\l "_Tc169197490" 01方法技巧與總結(jié) PAGEREF _Tc169197490 \h 2
\l "_Tc169197491" 02題型歸納總結(jié) PAGEREF _Tc169197491 \h 2
\l "_Tc169197492" 題型一：直接法 PAGEREF _Tc169197492 \h 2
\l "_Tc169197493" 題型二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造） PAGEREF _Tc169197493 \h 6
\l "_Tc169197494" 題型三：分析法 PAGEREF _Tc169197494 \h 11
\l "_Tc169197495" 題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù) PAGEREF _Tc169197495 \h 14
\l "_Tc169197496" 題型五：對數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友 PAGEREF _Tc169197496 \h 20
\l "_Tc169197497" 題型六：放縮法 PAGEREF _Tc169197497 \h 24
\l "_Tc169197498" 題型七：虛設零點 PAGEREF _Tc169197498 \h 31
\l "_Tc169197499" 題型八：同構(gòu)法 PAGEREF _Tc169197499 \h 37
\l "_Tc169197500" 題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理 PAGEREF _Tc169197500 \h 43
\l "_Tc169197501" 題型十：分段分析法、主元法、估算法 PAGEREF _Tc169197501 \h 50
\l "_Tc169197502" 題型十一：割線法證明零點差大于某值，切線法證明零點差小于某值 PAGEREF _Tc169197502 \h 55
\l "_Tc169197503" 題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題 PAGEREF _Tc169197503 \h 60
\l "_Tc169197504" 題型十三：三角函數(shù) PAGEREF _Tc169197504 \h 67
\l "_Tc169197505" 03過關測試 PAGEREF _Tc169197505 \h 72
利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
（4）對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友
（5）凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題
（6）同構(gòu)變形
題型一：直接法
【典例1-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當時，．（參考數(shù)據(jù)：）
【解析】（1）由題意得，
當時，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，
當時，令，解得．
當時，，當，．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
綜合得：當時，在上單調(diào)遞減，
當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2）由（1）可知，當時，的最小值為．
要證成立，需成立，
即證．
令，則．
令，得（負值舍去）．
當時，；當時，．
因此在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．
所以當時，取得最小值，，
故當時，．
【典例1-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當時，．
【解析】（1）的定義域為，．
若，則，在上單調(diào)遞減：
若，則由得，當時，；當時，；
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
故當時，在上單調(diào)遞減：
當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2）方法1，當時，由（1）知，當時，取得最小值．
所以，從而．
設，則．
當時，；當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故當時，，
故當時，，即；
方法2：當時，由（1）知，當時，取得最小值，
所以，從而，
令，，
當時，；當時，；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，當?shù)忍柍闪ⅲ?br>所以，當時，，
即.
【變式1-1】（2024·四川·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)若有3個極值點，求a的取值范圍；
(2)若，，證明：．
【解析】（1）由有3個極值點，
可得到具有3個變號零點，
當時不是的零點，
則可得在有3個交點，
構(gòu)造函數(shù)，，
則，令，解得，
所以當，，單調(diào)遞增，
當，，單調(diào)遞減，
當，，單調(diào)遞增，
所以，
而當時，，當時，，當時，,
所以,
則的取值范圍為.
（2）構(gòu)造函數(shù)
則，且，
構(gòu)造函數(shù)，則，
再令，則，
因為時，則，在單調(diào)遞增，
而，所以在單調(diào)遞增，
所以，所以在單調(diào)遞增，
故，即.
【變式1-2】已知函數(shù)，．
(1)求的最小值；
(2)證明：．
【解析】（1）的定義域為，，
令解得，又因為當時，為增函數(shù)，
故當時，，則在上單調(diào)遞減；
當時，，則在上單調(diào)遞增；
故，故．
（2），，則，
故當時，，則在單調(diào)遞增；
當時，，則在單調(diào)遞減；
故．
又因為，所以（當且僅當時，取“”），
所以．
【變式1-3】（2024·寧夏吳忠·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當時，．
【解析】（1）由題意知，
當時，，所以在上單調(diào)遞減；
當時，令，解得，
令，解得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
（2）由（1）得，
要證，即證，即證，
令，則，
令，解得，令，解得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
則恒成立，
所以當時，.
題型二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造）
【典例2-1】（2024·河北滄州·模擬預測）對于函數(shù)和，設，若存在使得，則稱和互為“零點相鄰函數(shù)”.設，，且和互為“零點相鄰函數(shù)”.
(1)求的取值范圍；
(2)令（為的導函數(shù)），分析與是否互為“零點相鄰函數(shù)”；
(3)若，證明：.
【解析】（1）令，得，
令，得，
①，解得，
②，解得，
所以的取值范圍為.
（2），則，
令，得，
當時，單調(diào)遞減，
當時，單調(diào)遞增，
所以，
又，
當時，無零點，
所以與不互.為“零點相鄰函數(shù)”；
當時，，函數(shù)的零點為，
所以與互為“零點相鄰函數(shù)”；
當時，，又因為，
所以此時在區(qū)間內(nèi)存在零點，所以與互為“零點相鄰函數(shù)”；
當時，，又因為，
所以在區(qū)間內(nèi)存在零點，所以與互為“零點相鄰函數(shù)”.
綜上，當時，與不互為“零點相鄰函數(shù)”，
當時，與互為“零點相鄰函數(shù)”.
（3）當時，，
設，則，
則，
設，則，
令，
則，
所以在上單調(diào)遞減，
又，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，
又，所以，得證.
【典例2-2】（2024·湖北荊州·三模）已知函數(shù)
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求證：函數(shù)的圖象位于直線的下方；
【解析】（1），則，
又，
所以曲線在點處的切線方程為；
（2）因為，所以，要證明，只需要證明，
即證，
令，則，
當時，，此時在上單調(diào)遞增，
當時，，此時在上單調(diào)遞減，
故在取極大值也是最大值，故，
所以恒成立，即原不等式成立，
所以函數(shù)的圖象位于直線的下方.
【變式2-1】已知函數(shù)有且只有一個零點，其中．
(1)求的值；
(2)若對任意的，有成立，求實數(shù)的最大值；
(3)設，對任意，證明：不等式恒成立．
【解析】（1）的定義域為，．
由，得．
∵ 當時，則在區(qū)間上是增函數(shù)，
當時，，在區(qū)間上是減函數(shù)，
∴ 在處取得極大值也為最大值．
由題意知，解得．
（2）由（1）知，
當時，取得，，知不合題意．
當時，設．
則．
令，得，．
①若≤0，即≤時，在上恒成立，
∴ 在上是增函數(shù)，從而總有，
即在上恒成立．
②若，即時，對于，，
∴ 在上單調(diào)遞減．
于是，當取時，，即不成立．
故不合題意．
綜上，的最大值為．
（3）由．不妨設，
則要證明，
只需證明，
即，
即證．
設，則只需證明，化簡得．
設，則， ∴ 在上單調(diào)遞增，
∴ ，即，得證．
故原不等式恒成立．
【變式2-2】設，當時，求證：．
【解析】要證時，，只需證，
記，則，
當時，，所以在上單調(diào)遞增，故，
所以，
要證時，，只需證，
記，則，
當時，，
所以在上單調(diào)遞增，故，
所以，
綜上，，
【變式2-3】（2024·山東菏澤·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若，證明:．
【解析】（1），
令，所以，
由可得，由可得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以.
又因為，所以，即，且至多在一個點處取到.
所以在上單調(diào)遞減，沒有單調(diào)遞增區(qū)間.
