立體幾何中的軌跡問題常用的五種方法總結(jié)：
1、定義法
2、交軌法
3、幾何法
4、坐標(biāo)法
5、向量法
題型一：由動點保持平行求軌跡
例1．（2023·貴州銅仁·高二貴州省銅仁第一中學(xué)校考開學(xué)考試）設(shè)正方體的棱長為1，點E是棱的中點，點M在正方體的表面上運動，則下列命題：

①如果，則點M的軌跡所圍成圖形的面積為；
②如果∥平面，則點M的軌跡所圍成圖形的周長為；
③如果∥平面，則點M的軌跡所圍成圖形的周長為；
④如果，則點M的軌跡所圍成圖形的面積為．
其中正確的命題個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】由面，而面，則，又，
又，面，則面，
由面，則，同理，
，面，則面，
所以垂直于面所有直線，且面，
若，則在邊長為的正△的邊上，
故軌跡圖形面積為，①對；
若分別為中點，連接，
由正方體的性質(zhì)易得，，
所以共面，且為平行四邊形，故面即為面，
由面，面，則面，
同理可得面，，面，
所以面面，要使∥平面，則在△的邊上，
所以軌跡長為，②錯；
若分別為的中點，連接，顯然，
所以共面，即面，
由，面，面，則面，
又，同理可得面，，面，
所以面面，故面內(nèi)任意直線都與面平行，
要使∥平面，則在四邊形的邊上運動，
此時軌跡長為，③對；
若分別是的中點，并依次連接，
易知為正六邊形，顯然，，
由面，面，則面，同理可得面，
，面，所以面面，
由面，則面，故垂直于面所有直線，
要使，則在邊長為的正六邊形邊上運動，
所以軌跡圖形面積為，④對；
故選：C
例2．（2023·遼寧沈陽·高一沈陽二十中校聯(lián)考期末）在棱長為1的正方體中，E在棱上且滿足，點F是側(cè)面上的動點，且面AEC，則動點F在側(cè)面上的軌跡長度為 ．
【答案】
【解析】如圖，取的中點，并連接、、，
因為E在棱上且滿足，即E是棱的中點，
所以，又平面，平面，
所以平面，同理可證平面，
又，所以平面平面，又平面，
所以平面，所以動點F在側(cè)面上的軌跡即為，
因為正方體的棱長為1，由勾股定理有：.
故答案為：.
例3．（2023·福建福州·高一福建省福州屏東中學(xué)校考期末）如圖所示，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為所在棱的中點，P為平面內(nèi)（包括邊界）一動點，且∥平面EFG，則P點的軌跡長度為

【答案】2
【解析】因為∥，則四點共面，
連接，
因為E，F(xiàn)分別為所在棱的中點，則∥，
且平面FGE，平面FGE，所以∥平面FGE，
因為F，G分別為所在棱的中點，則∥，
且平面FGE，平面FGE，所以∥平面FGE，
，平面，
所以平面FGE∥平面，且平面平面，
可得當(dāng)且僅當(dāng)點P在棱BC上時，即平面，滿足∥平面EFG，
所以點P的軌跡為線段BC，長度為2.
故答案為：2.
變式1．（2023·四川成都·高一成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)校考期末）如圖，在正三棱柱中，，，分別為，的中點．若側(cè)面的中心為，為側(cè)面內(nèi)的一個動點，平面，且的軌跡長度為，則三棱柱的表面積為 ．

【答案】/
【解析】
連接交于，取的中點，過作，
分別交于，連接，
易得，
因為平面，平面，所以平面，
平面，因為，且都在面內(nèi)，所以平面平面，
所以的軌跡為線段，
因為，所以，
因為，所以，
所以，
故三棱柱的表面積為.
故答案為：.
變式2．（2023·江蘇揚州·高二統(tǒng)考期中）如圖，正方體的棱長為2，點是線段的中點，點是正方形所在平面內(nèi)一動點，若平面，則點軌跡在正方形內(nèi)的長度為 .

【答案】
【解析】取的中點，連接，如圖所示：
因為，平面，平面，所以平面.
因為，平面，平面，所以平面.
又因為平面，，
所以平面平面.
因為平面，平面，
所以點在平面的軌跡為.
所以.
故答案為：
變式3．（2023·江蘇泰州·高二泰州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）正方體的棱長為3，點，分別在線段和線段上，且，，點是正方形所在平面內(nèi)一動點，若平面，則點的軌跡在正方形內(nèi)的長度為 .
【答案】
【解析】
如圖，在上取點，使得，在上取點，使得，連接.
根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，，.
由已知可得，，
又，所以.
又，所以，四邊形為平行四邊形，
所以，，且.
同理可得，，且，.
根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，，且，
所以，，且，
所以，四邊形是平行四邊形，
所以，.
因為平面，平面，所以平面.
同理可得，平面.
因為平面，平面，，
所以，平面平面.
又平面平面，
所以，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，只有在線段上運動時，滿足條件.
