1、在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)．解決這類問題，通常有下列五種解題技巧：
（1）利用基本不等式求范圍或最值；
（2）利用三角函數(shù)求范圍或最值；
（3）利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；
（4）根據(jù)三角形解的個數(shù)求范圍或最值；
（5）利用二次函數(shù)求范圍或最值．
要建立所求量（式子）與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量（式子）的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題．這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍（也就是函數(shù)的定義域）找完善，避免結(jié)果的范圍過大．
2、解三角形中的范圍與最值問題常見題型：
（1）求角的最值；
（2）求邊和周長的最值及范圍；
（3）求面積的最值和范圍．
題型一：周長問題
例1．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）記內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若為銳角三角形，，求周長范圍．
【解析】（1）在中，由射影定理得，
則題述條件化簡為，
由余弦定理得．
可得
所以.
（2）在中，
由正弦定理得，
則周長，
因?yàn)?，則，
因?yàn)闉殇J角三角形，，
則得，
故．
例2．（2023·甘肅武威·高三武威第六中學(xué)校考階段練習(xí)）在銳角△ABC中，，，
（1）求角A；
（2）求△ABC的周長l的范圍.
【解析】（1）∵，
，
所以，
所以，
所以，
因?yàn)?，所以?
，所以.
（2），
所以,所以，，
所以
因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，且，所以，解得，
所以，所以，
所以.
例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在①；②；③；在這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并作答．
在銳角中，內(nèi)角、、，的對邊分別是、、，且______
(1)求角的大?。?br>(2)若，求周長的范圍．
【解析】（1）選①，由可得，
，則，可得，；
選②，由可得，
即，即，
，則，故，；
選③，由及正弦定理可得，
、，則，所以，，
故，
，，因此，.
（2）由正弦定理可得，則，，
，
因?yàn)闉殇J角三角形，則，可得，
所以，，則，
故.
變式1．（2023·全國·模擬預(yù)測）在銳角中，三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.
(1)求角的大?。?br>(2)若，求周長的范圍.
【解析】（1）由正弦定理得：，
，，
，
，，，.
（2）由正弦定理：，則，，
，，
周長為
，
又銳角，，結(jié)合
，，，，即周長的范圍是.
變式2．（2023·陜西西安·高三西安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c且滿足，．
(1)求角A的大?。?br>(2)求周長的范圍．
【解析】（1）由余弦定理，即，
所以，因?yàn)椋裕?br>（2）由正弦定理：，則，，
由（1），故
因?yàn)?，則，
所以，即周長范圍是．
題型二：面積問題
例4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，，．
(1)求角A的值；
(2)若，求面積的范圍．
【解析】(1)∵，，，
∴
．
又，∴．又為銳角三角形，
∴或 ∴或（舍去），∴．
(2)由正弦定理知，
又∵，，∴，
∴．
故得到：，∴，
∴面積的范圍為
例5．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，某植物園內(nèi)有一塊圓形區(qū)域，在其內(nèi)接四邊形內(nèi)種植了兩種花卉，其中區(qū)域內(nèi)種植蘭花，區(qū)域內(nèi)種植丁香花，對角線BD是一條觀賞小道．測量可知邊界，， ．
（1）求觀賞小道BD的長及種植區(qū)域的面積；
（2）因地理?xiàng)l件限制，種植丁香花的邊界BC，CD不能變更，而邊界AB，AD可以調(diào)整，使得種植蘭花的面積有所增加，請在BAD上設(shè)計一點(diǎn)P，使得種植區(qū)域改造后的新區(qū)域（四邊形）的面積最大，并求出這個面積的最大值．
【解析】（1）設(shè)，則由余弦定理得，
．
由四邊形是圓內(nèi)接四邊形得，
故，即，
解得（負(fù)值舍去），即．
從而，所以，，
故．
答：觀賞小道BD的長為，種植區(qū)域的面積為．
（2）由（1）及“同弧所對的圓周角相等”得．
設(shè)，，
則．
在中，由余弦定理有
，
故（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）．
而，
因此，種植區(qū)域改造后的新區(qū)域的面積的最大值為．
答：當(dāng)為等邊三角形時，新區(qū)域的面積最大，最大值為．
例6．（2023·山東青島·高三青島三十九中校考期中）在①a＝2，②a＝b＝2，③b＝c＝2這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，求△ABC的面積的值（或最大值）．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，三邊a，b，c與面積S滿足關(guān)系式：，且______，求△ABC的面積的值（或最大值）．
【解析】∵，
∴，
∵，∴，
選擇條件①：當(dāng)a＝2時，根據(jù)余弦定理，，∴，
∵，
∴（當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時取等），
∴；
選擇條件②：當(dāng)a＝b＝2時，∵，
∴，∴；
選擇條件③：當(dāng)b＝c＝2，．
變式3．（2023·江蘇蘇州·高三常熟中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，某住宅小區(qū)一側(cè)有一塊三角形空地，其中，，．物業(yè)管理部門擬在中間開挖一個三角形人工湖，其中，都在邊上（，均不與重合，在，之間），且．
(1)若在距離點(diǎn)處，求點(diǎn)，之間的距離；
(2)設(shè)，
①求出的面積關(guān)于的表達(dá)式；
②為節(jié)省投入資金，三角形人工湖的面積要盡可能小，試確定的值，使得面積最小，并求出這個最小面積．
【解析】（1）∵，，，，∴，，
∴由余弦定理，，，
∴．
在中．
（2）①∵，∴，
在中，，
在中，，
∴，
又中邊上的高為，
∴，．
②當(dāng)，時，最小且．
變式4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，．
（1）D為線段上一點(diǎn)，且，求長度；
（2）若為銳角三角形，求面積的范圍．
【解析】（1）在中，依題意得：，
則有，于是得，而，則，
又，則，
在中，從而得等邊，即，，
在中由余弦定理得，解得；
（2）在中，，設(shè)，由正弦定理得：
，
于是得，
因是銳角三角形，則，且，
于是有，則，即，，
從而得，
所以面積的取值范圍是．
變式5．（2023·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.
（1）若，，求的大?。?br>（2）若，且是鈍角，求面積的大小范圍.
【解析】（1）在中，，由正弦定理得.
∵，∴，∴，
∴.
又∵，∴.
在中，由余弦定理得，即，
解得（舍去），.
∴.
（2）由（1）知，
∴.
由正弦定理，得，∴.
∵，為鈍角，∴，
∴，∴，
∴.
即面積的大小范圍是.
題型三：長度問題
例7．（2023·浙江麗水·高三浙江省麗水中學(xué)校聯(lián)考期末）已知銳角內(nèi)角的對邊分別為.若.
(1)求；
(2)若，求的范圍.
【解析】（1）由正弦定理，
又，得；
（2）因?yàn)椋?br>所以，
，因?yàn)槿切螢殇J角三角形，
所以，解得，
令，所以，
所以.
例8．（2023·福建莆田·高三校考期中）在中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，，
(1)求角B﹔
(2)求的范圍．
【解析】（1），又，所以，因?yàn)?，所?
（2）在中，由（1）及，得，
故，
，
因?yàn)椋瑒t，
﹒
所以的范圍為.
例9．（2023·重慶江北·高三?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別，，，且.
（1）求角的大??；
（2）若，，當(dāng)僅有一解時，寫出的范圍，并求的取值范圍.
【解析】（1）
，即，
，
，
.
（2）根據(jù)題意，由正弦定理得，則，
僅有一解，
或，即或，
或，
當(dāng)時，，所以，所以；
當(dāng)時，由正弦定理得，
，
，
，
，
，即，
綜上，.
變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足條件；，．
（I）求角A的值；
（Ⅱ）求的范圍．
【解析】（I）由，
利用正弦定理可得，即
故，
又，
（Ⅱ），，利用正弦定理
故，
在中，，故
，，
所以的范圍是
變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，分別是角的對邊.
（1）求角的值；
（2）若，且為銳角三角形，求的范圍.
【解析】（1）由題意知，∴，
由余弦定理可知，，
又∵，∴.
（2）由正弦定理可知，，
即，
∴
，
又∵為銳角三角形，∴，則即，
所以， 即，
綜上的取值范圍為.
變式8．（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考模擬預(yù)測）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.
（1）求證：；
（2）若是銳角三角形，，求的范圍.
【解析】（1）由兩角差的正弦公式，可得，
又由正弦定理和余弦定理，可得
，
所以
（2）由（1）知