（2）證明，
只需證：，
即證：，
令，所以，
只需證：，
即證：，
由（1）知，當時，在上單調(diào)遞減，
所以當時，，
即，
所以.
題型三：分析法
【典例3-1】已知函數(shù)，當時，證明：.
【解析】當時，有，
所以，要證，只需證，
即證，,
設，則，令，則，
當時，，當時，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，即，
所以，得證.
【典例3-2】已知函數(shù)，．
(1)若直線是函數(shù)的圖象的切線，求實數(shù)的值；
(2)當時，證明：對于任意的，不等式恒成立．
【解析】（1）直線是函數(shù)的圖象的切線，設切點為，
，，得．
切點在函數(shù)的圖象上，，
代入得，解得或．
再代入解得或，
∴實數(shù)的值為1或．
（2）證明：要證，即，
，，又由知即證，
設，則．
令，則，由，得，
當時，；當時，，
在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
在上，，即，
令，則，設，則．
令，得，當時，，當時，，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上有最小值，為．
的最小值為，原不等式得證．
【變式3-1】（2024·山東·模擬預測）已知函數(shù)，其中.
(1)求曲線在點處切線的傾斜角；
(2)若函數(shù)的極小值小于0，求實數(shù)的取值范圍；
(3)證明：.
【解析】（1）由，
所以，
設曲線在點處切線的傾斜角為，則，
又因為，所以，
所以曲線在點處切線的傾斜角為0.
（2）由（1）知，且，解得：或，
當時，，，，，，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，解得，
所以；
當時，，，，，，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
即此時極小值不可能小于0，所以當時不符合題意；
當時，恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，即函數(shù)無極值，不滿足題意，
所以當時不符合題意；
當時，，，，，，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，解得，
所以；
綜上可知實數(shù)的取值范圍為或.
（3）由（2）知，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，即，即，兩邊取自然對數(shù)得：，則.
要證成立，只需證，.
兩邊同除得：，即.
只需證：，即證，
令，，，解得：，
當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，
所以，即，
經(jīng)檢驗，當時，成立.
綜上可知不等式得證.
題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù)
【典例4-1】已知函數(shù)，證明：當時，.
【解析】由題意等價于，
設函數(shù)，則．
當時，，所以在單調(diào)遞減．
而，故當時，，即．
【典例4-2】（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)求的最大值；
(2)證明：當時，．
【解析】（1）函數(shù)的定義域為，求導得，
當時，，函數(shù)遞增，當時，，函數(shù)遞減，
所以當時，函數(shù)取得最大值.
（2）令函數(shù)，求導得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此，，由（1）知，恒成立，
所以，即當時，.
【變式4-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，．
(1)若函數(shù)的最小值與的最小值之和為，求的值．
(2)若，，證明：．
【解析】（1）因為，所以．
令，解得．
所以當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增．
所以．
因為，，所以．
令，解得．
所以當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增，
所以．
由題意可得，解得．
（2）證明：方法一 當時，，，則．
要證，即證，．
令，，則．
令，，則，
所以當時，，所以在上單調(diào)遞增．
因為，，
所以在上存在唯一零點，且當時，；當時，．
所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．
所以．
由，得，所以．
兩邊取對數(shù)，得，所以，
所以，即．
因為，所以，即．
方法二 要證，即證，即證．
令，，，．
易得，則令，得；令，得．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以．
易得．
令，得；令，得．
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，故．
【變式4-2】已知，，，求證：．
【解析】令，，則，則，只需證明，即證；
，，故只需證明，即證，
記，則，
當時，；當時，；
即在上遞減，在上遞增，
①，當且僅當時等號成立，
再記，則，
當時，；當時，；
在上遞增，在上遞減．
②，當且僅當時等號成立．
由①②等號不同時取到，得，于是．
【變式4-3】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)若曲線在處的切線方程為，求的值及的單調(diào)區(qū)間．
(2)若的極大值為，求的取值范圍．
(3)當時，求證：．
【解析】（1）由題意，得，所以．
因為曲線在處的切線方程為，
又，所以，所以．
所以．
令，得；令，得．
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．
（2）由題意得．
當時，令，得；令，得．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時只有極小值，不符合題意．
當時，令，得，．
因為的極大值為，所以，解得．
綜上，的取值范圍為．
（3）當時，．
要證，即證，
只需證．
先證：，．
設，，則．
設，，則．
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以．
再證：，，即證．
設，則．
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減．所以．
設，，則．
當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．
所以．所以，即．
綜上，得證．
故．
【變式4-4】已知函數(shù)，求證：.
【解析】由題意，當時，由，
則，
當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.
設，當時，，
當時，設，則，
所以在上是增函數(shù)，
所以，即，，所以，
而，所以，
綜上，當時，．
【變式4-5】（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，求證：.
【解析】（1）因為，所以，
當時，，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
當時，，
令，解得或（舍去），
令，解得；令，解得；
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；
當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）即，也即，也即.
設，則，令，解得，
又在上單調(diào)遞增，所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
設，則，當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，又，所以，
所以，
由題意，所以，
所以，得證.
題型五：對數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友
【典例5-1】（2024·陜西榆林·三模）已知函數(shù)的導函數(shù)為.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當時，證明：.
【解析】（1），
當，即時，此時，，故在上單調(diào)遞增.
當，即時，令，
則.
①當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
②當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）證明：當時，，
證原不等式等價于證，令，
則，且，故只需證，即證
令，則，
令，則，
由于，令則，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，
當時，，即，當,時，，即，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，
所以，當時，1.
【典例5-2】（2024·青?！つM預測）已知質(zhì)數(shù)，且曲線在點處的切線方程為．
(1)求m的值；
(2)證明：對一切，都有．
【解析】（1），，，
則有，，
解得；
（2）由，故，
要證對一切，都有，
即證對一切恒成立，
即證對一切恒成立，
令，
，
則當時，，則當時，，
即在、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，
故對一切恒成立，即得證.
【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，且曲線在點處的切線方程為（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．
(1)求實數(shù)的值．
(2)當時，證明：對，都有．
【解析】（1）由，
得．
所以．
又，所以曲線在點處的切線方程為．
由切線方程為，得．
（2）方法一
當時，設，
則．
設，
則．
設，
則．
令，則．
當時，；當時，．
所以函數(shù)即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
又，
所以存在唯一的，使，且當時，，
當時，，故函數(shù)即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
又，所以，
所以存在唯一的，使，且當時，，當時，，
故函數(shù)在上分別單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
因為，所以在上恒成立，當且僅當或時取等號，
即對，都有．
方法二 當時，記，
則要證，即證．
記，
則．
令，得．
因為，
所以當時，，當時，．
所以在上分別單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
又，所以在上恒成立，當且僅當或時取等號，
即對，都有．
【變式5-2】（2024·廣西·模擬預測）設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．
(1)求的值；
(2)證明：．
【解析】（1）函數(shù)的定義域為，
將代入，解得，即，
由切線方程，可知切線斜率，
故，
解得；
（2）由（1）知，
要證，即證．
設，
則，
令，解得，或（舍去），
當時，單調(diào)遞減；
當時，單調(diào)遞增；
所以，
所以，即．
【變式5-3】（2024·河北保定·三模）已知函數(shù)，為的極值點.
(1)求a；
(2)證明：.
【解析】（1），
依題意，，解得，
經(jīng)檢驗符合題意，所以；
（2）由（1）可知，，
要證，即證，
設，則，
所以當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
當時，取得極小值，也是最小值，
因為，，
所以.