過點作，垂足為，
易知，且，，
所以，.
故答案為：.
變式4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在邊長為2的正方體中，點M是該正方體表面及其內(nèi)部的一動點，且平面，則動點M的軌跡所形成區(qū)域的面積是 ．
【答案】
【解析】如圖，邊長為2的正方體中，
動點M滿足平面，
由面面平行的性質(zhì)得：當(dāng)始終在一個與平面平行的面內(nèi)，即滿足題意，
連接，，，
因為且，所以四邊形為平行四邊形，
所以，同理，
又平面，平面，所以平面，
因為平面，平面，所以平面，
又因平面，
所以平面平面，
又平面，所以動點M的軌跡所形成區(qū)域為，
，
，
所以動點M的軌跡所形成區(qū)域的面積是.
故答案為：.
變式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為分別是棱的中點，點為底面四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動點，若直線與平面無公共點，則點在四邊形內(nèi)運動所形成軌跡的長度為 .
【答案】
【解析】取的中點，連接，如圖所示：
分別是棱的中點，所以，
又因為平面平面，所以平面.
因為，
所以四邊形為平行四邊形，所以.
又因為平面平面，所以平面.
因為，所以平面平面.
因為點為底面四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動點，直線與平面無公共點，
所以的軌跡為線段，則.
故答案為：.
變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，正方體的棱長為分別為，的中點，點是正方體表面上的動點，若平面，則點在正方體表面上運動所形成的軌跡長度為 ．
【答案】/
【解析】取的中點的中點，連結(jié)．正方體
的棱長為2．為中點，所以，
所以且．
因為為分別為的中點，
所以，且，所以四邊形為平行四邊形，
所以．
因為面面，
所以面．
同理可證：面．
又面面，
所以面面．
所以點在正方體表面上運動所形成的軌跡為三角形．
因為正方體的棱長為2，所以，
所以三角形的周長為．
故答案為：.
變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知棱長為的正四面體，為的中點，動點滿足，平面經(jīng)過點，且平面平面，則平面截點的軌跡所形成的圖形的周長為 .
【答案】
【解析】設(shè)的外心為，的中點為，過作的平行線，則以為坐標(biāo)原點，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
為等邊三角形，，，，
，，，
設(shè)，由得：，
整理可得：，
動點的軌跡是以為球心，為半徑的球；
延長到點，使得，，，
則，，又平面，平面，
平面，平面，由，平面，
平面平面，即平面為平面，
則點到平面的距離即為點到直線的距離，
，，，即，
點到直線的距離，
截面圓的半徑，球被平面截得的截面圓周長為，
即平面截點的軌跡所形成的圖形的周長為.
故答案為：.
題型二：由動點保持垂直求軌跡
例4．（2023·湖南株洲·高三株洲二中?？茧A段練習(xí)）在棱長為4的正方體中，點P、Q分別是，的中點，點M為正方體表面上一動點，若MP與CQ垂直，則點M所構(gòu)成的軌跡的周長為 .
【答案】
【解析】如圖，只需過點P作直線CQ的垂面即可，垂面與正方體表面的交線即為動點M的軌跡.
分別取，的中點R，S，
由，知，易知，
又，，平面ABRS，
所以平面ABRS，
過P作平面ABRS的平行平面，點M的軌跡為四邊形，
其周長與四邊形ABRS的周長相等，
其中，，
所以點M所構(gòu)成的軌跡的周長為.
故答案為：
例5．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)校考二模）在正四棱柱中，，E為中點，為正四棱柱表面上一點，且，則點的軌跡的長為 .
【答案】/
【解析】如圖，連接，，由題可知，，平面.
因平面，則.
又平面，平，，則平面.又平面，則；
如圖，過E做平行線，交于F，則F為中點.連接，
過做垂線，交于G.
由題可得，平面，又，則平面.
因平面，則.
又平面，平面，，則平面.
因平面，則；
因平面，平面，，則平面.
連接，則點P軌跡為平面與四棱柱的交線，即.
注意到，
，則，故.
則點的軌跡的長為.
故答案為：.
例6．（2023·全國·唐山市第十一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知為正方體的內(nèi)切球球面上的動點，為的中點，，若動點的軌跡長度為，則正方體的體積是 .
【答案】
【解析】如圖所示：
正方體，設(shè)，則內(nèi)切球的半徑，
其中為的中點，取的中點，連接,
則有：,
又,平面，
所以平面，
所以動點的軌跡是平面截內(nèi)切球的交線，
即平面截內(nèi)切球的交線，
因為正方體，，
如圖所示：
連接,則有且，
，且，
設(shè)到平面的距離為：，
則在三棱錐中，有，
所以，
即，
解得：，
截面圓的半徑，
所以動點的軌跡長度為：，
即，解得，
所以，正方體的體積：，
故答案為：.
變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直三棱柱的所有棱長均為4，空間內(nèi)的點滿足，且，則滿足條件的所形成曲線的軌跡的長度為 .
