\l "_Tc169253981" 02 題型歸納與總結(jié) PAGEREF _Tc169253981 \h 2
\l "_Tc169253982" 題型一：曲線與直線的距離 PAGEREF _Tc169253982 \h 2
\l "_Tc169253983" 題型二：曲線與點的距離 PAGEREF _Tc169253983 \h 3
\l "_Tc169253984" 題型三：曲線與圓的距離 PAGEREF _Tc169253984 \h 3
\l "_Tc169253985" 題型四：曲線與拋物線的距離 PAGEREF _Tc169253985 \h 4
\l "_Tc169253986" 題型五：曲線與曲線的距離 PAGEREF _Tc169253986 \h 4
\l "_Tc169253987" 題型六：橫向距離 PAGEREF _Tc169253987 \h 5
\l "_Tc169253988" 題型七：縱向距離 PAGEREF _Tc169253988 \h 6
\l "_Tc169253989" 題型八：直線與兩曲線交點的距離 PAGEREF _Tc169253989 \h 7
\l "_Tc169253990" 03 過關(guān)測試 PAGEREF _Tc169253990 \h 8
導(dǎo)數(shù)中的“距離”問題，利用化歸轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想可把問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離、兩點間的距離問題，再利用導(dǎo)數(shù)法來求距離的最值．方 法 之 一 是 轉(zhuǎn) 化 化 歸，將 動 點 間 的 距 離 問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題，而這個“點”一般就是利用導(dǎo)數(shù)求得的切點；方法之二是構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解最值．
題型一：曲線與直線的距離
【典例1-1】（2024·廣西桂林·二模）已知函數(shù)的最小值為，則正實數(shù)（ ）
A．3B．C．D．3或
【典例1-2】若函數(shù)，函數(shù)，則的最小值為（ ）
A．B．
C．D．
【變式1-1】點M是曲線上的動點，則點M到直線的距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2024·高三·安徽合肥·期中）點分別是函數(shù)圖象上的動點，則的最小值為（ ）
A．B．
C．D．
【變式1-3】（2024·陜西西安·二模）若，，則的最小值為（ ）
A．B．6C．8D．12
【變式1-4】已知函數(shù)，，點與分別在函數(shù)與的圖象上，若的最小值為，則（ ）
A．B．3C．或3D．1或3
【變式1-5】若實數(shù)滿足，則的最小值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【變式1-6】已知實數(shù)，，，滿足，則的最小值為（ ）
A．B．8C．4D．16
題型二：曲線與點的距離
【典例2-1】若點與曲線上點的距離的最小值為，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
【典例2-2】（2024·河北石家莊·石家莊二中?？寄M預(yù)測）設(shè)點，P為曲線上動點，若點A，P間距離的最小值為，則實數(shù)t的值為（ ）
A．B．C．D．
【變式2-1】（2024·高三·廣東汕頭·開學考試）若點與曲線上點距離最小值為，則實數(shù)為 .
題型三：曲線與圓的距離
【典例3-1】（2024·高三·山東青島·期末）已知動點P，Q分別在圓和曲線上，則的最小值為 ．
【典例3-2】（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知且，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．8
【變式3-1】若x、a、b為任意實數(shù)，若，則最小值為( )
A．B．9C．D．
【變式3-2】若，分別是函數(shù)與圓上的點，則的最小值為 ．
【變式3-3】已知點為函數(shù)的圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段長度的最小值為（ ）
A．B．1C．D．
題型四：曲線與拋物線的距離
【典例4-1】設(shè)，當a，b變化時，的最小值為_______.
【典例4-2】設(shè).，則的最小值為
A．B．1C．D．2
【變式4-1】（2024·湖北·模擬預(yù)測）設(shè)，其中，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
題型五：曲線與曲線的距離
【典例5-1】（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？计谥校┰O(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為___________.
【典例5-2】設(shè)，，則的最小值為 ．
【變式5-1】（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）設(shè)點P在曲線上，點Q在曲線上，則|PQ|的最小值為 .
【變式5-2】設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為 .
【變式5-3】已知點P在函數(shù)的圖象上，點Q在函數(shù)的圖象上，則的最小值為 .
【變式5-4】（2024·高三·遼寧·期中）如圖所示，動點P，Q分別在函數(shù)，上運動，則的最小值為 ．
【變式5-5】設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則最小值為（ ）
A．B．
C．D．
【變式5-6】已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于某一條直線對稱，若，分別為它們圖象上的兩個動點，則這兩點之間距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【變式5-7】（2024·高三·寧夏石嘴山·開學考試）已知動點分別是曲線和曲線上的任意一點，則線段的最小值為（ ）
A．B．C．D．
題型六：橫向距離
【典例6-1】（多選題）（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，的圖象與直線y=m分別交于A、B兩點，則（ ）.