題型六：放縮法
【典例6-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最值．
(2)證明：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．
【解析】（1）由題意知，定義域為，
從而．
所以當時，；當時，．
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
所以函數(shù)的最大值為，無最小值．
（2）欲證，只需證．
由（1）知，從而，當且僅當時取等號．
下面證明：．
設，則．
設，則．
設，則，
故當時，；當時，．
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
由于，
故設存在唯一的，使，
且當時，，當時，．
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
又，
所以存在唯一的，使，
故當時，；當時，．
從而函數(shù)在上分別單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
因為，
所以在上恒成立，當且僅當時取等號．
因為取等條件不相同，所以恒成立，
即成立．
【典例6-2】已知函數(shù)，為的導函數(shù)．
(1)求函數(shù)的零點個數(shù)；
(2)證明：．
【解析】（1）由題知，，令，
而恒成立，故在單調(diào)遞增．
又，，故，
由零點存在性定理可知一定存在，使得，
綜合函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)有且僅有1個零點．
（2）當時，，
令，而，當時，恒成立，
故在上單調(diào)遞增，且，故，成立
令，而，令，，
令，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故最大值為，且，故，即，
故得證，∴，不等式得證；
當時，即證．
令，，
則當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減．
則①，
令，，
則當時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增．
則②．
由①②可知，，故不等式得證．
【變式6-1】（2024·江蘇徐州·模擬預測）已知函數(shù)，.
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當時，證明：.
【解析】（1）當時，，，
則，又因為，
所以曲線在點處的切線方程為，即.
（2）當時，有，所以，
因為，
所以.
令，
則，
當時，，在上單調(diào)遞減；
當時，，在上單調(diào)遞增.
所以.
故.
【變式6-2】（2024·山東棗莊·模擬預測）已知函數(shù)，為的導數(shù)
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若是的極大值點，求的取值范圍；
(3)若，證明：．
【解析】（1）由題知，
令，則，
當時，在區(qū)間單調(diào)遞增，
當時，令，解得，
當時，，當時，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
綜上所述，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
（2）當時，，
由（1）知，當時，在上單調(diào)遞減；
當時，在上單調(diào)遞增；
所以是函數(shù)的極小值點，不符合題意；
當時，，且，
由（1）知，當時，在上單調(diào)遞減；
當時，在上單調(diào)遞增；
所以是函數(shù)的極小值點，不符合題意；
當時，，則當時，在上單調(diào)遞增，
所以無極值點，不合題意；
當時，，且；
當時，在上單調(diào)遞增；
當時，在上單調(diào)遞減；
所以是函數(shù)的極大值點，符合題意；
綜上所述，的取值范圍是.
（3）要證，
只要證，
只要證，，
因為，則，
所以只要證對任意，有，
只要證對任意，有（※），
因為由（2）知：當時，若，則，
所以，即①，
令函數(shù)，則，
所以當時，所以在單調(diào)遞增；
則，即，
由①②得，
所以（※）成立，
所以成立.
【變式6-3】（2024·遼寧大連·模擬預測）定義：若曲線或函數(shù)的圖象上的兩個不同點處的切線互相重合，則稱該切線為曲線或函數(shù)的圖象的“自公切線”.
(1)設曲線C：，在直角坐標系中作出曲線C的圖象，并判斷C是否存在“自公切線”？（給出結(jié)論即可，不必說明理由）
(2)證明：當時，函數(shù)不存在“自公切線”；
(3)證明：當，時，.
【解析】（1）曲線C：，當時，，表示以點為圓心，半徑為的部分圓弧，當時，，表示以點為圓心，半徑為的半圓圓，從而圖象如下：
由圖象可知，存在“自公切線”；
（2）由題意，，下面只需證明在上單調(diào)即可，
令，則，
當時，，此時單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減；
當時，，此時單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減；
綜上所述，當時，在上單調(diào)遞減，
所以在不同點處的切線斜率不同，所以圖象不存在“自公切線”，得證.
（3），，
故只需證明，
即只需證明，
構(gòu)造函數(shù)，則，
當時，，從而在上單調(diào)遞減，
所以，即，
故只需證，
設，注意到，
，注意到，
令，則由（2）知，，
且由（2）知，在上單調(diào)遞減，所以，
從而在上單調(diào)遞減，所以，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，
從而，當，時，.
【變式6-4】已知函數(shù)，證明：當時，.
【解析】因為，所以，解得，即函數(shù)的定義域為，
令，可得，
所以在單調(diào)遞增，所以，即，
要證不等式，
只需證明，
又由函數(shù)，可得，
當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，
所以，即，即，當且僅當時，等號成立，
所以，當時，，只需證明：，即，
即，即，令，可得，
設，可得，令，可得，
當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，
所以，所以，所以，當且僅當時，等號成立，
易知在單調(diào)遞增，故方程有唯一解.
又由以上不等式的等號不能同時成立，所以.
題型七：虛設零點
【典例7-1】（2024·山東濟南·二模）已知函數(shù)
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：.
【解析】（1）由題意可得：的定義域為，，
當時，則在上恒成立，
可知在上單調(diào)遞減；
當時，令，解得；令，解得；
可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
綜上所述：當時，在上單調(diào)遞減；
當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）構(gòu)建，
則，
由可知，
構(gòu)建，
因為在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，
且，
可知在上存在唯一零點，
當，則，即；
當，則，即；
可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，
又因為，則，，
可得，
即，所以.
【典例7-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)若，討論的單調(diào)性．
(2)若，，求證：．
【解析】（1）當時，，定義域為，
則．
設，則，
所以在上單調(diào)遞增，且，
所以，當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）因為，
所以．
因為，所以在上單調(diào)遞增，且．
①若，則，
所以當時，恒成立，單調(diào)遞增．
又，
所以；
②若，則，，
所以存在，使得，即．
當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
所以．
因為在上單調(diào)遞減，
所以，
所以．
綜上所述，當，時，．
【變式7-1】已知函數(shù).
(1)若在定義域內(nèi)不單調(diào)，求a的取值范圍；
(2)證明：若，且，則.
【解析】（1）的定義域為，.
若，則，所以在上單調(diào)遞增；
若，則當時，；當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以在定義域內(nèi)不單調(diào)時，a的取值范圍為.
（2）記，則，
因為是上的減函數(shù)，且，，
由正切函數(shù)的性質(zhì)可知，當時，為增函數(shù)，
當時，為減函數(shù)，所以是的極大值點.
令，則，所以是上的增函數(shù)，
故，所以當時，，
令，則，由，得，
時，是減函數(shù)，時，是增函數(shù)，
所以，即，
所以，
下面證明，令，即證，即，
設，則，所以是上的增函數(shù)，
所以時，，成立，命題得證.
【變式7-2】（2024·高三·遼寧丹東·開學考試）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小值；
(2)求證：.
【解析】（1）因為函數(shù)，所以，
記，，
所以在上單調(diào)遞增，且，
所以當時，，即，所以在單調(diào)遞減；
當時，，即，所以在單調(diào)遞增，且，
所以.
（2）要證，
只需證明：對于恒成立，
令，則，
當時，令，
則，在上單調(diào)遞增，
即在上為增函數(shù)，
又因為，，
所以存在使得，由，
得即即即，
所以當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
所以，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以，所以，
即.
【變式7-3】（2024·河北張家口·三模）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)證明：．
【解析】（1）的定義域為，
因為，所以曲線在點處的切線斜率為，
又，所以切線方程為，即.
（2），
令，則，
因為，
所以存在，使得，即，
易知在上單調(diào)遞增，
所以，當時，，在上單調(diào)遞減；
當時，，在上單調(diào)遞增.
所以當時，取得最小值：
，
由二次函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，
所以，即，
所以.