因?yàn)槭卿J角三角形，所以，可得，
又由，可得，所以，所以，
所以，可得，符合.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
變式9．（2023·安徽亳州·高三統(tǒng)考期末）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，已知.
（1）求角的大??；
（2）設(shè)為的垂心，且，求的范圍.
【解析】（1）由，結(jié)合正弦定理得
，
整理得，
又為銳角，故.
（2）由是銳角三角形，則垂心必在內(nèi)部，
不妨設(shè)，則.
由為的垂心，則.
在中使用正弦定理得，
，整理得：.
同理在中使用正弦定理得，.
，
結(jié)合
可得.
題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問題
例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求；
(2)求的取值范圍.
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，即.
因?yàn)椋?
因?yàn)?，所?
（2）由（1）知
.
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以?br>所以，
即的取值范圍是.
例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且．
(1)判斷的形狀并給出證明；
(2)若，求的取值范圍．
【解析】（1）為等腰三角形或直角三角形，證明如下：
由及正弦定理得，，
即，
即，
整理得，所以，
故或，
又、、為的內(nèi)角，所以或，
因此為等腰三角形或直角三角形．
（2）由（1）及知為直角三角形且不是等腰三角形，
且，故，且，
所以，
因?yàn)?，故?br>得，所以，
因此的取值范圍為．
例12．（2023·河北保定·高一定州一中校考階段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，已知．
(1)判斷的形狀（銳角、直角、鈍角三角形），并給出證明；
(2)求的最小值．
【解析】（1）是鈍角三角形.
由題意可知，，得，
所以,于是有，得或，即或，
又，，
所以是鈍角三角形.
（2）由（1）知，,,有，
所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即（為銳角），等號成立，
所以的最小值為
變式10．（2023·廣東佛山·高一大瀝高中?？茧A段練習(xí)）已知的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且；
(1)若，判斷的形狀并說明理由；
(2)若是銳角三角形，求的取值范圍.
【解析】（1）是等邊三角形.理由如下：
在中，由得：，
由余弦定理得，即，
由正弦定理及，得，即，
而及，則或，
當(dāng)時，即，有，此時，所以是等邊三角形；
當(dāng)，即時，，有，與矛盾，
所以是等邊三角形.
（2）由（1）知，，由余弦定理得，為銳角，
而是銳角三角形，則，得，
，得，因此，
，令，則，
對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，當(dāng)或時，，于是，
因此，即有，
所以的取值范圍是.
變式11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知.
(1)若，求角A的大??；
(2)求的取值范圍.
【解析】（1）由正弦定理得：，
∵，∴或，
當(dāng)時，此時，所以舍去，所以.
（2）
（或者用積化和差公式一步得到）
∵，∴，所以A為銳角，又，
所以，所以，
所以，
所以.
變式12．（2023·江西吉安·高二江西省峽江中學(xué)校考開學(xué)考試）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別是，．
（1）求角A的大?。?br>（2）求的取值范圍．
【解析】（1）∵，
結(jié)合余弦定理，可得，
∴，∴
又∵，∴；
（2）由（1）得，∴，
∴
，
∵是銳角三角形，∴，解得，
∴，，
∴.
變式13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，∴，
∴，∴，
∴，∴
，∴，∴或（不符合題意舍去），
∴，
∴
，
設(shè)，
∵是銳角三角形，∴，∴，
∴，
∴，
令，則，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故，
∴.
故選：C．
題型五： 倍角問題
例13．（2023·浙江紹興·高一諸暨中學(xué)?？计谥校┰阡J角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．
(1)證明：；
(2)若，求a的取值范圍；
(3)若的三邊邊長為連續(xù)的正整數(shù)，求的面積．
【解析】(1)因?yàn)闉殇J角三角形，所以.
由正弦定理有，
又在中，所以有,
所以，
因此有，
化簡整理得，
所以,
即.
(2)因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即，
又，得，因此，得，
所以.
由（1）有，
若時，，
又因?yàn)椋?br>所以.
(3)設(shè)的三邊分別為.
當(dāng)時，由，
所以有，解得，
因此三邊分別為，所以，
所以，所以；
當(dāng)時，同理有，解得，此時不能構(gòu)成三角形，故不滿足題意；
當(dāng)時，同理有，化簡得，此時無整數(shù)解，故不滿足題意.
綜上可知：.
例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．若，且為銳角，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
，即，．
為銳角，則
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
的最小值為．
故選：A
例15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）銳角的角所對的邊為，，則的范圍是_________．
【答案】
【解析】∵為銳角三角形， ，∴，∴ ，∴，即 ，由正弦定理得：，所以 的取值范圍為）.所以答案應(yīng)填： ．
變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，的面積為5，若，則的取值范圍為______．
【答案】
【解析】在中，，，
，
，即，
由余弦定理可得，，
故，
由正弦定理可得，，化簡整理可得，，
故或（舍去），
則，
為銳角三角形，
，解得，
故，
故答案為：
變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，則的取值范圍為__________．
【答案】
【解析】由于，作，則，
因?yàn)?，，可得?br>所以，
令，可得，
所以，
令，可得，
由，可得在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
綜上．
故答案為：．
變式16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，，的對邊長分別是，，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在銳角中,，,
而，，所以，
所以由正弦定理可知:,
故選：B.
變式17．（2023·福建三明·高一三明市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）在銳角中，，，的對邊分別是，，則的范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在銳角中，，因?yàn)?，?
所以，，解得，
所以，，而，
，
所以，
所以由正弦定理可知：
，
因?yàn)椋?，所以?br>即.
故選：A.
變式18．（2023·江蘇南京·高一金陵中學(xué)校考期中）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，C，若A＝2B，則的最小值為（ ）
A．－1B．C．3D．
【答案】C
【解析】因?yàn)锳＝2B，,所以由正弦定理，得