【答案】/
【解析】設(shè)的中點為，的中點為，易知，
因為，且，所以點在以，為直徑的球上，
球心分別為，，半徑分別為，，即，，
又，所以，即，
過作，垂足為，則，
因為兩球的交線為圓，所以點軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，
所以軌跡長度為.
故答案為：.
變式9．（2023·四川成都·三模）如圖，AB為圓柱下底面圓O的直徑，C是下底面圓周上一點，已知，，圓柱的高為5．若點D在圓柱表面上運動，且滿足，則點D的軌跡所圍成圖形的面積為 ．
【答案】10
【解析】作母線，，連接，
因為，所以共面，是圓柱的一個截面，
平面，平面，所以，
又由已知得，而，平面，
所以平面，
由得，所以平面，
矩形即為點軌跡，
，則，又，
所以矩形的面積為．
故答案為：10.
變式10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，為圓柱下底面圓的直徑，是下底面圓周上一點，已知，圓柱的高為5．若點在圓柱表面上運動，且滿足，則點的軌跡所圍成圖形的面積為 ．
【答案】10
【解析】因為是圓柱下底面圓的直徑，所以，
又，，平面，所以平面，
設(shè)過的母線與上底面的交點為，過的母線與上底面的交點為，連，
因為平面，平面，所以，
因為，平面，所以平面，
所以點在平面內(nèi)，又點在圓柱的表面，所以點的軌跡是矩形，
依題意得，，，所以，
所以矩形的面積為.
故點的軌跡所圍成圖形的面積為.
故答案為：.
變式11．（2023·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在直三棱柱中，，，，動點在內(nèi)（包括邊界上），且始終滿足，則動點的軌跡長度是 .
【答案】
【解析】在直三棱柱中，平面，
因為平面，所以，，
又因為，，、平面，
所以，平面，
因為平面，所以，，
因為，，則四邊形為菱形，所以，，
又因為，、平面，所以，平面，
因為平面，所以，.
在平面內(nèi)，過點作，垂足為點，
因為平面，平面，則，
因為，，、平面，
所以，平面，
因為平面，則，
因為，、平面，所以，平面，
由于動點又在內(nèi)，所以動點在平面與平面的交線上，
因為，，，
所以，，
由等面積法可得，
因此，動點的軌跡長度是.
故答案為：.
變式12．（2023·山東棗莊·高一統(tǒng)考期末），分別是棱長為1的正方體的棱的中點，點在正方體的表面上運動，總有，則點的軌跡所圍成圖形的面積為 .

【答案】
【解析】取中點，連接，設(shè)，
則，，，
所以，
所以，
因為，
所以，
所以，即，
因為正方體中面，面，
所以，
因為面，，
所以面，
因為正方體中面，面，
所以，
所以點的軌跡為矩形，
在直角中，
所以矩形面積為.
即點的軌跡所圍成圖形的面積為.
故答案為：
變式13．（2023·四川廣元·高二廣元中學(xué)?？计谥校┤鐖D，為圓柱下底面圓的直徑，是下底面圓周上一點，已知，，圓柱的高為5．若點在圓柱表面上運動，且滿足，則點的軌跡所圍成圖形的面積為 ．

【答案】
【解析】因為是圓柱下底面圓的直徑，
所以，
又，，，平面，
所以平面，
設(shè)過A的母線與上底面的交點為，過的母線與上底面的交點為，連，，，
則四邊形為矩形，
因為平面，平面，
所以，
因為，，平面，
所以平面，
所以點在平面內(nèi)，
又點在圓柱的表面，
所以點的軌跡所圍成圖形是矩形，
依題意得，，，
所以，
所以矩形的面積為，
故點的軌跡所圍成圖形的面積為．
故答案為：．
變式14．（2023·陜西榆林·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體的棱長為，點是棱的中點，點是正方體表面上的動點．若，則點在正方體表面上運動所形成的軌跡的長度為（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】取的中點，的中點，連接、、、、，
設(shè)，如下圖所示．
因為四邊形是正方形，又點是棱的中點，點是的中點，
則，，，
所以，，所以，，
所以，，
所以，，即．
在正方體中，平面，
又平面，所以，
又，、平面，所以平面，
又平面，所以，同理可得，，
又，、平面，所以，平面．
所以點在正方體表面上運動所形成的軌跡為的三邊，
因為正方體的棱長為，
由勾股定理可得，同理可得，，
所以的周長為．
故選：C．
題型三：由動點保持等距（或定長）求軌跡
例7．（2023·貴州貴陽·高三貴陽一中?？计谀┰诶忾L為1的正方體中，點Q為側(cè)面內(nèi)一動點（含邊界），若，則點Q的軌跡長度為 ．
【答案】/
【解析】由題意，在面的軌跡是以為圓心，半徑為的四分之一圓弧，
所以軌跡長度為.
故答案為：
例8．（2023·湖北武漢·高一湖北省水果湖高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知正方體的棱長為3，動點在內(nèi)，滿足，則點的軌跡長度為 .
