裝公司2017年四個季度的盈虧情況如下：第一季度平均每月虧損1.5萬元，第二季度在全體員工的努力下，平均每月盈利2萬元，第三季度平均每月盈利1.7萬元，第四季度平均每月虧損2.9萬元，那么這個公司2017年平均每月盈虧情況如何？
【變式6-2】（23-24七年級·四川成都·期中）小張第一次用180元購買了8套兒童服裝，以一定價格出售.如果以每套兒童服裝80元的價格為標準，超出的記作整數(shù)，不足的記作負數(shù)，記錄如下（單位：元）：
+12,?13,+15,+11,?17,?11,0,?13.
請通過計算說明：
（1）小張賣完這8套兒童服裝后是盈利還是虧損？盈利（或虧損）了多少錢？
（2）每套兒童服裝的平均售價是多少元？
（3）小張第二次用第一次的進價再次購買900元的兒童服裝，如果他預計第二次每套服裝的平均售價75元，按他的預計第二次售價可獲利多少元？
【變式6-3】（23-24七年級·四川成都·期中）居民生活中使用天然氣實行階梯式計價，用戶每月用氣量在20立方米及以內(nèi)的為第一級基數(shù)，按一級用氣價格收取；超過20立方米且不超過30立方米的部分為第二級氣量基數(shù)，按一級用氣價格的1.5倍收?。撼^30立方米的部分為第三級氣量基數(shù)，按一級用氣價格的1.8倍收取．為節(jié)約用氣量，小明記錄了1－7月份他家每月1號的氣表讀數(shù)．
（1）直接寫出小明家1月份的用氣量____________立方米及1－6月平均每月用氣量為_______立方米．
（2）已知小明家2月份的氣費為36元，試求他家6月份需交氣費多少元？
（3）7月份放暑假后，小明的爺爺、奶奶及表哥來到家里和小明一起生活，并多次請客，用氣量明顯增加，比6月份多用氣12立方米，試求小明家7月份需交納氣費多少元？
【題型7 利用倒數(shù)法求解有理數(shù)的除法】
【例7】（23-24七年級·遼寧鞍山·階段練習）閱讀下列材料，并解答問題：
材料一：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，如ab和ba，即若設a÷b=x，則b÷a=1x；
材料二：分配律：a+bc=ac+bc；
利用上述材料，請用簡便方法計算：?160÷13?14+112．
【變式7-1】（23-24七年級·吉林長春·階段練習）我們學過了乘法分配律，但是在做除法運算時就不能使用分配律．對于下面這道計算題：?142÷16?27+23?314，小明有了自己的想法，小明的做法是：先求原式的倒數(shù)：16?27+23?314÷?142=16?27+23?314×(?42)=?16×42+27×42?23×42+314×42＝﹣7+12﹣28+9＝﹣14，所以原式＝﹣114請你仿照以上小明的做法計算：?124÷1?112?38+712
【變式7-2】（23-24七年級·全國·隨堂練習）閱讀材料，回答問題．
計算：?115÷15?13．
解：方法一：原式=?115÷315?515=?115÷?215=12．
方法二：原式的倒數(shù)為：15?13÷?115=15?13×?15=15×?15?13×?15=?3+5=2
故原式=12．
用適當?shù)姆椒ㄓ嬎悖?130÷23?110+16?25．
【變式7-3】（23-24七年級·浙江杭州·階段練習）閱讀下列材料：
計算：160÷13?14+112．
解法①：原式=160÷13?160÷14+160÷112=160×3?160×4+160×12=1160．
解法②：原式=160÷412?312+112=160÷16=160×6=110．
解法③：原式的倒數(shù)為13?14+112÷160=13?14+112×60=13×60?14×60+112×60=20?15+5=10，
∴原式=110
解法④：原式=160×60÷13?14+112×60=1÷20?15+5=110
(1)上述解法中，肯定有錯誤的解法．你認為解法是錯誤的；
(2)在正確的解法中，選擇一種解法計算：?142÷37?514+23?16
【題型8 化簡分數(shù)】
【例8】（23-24七年級·全國·專題練習）化簡下列分數(shù)：
(1)?217；
(2)3?36；
(3)?54?8；
(4)?6?0.3．
【變式8-1】（23-24·上海楊浦·三模）下列分數(shù)中，能化為有限小數(shù)的是（）
A．112B．312C．115D．515
【變式8-2】（23-24七年級·全國·課后作業(yè)）化簡下列各分數(shù)：?1255= ，4?36= ，?3?12= ，?5?0.2= ．
【變式8-3】（23-24七年級·全國·專題練習）如果y

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