知識點一：正方體、長方體外接球
1、正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
2、長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
3、補成長方體
（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖1所示．
（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構(gòu)造長方體，如圖2所示．
（3）正四面體可以補形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．
（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖4所示
圖1 圖2 圖3 圖4
知識點二：正四面體外接球
如圖，設(shè)正四面體的的棱長為，將其放入正方體中，則正方體的棱長為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．
知識點三：對棱相等的三棱錐外接球
四面體中，，，，這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通過構(gòu)造長方體來解決這類問題．
如圖，設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為，則，所以．
知識點四：直棱柱外接球
如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

圖1 圖2 圖3
第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；
第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
知識點五：直棱錐外接球
如圖，平面，求外接球半徑．
解題步驟：
第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過球心；
第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑： = 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②．
知識點六：正棱錐與側(cè)棱相等模型
1、正棱錐外接球半徑： ．
2、側(cè)棱相等模型：
如圖，的射影是的外心
三棱錐的三條側(cè)棱相等
三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點．

解題步驟：
第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；
第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
知識點七：側(cè)棱為外接球直徑模型
方法：找球心，然后作底面的垂線，構(gòu)造直角三角形．
知識點八：共斜邊拼接模型
如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設(shè)點為公共斜邊的中點，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，，即點到，，，四點的距離相等，故點就是四面體外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑．
知識點九：垂面模型
如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．
（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．

圖1 圖2
知識點十：最值模型
這類問題是綜合性問題，方法較多，常見方法有：導(dǎo)數(shù)法，基本不等式法，觀察法等
知識點十一：二面角模型
如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．
（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．