【答案】
【解析】在正方體中，如圖，
平面，平面，則，而，
，，平面，于是平面，又平面，
則，同理，而，，平面，
因此平面，令交平面于點，
由，得，
即，解得，
而，于是，
因為點在內(nèi)，滿足，則，
因此點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓在內(nèi)的圓弧，
而為正三角形，則三棱錐必為正三棱錐，為正的中心，
于是正的內(nèi)切圓半徑，
則，即，，
所以圓在內(nèi)的圓弧為圓周長的，
即點的軌跡長度為
故答案為：
例9．（2023·河北邯鄲·高一大名縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正方體的棱長為1，點P在該正方體的表面上運動，且則點P的軌跡長度是 ．
【答案】
【解析】當(dāng)時，如圖，點的軌跡是在面，，三個面內(nèi)以1為半徑，圓心角為的三段弧，所以此時點點P在該正方體的表面上運動的軌跡的長度為，
故答案為：
變式15．（2023·貴州銅仁·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為4，點P在該正方體的表面上運動，且，則點P的軌跡長度是 ．
【答案】
【解析】因為，所以點可能在平面內(nèi)，可能在平面內(nèi)，可能在平面內(nèi).
當(dāng)點在平面內(nèi)時，
由平面，平面，可知，
所以，所以，
所以點到的距離為，
所以點的軌跡為以點為圓心，為半徑的圓與正方形邊界及其內(nèi)部的交線.
如上圖，，，
則的長，
所以，當(dāng)點在平面內(nèi)時，點P的軌跡長度是.
同理可得，當(dāng)點在平面內(nèi)時，點P的軌跡長度也是.
當(dāng)點在平面時，點P的軌跡長度也是.
綜上所述，點P的軌跡長度為.
故答案為：.
變式16．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）表面積為36π的球M表面上有A，B兩點，且為等邊三角形，空間中的動點P滿足，當(dāng)點P在所在的平面內(nèi)運動時，點P的軌跡是 ；當(dāng)P在該球的球面上運動時，點P的軌跡長度為 .
【答案】圓
【解析】設(shè)球的半徑為r，則，解得r＝3，
在平面內(nèi)，動點P的軌跡組成一個圓，以線段AB所在直線為x軸，以靠近點B且長度為1處為坐標(biāo)原點，
則，，此時動點P的軌跡方程為，
設(shè)其圓心為，則在空間中，z軸和xOy坐標(biāo)平面垂直，
動點P的軌跡為xOy平面中的圓繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成球的球面，
如圖所示，
所以點P的軌跡是兩個球面的交線，這兩個球分別是以M和為球心，
在中，結(jié)合余弦定理得到.
設(shè)交線所圍成的圓半徑為R.則，
解得.所以交線的長度為.
故答案為：圓；
變式17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正四棱柱的體積為16，是棱的中點，是側(cè)棱上的動點，直線交平面于點，則動點的軌跡長度的最小值為 ．
【答案】
【解析】如圖取的中點，連接交于點，連接、交于點，連接、，
因為是棱的中點，所以，則為的四等分點且，
由正四棱柱的性質(zhì)可知且，所以四邊形為平行四邊形，所以，
所以，所以、、、四點共面，
所以平面平面，
連接交于點，因為是側(cè)棱上的動點，直線交平面于點，
所以線段即為點的軌跡，
如圖在平面中，過點作，交于點，因為，
所以，所以，所以，
設(shè)、，，
依題意，，
所以，
要求動點的軌跡長度的最小值，即求的最小值，即求的最小值，
因為，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即、時取等號，
所以，所以，即動點的軌跡長度的最小值為.
故答案為：
變式18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知棱長為8的正方體中，平面ABCD內(nèi)一點E滿足，點P為正方體表面一動點，且滿足，則動點P運動的軌跡周長為 ．
【答案】
【解析】，則在的延長線上，且，
由正方體性質(zhì)知平面，當(dāng)在平面上時，平面，，由得，因此點軌跡是以為圓心，2為半徑的圓在正方形內(nèi)的部分即圓周的，弧長為，從而知點在以為頂點的三個面內(nèi)．
當(dāng)在棱上時，，，
因此點在面時，點軌跡是以為圓心，為半徑的圓在正方形內(nèi)的圓弧，圓弧的圓心角為，弧長為，同理點在面內(nèi)的軌跡長度也為，
所以所求軌跡長度為．
故答案為：．
變式19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知棱長為2的正方體A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D內(nèi)（包括邊界）的動點，滿足PM=PD，則點P的軌跡長度為 ．
【答案】
【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則
設(shè)平面的法向量
則有，令，則
則
設(shè)，則
∵，則
又∵PM=PD，則
整理得：
聯(lián)立方程，則
可得，可得
當(dāng)時，，當(dāng)時，
在空間中，滿足PM=PD的P為過MD的中點且與MD垂直的平面
兩個平面的公共部分為直線，即點P的軌跡為平面A′C′D，則
故答案為：．
變式20．（2023·河南許昌·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）三棱錐的體積為，底面三角形是邊長為的正三角形且其中心為，三棱錐的外接球球心到底面的距離為2，則點的軌跡長度為 .