【變式7-4】（2024·山東威?！ざ＃┮阎瘮?shù)．
(1)求的極值；
(2)證明：．
【解析】（1）由題意得的定義域為，
則，
當時，，在上單調(diào)遞增，無極值；
當時，令，則，令，則，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故為函數(shù)的極大值點，函數(shù)極大值為，無極小值；
（2）證明：設，
，令，
則，即在上單調(diào)遞增，
，
故，使得，即，
當時，，在上單調(diào)遞減，
當時，，在上單調(diào)遞增，
故
即，即，則.
題型八：同構(gòu)法
【典例8-1】已知函數(shù)，．
（1）討論的單調(diào)區(qū)間；
（2）當時，證明．
【解析】解：（1）的定義域為，
，
①當時，，此時在上單調(diào)遞減，
②當時，由可得，由，可得，
在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
③當時，由可得，由，可得，
在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
證明（2）設，則，
由（1）可得在上單調(diào)遞增，
（1），
當時，，
當時，，
在上單調(diào)遞減，
當時，，
，
，
．
【典例8-2】已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當時，求證：在上恒成立；
（3）求證：當時，．
【解析】（1）解：函數(shù)的定義域為，，
令，即，△，解得或，
若，此時△，在恒成立，
所以在單調(diào)遞增．
若，此時△，方程的兩根為：
，且，，
所以在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增．
若，此時△，方程的兩根為：
，且，，
所以在上單調(diào)遞增．
綜上所述：若，在單調(diào)遞增；
若，在，上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減．
（2）證明：由（1）可知當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以（1），所以在上恒成立．
（3）證明：由（2）可知在恒成立，
所以在恒成立，
下面證，即證2 ，
設，，
設，，
易知在恒成立，
所以在單調(diào)遞增，
所以，
所以在單調(diào)遞增，
所以，
所以，即當時，．
法二：，即，
令，則原不等式等價于，
，令，則，遞減，
故，，遞減，
又，故，原結(jié)論成立．
【變式8-1】（2024·甘肅定西·一模）設函數(shù)，
(1)證明：.
(2)當時，證明：.
【解析】（1）因為，其定義域為，則，
當時，；當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，證畢.
（2）當時，，
而，
要證，即證，即證，
設，則，
當時，，則在上單調(diào)遞增，
且，
當時，，故只需證明，
由（1）知，在上成立，
故，即成立.
【變式8-2】（2024·甘肅白銀·三模）設函數(shù)，．
(1)討論的單調(diào)性．
(2)證明：．
(3)當時，證明：．
【解析】（1）因為，易知定義域為，，
由，得到，由，得到或，
所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.
（2）因為，易知定義域為，，
當時，，當時，，
即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以.
（3）由（2）知，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，
要證明，即證明，
令，則在區(qū)間上恒成立，
又，所以，所以，命題得證.
【變式8-3】（2024·廣東廣州·模擬預測）已知函數(shù)（）.
(1)求在區(qū)間上的最大值與最小值；
(2)當時，求證：.
【解析】（1）（）（），
令，則，
當時，，所以在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，.
當時，，則當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
而，.所以
綜上所述，當時，，；
當時，所以，.
（2）方法一：隱零點法
因為，，所以，欲證，只需證明，
設，（），，
令，易知在上單調(diào)遞增，
而，，
所以由零點的存在性定理可知，存在唯一的使得，
即，因此，，
當時，，，在上單調(diào)遞減；
當時，，，在上單調(diào)遞增；
所以
所以，因此.
方法二：（同構(gòu)）
因為，，所以，欲證，只需證明，
只需證明，
因此構(gòu)造函數(shù)（），
，
當時，，在上單調(diào)遞減；
當時，，在上單調(diào)遞增：
所以，所以，
所以，
因此.
【變式8-4】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，．
(1)若曲線在處的切線與直線垂直，求的方程；
(2)若，求證：當時，．
【解析】（1）由題意知，，則，即．
因為切線與直線垂直，
所以直線的斜率為1，得，
則，
故的方程為，即．
（2）解法一 由題知，
當時，，故只需證．
令，則，
，在上單調(diào)遞增，且，，
所以在上有唯一零點，
設該零點為，則，且，
所以．
當時，，所以單調(diào)遞減；
當時，，所以單調(diào)遞增．
所以，
所以，故當時，．
解法二 由題知，
當時，，
故只需證，
即證．令，則，
當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減．
所以，即，當且僅當時取等號．
易知函數(shù)的值域為，
所以，
當且僅當時取等號，
故當時，．
題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理
【典例9-1】證明不等式：．
【解析】設，則，
，
代入的二階泰勒公式，有，
．
所以原題得證．
【典例9-2】已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）當時．若正實數(shù)，滿足，，，，證明：．
【解析】解：（1），，△，
①時，恒成立，
故函數(shù)在遞增，無遞減區(qū)間，
②時，或，
故函數(shù)在，，遞增，在，遞減，
綜上，時，函數(shù)在遞增，無遞減區(qū)間，
時，函數(shù)在，，遞增，在，遞減，
（2），對，恒成立，
即，時，恒成立，
令，，則，
令，
則，在遞減且（1），
時，，，遞增，
當，，，遞減，
（1），
綜上，的范圍是，．
（3）證明：當時，，
，不妨設，
下先證：存在，，使得，
構(gòu)造函數(shù)，
顯然，且，
則由導數(shù)的幾何意義可知，存在，，使得，
即存在，，使得，
又為增函數(shù)，
，即，
設，則，，
①，
②，
由①②得，，
即．
【變式9-1】（2024·河南周口·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的極值點的個數(shù)．
(2)“”是一個求和符號，例如，，等等．英國數(shù)學家布魯克·泰勒發(fā)現(xiàn)，當時，，這就是麥克勞林展開式在三角函數(shù)上的一個經(jīng)典應用．
證明：（i）當時，對，都有；
（ii）．
【解析】（1），
令，則，
當時，，，則在上恒成立，
故在上單調(diào)遞減，即有在上單調(diào)遞減，
則，
故函數(shù)在區(qū)間上沒有極值點；
（2）（i）令，其中，，
則，
又當時，，
則
，
即，
令，
則，
令，
則，
由，故，又，
故恒成立，即在上單調(diào)遞增，
故，即在上恒成立，
即在上單調(diào)遞增，故，
即在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，
則，即；
（ii）由，，
故要證，即證，
即證，只需證，
由（1）知，當時，，
則可令，此時，
則，即，
即，即，
故只需證，
令，，則，
由（i）知，當時，，
即，即，故在上單調(diào)遞增，
故，即，即得證.
【變式9-2】英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當在處的階導數(shù)都存在時，．注：表示的2階導數(shù)，即為的導數(shù)，表示的階導數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式.
(1)根據(jù)該公式估算的值，精確到小數(shù)點后兩位；
(2)由該公式可得：．當時，試比較與的大小，并給出證明（不使用泰勒公式）；
(3)設，證明：.