知識點十二：坐標(biāo)法
對于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)球心坐標(biāo)為，利用球心到各頂點的距離相等建立方程組，解出球心坐標(biāo)，從而得到球的半徑長．坐標(biāo)的引入，使外接球問題的求解從繁瑣的定理推論中解脫出來，轉(zhuǎn)化為向量的計算，大大降低了解題的難度．
知識點十三：圓錐圓柱圓臺模型
1、球內(nèi)接圓錐
如圖，設(shè)圓錐的高為，底面圓半徑為，球的半徑為．通常在中，由勾股定理建立方程來計算．如圖，當(dāng)時，球心在圓錐內(nèi)部；如圖，當(dāng)時，球心在圓錐外部．和本專題前面的內(nèi)接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷．
由圖、圖可知，或，故，所以．
2、球內(nèi)接圓柱
如圖，圓柱的底面圓半徑為，高為，其外接球的半徑為，三者之間滿足．
3、球內(nèi)接圓臺
，其中分別為圓臺的上底面、下底面、高．
知識點十四：錐體內(nèi)切球
方法：等體積法，即
知識點十五：棱切球
方法：找切點，找球心，構(gòu)造直角三角形
題型一：外接球之正方體、長方體模型
例1．（2023·云南昆明·高一?？计谀┱襟w的表面積為96，則正方體外接球的表面積為
例2．（2023·吉林·高一校聯(lián)考期末）已知正方體的頂點都在球面上，若正方體棱長為，則球的表面積為 ．
例3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知長方體的頂點都在球表面上，長方體中從一個頂點出發(fā)的三條棱長分別為2，3，4則球的表面積是
變式1．（2023·湖南長沙·高一長郡中學(xué)?？计谥校╅L方體的外接球的表面積為，，，則長方體的體積為 .
變式2．（2023·天津靜海·高一?？计谥校┰陂L方體中，，，，則長方體外接球的表面積為 ．
題型二：外接球之正四面體模型
例4．（2023·湖北宜昌·宜昌市夷陵中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知正四面體ABCD的表面積為，且A，B，C，D四點都在球O的球面上，則球O的體積為 ．
例5．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）正四面體的所有頂點都在同一個表面積是36π的球面上，則該正四面體的棱長是 ．
例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）棱長為的正四面體的外接球體積為 .
變式3．（2023·全國·高一假期作業(yè)）正四面體和邊長為1的正方體有公共頂點，，則該正四面體的外接球的體積為 .
變式4．（2023·安徽池州·高二池州市第一中學(xué)校考期中）正四面體中，其側(cè)面積與底面積之差為，則該正四面體外接球的體積為 .
題型三：外接球之對棱相等的三棱錐模型
例7．（2023·高一單元測試）在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023·河南·開封高中?？寄M預(yù)測）已知四面體ABCD中，，，，則四面體ABCD外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
例9．（2023·廣東揭陽·高二校聯(lián)考期中）在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球表面積是（ ）
A．B．C．D．
變式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
題型四：外接球之直棱柱模型
例10．（2023·陜西安康·統(tǒng)考三模）已知矩形ABCD的周長為36，把它沿圖中的虛線折成正六棱柱，當(dāng)這個正六棱柱的體積最大時，它的外接球的表面積為 ．
例11．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾市第八中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)直三棱柱的所有頂點都在一個表面積是的球面上，且，則此直三棱柱的表面積是（ ）
A．B．C．D．
例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在直三棱柱中，為等腰直角三角形，若三棱柱的體積為32，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（ ）
A．12πB．24πC．48πD．96π
變式6．（2023·湖北咸寧·高二鄂南高中?？茧A段練習(xí)）已知正三棱柱的體積為，則其外接球表面積的最小值為（ ）
A．12πB．6πC．16πD．8π
變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱柱中，已知，側(cè)面，且直線與底面所成角的正弦值為,則此三棱柱的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
變式8．（2023·新疆昌吉·高三校考期末）已知正三棱柱所有棱長都為6，則此三棱柱外接球的表面積為（ ）
A．B．60C．D．
題型五：外接球之直棱錐模型
例13．（2023·安徽宣城·高一統(tǒng)考期末）在三棱錐中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，側(cè)棱PA⊥平面ABC，且，則三棱錐的外接球表面積為 ．
例14．（2023·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）在三棱錐中，面，為等邊三角形，且，則三棱錐的外接球的表面積為 ．
例15．（2023·四川成都·高一成都七中校考階段練習(xí)）已知三棱錐，其中平面，則三棱錐外接球的表面積為 .
變式9．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)校考模擬預(yù)測）在三棱錐中，為等邊三角形，平面，若，則三棱錐外接球的表面積的最小值為 .
變式10．（2023·陜西榆林·高二?？茧A段練習(xí)）已知三棱錐中，平面，，異面直線與所成角的余弦值為，則三棱錐的外接球的表面積為 ．
變式11．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，為對角線與的交點，若，，則三棱錐的外接球的體積為 .
變式12．（2023·四川綿陽·綿陽中學(xué)?？级＃┰谒睦忮F中，平面BCDE，，，，且，則該四棱錐的外接球的表面積為 .
變式13．（2023·廣東韶關(guān)·高二統(tǒng)考期末）三棱錐中,平面,,,,則三棱錐外接球的體積是 ．
題型六：外接球之正棱錐、正棱臺模型
例16．（2023·山東濱州·高一校考期中）已知正四棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為6，則該四棱錐的外接球的體積為 ．
例17．（2023·福建福州·高一福建省福州屏東中學(xué)?？计谀┮阎忮F的頂點都在球O的球面上，其側(cè)棱與底面所成角為，且，則球O的表面積為
例18．（2023·河南商丘·高一商丘市第一高級中學(xué)校聯(lián)考期末）在正三棱錐中，點D在棱上，且滿足，，若，則三棱錐外接球的表面積為 .
變式14．（2023·云南保山·高一統(tǒng)考期末）已知正三棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為，高為，則該三棱錐外接球的表面積為 .
變式15．（2023·廣東佛山·高一佛山市南海區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正三棱錐中，，，該三棱錐的外接球體積為 ．
變式16．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在正三棱臺中，，，，則正三棱臺的外接球表面積為（ ）