【答案】
【解析】三棱錐的體積為，底面三角形是邊長為的正三角形，
設(shè)三棱錐的高為
所以，故，
又正三角形的外接圓半徑為，則，
又三棱錐的外接球球心到底面的距離為2，
所以三棱錐的外接球半徑，即，
又因為頂點到底面的距離為，
所以頂點的軌跡是一個截面圓的圓周（球心在底面和截面圓之間）且球心到該截面圓的距離為，
所以截面圓的半徑為，
故頂點的軌跡長度是．
故答案為：．
變式21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，，二面角的大小為，在側(cè)面內(nèi)(含邊界)有一動點，滿足到的距離與到平面的距離相等，則動點的軌跡的長度為 ．
【答案】
【解析】如圖，過作于，平面于，
過作于，連接，
則為二面角的平面角，
由，
得．
又，所以，
在中，以所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則直線的方程為，
直線的方程為，
所以直線與的交點坐標(biāo)為，
所以的軌跡為線段，
長度為．
故答案為：．
題型四：由動點保持等角（或定角）求軌跡
例10．（2023·山東·高三專題練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形中，E為中點，，，.沿著將折起，使A到達(dá)點的位置，且平面平面.設(shè)P為內(nèi)的動點，若，則P的軌跡的長度為 .
【答案】
【解析】
建立如圖示空間直角坐標(biāo)系，
則,
設(shè)
則
∴\
,
∵∴,
∴
整理化簡得：
∴P的軌跡為圓，交于,于,
則
∴所對應(yīng)的圓心角，∴弧長為．
故答案為：．
例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為6的正方體中，點是線段的中點，是正方形（包括邊界）上運動，且滿足，則點的軌跡周長為 .
【答案】/
【解析】如圖，在棱長為6的正方體中，
則平面，平面，
又，在平面上，，，
又，，
，即，
如圖，在平面中，以為原點，分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，，
由，知，
化簡整理得，，圓心，半徑的圓，
所以點的軌跡為圓與四邊形的交點，即為圖中的
其中，，，則
由弧長公式知
故答案為：.
例12．（2023·湖北省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為2，M為棱的中點，N為底面正方形ABCD上一動點，且直線MN與底面ABCD所成的角為，則動點N的軌跡的長度為 ．
【答案】
【解析】如圖所示，取BC中點G，連接MG，NG，由正方體的特征可知MG⊥底面ABCD，
故MN與底面ABCD的夾角即，
∴，則，
故N點在以G為原點為半徑的圓上，又N在底面正方形ABCD上，
即N的軌跡為圖示中的圓弧，
易知，
所以長為.
故答案為：.
變式22．（2023·陜西·高三陜西省榆林中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正方體的棱長為2，點為平面內(nèi)的動點，設(shè)直線與平面所成的角為，若，則點的軌跡所圍成的周長為 ．
【答案】
【解析】如圖所示，連接交平面于，連接，
因為平面，所以，又，且與相交，
所以平面，所以，
同理可得，又，
所以平面，
∴是平面所成的角，∴．
由可得，，即．
在四面體中，，平面，
所以，所以為的中心，
又，．∴四面體為正三棱錐，
如圖所示：在等邊三角形中，，
，
∵，∴，即在平面內(nèi)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，∴周長為.
故答案為：
變式23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點P是棱長為2的正方體的表面上一個動點，若使的點P的軌跡長度為a；使直線平面BDC的點P的軌跡長度為b；使直線AP與平面ABCD所成的角為45°的點P的軌跡長度為c．則a，b，c的大小關(guān)系為 ．（用“＜”符號連接）
【答案】b＜c＜a
【解析】若點到點的距離為2，則點的軌跡為球的表面與正方體交軌，
在平面內(nèi)，的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓弧，
由對稱性知，這樣的圓弧同樣在平面內(nèi)和平面內(nèi)，故的軌跡長度；
若平面，則點的軌跡為過點且平行于平面的平面與正方體交軌，
而平面平面，所以點的軌跡長度為三角形的周長（除掉點，不影響周長），故，
若直線與平面所成的角為，則點的軌跡為圓錐的側(cè)面與正方體交軌，
在平面內(nèi)，點的軌跡為對角線（除掉點，不影響）；
在平面內(nèi)，點的軌跡為對角線（除掉點，不影響）；
在平面內(nèi)是以點為圓心2為半徑的圓弧，如圖，
故點的軌跡長度為，
∵，∴，即．
故答案為：．
變式24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體中，，點E為平面內(nèi)的動點，設(shè)直線與平面所成的角為，若，則點E的軌跡所圍成的面積為 ．
【答案】
【解析】如圖所示，連接交平面于，連接，
由題意可知平面，
所以是與平面所成的角，
所以＝.
由可得，即.