【解析】（1）令，則，，
，，
故，，，，，
由麥克勞林公式可得，
故．
（2）結(jié)論：，證明如下：
令，，則
令，則，
故在上單調(diào)遞增，，則
故在上單調(diào)遞增，，
即證得，故．
（3）由（2）可得當時，，
且由得，當且僅當時取等號，
故當時，，，
，
而
，
即有
故
而，
即證得．
【變式9-3】閱讀材料一：“裝錯信封問題”是由數(shù)學家約翰·伯努利（Jhann Bernulli，1667～1748）的兒子丹尼爾·伯努利提出來的，大意如下：一個人寫了封不同的信及相應的個不同的信封，他把這封信都裝錯了信封，問都裝錯信封的這一情況有多少種？后來瑞士數(shù)學家歐拉（Lenhard Euler，1707～1783）給出了解答：記都裝錯封信的情況為種，可以用全排列減去有裝正確的情況種數(shù)，結(jié)合容斥原理可得公式：，其中．
閱讀材料二：英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當在處階可導，則有：，注表示的階導數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式．閱讀以上材料后請完成以下問題：
(1)求出的值；
(2)估算的大?。ūＡ粜?shù)點后2位），并給出用和表示的估計公式；
(3)求證：，其中．
【解析】（1）因為，
所以，
，
，
所以．
（2）由麥克勞林公式，令，有
再取，可得，
所以估算值為．
在中，取，可得.
（3）證明：由麥克勞林公式，當時，令，有，猜想：
令，有，猜想：
令，由，所以，即．
令，由，
再令，則恒成立，
所以在上為增函數(shù)，且，
所以在上為增函數(shù)，
所以，即．
又時，，，所以.
令， 當，有，
則，命題得證．
題型十：分段分析法、主元法、估算法
【典例10-1】已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的導函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，求證：對，恒成立．
【解析】（1）由已知可得，，設，
則．
當時，有恒成立，所以，即在R上單調(diào)遞增；
當時，由可得，．
由可得，，所以，即在上單調(diào)遞減；
由可得，，所以，即在上單調(diào)遞增．
綜上所述，當時，在R上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）因為，所以對，有．
設，則．
解可得，或或．
由可得，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
由可得，或，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減．
所以，在處取得極大值，在處取得極小值．
又，所以，即．
所以，有，
整理可得，，
所以，有，恒成立．
【典例10-2】已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當，且時，．
【解析】（1），，
①當，即時，，在區(qū)間單調(diào)遞增．
②當，即時，
令，得，令，得，
所以在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減．
③當，即時，
若，則，在區(qū)間單調(diào)遞增．
若，令，得，令，得，
所以在區(qū)間單調(diào)遞減；在區(qū)間單調(diào)遞增．
綜上，時，在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減；
時，在區(qū)間單調(diào)遞增
時，在區(qū)間單調(diào)遞減、在區(qū)間單調(diào)遞增．
（2）證明：要證，即證，
即證．
令，，則，
所以在區(qū)間單調(diào)遞增，所以時，，
即時，．
令，，則在時恒成立，
所以，且時，單調(diào)遞增，
因為時，，，且，
所以，且時，，即．
所以，且時，．
【變式10-1】若定義在上的函數(shù)滿足，，．
（Ⅰ）求函數(shù)解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若、、滿足，則稱比更接近．當且時，試比較和哪個更接近，并說明理由．
【解析】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，得（1），
所以（1）（1），即．
又（1），
所以．
（Ⅱ），
，
①時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
②當時，由得，
時，，單調(diào)遞減；
時，，單調(diào)遞增．
綜上，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（Ⅲ）解：設，，
，
在，上為減函數(shù)，又（e），
當時，；當時，．
，，
在，上為增函數(shù)，又（1），
，時，，
在，上為增函數(shù)，
（1）．
①當時，，
設，
則，
在，上為減函數(shù)，
（1），
當，
，
，
比更接近．
②當時，，
設，則，，
在時為減函數(shù)，
（e），
在時為減函數(shù)，
（e），
，
比更接近．
綜上：在且時時，比更接近．
【變式10-2】已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當時，求證：對任意的，，．
【解析】解：（1）當時，，
則，
，
故
則在上單調(diào)遞減．
（2）當時，，
要證明對任意的，，．
則只需要證明對任意的，，．
設（a），
看作以為變量的一次函數(shù)，
要使，
則，即，
恒成立，①恒成立，
對于②，令，
則，
設時，，即．
，，
在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，
則當時，函數(shù)取得最大值
，
故④式成立，
綜上對任意的，，．
題型十一：割線法證明零點差大于某值，切線法證明零點差小于某值
【典例11-1】（2024·河南·模擬預測）已知，函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.
(1)求a，b的值;
(2)若方程（e為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個實數(shù)根，且，證明：
【解析】（1）因為，所以，
由題意知，所以，
聯(lián)立方程組，解得.
（2）由（1）可知，，
，設，
，
所以即在上單調(diào)遞增.
又，所以存在，使得，
且時，，時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
設，令，
則，
因為在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增.
又，所以當時， ，當時，.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
故，即，當且僅當時，等號成立.
因為方程有兩個實數(shù)根，且，
也就是，且注意到在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，即 .
設 的根為：，則 ，
又在上單調(diào)遞增，所以 ，
故①.
易知的圖象在坐標原點處的切線方程為，
令，
則 ，
因為在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增.
又 ，
所以當時， ，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以，，當且僅當時，等號成立.
因為，所以，即.
設的根為，則，
又在上單調(diào)遞減，
所以，所以，
從而②.
由①②可知：.
【典例11-2】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若有兩個不相等的零點，且.
①證明：隨的增大而增大；
②證明：.
【解析】（1）由可得，
令，故在單調(diào)遞增，
令，故在單調(diào)遞減，
故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減
（2）①由于有兩個不相等的零點，且.
所以是的兩個實數(shù)根，
由（1）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，
當時，，當時，，
故，
對任意的，設，
則其中
其中
由于在單調(diào)遞減，，故，所以，
在單調(diào)遞增，，故，所以，
又，所以，
所以，故隨的增大而增大；
②設，
令，則；
令在單調(diào)遞增，
在單調(diào)遞減，
故，故在恒成立，
此時恒成立，
由①知所以，即，
令，
記，則，
當時，，在單調(diào)遞減，
時，，在單調(diào)遞增，
故，進而，
因此，
所以，故，即，進而，
又因為，
所以，得證
【變式11-1】（2024·重慶·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)求證：；
(2)若是的兩個相異零點，求證：．
【解析】（1）令，則．
令，得；令，得．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以，所以．
（2）易知函數(shù)的定義域是．
由，可得．
令得；令得．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以．
①當，即時，至多有1個零點，故不滿足題意．
②當，即時，．
因為在上單調(diào)遞增，且．所以，
所以在上有且只有1個零點，不妨記為，且．
由（1）知，所以．
因為在上單調(diào)遞減，，
所以在上有且只有1個零點，記為，且．
所以，所以．
同理，若記
則有，
綜上所述，．
題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題
【典例12-1】（2024·安徽馬鞍山·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)證明：時，；
(2)證明：．
【解析】（1）證明：要證，只要證，
即證時，，
令，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以時，，
所以時，．
（2）證明：由（1）知，
令得，即，
所以，
，
，
……，
，
所以
，
即．
【典例12-2】（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù)
(1)若函數(shù)在內(nèi)點處的切線斜率為，求點的坐標；
(2)①當時，求在上的最小值；
②證明：．
【解析】（1）設點.
由于，則，得，
則，且，所以點的坐標為.
（2）①，
則，記，
則
易知在上單調(diào)遞減，且,
，即，
所以，當時，，在上單調(diào)遞增；
當時，，在上單調(diào)遞減.
因為，
所以時，，在單調(diào)遞增，
所以，當時，取得最小值.
②由①可知，時恒成立，即恒成立.
設，則，
當時，，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
又，所以，
取，則，
，得證.
【變式12-1】（2024·江蘇南通·模擬預測）已知函數(shù)，且在上的最小值為0.
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)設函數(shù)在區(qū)間上的導函數(shù)為，若對任意實數(shù)恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì).
（i）求證：函數(shù)在上具有性質(zhì)；
（ii）記，其中，求證：.