A．
B．，曲線在A處的切線總與曲線在B處的切線相交
C．的最小值為1
D．?，使得曲線在點A處的切線也是曲線的切線
【典例6-2】（2024·江蘇蘇州·一模）已知直線y＝a分別與直線，曲線交于點A，B，則線段AB長度的最小值為 ．
【變式6-1】已知直線，分別與直線和曲線交于點M，N兩點，則線段MN長度的最小值是 ．
【變式6-2】直線 分別與曲線， 直線 交于 兩點， 則 的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【變式6-3】（2024·陜西銅川·一模）直線分別與直線、曲線交于點A，B，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【變式6-4】已知直線分別與曲線和曲線交于兩點，則的最小值為（ ）
A．1B．C．D．
【變式6-5】已知函數(shù)，的圖象分別與直線交于兩點，則的最小值為（ ）
A．2B．C．D．
題型七：縱向距離
【典例7-1】（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）若直線與兩曲線分別交于兩點，且曲線在點處的切線為，曲線在點處的切線為，則下列結(jié)論：
①，使得；②當時，取得最小值；
③的最小值為2；④最小值小于．
其中正確的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【典例7-2】直線分別與曲線和曲線交于，兩點，則的最小值為
A．B．2C．D．
【變式7-1】動直線（）與函數(shù)，的圖象分別交于點A，B，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【變式7-2】已知直線與函數(shù)，的圖像分別交于A，B兩點，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
題型八：直線與兩曲線交點的距離
【典例8-1】已知直線與曲線，分別交于點，則的最小值為（ ）
A．B．C．1D．e
【典例8-2】（2024·陜西安康·三模）已知直線分別與直線、曲線交于點A，B，則線段AB長度的最小值為（ ）
A．2B．C．4D．
【變式8-1】（2024·福建莆田·一模）已知直線分別與直線及曲線交于A,B兩點，則A,B兩點間距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．
1．已知直線與曲線和直線分別交于P，Q兩點，則的最小值為 ．
2．（2024·高三·山東聊城·期末）最優(yōu)化原理是指要求目前存在的多種可能的方案中，選出最合理的，達到事先規(guī)定的最優(yōu)目標的方案，這類問題稱之為最優(yōu)化問題.為了解決實際生活中的最優(yōu)化問題，我們常常需要在數(shù)學模型中求最大值或者最小值.下面是一個有關(guān)曲線與直線上點的距離的最值問題，請你利用所學知識來解答：若點是曲線上任意一點，則到直線的距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．
3．曲線上的點到直線的距離的最小值為（ ）
A．B．2C．D．4
4．已知點P是曲線上任意一點，點Q是直線上任一點，則的最小值為（ ）
A．B．C．1D．
5．若點是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為（ ）
A．B．C．2D．
6．若動點在曲線上，則動點到直線的距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．
7．設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（ ）
A．B．
C．D．
8．設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（ ）
A．B．
C．D．
9．（2024·四川·一模）若點是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．
10．若點，，則、兩點間距離的最小值為（ ）
A．1B．C．D．2
11．已知，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
13．已知實數(shù)a，b，c，d滿足：，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則的最小值是（ ）
A．7B．8C．9D．10
14．（2024·新疆·二模）若，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
15．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，的最小值為（ ）
A．B．2C．D．
16．在平面直角坐標系中，已知，，則的最小值為（ ）
A．9B．C．D．
17．（2024·山東·模擬預(yù)測）若，，，求的最小值為（ ）
A．B．C．D．
18．已知實數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．B．
C．D．
19．（2024·山西朔州·模擬預(yù)測）已知A，B分別為曲線和直線上的點，則的最小值為 .
20．（2024·河北石家莊·一模）若實數(shù)滿足，則的最小值為 ．
21．已知實數(shù)a，b，c，d滿足，則的最小值為 ．
22．（2024·江西·一模）已知點為函數(shù)的圖象上任意一點，點為圓上任意一點（為自然對數(shù)的底），則線段的長度的最小值為 ．
23．（2024·高三·山東淄博·期末）已知實數(shù)x，y滿足，則的最小值為 ．
24．（2024·廣東佛山·一模）若分別是曲線與圓上的點，則的最小值為 .
25．已知函數(shù)的最小值是，則的值是

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