在四面體中，,,
所以四面體為正三棱錐，為的重心，
如圖所示：
所以解得，,
又因為，
所以，
即在平面內(nèi)的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓，
所以.
故答案為:.
變式25．（2023·山西大同·高一統(tǒng)考期中）已知是半徑為2的球面上的四點，且．二面角的大小為，則點形成的軌跡長度為 ．
【答案】
【解析】由題意，為等腰直角三角形，且外接圓半徑，圓心為中點，
又外接球半徑，球心，則，
易知：為等腰直角三角形，又二面角的大小為，
由為外接圓直徑，且面面，則與面所成角為，
所以到外接圓圓心距離，故外接圓的半徑為，
注意：根據(jù)二面角大小及球體的對稱性，如上圖示，
軌跡在大球冠對應(yīng)外接圓優(yōu)弧的一側(cè)，在小球冠對應(yīng)外接圓劣弧的一側(cè)，
所以軌跡長度為.
故答案為：
變式26．（2023·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）粽子是端午節(jié)期間不可缺少的傳統(tǒng)美食，銅仁的粽子不僅餡料豐富多樣，形狀也是五花八門，有竹筒形、長方體形、圓錐形等，但最常見的還是“四角粽子”，其外形近似于正三棱錐．因為將粽子包成這樣形狀，既可以節(jié)約原料，又不失飽滿，而且十分美觀．如圖，假設(shè)一個粽子的外形是正三棱錐，其側(cè)棱和底面邊長分別是8cm和6cm，是頂點在底面上的射影．若是底面內(nèi)的動點，且直線與底面所成角的正切值為，則動點的軌跡長為 ．

【答案】
【解析】由題意可知是底面等邊三角形的的中心，所以,
進(jìn)而,
連接,由于底面，所以即為直線與底面所成的角，所以,
因此點在以為圓心，半徑為的圓上運動，所以的軌跡長為,
故答案為：
變式27．（2023·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）如圖，正方體的棱長為1，點P為正方形內(nèi)的動點，滿足直線BP與下底面ABCD所成角為的點P的軌跡長度為（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】直線BP與下底面ABCD所成角等于直線BP與上底面所成角，
連接，因為⊥平面，平面，
所以⊥，故為直線BP與上底面所成角，
則，
因為，所以，
故點P的軌跡為以為圓心，為半徑，位于平面內(nèi)的圓的，
故軌跡長度為.
故選：B
變式28．在正方體中，動點M在底面內(nèi)運動且滿足，則動點M在底面內(nèi)的軌跡為（ ）
A．圓的一部分B．橢圓的一部分
C．雙曲線一支的一部分D．前三個答案都不對
【答案】A
【解析】因為，故在圓錐面上，該圓錐以為軸，為頂點，
而M在底面內(nèi)，
故動點M在底面內(nèi)的軌跡是以D為圓心的四分之一圓?。?br>故選：A.
題型五：投影求軌跡
例13．（2023·安徽滁州·高三校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，D為線段BC（端點除外）上一動點.現(xiàn)將沿線段AD折起至，使二面角的大小為120°，則在點D的移動過程中，下列說法錯誤的是（ ）
A．不存在點，使得
B．點在平面上的投影軌跡是一段圓弧
C．與平面所成角的余弦值的取值范圍是
D．線段的最小值是
【答案】D
【解析】過點B作AD的垂線,交AD于點E,連接,,過點作BE的垂線,交BE于點H,易知,則平面,所以為二面角的平面角的補角,即,所以,即H為BE的中點,易知平面平面,又,所以平面ABC,所以在平面ABC上的投影為點H,
對于選項A,若,連接CH,則,而這是不可能成立的,故A正確；
對于選項B,因為,所以點E的軌跡為以AB為直徑的一段圓弧,又H為BE的中點,所以點H的軌跡也為一段圓弧,故B正確；
對于選項C,連接AH,則與平面ABC所成的角為,設(shè),則,所以由,得,所以,所以,所以,所以,故C正確；
對于選項D,設(shè),則,,
,
其中,故,故D錯誤,
故選:D
例14．（2023·江蘇徐州·高二徐州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在等腰中，，，為的中點，為的中點，為線段上一個動點（異于兩端點），沿翻折至，點在平面上的投影為點，當(dāng)點在線段上運動時，以下說法不正確的是（ ）．
A．線段為定長B．
C．D．點的軌跡是圓弧
【答案】B
【解析】翻折后的立體圖形，如圖所示．
對A，因為點在平面上的投影為點，所以平面，
又平面，所以，
故為直角三角形，又為斜邊的中點，
所以為定長.
故A正確．
對C，當(dāng)在處時，此時點在平面上的投影為點與重合，故，
又在中，，因為為線段上一個動點（異于兩端點），
所以.