，
因?yàn)锳＝2B，所以，
所以 ，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，
所以的最小值為.
故選：C.
題型六： 角平分線問題
例16．（2023·江蘇鹽城·高一江蘇省射陽中學(xué)校考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.
(1)求角的大??；
(2)若角的平分線交于點(diǎn)，且，求的最小值.
【解析】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?br>則，
可得，
整理得
注意到，且，則，，且，
可得或
解得或（舍去），
故.
（2）若的平分線交于點(diǎn)，則，
因?yàn)椋?br>則，
即，整理得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
故的最小值.
例17．（2023·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期中）如圖，中，，的平分線AD交BC于．

(1)若，求的余弦值；
(2)若，求AD的取值范圍．
【解析】（1）設(shè)A，B，C的對邊分別是a，b，c,
因?yàn)锳D是的平分線，所以到AB，AC的距離相等，
又，所以，所以．
由題意，．
中，①,
中， ②
聯(lián)立①②得．又，則．
所以．
（2）因?yàn)?，，?br>所以
所以．
所以．
因?yàn)?，所以?br>所以．
例18．（2023·浙江杭州·高一校聯(lián)考期中）在①，②，③．這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并解答．
已知在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c， ．
(1)求角C的值；
(2)若角C的平分線交于點(diǎn)D，且，求的最小值．
【解析】（1）選擇條件①：∵，
∴由正弦定理得，
∵，∴，
∴，∴，即，
∴，∵，∴，∴；
選擇條件②：∵，∴，
∴，∴．
∵，∴；
選擇條件③：
∵，∴，
∵，∴，
由正弦定理得，即，
∴，∵，∴．
（2）角C的平分線交AB于點(diǎn)D，在中，，
在中，，在中，∵，
∴，∴，∴，
∴．
當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，
∴的最小值為．
變式19．（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且，角A的平分線與邊交于點(diǎn).
(1)求角A；
(2)若，求的最小值.
【解析】（1）由正弦定理化簡可得：
，
∴，
即，
由∴
又∵，∴，∴，
又，∴.
（2）

根據(jù)角A的平分線與邊交于點(diǎn)，所以，
，即，
所以，即.
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立.
所以的小值為18.
變式20．（2023·山東泰安·校考模擬預(yù)測）在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別為，滿足，且．
(1)求證：；
(2)已知是的平分線，若，求線段長度的取值范圍．
【解析】（1）由題意得，即．
所以，
由正弦定理得，又由余弦定理得，
所以，故，
故，整理得．
又為銳角三角形，則，，，
所以，因此．
（2）在中，由正弦定理得，所以．
所以．因?yàn)闉殇J角三角形，且，
所以，解得．
故，所以．因此線段長度的取值范圍.
變式21．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．
(1)求角的大?。?br>(2)若，與的平分線交于點(diǎn)，求周長的最大值．
【解析】（1）由正弦定理得：，
因?yàn)椋裕?br>所以，即，
所以，故．
（2）