A．64B．C．D．
變式17．（2023·遼寧·高三校聯(lián)考期末）正四棱臺高為2，上下底邊長分別為2和4，所有頂點在同一球面上，則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
變式18．（2023·貴州六盤水·高一校考階段練習(xí)）已知正四棱錐的底面邊長為6，側(cè)棱長為，則該四棱錐外接球的表面積為 ．
變式19．（2023·山西晉中·高三祁縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在正四棱錐中，，若四棱錐的體積為，則該四棱錐外接球的體積為 ．
變式20．（2023·湖北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在正四棱臺中，，．當(dāng)該正四棱臺的體積最大時，其外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
題型七：外接球之側(cè)棱相等的棱錐模型
例19．（2023·安徽安慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測）三棱錐中，，，，則該三棱錐外接球的表面積為 ．
例20．（2023·江蘇常州·高三華羅庚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在三棱錐中，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為 ．
例21．（2023·河北承德·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知三棱錐的各側(cè)棱長均為，且，則三棱錐的外接球的表面積為 .
變式21．（2023·吉林長春·高一長春市解放大路學(xué)校?？计谀┮阎忮FP-ABC的四個頂點在球O的球面上，，△ABC是邊長為的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，，則球O的體積為 .
變式22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在三棱錐中，，，則該三棱錐外接球的體積為
A．B．C．D．
變式23．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
變式24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在四面體中，，，則四面體的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．sD．
題型八：外接球之圓錐、圓柱、圓臺模型
例22．（2023·浙江臺州·高二校聯(lián)考期末）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為2，則該圓錐的外接球的體積為 .
例23．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）已知某圓錐的軸截面為正三角形，側(cè)面積為，該圓錐內(nèi)接于球，則球的表面積為 .
例24．（2023·河北石家莊·高二?？茧A段練習(xí)）一個圓柱的底面直徑與高都等于一個球的直徑，則圓柱的表面積與球的表面積之比為 .
變式25．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示，已知一個球內(nèi)接圓臺，圓臺上、下底面的半徑分別為和，球的體積為，則該圓臺的側(cè)面積為（ ）

A．B．C．D．
變式26．（2023·云南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓臺的上下底面圓的半徑分別為3，4，母線長為，若該圓臺的上下底面圓的圓周均在球O的球面上，則球O的體積為（ ）
A．B．C．D．
變式27．（2023·陜西西安·高一?？计谥校┤鐖D所示，一個球內(nèi)接圓臺，已知圓臺上?下底面的半徑分別為3和4，球的表面積為，則該圓臺的體積為（ ）
A．B．C．D．
題型九：外接球之垂面模型
例25．（2023·江西九江·高一校考期末）如圖，三棱錐中，平面平面BCD，是邊長為2的等邊三角形，，.若A，B，C，D四點在某個球面上，則該球體的表面積為 .

例26．（2023·四川樂山·高二期末）已知正邊長為1，將繞旋轉(zhuǎn)至，使得平面平面，則三棱錐的外接球表面積為 ．
例27．（2023·河南平頂山·高一統(tǒng)考期末）在三棱錐中，平面平面，點是的中點，，則三棱錐的外接球的表面積為 .
變式28．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，．設(shè)D為的中點，三棱錐的體積為，平面平面，則三棱柱外接球的表面積為 ．
變式29．（2023·河南開封·開封高中?？寄M預(yù)測）如圖,在三棱錐中,平面平面ABC,,,,為等邊三角形,則三棱錐外接球的表面積為 ．
變式30．（2023·湖北十堰·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面四邊形中，，沿對角線將折起，使平面平面，連接，得到三棱錐，則三棱錐外接球表面積的最小值為 .

變式31．（2023·河南安陽·高一統(tǒng)考期末）在三棱錐中，平面平面，，且，是等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為 ．
變式32．（2023·云南臨滄·高二校考期中）如圖，已知矩形中，，現(xiàn)沿折起，使得平面平面，連接，得到三棱錐，則其外接球的體積為 ．

變式33．（2023·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）在三棱錐中，平面平面，底面是邊長為3的正三角形，若該三棱錐外接球的表面積為，則該三棱錐體積的最大值為 .
變式34．（2023·四川樂山·統(tǒng)考三模）在三棱錐中，，平面平面ABC，則三棱錐的外接球表面積的最小值為 ．
變式35．（2023·湖南衡陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在平面四邊形中，，沿對角線將折起，使平面平面，得到三棱錐，則三棱錐外接球表面積的最小值為 .
題型十：外接球之二面角模型
例28．（2023·廣東陽江·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在三棱錐中，，，二面角的平面角為，則三棱錐外接球表面積的最小值為（ ）
A．B．
C．D．
例29．（2023·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）在四面體PABC中，，是邊長為2的等邊三角形，若二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例30．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知四棱錐平面，二面角的大小為.若點均在球的表面上，則該球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
變式36．（2023·福建·高一福建師大附中?？计谀┰谒拿骟w中，與都是邊長為6的等邊三角形，且二面角的大小為，則四面體外接球的表面積是（ ）
A．52πB．54πC．56πD．60π
變式37．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）圖1為兩塊大小不同的等腰直角三角形紙板組成的平面四邊形ABCD，其中小三角形紙板的斜邊AC與大三角形紙板的一條直角邊長度相等，小三角形紙板的直角邊長為a，現(xiàn)將小三角形紙板ACD沿著AC邊折起，使得點D到達(dá)點M的位置，得到三棱錐，如圖2．若二面角的大小為，則所得三棱錐M－ABC的外接球的表面積為（ ）