【解析】（1），，，
，，令
，等號不同時取，
所以當時，，在上單調(diào)遞增，
①若，即，，在上單調(diào)遞增，
所以在上的最小值為，符合題意.
②若，即，此時，
，
又函數(shù)在的圖象不間斷，
據(jù)零點存在性定理可知，存在，使得，
且當時，，在上單調(diào)遞減，
所以，與題意矛盾，舍去.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
（2）（i）由（1）可知，當時，.
要證函數(shù)在上具有性質(zhì).
即證：當時，.
即證：當時，.
令，，則，
即，，，
所以在上單調(diào)遞增，.
即當時，，得證.
（ii）法一：由（i）得，當時，，
所以當時，.
下面先證明兩個不等式：①，其中；②，其中.
①令，，則，在上單調(diào)遞增，所以，即當時，.
②令，，則，
所以在上單調(diào)遞增，故，
即當時，，故，得.
據(jù)不等式②可知，當時，，
所以當時，.
結(jié)合不等式①可得，當時，
.
所以當時，
當，時，，有.
所以.
又，
所以
法二：要證：.
顯然，當時，，結(jié)論成立.
只要證：當，時，.
即證：當，時，.
令，.
所以，，
所以，在上單調(diào)遞減，
所以，在上單調(diào)遞增，
所以，在上單調(diào)遞增，
所以，即當時，.
所以當，時，，有，
所以當，時，.
所以
【變式12-2】（2024·天津·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)求在點處的切線方程；
(2)若恒成立，求的值；
(3)求證：．
【解析】（1），有，
因為，所以，
則曲線在點處的切線方程為．
（2）因為，的定義域為，
所以是的極大值點，因為，
所以，所以，
需驗證，當時，恒成立即可，
因為，
令，則，
①當時，，則在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞增，，
②當時，，則在上單調(diào)遞減，所以，
綜上，符合題意．
所以恒成立時，.
（3）由（2）可知，，當且僅當時取等號，
當時，，所以，
，
因為
，
所以即證，
令，則，當時，，，
所以即證：，
令，則，
所以時，單調(diào)遞減，
所以，即，
綜上，.
【變式12-3】（2024·湖南衡陽·三模）已知正項數(shù)列的前項和為，首項.
(1)若，求數(shù)列的通項公式；
(2)若函數(shù)，正項數(shù)列滿足：.
（i）證明：；
（ii）證明：.
【解析】（1）正項數(shù)列中，，，，當時，，
兩式相減得，即，
而，則，因此數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以數(shù)列的通項公式為.
（2）（i）令，求導得，當時，，當時，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，
于是，
即，即，
當時，，
當時，因此，
所以
（ii）由已知，所以，得，
當時，，于是，
當時，，
又，所以，恒有，當時，，
由，得當時，，
則當時，，
從而
，
于是，
所以.
題型十三：三角函數(shù)
【典例13-1】（2024·全國·三模）已知函數(shù)在處的切線方程為.
(1)求a的值；
(2)證明：.
【解析】（1）由題意可得函數(shù)的定義域為，
又，函數(shù)在處的切線方程為，其斜率為，
得：，解得.
（2）注意到，且，
則，，
令，則.
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.
因為，所以當時，；當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以，即，
所以在上單調(diào)遞增.
因為，所以當時，；當時，，
所以.
【典例13-2】（2024·遼寧·模擬預測）已知函數(shù)，
(1)求的最小值；
(2)證明：.
【解析】（1）令，由可知，
構(gòu)建，
則在內(nèi)恒成立，
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，則，
所以的最小值為1.
（2）由（1）可知：，即，
又因為，則，
可得，則，
構(gòu)建，，則在內(nèi)恒成立，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，
即，可得，
注意到，則，
所以.
【變式13-1】（2024·四川廣安·二模）已知函數(shù).
(1)若存在極值，求的取值范圍；
(2)若，，證明：.
【解析】（1）由，，得，
當時，，則單調(diào)遞增，不存在極值；
當時，令，則，
當，則，即在上單調(diào)遞減，
當，則，即在上單調(diào)遞增.
所以是的極小值點，
所以當時，存在極值，
綜上所述，存在極值時，的取值范圍是.
（2）欲證不等式在時恒成立，
只需證明在時恒成立.
設，，
則，
令，，
則.
當時，，所以，
所以即在上單調(diào)遞增，
所以，
因為，所以，
故，所以在上單調(diào)遞增，
所以，
即當，時，不等式恒成立.
【變式13-2】已知函數(shù)，（為自然對數(shù)的底數(shù)）．
(1)求曲線在處的切線方程
(2)若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的最大值；
(3)證明：．
【解析】（1）函數(shù)，，，
，，
所以曲線在處的切點坐標為，切線斜率為0，
切線方程為.
（2）
，
因為，所以，
則，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.
，，
所以函數(shù)的值域為.
若不等式對任意恒成立，
則實數(shù)的最小值為，所以實數(shù)的最大值為.
（3），
設，則，
令，則，所以在上單調(diào)遞增，
，，
則有，，
故存在，使得，即，
所以當時，，當時，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故當時，函數(shù)有極小值，且是唯一的極小值，
故函數(shù)，
，，
故，
所以
即.
【變式13-3】（2024·廣東湛江·二模）已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)若，，且，證明：.
【解析】（1）由，得，
則，，.
故曲線在點處的切線方程為，
即.
（2）證明：由，，且，不妨設，，，
則證明等價于證明，，
即證，從而構(gòu)造函數(shù)，利用其調(diào)性證明結(jié)論.
令，則，當時，，在單調(diào)遞減，
故，，即，，
則
，
要證，
只需證.
令，則，
令，得.
令，，則，
令，，則在上恒成立，
則，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增.
當時，，則，
則，在單調(diào)遞減，
當時，，則，
則，在單調(diào)遞增.
因為，所以，即在上恒成立，
從而.
1．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）已知函數(shù)，其中．
(1)若，證明：時，；
(2)若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的值；
(3)已知數(shù)列的通項公式為，求證：．
【解析】（1）由題意可知：等價于，其中．
構(gòu)建，
則，
可知在上單調(diào)遞減，則時，，
所以時，．
（2）由題意可知：，
則
①若，則，由可得，
可知在上單調(diào)遞減，不合題意；
②若，則，
可知上為增函數(shù)，符合題意；
③若，則，由可得，
可知在上單調(diào)遞減，不合題意；
綜上所述：．
（3）由（2）知：在上單調(diào)遞增，
所以時，，即，
由（1）知：時，，
則，
所以時，，
令得：，
即，
因為，
所以，
由知：，又因為，
所以，
所以．
2．（2024·湖南長沙·三模）已知函數(shù)．
(1)判斷并證明的零點個數(shù)
(2)記在上的零點為，求證;
（i）是一個遞減數(shù)列
（ii）．
【解析】（1）當為奇數(shù)時，有1個零點；當為偶數(shù)時，有2個零點.
證明如下：
當時，由，得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，
所以函數(shù)在內(nèi)有唯一零點；
當時，，
若為奇數(shù)，，則，此時在內(nèi)無零點；
若為偶數(shù)，設，
則，方程有一個解，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，此時在內(nèi)有1個零點.
綜上，當為奇數(shù)時，有1個零點；當為偶數(shù)時，有2個零點.
（2）（i）由（1）知，當時，在在內(nèi)的零點，
當時，，，
則，
故，所以數(shù)列是一個遞減數(shù)列；
（ii）由（i）知，當時，，
當時，，
有，所以，求和可得
，當且僅當時等號成立；
當時，，
故，則，得，
即，即，即，
即，即，
即，當時，，
所以當時，均有成立，求和可得
.