由（1）知，，有，
而與的平分線交于點(diǎn)，即有，于是，
設(shè)，則，且，
在中，由正弦定理得，，
所以，
所以的周長為
，由，得，
則當(dāng)，即時，的周長取得最大值，
所以周長的最大值為．
變式22．（2023·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為，且，邊上有一動點(diǎn).
(1)當(dāng)為邊中點(diǎn)時，若，求的長度；
(2)當(dāng)為的平分線時，若，求的最大值.
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，即.
由正弦定理，得.
因?yàn)?，所?
因?yàn)?，所?
又因?yàn)椋?，所?
因?yàn)闉檫呏悬c(diǎn)，所以，則.
又，
所以，即，即，
所以.
（2）在中，由余弦定理，得.
又，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以，所以.
因?yàn)槠椒郑?br>所以，
所以，
所以.
令，則.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以當(dāng)即時，取得最大值為，
所以的最大值為.
題型七： 中線問題
例19．（2023·湖南長沙·高一雅禮中學(xué)?？计谥校┰阡J角中，角的對邊分別是，，，若
(1)求角的大?。?br>(2)若，求中線長的范圍（點(diǎn)是邊中點(diǎn)）.
【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得?br>即，所以，
因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所?
（2）由（1）得，且，由余弦定理知，，得到，
因?yàn)辄c(diǎn)D是邊BC中點(diǎn)，所以，兩邊平方可得:
，
所以，
因?yàn)?，又，?br>所以,
又因?yàn)闉殇J角三角形， 所以，，得到，
所以，由的圖像與性質(zhì)知，，
所以，所以，得到
故.
例20．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求邊中線的取值范圍．
【解析】（1）由已知可得，
由余弦定理可得，整理得，
由余弦定理可得，又，
所以．
（2）因?yàn)镸為的中點(diǎn)，所以，
則，
即．
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以．
例21．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求角C的大??；
(2)若，邊AB的中點(diǎn)為D，求中線CD長的取值范圍．
【解析】（1）已知，
由正弦定理可得，即，
所以，
因?yàn)?，所以?br>（2）由余弦定理可得，
又，
則，
由正弦定理可得，
所以，，
所以，
由題意得，解得，則，
所以，所以，
所以，所以中線CD長的取值范圍為．
變式23．（2023·遼寧沈陽·沈陽二中?？寄M預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若
(1)求角A的大小；
(2)若，求中線AD長的最大值（點(diǎn)D是邊BC中點(diǎn)）．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理可得：,
即，
,
因?yàn)?，所以?br>所以，
因?yàn)?所以.
（2）由（1）得，
則，
所以，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
因?yàn)辄c(diǎn)D是邊BC中點(diǎn)，
所以,
兩邊平方可得：,
則，
所以，
中線AD長的最大值為.
變式24．（2023·廣東廣州·高二廣州六中?？计谥校┰凇鰽BC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求角A的大??；
(2)若，求邊上的中線 長度的最小值．
【解析】（1）由得,
,
即.
（2）,
即
，當(dāng)且僅當(dāng)取等號．
題型八： 四心問題
例22．（2023·四川涼山·校聯(lián)考一模）設(shè)（是坐標(biāo)原點(diǎn)）的重心、內(nèi)心分別是，且，若，則的最小值是__________．
【答案】
【解析】因?yàn)橹匦?、?nèi)心分別是，且，所以，（r為內(nèi)切圓的半徑），
又.且.
解得.
所以.
當(dāng)且僅當(dāng)時，即為等邊三角形有最小值.
例23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，分別為內(nèi)角的對邊，且.
（1）求角的大??；
（2）若，為的內(nèi)心，求的最大值.
【解析】（1），
由正弦定理可得，，
即，
又，
，
，
又
.
（2）設(shè)，
為的內(nèi)心，且，
，
，
在中，
由正弦定理得，，
，，
.
當(dāng)且僅當(dāng)，即為等邊三角形時取等號，
故的最大值為2.
例24．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，且.
(1)求角；
(2)若為的垂心，，求面積的最大值.
【解析】（1）由題可得，
結(jié)合正弦定理可得，即，
∴，又，∴.
（2）設(shè)邊，上的高分別為，則為與的交點(diǎn)，
則在四邊形中，，
∵，∴，故，
在中，，，
則，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.∴，故面積的最大值為.
變式25．（2023·江蘇無錫·高一錫東高中?？计谥校┰谥校謩e是角的對邊，．
(1)求角A的大小；
(2)若為銳角三角形，且其面積為，點(diǎn)為重心，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，線段與線段相交于點(diǎn)，求的取值范圍.
【解析】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
又因?yàn)椋瑒t，
可得，即，所以.
（2）由題意可得，，
所以，
因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，故設(shè)，
同理、、三點(diǎn)共線，故設(shè)，
則，解得，
所以，
則，
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)闉殇J角三角形，
當(dāng)為銳角，則，即，
即，所以；
當(dāng)為銳角，則，即，
則，即，所以；
綜上可得，
又因?yàn)椋?br>則，
因?yàn)?，則，
且在上單調(diào)遞減，，
所以，即，
所以．

變式26．（2023·河北邢臺·高一統(tǒng)考期末）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且外接圓的半徑為．
(1)求C的大??；
(2)若G是的重心，求面積的最大值．
【解析】(1)由正弦定理，得
因?yàn)椋?
所以，所以,因?yàn)?故．
(2)由（1）得，
所以，得，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．
連接BG，并延長BG交AC于D，則D是AC的中點(diǎn)，且，
過G作于F，過B作于E，則，
所以．故面積的最大值為
變式27．（2023·遼寧撫順·高一撫順一中?？茧A段練習(xí)）如圖，記銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，A的角平分線交BC于點(diǎn)D，O為的重心，過O作，交AD于點(diǎn)P，過P作于點(diǎn)E.
(1)求的取值范圍；
(2)若四邊形BDPE與的面積之比為，求的取值范圍.
【解析】(1)因?yàn)椋沂卿J角三角形，
所以，均為銳角，
所以
解得.
(2)如圖，連接AO，延長AO交BC于點(diǎn)G.
因?yàn)椐盀榈闹匦模?br>所以G為BC的中點(diǎn)，.
因?yàn)?，所以，?br>所以，所以.
設(shè)，，則.
因?yàn)椋?br>，
，
所以由，得，即.
因?yàn)椋?br>所以四邊形的面積為：
，
.
由，得，
即，
所以.
變式28．（2023·浙江·高一路橋中學(xué)校聯(lián)考期中）若O是的外心，且，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【解析】如圖所示：