A．B．C．D．
變式38．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖1，在中，，，，，沿將折起，使得二面角為60°，得到三棱錐，如圖2，若，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）

A．B．C．D．
變式39．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，，二面角的大小為，若球的表面積等于，則三棱錐的體積等于（ ）
A．B．
C．D．
變式40．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在三棱錐中，，二面角為，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
題型十一：外接球之側(cè)棱為球的直徑模型
例31．（2023·貴州黔東南·高二凱里一中校考期中）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是球的直徑.若平面平面，，，三棱錐的體積為，則球的體積為（ ）
A．B．C．D．
例32．（2023·四川巴中·高三統(tǒng)考期末）已知三棱錐的體積為，，，若是其外接球的直徑，則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例33．（2023·重慶九龍坡·高二重慶市育才中學(xué)校考期中）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上,為球的直徑,是邊長為的等邊三角形,三棱錐的體積為,則球的表面積為( )
A．B．C．D．
變式41．（2023·重慶·校聯(lián)考一模）已知三棱錐各頂點均在球上，為球的直徑，若，，三棱錐的體積為4，則球的表面積為
A．B．C．D．
變式42．（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）三棱錐的四個頂點都在球面上，是球的直徑，，，則該球的表面積為
A．B．C．D．
變式43．（2023·河南南陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是球的直徑.若平面平面，，，三棱錐的體積為，則球的體積為
A．B．C．D．
變式44．（2023·福建莆田·高三統(tǒng)考期中）三棱錐的各頂點均在球上，為該球的直徑，，三棱錐的體積為，則球的表面積為
A．B．C．D．
變式45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐的四個頂點均在某球面上，為該球的直徑，是邊長為4的等邊三角形，三棱錐的體積為，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
變式46．（2023·湖南長沙·高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是球的直徑，是球球面上的兩點，且，若三棱錐的體積為，則球的表面積為
A．B．C．D．
題型十二：外接球之共斜邊拼接模型
例34．（2022·江西·高二階段練習(xí)（理））如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是對角線與的交點，若，，則三棱錐的外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
例35．（2022·安徽·蕪湖一中高二期中）已知三棱錐中，，，，，，則此三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例36．（2022·江西贛州·高二期中（理））在三棱錐中，若該三棱錐的體積為，則三棱錐外球的體積為（ ）
A．B．C．D．
變式47．在矩形中，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
變式48．三棱錐中，平面平面， ，，，則三棱錐的外接球的半徑為
題型十三：外接球之坐標(biāo)法模型
例37．（2023·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）空間直角坐標(biāo)系中，則四面體ABCD外接球體積是（ ）
A．B．C．D．
例38．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，某環(huán)保組織設(shè)計一款苗木培植箱，其外形由棱長為2（單位：）的正方體截去四個相同的三棱錐（截面為等腰三角形）后得到.若將該培植箱置于一球形環(huán)境中，則該球表面積的最小值為
例39．（2023·河南開封·開封高中?？家荒＃┤鐖D，在三棱錐中，為等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為 .
變式49．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖①，在中，，，D，E分別為，的中點，將沿折起到的位置，使，如圖②.若F是的中點，則四面體的外接球體積是（ ）
A．B．C．D．
變式50．（2023·湖北武漢·高一武漢外國語學(xué)校（武漢實驗外國語學(xué)校）期末）如圖，已知四棱錐，底面是邊長為3的正方形，面，，，，若，則四棱錐外接球表面積為（ ）