故C正確．
對D，因為，為的中點，所以點的軌跡是圓弧．
故D正確．
故選：B．
例15．（2023·江西贛州·高二南康中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在等腰直角中，，，為中點，為中點，為邊上一個動點，沿翻折使，點在平面上的投影為點，當(dāng)點在上運動時，以下說法錯誤的是
A．線段為定長B．
C．線段的長D．點的軌跡是圓弧
【答案】B
【解析】如圖所示，
對于A中，在為直角三角形，ON為斜邊AC上的中線，為定長，即A正確；
對于C中，點D在M時，此時點O與M點重合，此時，，此時，即正確；
對于D，由A可知，根據(jù)圓的定義可知，點O的軌跡是圓弧，即D正確；
故選B．
變式29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知水平地面上有一半徑為4的球，球心為，在平行光線的照射下，其投影的邊緣軌跡為橢圓O．如圖，橢圓中心為O，球與地面的接觸點為E，．若光線與地面所成角為，橢圓的離心率．
【答案】/
【解析】連接,
因為，
所以,
所以,
在照射過程中，橢圓的短半軸長是球的半徑，即，
如圖，橢圓的長軸長是，過點向作垂線，垂足為，
由題意得，
因為，所以，
所以，得，
所以橢圓的離心率為，
故答案為：
變式30．（2023·浙江嘉興·高三嘉興一中?？计谥校┤鐖D，在中，，，.過的中點的動直線與線段交于點.將沿直線向上翻折至，使得點在平面內(nèi)的投影落在線段上.則點的軌跡長度為 .
【答案】
【解析】
因為翻折前后長度不變，所以點可以在空間中看做以為球心，AC為直徑的球面上，又因為的投影始終在上，所以點所在的面垂直于底面，
故點軌跡為垂直于底面ABC的豎直面去截球所得圓面的圓弧，這個圓弧的直徑為時，的長度（由余弦定理可得，所以此時），
如圖，以底面點B為空間原點建系，根據(jù)底面幾何關(guān)系，
得點，點，
設(shè)點，翻折后點的投影在軸上，
所以點縱坐標(biāo)為0，即由，，
根據(jù)空間兩點之間距離公式可得軌跡：，
又因為動點要符合空間面翻折結(jié)論：，
即，其中，
又動點N在線段AB上動，設(shè)，
故，
且，由，可計算得橫坐標(biāo)范圍為，
且點在上方，由，計算可得圓弧所在扇形圓心角為，
所以弧長為.
故答案為：.
變式31．（2023·北京·高三專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，為線段上一動點，現(xiàn)將沿折起得到，當(dāng)二面角的平面角為，點在平面上的投影為，當(dāng)從運動到，則點所形成軌跡的長度為 .
【答案】
【解析】根據(jù)折疊關(guān)系找出與有關(guān)的幾何關(guān)系，得出點的軌跡為圓的一部分，再考慮在運動過程中掃過的弧長即可求解.
在折疊后的圖中，作垂足為，連接，根據(jù)三垂線定理，，
所以就是二面角的平面角為，，
根據(jù)折疊關(guān)系，與全等，對應(yīng)邊上的高位置相同，即在線段上，
且是線段的中點，取的中點，連接，則，
所以點的軌跡為以為直徑的圓的一部分，當(dāng)從運動到，點在圓周上從點運動到
，這段弧所對圓心角為，這段弧長為.
故答案為：
題型六：翻折與動點求軌跡
例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在矩形中，是的中點，，將沿折起得到，設(shè)的中點為，若將繞旋轉(zhuǎn)，則在此過程中動點形成的軌跡長度為 .
【答案】/
【解析】
如圖，設(shè)的中點為，繞旋轉(zhuǎn)，此時平面平面，取中點，中點，中點，
連接.
，，和是等腰直角三角形，
且在旋轉(zhuǎn)過程中保持形狀大小不變，故動點的軌跡是以為圓心，為半徑的一段圓弧，又面，
面，面，同理面，又，面面，又平面平面，
故面面，又面面，，故面，又面，，
故動點形成的軌跡長度為.
故答案為：.
例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）矩形ABCD中，，E為AB中點，將△ADE沿DE折起至△A'DE，記二面角A'-DE-C=θ，當(dāng)θ在范圍內(nèi)變化時，點A'的軌跡長度為
【答案】；
【解析】取的中點為，連接，則，
故在以球心，為半徑的球面上.
過作，垂足為，連接，則.
在矩形中，，故，
故，而，故平面，
故在過且垂直于的平面上，所以在以為圓心，為半徑的圓上，
而為二面角的平面角，故，
故點的軌跡長度為，
故答案為：.
例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形中，為中點，，，.沿著將折起，使到達(dá)點的位置，且平面平面.若點為內(nèi)的動點，且滿足，則點的軌跡的長度為 .
【答案】
【解析】因平面平面，平面平面，，于是得平面，而，則平面，
從而得PE，PD分別是PB，PD在平面內(nèi)的射影，如圖，，
，而，則，
在所在平面內(nèi)以點E為原點，射線ED、分別為x，y軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，
則，設(shè)，于是得，整理得，
從而得點P的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓，圓M交分別于Q，N，
顯然，圓M在內(nèi)的部分是圓心角所對的弧，弧長為，
所以點的軌跡的長度為.