設(shè)，， ，，
由，
得
化簡得，由是的外心可知，
是三邊中垂線交點(diǎn)，得，代入上式得
，所以，
根據(jù)題意知，是三角形外接圓的半徑，可得，.
所以，
由柯西不等式可得：，
所以，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)“”時，等號成立.
所以的最大值為.
故選：C.
變式29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是三角形的外心，若，且，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）
A．6B．C．D．3
【答案】D
【解析】如圖所示：設(shè).
由題意可得，，化簡可得，由是三角形的外心可得，是三邊中垂線交點(diǎn)，
則，代入上式得，，即
依據(jù)題意，為外接圓半徑，根據(jù)正弦定理可得，
代入得，則
結(jié)合不等式可得，的最大值為3
故選：D
題型九： 坐標(biāo)法
例25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，，點(diǎn)在內(nèi)部，，則的最小值為______．
【答案】2
【解析】因?yàn)?，，所?
在中，由正弦定理得：（R為的外接圓半徑），所以，解得：.
如圖所示：設(shè)的外接圓的圓心為O，建立如圖示的坐標(biāo)系.
設(shè)E為AC的中點(diǎn)，所以，.
所以點(diǎn)M的軌跡為：，可寫出（為參數(shù)）.
因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)部，所以（其中滿足，）.
所以
因?yàn)闈M足，，所以，
所以當(dāng)時最小.
故答案為：2
例26．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，，，，M是所在平面上的動點(diǎn)，則的最小值為________．
【答案】
【解析】以A為原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，建系，如圖所示，根據(jù)題意，可得A、B、C坐標(biāo)，設(shè)，可得的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積公式，可得的表達(dá)式，即可求得答案.以A為原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，建立坐標(biāo)系，如圖所示：
因?yàn)?，，?br>所以，設(shè)，
則，
所以
=，
當(dāng)時，有最小值，且為，
故答案為：
例27．（2023·湖北武漢·高二武漢市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知B，C為圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，則線段的長的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)椋?br>所以，化簡得，
即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，
所以
所以的取值范圍是，
從而的取值范圍是．
故答案為：．
變式30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，且所在平面內(nèi)存在一點(diǎn)使得，則面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，寫出三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式，以及圓與圓的位置關(guān)系，解不等式，得出的范圍，再由三角形的面積公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出面積的最大值.以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系
設(shè)，，，則
設(shè)，由得
即，
即點(diǎn)既在為圓心，為半徑的圓上，又在為圓心，1為半徑的圓上
可得，由兩邊平方化簡可得
則的面積為
由，可得，取得最大值，且為.
故選：B.
變式31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在等邊 中，為內(nèi)一動點(diǎn)，，則的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】如圖所示，
以的BC邊的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，BC為x軸，過O點(diǎn)垂直于BC的直線為y軸，建立建立直角坐標(biāo)系如圖，
再將 延x軸翻折得 ，求得的外接圓的圓心為Q， ， M點(diǎn)的劣弧 上，
不妨設(shè)等邊的邊長為2，可得：，，，，
點(diǎn)所在圓的方程為：.
設(shè)參數(shù)方程為：，
，
，
其中 ，
即，解得，；
故選：C.
變式32．（2023·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）費(fèi)馬點(diǎn)是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).當(dāng)三角形三個內(nèi)角均小于120°時，費(fèi)馬點(diǎn)與三個頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對的三角形三邊的張角相等且均為120°.根據(jù)以上性質(zhì)，.則的最小值為（ ）
A．4B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意得：的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和的最小值，
因?yàn)椋?br>，
所以，故三角形ABC為等腰直角三角形，，
取的中點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，連接，故，，
因?yàn)?，所以，故，則，
故點(diǎn)到三角形三個頂點(diǎn)距離之和最小，即取得最小值，
因?yàn)?，所以，同理得：，?br>，
故的最小值為.
故選：B
題型十： 隱圓問題
例28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面四邊形中，連接對角線，已知，，，，則對角線的最大值為（ ）
A．27B．16C．10D．25
【答案】A
【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB,DC分別為x,y軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則,因?yàn)?，，所以由平面幾何知識得A點(diǎn)軌跡為圓弧（因?yàn)闉槠矫嫠倪呅?，所以取圖中第四象限部分的圓?。O(shè)圓心為E,則由正弦定理可得圓半徑為，
因此對角線的最大值為
故選：A
例29．（2023·江蘇泰州·高三階段練習(xí)）已知中，，為的重心，且滿足，則的面積的最大值為______.
【答案】/
【解析】以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，，，
設(shè)，則，
當(dāng)時要使，則在坐標(biāo)原點(diǎn)，顯然不成立，
當(dāng)時要使，則，解得，顯然不成立，
所以且，因?yàn)?br>所以，即
整理得，(且)
所以當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時，的面積取得最大值為.
故答案為：
例30．（2023·湖北武漢·高二武漢市洪山高級中學(xué)校考開學(xué)考試）已知等邊的邊長為2，點(diǎn)G是內(nèi)的一點(diǎn)，且，點(diǎn)P在所在的平面內(nèi)且滿足，則的最大值為________.
【答案】
【解析】由，可知點(diǎn)G為的重心，以AB所在的直線為x軸，中垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，表示出的坐標(biāo)，設(shè)，由可知在以為圓心，為半徑的圓上，根據(jù)點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離最值求出的最大值.由，可知點(diǎn)G為的重心.
以AB所在的直線為x軸，中垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，.
設(shè)，由可知P為圓上的動點(diǎn)，
所以的最大值為.
故答案為：
變式33．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面四邊形ABCD中，， ，．若， 則的最小值為____．
【答案】
【解析】如圖，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S正向，建立如下平面直角坐標(biāo)系.
則，，
設(shè)，則，，
因?yàn)?br>所以，即：
整理得：，所以點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓上.
在軸上取，連接
可得，所以，所以
由圖可得：當(dāng)三點(diǎn)共線時，即點(diǎn)在圖中的位置時，最小.
此時最小為.
故答案為．
變式34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若滿足條件，，則面積的最大值為__.
【答案】
【解析】如圖，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，為x軸，的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，，設(shè)，由，
得，
化簡可得,
則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓，
且去掉點(diǎn)，和，；
所以的面積的最大值為，
故答案為：.
變式35．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）在中，為定長，，若的面積的最大值為，則邊的長為____________．
【答案】
【解析】設(shè)，以為原點(diǎn)，為軸建系，則，，設(shè)，，
，利用求向量模的公式，可得，根據(jù)三角形面積公式進(jìn)一步求出的值即為所求.設(shè)，以為原點(diǎn)，為軸建系，則，，設(shè)，，
則，
即，
由，可得.
則.
故答案為：.
變式36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）中，所在平面內(nèi)存在點(diǎn)P使得，，則的面積最大值為__________________．
【答案】
【解析】以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
設(shè)，由，，可得，
即，
即點(diǎn)P既在以為圓心，半徑為的圓上，也在為圓心，為半徑的圓上，
可得，
由兩邊平方化簡可得，
則的面積為，
由，可得．
故答案為：.
變式37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知中，，所在平面內(nèi)存在點(diǎn)使得，則面積的最大值為__________．
【答案】
【解析】設(shè)，以所在直線為軸、其中垂線所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系（如圖所示），則，設(shè)，由，得，即，
則，
則，
即，
解得，即，
即面積的最大值為.
題型十一：兩邊夾問題
例31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，若，且的周長為12．
(1)求證：為直角三角形；
(2)求面積的最大值．
【解析】（1）在中有，，
又，
則，
可得，
可得①，
又，，是三角形內(nèi)角，
若，則，此時①式不成立；
若，則，此時①式不成立；
所以，則，則，
所以是直角三角形．
（2）設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，則直角三角形的面積，
又，則，
所以，
即，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取最大值，且最大值為．
例32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角的對邊長成等比數(shù)列，，延長至，若，則面積的最大值為__________.
【答案】
【解析】 ，
，①
又成等比數(shù)列，，
由正弦定理可得，②
①-②得
，
，解得，
由，
得，
，為正三角形，
設(shè)正三角形邊長為，
則，
，時等號成立．
即面積的最大值為，故答案為.
例33．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊為，b，c．已知，b，c依次成等比數(shù)列，且，延長邊BC到D，若，則面積的最大值為______．
【答案】
【解析】∵，
，
∴，①
∵a，b，c依次成等比數(shù)列，
∴，
由正弦定理可得，②
①-②可得，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，即
∴為正三角形，設(shè)邊長a，
當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號
故答案為
題型十二：與正切有關(guān)的最值問題
例34．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在銳角三角形中，角??的對邊分別為??，且滿足，則的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】因?yàn)?，由余弦定理得，所以?br>，
由正弦定理得，所以，
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，，
由，得，，
，
，所以．
故答案為：．
例35．（2023·全國·高一階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
(1)求A角的值；
(2)若為銳角三角形，利用（1）所求的A角值求的取值范圍.
【解析】（1）因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，∵?br>∴，∵，∴，∴，
因?yàn)椋?，?
（2）由正弦定理，
，
∵為銳角三角形，∴，即，，
∴}
∴的取值范圍是.
例36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．求：
(1)；
(2)的取值范圍．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以,
因?yàn)椋?br>，
因?yàn)?
（2）由正弦定理，
，
因?yàn)椋?，所以?br>所以，所以的取值范圍是.
變式38．（2023·全國·高三專題練習(xí)）銳角是單位圓的內(nèi)接三角形，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，
得，
由余弦定理，可得，
又由正弦定理，可得，
所以，
得，又，
所以，所以.
又，
所以，所以.
又，且，故，
所以.
又，所以，得，
所以，
故選：C.
變式39．（2023·安徽合肥·高一合肥市第七中學(xué)校考期中）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】△ABC中，，
由，得，∴；
即，∵，∴，
∴，∴ ，
∴，
∵△ABC為銳角三角形，∴,∴，
∴，
∴,
∴，
故選：D．
變式40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，∴所以
因此
設(shè)，∵是銳角三角形，∴，∴
∴，在上單調(diào)遞增，
∴，
故選：C
題型十三：最大角問題
例37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）幾何學(xué)史上有一個著名的米勒問題：“設(shè)點(diǎn)M，N是銳角∠AQB的一邊QA上的兩點(diǎn)，試在QB邊上找一點(diǎn)P，使得∠MPN最大．”如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)P為過M，N兩點(diǎn)且和射線QB相切的圓與射線QB的切點(diǎn)．根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)，，點(diǎn)P在x軸上移動，當(dāng)∠MPN取最大值時，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是（ ）
A．1B．－7C．1或－7D．2或－7
【答案】A
【解析】，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，易知，
則經(jīng)過兩點(diǎn)的圓的圓心在線段的垂直平分線上，
設(shè)圓心為，則圓的方程為，
當(dāng)取最大值時，圓必與軸相切于點(diǎn)（由題中結(jié)論得），
則此時P的坐標(biāo)為，
代入圓的方程得
，解得或，
即對應(yīng)的切點(diǎn)分別為和，
因?yàn)閷τ诙ㄩL的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，
又過點(diǎn)M，N，的圓的半徑大于過點(diǎn)M，N，P的圓的半徑，
所以，故點(diǎn)為所求，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
故選：A
例38．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在中，由正弦定理及得：，
即，整理得：，
即，因，則，否則為鈍角，也為鈍角，矛盾，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最大值為.
故選：D
例39．（2023·江西上饒·高三上饒中學(xué)校考期中）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，當(dāng)tan(A－B)取最大值時，角C的值為
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由正弦定理得，化簡得.，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，由于故為銳角，故，所以.故選A.
變式41．（2023·河南信陽·高一信陽高中?？茧A段練習(xí)）最大視角問題是1471年德國數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”．如圖，樹頂離地面12米，樹上另一點(diǎn)離地面8米，若在離地面2米的處看此樹，則的最大值為（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則．