A．B．C．D．
變式51．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）在長方體中中，，AD＝2，M是棱的中點，過點B，M，的平面交棱AD于點N，點P為線段上一動點，則三棱錐外接球表面積的最小值為 ．
變式52．（2023·湖南郴州·高二統(tǒng)考期末）如圖，棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱?的中點，G為面對角線上一個動點，則三棱錐的外接球表面積的最小值為 .
變式53．（2023·廣東陽江·高三陽春市第一中學(xué)階段練習(xí)）已知正方體的棱長為2，點是線段上的動點，則三棱錐的外接球半徑的取值范圍為 ．
題型十四：外接球之空間多面體
例40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）自2015年以來，貴陽市著力建設(shè)“千園之城”，構(gòu)建貼近生活、服務(wù)群眾的生態(tài)公園體系，著力將“城市中的公園”升級為“公園中的城市”．截至目前，貴陽市公園數(shù)量累計達(dá)到1025個．下圖為貴陽市某公園供游人休息的石凳，它可以看做是一個正方體截去八個一樣的四面體得到的，如果被截正方體的的棱長為，則石凳所對應(yīng)幾何體的外接球的表面積為 ．
例41．（2023·山東青島·高一山東省青島第五十八中學(xué)校考階段練習(xí)）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟牵唇厝ニ拿骟w的四個頂點所產(chǎn)生的多面體.如圖所示，將棱長為3的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為1的截角四面體，則該截角四面體的外接球表面積為 .
例42．（2023·寧夏銀川·銀川二中校考一模）把一個棱長都是6的正四棱錐（底面是正方形，頂點在底面的射影是正方形的中心）每條棱三等分，沿與正四棱錐頂點相鄰的三等分點做截面，將正四棱錐截去四個小正四面體和一個小正四棱錐（如圖所示），則剩下的幾何體的外接球的表面積等于 ．
變式54．（2023·山東濟(jì)南·高一山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）取兩個相互平行且全等的正n邊形，將其中一個旋轉(zhuǎn)一定角度，連接這兩個多邊形的頂點，使得側(cè)面均為等邊三角形，我們把這種多面體稱作“n角反棱柱”.當(dāng)n=4時，得到如圖所示棱長均為2的“四角反棱柱”，則該“四角反棱柱”外接球的表面積等于（ ）
A．B．C．D．
題型十五：與球有關(guān)的最值問題
例43．（2023·江西撫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，直三棱柱中，，棱柱的側(cè)棱足夠長，點P在棱上，點在上，且，則當(dāng)△的面積取最小值時，三棱錐的外接球的體積為 .
例44．（2023·全國·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考二模）如圖，直三棱柱中，，點在棱上，且，當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時，三棱錐的外接球的表面積為 .
例45．（2023·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）正方體的棱長為2，點平面，點是線段的中點，若，則當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時，三棱錐外接球的體積為 .
變式55．（2023·廣東深圳·高三深圳中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，直三棱柱中，⊥，，，點P在棱上，且，當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時，三棱錐的外接球的表面積為 ．
變式56．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期末）已知三棱錐的四個頂點均在同一個球面上，底面為等腰直角三角形且，若該三棱錐體積的最大值為，則其外接球的表面積為 .
變式57．（2023·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB＝3，則當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時，其外接球的表面積為 ．
變式58．（2023·湖南長沙·高三寧鄉(xiāng)一中校考階段練習(xí)）在三棱錐中，底面，，，為的中點，若三棱錐的頂點均在球的球面上，是球上一點，且三棱錐體積的最大值是，則球的體積為 .
變式59．（2023·江西南昌·南昌十中?？寄M預(yù)測）點，，，在同一個球的球面上，，若四面體體積的最大值為，則這個球的表面積為 .
題型十六：內(nèi)切球之正方體、正棱柱模型
例46．（2023·廣東肇慶·高一?？茧A段練習(xí)）棱長為2的正方體的內(nèi)切球的球心為，則球的體積為（ ）
A．B．C．D．
例47．（2023·河北邯鄲·高一大名縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直三棱柱存在內(nèi)切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例48．（2023·山西太原·高一校考階段練習(xí)）已知正方體的內(nèi)切球(球與正方體的六個面都相切)的體積是，則該正方體的體積為（ ）
A．4B．16C．8D．64
變式60．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若一個正三棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則它的外接球與內(nèi)切球體積之比為（ ）
A．B．C．D．
變式61．（2023·遼寧·高二沈陽二中校聯(lián)考開學(xué)考試）在正三棱柱中，D是側(cè)棱上一點，E是側(cè)棱上一點，若線段的最小值是﹐且其內(nèi)部存在一個內(nèi)切球（與該棱柱的所有面均相切），則該棱柱的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
變式62．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若一個正六棱柱既有外接球又有內(nèi)切球，則該正六棱柱的外接球和內(nèi)切球的表面積的比值為（ ）
A．B．C．D．
變式63．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點O到直三棱柱各面的距離都相等，球O是直三棱柱的內(nèi)切球，若球O的表面積為，的周長為4，則三棱錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
題型十七：內(nèi)切球之正四面體模型
例49．（2023·高一課時練習(xí)）邊長為的正四面體內(nèi)切球的體積為（ ）
A．B．C．D．
例50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正四面體的棱長為，則其內(nèi)切球的表面積為（ ）
A．B．
C．D．
例51．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）正四面體的棱長為，則它的內(nèi)切球與外接球的表面積之比為（ ）
A．B．C．D．
題型十八：內(nèi)切球之棱錐模型
例52．（2023·安徽·高二馬鞍山二中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知矩形中，，沿著對角線將折起，使得點不在平面內(nèi)，當(dāng)時，求該四面體的內(nèi)切球和外接球的表面積比值為（ ）
A．B．C．D．
例53．（2023·廣西·高二校聯(lián)考期中）已知四棱錐的各棱長均為2，則其內(nèi)切球表面積為（ ）