綜上，.
3．（2024·山東·模擬預測）已知函數(shù)，其中．
(1)當時，判斷的單調(diào)性；
(2)若存在兩個極值點．
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）證明：時，．
【解析】（1）函數(shù)的定義域為，
則，
令，，則，
所以當時，當時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在處取得極小值，即最小值，所以，
所以在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增；
（2）（ⅰ）由（1）可知在上的最小值為，
當時，當時，
若存在兩個極值點，則有兩個不相等的實數(shù)根，
所以，解得，
又，所以，
且當時，即，則單調(diào)遞增，
當時，即，則單調(diào)遞減，
當時，即，則單調(diào)遞增，
所以為的極大值點，為的極小值點，
因為，所以，
要證，即證，又，
只需證，
即證，即證，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即成立，
所以；
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
且當時，當時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以
，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，
所以，
所以.
4．已知，.
(1)若，判斷函數(shù)在的單調(diào)性；
(2)設，對，，有恒成立，求k的最小值；
(3)證明：..
【解析】（1）由題意，函數(shù)，.
則，又，故，而，
所以，故在上單調(diào)遞增.
（2）由題意知，，對，，有恒成立.
，設，則，
由于，故，時，單調(diào)遞增，
又，，因此在內(nèi)存在唯一零點，使，即，且當，，，單調(diào)遞減；
，，，單調(diào)遞增.
故，
故，由于，則，
故，即，
設，，，
又設，故在上單調(diào)遞增，
因此，即，在上單調(diào)遞增，
，又，所以，故所求k的最小值為2.
（3）由（1）可知時，，即，
設，則，
因此，
即，得證.
5．（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的值；
(2)求證：．
【解析】（1）由題意，得，
由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得在上恒成立，
令，則，
當時，因為，所以恒成立，
則在上單調(diào)遞增，又，所以恒大于等于0不成立.
當時，由得，
所以當，當，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，
若恒成立，則，
令，則，
當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以當時，.
綜上，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則.
（2）由（1）得，當時，恒成立，
即，當且僅當時等號成立，
令，則，
所以
令，則恒成立，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故當時，，即，
所以，
所以 ，
故得證.
6．（2024·河北·三模）已知函數(shù)．
(1)若在恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)證明：．
【解析】（1）在恒成立．
構(gòu)造函數(shù)，則在恒成立．
當時，，所以在遞增，
所以，矛盾，故舍去
當時，由得，所以在遞增，
故，均有，矛盾，故舍去
當時，，所以在遞減，
所以，滿足題意；
綜上，實數(shù)a的取值范圍為
（2）由（1）知當時，恒成立，
即在恒成立
且當且僅當時取等號．
所以當時，可得
同理，，，
兩邊分別累加得：
即
即
7．（2024·河北滄州·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)求的值域；
(2)求證：當時，．
【解析】（1），，
令，則，，
則，
令，，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，
故的值域為．
（2）令函數(shù)，，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
故當時，，所以．
由（1）知，當1時，
所以當時，，
所以，
令，其中，，2，3，，n，
則，
所以，，
，，，
以上n個式子相加得
，
即當時，．
8．已知函數(shù).
(1)當時，求的極值；
(2)當時，不等式恒成立，求的取值范圍；
(3)證明：.
【解析】（1）當時，，，
則，
令，得；令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
所以在處取到極大值，無極小值.
（2）因為，恒成立，所以恒成立，
令，則，
令，則恒成立，
即在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，即，所以時，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，所以，
所以實數(shù)的取值范圍為.
（3）由（2）可知，取，當時，，所以，
取，則有，即，
所以
將上述式子相加得
即
9．已知，函數(shù)，．
(1)若函數(shù)的最小值是0，求實數(shù)m的值；
(2)已知曲線在點處切線的縱截距為正數(shù)．
（?。┳C明：函數(shù)恰有兩個零點；
（ⅱ）證明：．
【解析】（1）因為，則，且，
令，解得；令，解得；
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
則的最小值為，解得.
（2）由（1）可知：，，
可得，，
即切點坐標為，斜率，
則切線方程為，令，可得，
由題意可得：，且，解得；
（i）因為，
可知的定義域為，，
設，則在內(nèi)恒成立，
可知函數(shù)在上遞增，
由（1）可知：當時，，
即，當且僅當時，等號成立，
則，
可得，
又因，由零點的存在性定理可得，
存在，使得，即，（*）
當時，，即，為減函數(shù)，
當時，，即，為增函數(shù)，
又因為，，
設，則，
所以函數(shù)在上遞增，
所以，即，
因為，所以，即，所以，
則，
所以，且，
當時，，
所以由的單調(diào)性可知，且，
所以當時，，為減函數(shù)，
當時，，為增函數(shù)，
所以由零點的存在性定理可知，在區(qū)間上存在唯一的零點，
，且，
所以由零點的存在性定理可知，在區(qū)間上存在唯一的零點，
所以函數(shù)恰有兩個零點，
（ii）因為，即，
則，
所以，
有基本不等式可得，
當且僅當，即時，取等號，
由，由可得，這與矛盾，所以，
所以，
要證，即證，
設，
則
所以函數(shù)在上遞減，
所以當時，，
因為，所以，
所以，
又，所以.
10．（2024·河北邢臺·二模）已知函數(shù)，
(1)當時，求函數(shù)在處的切線方程；
(2)若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
(3)證明：.
【解析】（1）此時，故.
所以，，故所求切線經(jīng)過點，斜率為.
故該切線的方程為，即.
（2）結(jié)論即為.
設，則.
故當即時，當即時.
所以在上遞增，在上遞減，從而的最大值就是，且恰在時取到.
所以的取值范圍是.
（3）由（2）的結(jié)論，知當正數(shù)時，有，故.
從而
.
11．（2024·廣東廣州·三模）已知函數(shù)．
(1)求的極值；
(2)已知，證明：．
【解析】（1）由題意知：定義域為，；
①當時，，，
在上單調(diào)遞增，無極值；
②當時，令，解得：，
當時，；當時，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
的極小值為，無極大值；
綜上所述：當時，無極值；當時，的極小值為，無極大值.
（2）令，則，
由（1）知：，，即，
令，則且，，，
取，則，即，
令，則，
在上單調(diào)遞增，，即，
，
即.
12．已知函數(shù)．
(1)證明：．
(2)已知，證明：．
【解析】（1）函數(shù)的定義域為R，，
由得，由得，
故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
故的最小值是，所以．
（2）由（1）得，．令，其中，則，即，
令，則，
所以，．
令，則且不恒為零，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，則．
所以，．
所以
，問題得證．
13．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最大值．
(2)證明：當且時，．
【解析】（1）易知函數(shù)的定義域為．
因為，所以．
因為，所以當時，．
當時，，在上單調(diào)遞增；
當時，，在上單調(diào)遞減．
所以當時，．
（2）由（1）得，變形得，
當時等號成立．所以令，得，即；
令，得，即；
令，得，即．
所以當且時，．
由（1）得，變形得，當?shù)忍柍闪ⅲ?br>所以令，得，即；
令，得，即．
令，得，即．
所以當且時，．
又因為，所以當且時，．
14．（2024·貴州黔東南·二模）已知函數(shù)在處的切線為軸.
(1)求實數(shù)的值；
(2)若，證明：.
【解析】（1）由題可得，，
，
.
（2）證明：由（1）可知：，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當時，，
，，，
，即，
，
.
15．（2024·福建莆田·三模）已知函數(shù)，其中.
(1)當時，，求的取值范圍.