設(shè)，在中，．
在中，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．
故選：C.
變式42．（2023·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考期中）如圖：已知樹頂A離地面米，樹上另一點(diǎn)離地面米，某人在離地面米的處看此樹，則該人離此樹（ ）米時，看A、的視角最大.
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，
則，
則
又，且余弦函數(shù)在單調(diào)遞減，
則當(dāng)，即時最大.
即該人離此樹6米時，看A、的視角最大.
故選：C
題型十四：費(fèi)馬點(diǎn)、布洛卡點(diǎn)、拿破侖三角形問題
例40．（2023·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）內(nèi)一點(diǎn)O，滿足，則點(diǎn)O稱為三角形的布洛卡點(diǎn)．王聰同學(xué)對布洛卡點(diǎn)產(chǎn)生興趣，對其進(jìn)行探索得到許多正確結(jié)論，比如，請你和他一起解決如下問題：
(1)若a，b，c分別是A，B，C的對邊，，證明：；
(2)在（1）的條件下，若的周長為4，試把表示為a的函數(shù)，并求的取值范圍．
【解析】（1）設(shè)，
在和中，由正弦定理得
又，，
，
，又，
，即．
（2）
，即，
又成等比數(shù)列，設(shè)（公比）（），
，解得：，又，得，
由且，則，故在上遞增，
所以在上為減函數(shù)，易知，
例41．（2023·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個三角形的三個頂點(diǎn)的距離之和最小”.它的答案是：當(dāng)三角形的三個角均小于時，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心，即該點(diǎn)與三角形的三個頂點(diǎn)的連線兩兩成角；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于120°時，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn).在費(fèi)馬問題中所求的點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)，已知在中，已知，，，且點(diǎn)在線段上，且滿足，若點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，，?br>由余弦定理可得，
由正弦定理，即，所以，
顯然為銳角，所以，
設(shè)，則，即，
解得，即，
所以，
所以，
又，即為銳角，
所以的三個內(nèi)角均小于，則為三角形的正等角中心，
所以
，
所以，
因?yàn)?br>.
故選：C
例42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)在所在平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)取到最小值時，則稱該點(diǎn)為的“費(fèi)馬點(diǎn)”.當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，費(fèi)馬點(diǎn)滿足如下特征：.如圖，在中，，，則其費(fèi)馬點(diǎn)到三點(diǎn)的距離之和為（ ）
A．4B．2
C．D．
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，為等腰三角形，
，，
在中，由余弦定理可得：
，
即，解得：，
在中，由余弦定理可得：
，
即，解得：，
，其費(fèi)馬點(diǎn)到，，三點(diǎn)距離之和為4．
故選：A
變式43．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）拿破侖·波拿巴最早提出了一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點(diǎn)”.在△ABC中，已知，且，，現(xiàn)以BC，AC，AB為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為，，，則的邊長為（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】B
【解析】如圖，連接，由題設(shè)，
因?yàn)橐詾檫呄蛲庾魅齻€等邊三角形，其外接圓圓心依次記為，
所以，，故.
故選：B.
變式44．（2023·河南·高一校聯(lián)考期末）幾何定理：以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形（稱為拿破侖三角形）的頂點(diǎn)．在中，已知，，外接圓的半徑為，現(xiàn)以其三邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為，，，則的面積為（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】C
【解析】中，，故，，
故，，，
外接圓圓心為對應(yīng)等邊三角形的中心，如圖所示，連接，，