故答案為：
變式32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知菱形ABCD的邊長為2，.將菱形沿對角線AC折疊成大小為60°的二面角.設(shè)E為的中點，F(xiàn)為三棱錐表面上動點，且總滿足，則點F軌跡的長度為 .
【答案】
【解析】連接AC、BD，交于點O，連接OB′，
ABCD為菱形，∠ABC＝60°，所以AC⊥BD，OB′⊥AC，△ABC、△ACD、△AB′C均為正三角形，
所以∠B′OD為二面角B'﹣AC﹣D的平面角，于是∠B′OD＝60°，
又因為OB′＝OD，所以△B′OD為正三角形，所以B′D＝OB′＝OD＝，
取OC中點P，取CD中點Q，連接EP、EQ、PQ，所以PQ∥OD、EP∥OB′，
所以AC⊥EP、AC⊥PQ，所以AC⊥平面EPQ，
所以在三棱錐B'﹣ACD表面上，滿足AC⊥EF的點F軌跡的△EPQ，
因為EP＝OB′，PQ＝OD，EQ＝B′Q，所以△EPQ的周長為，
所以點F軌跡的長度為．
故答案為：
變式33．（2023·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）在矩形ABCD中，，，點E在CD上，現(xiàn)將沿AE折起，使面面ABC，當(dāng)E從D運動到C，求點D在面ABC上的射影K的軌跡長度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由題意，將沿折起，使平面平面，在平面內(nèi)過點作垂足為在平面上的射影，連接,由翻折的特征知，
則，故點的軌跡是以為直徑的圓上一段弧，根據(jù)長方形知圓半徑是，
如圖當(dāng)與重合時，,所以，
取為的中點，得到是正三角形.
故，
其所對的弧長為；
故選：D.
變式34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知菱形的各邊長為．如圖所示，將沿折起，使得點到達(dá)點的位置，連接，得到三棱錐，此時．是線段的中點，點在三棱錐的外接球上運動，且始終保持，則點的軌跡的周長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】取中點，則，
∴平面，，又，∴，作，設(shè)點軌跡所在平面為，則平面經(jīng)過點且，設(shè)三棱錐外接球的球心為的中心分別為，易知平面平面，且四點共面，由題可得，，解Rt，得，又，則三棱錐外接球半徑，易知到平面的距離，
故平面截外接球所得截面圓的半徑為，
∴截面圓的周長為，即點軌跡的周長為．
故選：C
變式35．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知△ABC的邊長都為2，在邊AB上任取一點D，沿CD將△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD．在平面BCD內(nèi)過點B作BP⊥平面ACD，垂足為P，那么隨著點D的變化，點P的軌跡長度為（ ）
A．B．C．D．π
【答案】C
【解析】由題意，在平面BCD內(nèi)作BQ⊥CD，交CD于Q，因為平面BCD⊥平面ACD，平面BCD與平面ACD交于CD，所以BQ⊥平面ACD，又BP⊥平面ACD，所以P,Q兩點重合，于是隨著點D的變化，BP⊥CD始終成立，可得在平面ABC中，BP⊥CP始終成立，即得點P的軌跡是以BC為直徑的圓的一部分，由題意知隨著點D的變化，∠BCD的范圍為，可得點P的軌跡是以BC為直徑（半徑為1）的圓的，即得點P的軌跡長度為.
故選：C.
變式36．（2023·廣東中山·高三華南師范大學(xué)中山附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在長方形中，，，點為線段上一動點，現(xiàn)將沿折起，使點在面內(nèi)的射影在直線上，當(dāng)點從運動到，則點所形成軌跡的長度為
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意，將△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED內(nèi)過點D作DK⊥AE，K為垂足，由翻折的特征知，連接D'K，
則D'KA=90°，故K點的軌跡是以AD'為直徑的圓上一弧，根據(jù)長方形知圓半徑是，
如圖當(dāng)E與C重合時，
AK==，
取O為AD′的中點，得到△OAK是正三角形．
故∠KOA=，∴∠KOD'=，
其所對的弧長為=，
故選：
變式37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在等腰梯形中，，分別是底邊的中點，把四邊形沿直線折起使得平面平面.若動點平面，設(shè)與平面所成的角分別為（均不為0）.若，則動點的軌跡圍成的圖形的面積為( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】連接,∵平面⊥平面,交線為,BE,CF在平面BCFE中，且BE,CF都垂直于交線EF,由面面垂直的性質(zhì)定理得BE⊥平面ADFE,CF⊥平面ADFE,∴∠BPE,∠CPF分別為直線PB,PC與平面ADFE所成的角，∠BPE=,∠CPF=.
∵PE,PF?平面ADFE,∴BE⊥PE,CF⊥PF,
∴，，
∵，，∴．
以EF所在直線為x軸，EF的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系，如圖所示：
設(shè)，，，則
∴3x2+3y2+5ax+a2=0，即，軌跡為圓，面積為．
故答案選：．

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