(2)若，證明：有三個零點，，（），且，，成等比數(shù)列.
(3)證明：（）.
【解析】（1）（解法一）由題意可知的定義域為，
，
設，其中.
①當，即時，，所以，單調(diào)遞增，
所以當時，，故滿足題意；
②當，且，即時，，
所以，單調(diào)遞增，
所以當時，，故滿足題意；
③當，且，即時，
設的兩根為，，
解得，，
則當時，，所以，單調(diào)遞減，
則，故不滿足題意 .
綜上，的取值范圍是 .
（解法二）由題意可知的定義域為，
，
因為，，所以，解得，
以下證明滿足題意.
由可知，，所以當時，，
設，，所以為遞增函數(shù)，
所以，所以，
綜上，a的取值范圍是.
（2）由（1）可知，當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因為，所以，，
取，，
（其中，所以，即），
取，.
（其中，所以，即），
所以在上存在唯一零點，即在上存在唯一零點，在上存在唯一零點，即在上存在唯一零點，且，
所以，，
又，所以也是函數(shù)的零點，
顯然且，所以，即，所以，所以，，成等比數(shù)列.
（3）由（1）可知當時，為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以當時，，即，
整理得，即，
所以（），
則（），
故（）.
16．（2024·廣東揭陽·二模）已知函數(shù).
(1)當時，證明：是增函數(shù).
(2)若恒成立，求的取值范圍.
(3)證明：（，）.
【解析】（1）當時，，定義域為，
則.
令，則在上恒成立，
則在上單調(diào)遞增，
則，故在上恒成立，是增函數(shù).
（2）當時，等價于，
令，則，
令，則，
當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，所以.
所以當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，
則，所以，即，故的取值范圍為.
（3）證明：由（2）可知，當時，有，則，
所以，…，，
故.
17．已知函數(shù).
(1)證明：，總有成立；
(2)設，證明：．
【解析】（1）令，則因為，，
令，則，
又令，則，
當時，在上單調(diào)遞減，所以，
所以時，在上單調(diào)遞減，
所以，即，總有成立；
（2）由（1）知即對任意的恒成立.
所以對任意的，有，整理得到：，
故，
故不等式成立.
18．求證：．
【解析】令，由于，
因此在上單調(diào)遞減，
不妨令，于是，即，
即，所以，
又，所以，
可得，
所以，
令，，則，
所以，
所以
，
即．
19．（2024·河南·二模）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若對任意恒成立，求的取值范圍；
(3)證明：.
【解析】（1）由，有.
當時，，
所以在上單調(diào)遞減；
當時，有，
故當時，當時.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上，當時，在上單調(diào)遞減；
當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）先證明一個結(jié)論：對任意實數(shù)都有，且不等號兩邊取等當且僅當.
證明：設，則，
從而當時有，當時有.
從而在上遞減，在上遞增，
故，即，且等號只在時成立，這就證明了結(jié)論.
回到原題.
代入的表達式，將題目中的不等式等價變形為.
整理得到，故我們要求的取值范圍使得對恒成立.
一方面，若該不等式恒成立，則特別地對于成立，即，從而；
另一方面，若，則對，利用之前證明的結(jié)論可以得到，再取對數(shù)又能得到，
所以，故原不等式對任意恒成立.
綜上，的取值范圍是.
（3）對，由于，故由（2）證明的結(jié)論，有，再取對數(shù)得到.
所以
，這就證明了結(jié)論.
20．已知函數(shù) （），.
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(3)求證：時，.
【解析】（1），
當，恒成立，無極值；
當時，令，解得，
所以在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；
所以極小值為；
因為恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
所以無極值.
（2）因為對任意的恒成立，
即對任意的恒成立.
設，注意到，
，令，
則在為增函數(shù)，且，
所以恒成立，即單調(diào)遞增，
其中，
若，則恒成立，此時單調(diào)遞增，又，
所以恒成立，
即在上恒成立，即結(jié)論成立；
若，則，
又，
故由零點存在性定理可知，在內(nèi)存在，使得，
當時，，所以單調(diào)遞減，又，
所以當時，，即，不合題意，舍去；
綜上：實數(shù)的取值范圍是.
（3）構(gòu)造函數(shù)，，
，
令，
則，
當時，恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，故在單調(diào)遞增，
，即，
構(gòu)造函數(shù)，，
，
所以在上為單調(diào)遞增，
所以，即，
所以，
即時，，證畢.
21．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)有兩個極值點，求的取值范圍；
(2)若曲線在點處的切線與軸垂直，求證：．
【解析】（1）由題，，
函數(shù)的定義域為，
，
因為有兩個極值點，
所以方程有兩個不相等的正實根，
設為，且，得，
且，得．
當時，單調(diào)遞減；
當時，單調(diào)遞增；
當時，單調(diào)遞減．
所以在處有極小值，在處有極大值，
因此的取值范圍是．
（2）因為，則，
由題意知，得，
故，所以，
即，
即．
令，則，
當時，單調(diào)遞減，
當時，單調(diào)遞增，
所以．
令，則，
當時，單調(diào)遞增，
當時，單調(diào)遞減，
所以．
顯然與不同時為0，
所以，故.

相關試卷

重難點突破02 原函數(shù)與導函數(shù)混合還原問題 （十三大題型）-2025年高考數(shù)學一輪復習講練測（新教材新高考）：

這是一份重難點突破02 原函數(shù)與導函數(shù)混合還原問題 （十三大題型）-2025年高考數(shù)學一輪復習講練測（新教材新高考），文件包含重難點突破02原函數(shù)與導函數(shù)混合還原問題十三大題型原卷版docx、重難點突破02原函數(shù)與導函數(shù)混合還原問題十三大題型解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共57頁， 歡迎下載使用。

高考數(shù)學一輪復習講練測(新教材新高考)重難點突破08證明不等式問題(十三大題型)(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學一輪復習講練測(新教材新高考)重難點突破08證明不等式問題(十三大題型)(原卷版+解析)，共71頁。試卷主要包含了已知函數(shù)，已知函數(shù).，已知函數(shù)，，已知函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點，已知函數(shù)，當，時，證明等內(nèi)容，歡迎下載使用。

重難點突破08 證明不等式問題（十三大題型）-2024年高考數(shù)學一輪復習講練測（新教材新高考）：

這是一份重難點突破08 證明不等式問題（十三大題型）-2024年高考數(shù)學一輪復習講練測（新教材新高考），文件包含重難點突破08證明不等式問題十三大題型原卷版docx、重難點突破08證明不等式問題十三大題型解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共72頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

重難點突破03 原函數(shù)與導函數(shù)混合還原問題 （十三大題型）-2024年高考數(shù)學一輪復習講練測（新教材新高考）

重難點突破03 原函數(shù)與導函數(shù)混合還原問題 （十三大題型）-2024年高考數(shù)學一輪復習講練測（新教材新高考）
【講通練透】重難點突破08 證明不等式問題（十三大題型）-2024年高考數(shù)學重難點突破精講

【講通練透】重難點突破08 證明不等式問題（十三大題型）-2024年高考數(shù)學重難點突破精講
重難點突破08 證明不等式問題（十三大題型）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學一輪復習精講精練高效測（新教材新高考）

重難點突破08 證明不等式問題（十三大題型）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學一輪復習精講精練高效測（新教材新高考）
重難點突破08 證明不等式問題 （十三大題型）-2024年高考數(shù)學一輪復習講練測（新教材新高考）（解析版）

重難點突破08 證明不等式問題 （十三大題型）-2024年高考數(shù)學一輪復習講練測（新教材新高考）（解析版）
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部