則，故，
，，故，
，，則，
根據(jù)對稱性知：，故為等邊三角形，
其面積.
故選：C.
題型十五：托勒密定理及旋轉(zhuǎn)相似
例43．（2023·江蘇淮安·高一校聯(lián)考期中）托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和.其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì).已知四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)在同一個圓的圓周上，AC、BD是其兩條對角線，，且為正三角形，則四邊形ABCD的面積為（ ）
A．B．16C．D．12
【答案】C
【解析】設(shè)，由托勒密定理可知，
即，所以，，
又因?yàn)?，?br>因此，
.
故選：C.
例44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和．其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積．從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)．已知四邊形的四個頂點(diǎn)在同一個圓的圓周上，、是其兩條對角線，，且為正三角形，則四邊形的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，由托勒密定理可知，
即，所以，，
又因?yàn)?，?br>因此，
.
故選：C.
例45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）克羅狄斯·托勒密是古希臘著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家，他在所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的對角互補(bǔ)時取等號，后人稱之為托勒密定理的推論．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半徑為的圓，，，，則四邊形ABCD的周長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】連接AC，BD．
由，及正弦定理，得，
解得，．
在中，，，，
所以．
因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于半徑為的圓，
它的對角互補(bǔ)，所以，
所以,所以，
所以四邊形ABCD的周長為．
故選：A．
變式45．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）凸四邊形就是沒有角度數(shù)大于180°的四邊形，把四邊形任何一邊向兩方延長，其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形，如圖，在凸四邊形ABCD中，，，，，當(dāng)變化時，對角線BD的最大值為（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，，，，
在△ABC中，由余弦定理，得，
由正弦定理，得，∴.
∵，，，
在△BCD中，由余弦定理，得,
∴
，
當(dāng)，即時，取得最大值，為，
即BD的最大值為.
故選：C.
變式46．（2023·江蘇無錫·高一江蘇省江陰市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，，，以為邊作等腰直角三角形(為直角頂點(diǎn)，，兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)).當(dāng)角變化時，線段長度的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．9
【答案】A
【解析】中，，，，
在中，由正弦定理得：，
，
在中，
，
當(dāng)時最大為9，故最大值為3，
故選：A
變式47．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，，，以為邊作等腰直角三角形（ 為直角頂點(diǎn)， 、兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)）.當(dāng)變化時，線段長的最大值為（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】方法一：如圖，將 繞點(diǎn) 順時針旋轉(zhuǎn) ，得到 ，連接 ，
， ，
在中，，，
， ，
，
在中， ，
當(dāng)點(diǎn) 在 上時，即、、三點(diǎn)共線，此時有的最大值，
的最大值為： ，
，
的最大值為： .
故選：C.

方法二：如圖，設(shè) ， ，
在 中，由余弦定理可知： ，
在中，由余弦定理可知： ，
由同角關(guān)系可得： ，
，
令 ，
則
，
當(dāng)時等號成立.
的最大值為： .
故選：C.