A．B．
C．D．
例54．（2023·湖北武漢·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，若三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，則此三棱錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
變式64．（2023·河南濮陽·高一濮陽一高?？茧A段練習(xí)）在三棱錐中，平面，且，若球在三棱錐的內(nèi)部且與四個面都相切（稱球為三棱錐的內(nèi)切球），則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
變式65．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體為正八面體，則該正八面體的內(nèi)切球表面積為（ ）
A．B．C．D．
變式66．（2023·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，且，則其內(nèi)切球表面積為（ ）
A．B．C．D．
題型十九：內(nèi)切球之圓錐、圓臺模型
例55．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在Rt中，.以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，則該幾何體的內(nèi)切球的體積為（ ）
A．B．C．D．
例56．（2023·天津·統(tǒng)考二模）已知一個圓錐的高為，底面直徑為，其內(nèi)有一球與該圓錐的側(cè)面和底面都相切，則此球的體積為（ ）
A．B．C．D．
例57．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知某圓錐的母線長為2，其軸截面為直角三角形，則下列關(guān)于該圓錐的說法中錯誤的是（ ）
A．圓錐的體積為B．圓錐的表面積為
C．圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形D．圓錐的內(nèi)切球表面積為
變式67．（2023·貴州貴陽·高二校考階段練習(xí)）已知圓錐內(nèi)切球（與圓錐側(cè)面、底面均相切的球）的半徑為2，當(dāng)該圓錐的表面積最小時，其外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
變式68．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐的內(nèi)切球表面積為（ ）
A．B．C．D．
變式69．（2023·安徽宣城·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，正四棱臺的上?下底面邊長分別為分別為，的中點，8個頂點構(gòu)成的十面體恰有內(nèi)切球，則該內(nèi)切球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
變式70．（2023·湖北咸寧·高二統(tǒng)考期末）已知球內(nèi)切于圓臺（即球與該圓臺的上、下底面以及側(cè)面均相切），且圓臺的上、下底面半徑，則圓臺的體積與球的體積之比為（ ）