變式48．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，ACD為正三角形，則BCD面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在ABC中，設(shè)， ，
由余弦定理得：，
∵ACD為正三角形，
∴，
，
，
在ABC中，由正弦定理：，
∴，
∴，
∴，
，
∵，∴為銳角，，
∴，
，
當(dāng)時，．
題型十六：三角形中的平方問題
例46．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知△ABC的三邊分別為a，b，c，若滿足a2+b2+2c2＝8，則△ABC面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根據(jù)a2+b2+2c2＝8，得到，由余弦定理得到，由正弦定理得到，兩式平方相加得，而，兩式結(jié)合有，再用基本不等式求解.因?yàn)閍2+b2+2c2＝8，
所以，
由余弦定理得，
即①
由正弦定理得，
即②
由①，②平方相加得，
所以，
即，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)且即時，取等號.
故選：B
例47．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，則的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】由得： ，
故 ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號，
由于 ,故 ，
則 ，則 ，
故答案為：
例48．（2023·湖南常德·常德市一中校考模擬預(yù)測）秦九韶是我國南宋著名數(shù)學(xué)家，在他的著作《數(shù)書九章》中有已知三邊求三角形面積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)一為從陽，開平方得積．”如果把以上這段文字寫成公式就是，其中a，b，c是的內(nèi)角A，B，C的對邊，若，且，則面積S的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得，得，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立.
故選：B
變式49．（2023·河南洛陽·高三?？茧A段練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由余弦定理知，
因?yàn)榍?，可得，即?br>又由，可得，
因?yàn)?，所以，解得?br>當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即的最大值為，
所以的面積的最大值為．
故選：B.
變式50．（2023·云南·統(tǒng)考一模）已知的三個內(nèi)角分別為、、.若，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依題意，
由余弦定理得，，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
即為銳角，，，
，
所以的最大值為.
故選：B
變式51．（2023·四川遂寧·高一射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角，，所對的邊，，滿足，則的取值范圍（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，
設(shè)（），由得，
由得，兩邊除以得，解得（因?yàn)椋?br>由得，兩邊同除以得，解得，
由得，兩邊除以得，此不等式恒成立，
綜上．
故選：A．
變式52．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在銳角三角形 ABC 中，已知，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由正弦定理，得：，
如圖，作BD⊥AC于D，設(shè)AD＝x，CD＝y(tǒng)，BD＝h，
因?yàn)?，所以?br>化簡，得：，解得：，
，，
，
＝
＝＝，
當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值.
故選：C
題型十七：等面積法、張角定理
例49．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角對應(yīng)的邊分別是， 內(nèi)角的角平分線交邊于點(diǎn)， 且 ．若， 則面積的最小值是（ ）
A．16B．C．64D．
【答案】B
【解析】∵，
∴，
即，
又，，
∴，即，又，
∴，
由題可知，，
所以，即，
又，即，
當(dāng)且僅當(dāng)取等號，
所以.
故選：B.
例50．（2023·湖北武漢·高一校聯(lián)考期中）已知△ABC的面積為, ∠BAC=, AD是△ABC的角平分線, 則AD長度的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】中，∠BAC=, AD是角平分線得
，，
而
因此
得
而，
所以
故選D項(xiàng).
例51．（2023·上海寶山·高三上海市吳淞中學(xué)?？计谥校┙o定平面上四點(diǎn)滿足，則面積的最大值為_______.
【答案】
【解析】，，，
，
，
設(shè)到的距離為，則由等面積可得，
，
面積的最大值為．
故答案為：．
變式53．（2023·安徽·高一安徽省太和中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，是的角平分線，且交于點(diǎn).若的面積為，則的最大值為______.
【答案】
【解析】

設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.
因?yàn)?，所?
由已知可得，.
又，，
即，
整理得，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
故AM的最大值為.
故答案為：.
變式54．（2023·江西新余·高一新余市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的內(nèi)角對應(yīng)的邊分別是，內(nèi)角的角平分線交邊于點(diǎn)，且.若，則面積的最小值是______.
【答案】
【解析】∵，
∴，
即，
又，，
∴，即，又，
∴，
由題可知，，
所以，即，
又，即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，
所以，
即面積的最小值是.
故答案為：
變式55．（2023·江西九江·高一德安縣第一中學(xué)?？计谥校┲?，的角平分線交AC于D點(diǎn)，若且，則面積的最小值為________.
【答案】
【解析】因?yàn)?，為的角平分線，
所以，又，
故由三角形面積公式可得，
，
，
又，
所以，
由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以面積的最小值為.
故答案為：.
變式56．（2023·湖北武漢·高一華中科技大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考期中）已知中，角、、所對的邊分別為、、，，的角平分線交于點(diǎn)，且，則的最小值為___．
【答案】
【解析】因?yàn)?，的角平分線交于點(diǎn)，且，
因?yàn)?，即?br>即，即，所以，，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.
故答案為：.
變式57．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，內(nèi)角所對的邊分別是，的角平分線交于點(diǎn)D．若，則的取值范圍是____________．
【答案】
【解析】
對用正弦定理，可得，設(shè)，，由于為三角形內(nèi)角，則，由可得，，整理得，，對，由余弦定理，，即，故，即，于是，根據(jù)基本不等式，，即，結(jié)合，解得，即，于是.
故答案為：
變式58．（2023·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）已知，，為上一點(diǎn)，且為的角平分線，則的最小值為___________.
【答案】16
【解析】
為的角平分線，，
由等面積法，
所以，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），即最小值為16.
故答案為：16

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高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(新教材新高考)重難點(diǎn)突破03三角形中的范圍與最值問題(十七大題型)(原卷版+解析)

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【講通練透】重難點(diǎn)突破03 三角形中的范圍與最值問題（十七大題型）-2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破精講

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重難點(diǎn)突破03 三角形中的范圍與最值問題（十七大題型）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）（原卷版）

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重難點(diǎn)突破03 三角形中的范圍與最值問題（十七大題型）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）（解析版）

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