A．B．C．2D．
題型二十：棱切球之正方體、正棱柱模型
例58．（2023·山東菏澤·高一山東省鄄城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知球與一正方體的各條棱相切，同時該正方體內(nèi)接于球，則球與球的表面積之比為（ ）
A．2：3B．3：2C．D．
例59．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正三棱柱的體積為18，若存在球O與三棱柱的各棱均相切，則球O的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例60．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知球與棱長為的正方體的各條棱都相切，則球內(nèi)接圓柱的側(cè)面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
變式71．（吉林省吉林市2023屆高三第四次數(shù)學(xué)（理）調(diào)研試題）已知正三棱柱(底面為正三角形且側(cè)棱與底面垂直)，它的底面邊長為2，若存在一個球與此正三棱柱的所有棱都相切，則此正三棱柱的側(cè)棱長為 .
變式72．（福建省三明市2023屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）已知直三棱柱的側(cè)棱長為，底面為等邊三角形.若球O與該三棱柱的各條棱都相切，則球O的體積為 .
變式73．已知正三棱柱，若有一半徑為4的球與正三棱柱的各條棱均相切，則正三棱柱的側(cè)棱長為 .
變式74．（廣東省茂名市五校聯(lián)盟2023屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知正三棱柱的高等于1.一個球與該正三棱柱的所有棱都相切，則該球的體積為（ ）
A．B．C．D．
題型二十一：棱切球之正四面體模型
例61．（2023·全國·高一期中）已知某棱長為的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球與此正四面體的體積之比為（ ）
A．B．C．D．
例62．（2023·陜西西安·高一校聯(lián)考期中）所有棱長均相等的三棱錐構(gòu)成一個正四面體，則該正四面體的內(nèi)切球與外接球的體積之比為（ ）
A．B．C．D．
例63．（2023·江西南昌·高二進(jìn)賢縣第一中學(xué)校考期中）球與棱長為的正四面體各條棱都相切，則該球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
變式75．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知球的表面積為，若球與正四面體的六條棱均相切，則此四面體的體積為（ ）
A．9B．C．D．
變式76．（2023·全國·高三專題練習(xí)）正四面體P-ABC的棱長為4，若球O與正四面體的每一條棱都相切，則球O的表面積為（ ）
A．2πB．8πC．D．12π
題型二十二：棱切球之正棱錐模型
例64．（河南省名校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知棱長均為的多面體由上?下全等的正四棱錐和拼接而成，其中四邊形為正方形，如圖所示，記該多面體的外接球半徑為，該多面體的棱切球（與該多面體的所有棱均相切的球）的半徑為，則 ．

例65．（河南省多所名校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期3月月考文科數(shù)學(xué)試題）在正三棱錐中，，，若球O與三棱錐的六條棱均相切，則球O的表面積為 ．
例66．（安徽省馬鞍山市2023屆高三下學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測理科數(shù)學(xué)試題）球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長叫做球缺的高，球缺的體積公式，其中為球的半徑，為球缺的高.若一球與一所有棱長為6的正四棱錐的各棱均相切，則該球與該正四棱錐的公共部分的體積為 .
變式77．（2023·全國·高三專題練習(xí)）正三棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為，若球H與正三棱錐所有的棱都相切，則這個球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
變式78．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，，，兩兩垂直，，若球與三棱錐各棱均相切，則該球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
變式79．（2023·湖北武漢·高一武漢市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）與正三棱錐6條棱都相切的球稱為正三棱錐的棱切球.若正三棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為3，則此正三棱錐的棱切球半徑為（ ）
A．B．C．D．
變式80．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）在正三棱錐中，，若球與三棱錐的六條棱均相切，則球的表面積為（ ）
A．B．
C．D．
題型二十三：多球相切問題
例67．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？级＃┤缃裰袊蛔u為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程?高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊?平衡盾構(gòu)機等國之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球為正四面體的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個面均相切，最小球與中等球和正四面體三個面均相切，已知正四面體棱長為，則模型中九個球的表面積和為（ ）
A．B．C．D．
例68．（2023·江西贛州·高一江西省龍南中學(xué)?？计谀┮阎拿骟w的棱長為12，先在正四面體內(nèi)放入一個內(nèi)切球，然后再放入一個球，使得球與球及正四面體的三個側(cè)面都相切，則球的體積為（ ）
A．B．C．D．
例69．（2023·山東德州·高一德州市第一中學(xué)校考期末）如圖是某零件結(jié)構(gòu)模型，中間大球為正四面體的內(nèi)切球，小球與大球和正四面體三個面均相切，若，則該模型中一個小球的體積為（ ）

A．B．C．D．
變式81．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在一個底面邊長為2，側(cè)棱長為的正四棱錐中，大球內(nèi)切于該四棱錐，小球與大球及四棱錐的四個側(cè)面相切，則小球的表面積為 ．
變式82．（2023·全國·高一專題練習(xí)）棱長為的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球，則這樣一個小球的表面積最大為（ ）
A．B．C．D．
變式83．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知球是棱長為24的正四面體的內(nèi)切球，球與球外切且與正四面體的三個側(cè)面都相切，則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
變式84．（2023·全國·高一專題練習(xí)）四個半徑為2的球剛好裝進(jìn)一個正四面體容器內(nèi)，此時正四面體各面與球相切，則這個正四面體外接球的表面積為（ ）
A．B．
C．D．

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