重難點(diǎn)突破04 雙變量與多變量問題（七大題型）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

\l "_Tc169099295" 01方法技巧與總結(jié) PAGEREF _Tc169099295 \h 2
\l "_Tc169099296" 02題型歸納總結(jié) PAGEREF _Tc169099296 \h 2
\l "_Tc169099297" 題型一：雙變量單調(diào)問題 PAGEREF _Tc169099297 \h 2
\l "_Tc169099298" 題型二：雙變量不等式:轉(zhuǎn)化為單變量問題 PAGEREF _Tc169099298 \h 7
\l "_Tc169099299" 題型三：雙變量不等式:極值和差商積問題 PAGEREF _Tc169099299 \h 14
\l "_Tc169099300" 題型四：雙變量不等式:中點(diǎn)型 PAGEREF _Tc169099300 \h 19
\l "_Tc169099301" 題型五：雙變量不等式:剪刀模型 PAGEREF _Tc169099301 \h 24
\l "_Tc169099302" 題型六：雙變量不等式:主元法 PAGEREF _Tc169099302 \h 30
\l "_Tc169099303" 題型七：雙變量不等式:差值代換與比值代換 PAGEREF _Tc169099303 \h 35
\l "_Tc169099304" 03過關(guān)測試 PAGEREF _Tc169099304 \h 41
破解雙參數(shù)不等式的方法：
一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；
二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；
三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.
題型一：雙變量單調(diào)問題
【典例1-1】（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，對任意，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】（1），
若，則恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
故的增區(qū)間為，無減區(qū)間.
若，則當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
故的增區(qū)間為，減區(qū)間為，
若，同理可得的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
（2）若，則，
由（1）可得的增區(qū)間為，
故即為，
故，
設(shè)，故為上的減函數(shù)，
而，
所以在上恒成立，
故在上恒成立，
設(shè)，故，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
故，故即
【典例1-2】已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
(2)設(shè)，證明：對任意，，．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，切點(diǎn)為
求導(dǎo)，切線斜率
曲線在處的切線方程為．
（2），的定義域?yàn)?，求?dǎo)，
在上單調(diào)遞減．
不妨假設(shè)，∴等價(jià)于．
即．
令，則．
，，．
從而在單調(diào)減少，故，即，
故對任意．
【變式1-1】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)設(shè)，如果對任意，，求證：.
【解析】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，?br>①當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；
③當(dāng)時(shí)，由得，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
（2）證明：不妨設(shè)而當(dāng)時(shí)，
由（1）可知在單調(diào)遞減，
從而，等價(jià)于，.
構(gòu)造函數(shù)，只需在單調(diào)遞減，
即在恒成立，
分離參數(shù)法：，只需.
【變式1-2】（2024·安徽·三模）設(shè)，函數(shù).
（Ⅰ）討論函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，且對任意，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（Ⅰ）的定義域是.
.
（1）當(dāng)時(shí)，，的定義域內(nèi)單增；
（2）當(dāng)時(shí)，由得，.
此時(shí)在內(nèi)單增，在內(nèi)單減；
（3）當(dāng)時(shí)，，的定義域內(nèi)單減.
（Ⅱ）因?yàn)椋裕?
此時(shí).
由（Ⅰ）知，時(shí)，的定義域內(nèi)單減.
不妨設(shè)，
則，即，
即恒成立.
令，，則在內(nèi)單減，即.
，，.
而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，
所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【變式1-3】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行，求的方程；
(2)判斷命題“對任意恒成立”的真假，并說明理由；
(3)若對任意都有恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】（1）由函數(shù)，可得，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，可得，
因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行，，解得，
所以，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線方程為，即.
（2）真命題，
理由如下：
欲證對任意恒成立，
即證對任意恒成立，
令
可得，
令，可得，
則的關(guān)系如下表：
故，即對任意恒成立，
故原命題得證
（3）不妨設(shè)，若，
可得，
設(shè)，則恒成立，
故是的增函數(shù)，即對恒成立，
可得在恒成立，
設(shè)，可得，
令，可得，所以在上遞減，
令，可得，所以在上遞增，
即有在處取得極小值，且為最小值，得，解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【變式1-4】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，且．
（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>將代入的解析式，得，
求導(dǎo)得．
當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，得．
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)時(shí)，．
因?yàn)?，所以不等式可化為?br>所以對任意的恒成立，所以函數(shù)為上的減函數(shù)，
所以在上恒成立，可得在上恒成立，
設(shè)，則，令，得．
所以當(dāng)上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，得．
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
題型二：雙變量不等式:轉(zhuǎn)化為單變量問題
【典例2-1】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的最小值.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）定義域?yàn)?，?br>有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于在上有兩個(gè)不等實(shí)根，
，，，，
；
設(shè)，
則，
在上單調(diào)遞減，，
即，
的最小值為.
【典例2-2】（2024·高三·天津?qū)幒印て谀┮阎瘮?shù)，．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
(2)求的單調(diào)區(qū)間；
(3)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
得，則，，
所以切線方程為，即；
（2），
當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，無減區(qū)間，
當(dāng)時(shí)，令，得，單調(diào)遞增，
令，得，單調(diào)遞減，
綜合得：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為；
（3），
則，
因?yàn)槭呛瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，
即是方程的兩不等正根，
所以，得，
令，則，
得，
則，
所以
，
則，
令，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，
即.
【變式2-1】已知函數(shù)，其中自然常數(shù)．
(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；
(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，且，求證：．
【解析】（1）因?yàn)椋裕?br>因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，解得，
所以，所以令，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．
又，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以確實(shí)是函數(shù)的極大值點(diǎn)．
綜上所述，實(shí)數(shù)的值為0．
（2）因?yàn)?，函?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，且，
所以
設(shè)，，則．
構(gòu)建函數(shù)，則函數(shù)的圖象與直線交于，兩點(diǎn)．
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，所以．
構(gòu)建函數(shù)，所以函數(shù)的圖象與直線交于點(diǎn)．
構(gòu)建函數(shù)，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以，所以，
所以，
所以，所以．
【變式2-2】（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線的方程，并判斷是否經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)；
(2)若，滿足，且，求的取值范圍．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以（c為常數(shù)）．
因?yàn)椋裕?br>所以．
又，
所以曲線在點(diǎn)處的切線的方程為，
即，
所以經(jīng)過定點(diǎn)．
（2）令，可得．
因?yàn)?，滿足，且，
所以關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，
則，
所以
，
令函數(shù)，
則，
令，得，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
又當(dāng)時(shí)，，
所以的取值范圍為，
即的取值范圍為．
【變式2-3】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：．
【解析】（1），．
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，令，得，解得．
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）設(shè)，則，，
所以，
所以，，
記，要證，只需證，
只需證，只需證．
記，，則，
記，，
由（1）可知，取，則，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，即，所以在上單調(diào)遞增，
又，所以，所以成立．
【變式2-4】已知函數(shù)．若有兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：．
【解析】若有兩個(gè)零點(diǎn)，則，得．
，令，則，故，則，，
令，則，
令，則，
在上單調(diào)遞增，，
，則在上單調(diào)遞增，，即，
故.
題型三：雙變量不等式:極值和差商積問題
【典例3-1】已知函數(shù).
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，，且有兩個(gè)極值點(diǎn)，分別為和，求的最大值.
【解析】（1）若，，
令，得或，
當(dāng)或時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；
（2），
令，可得，
由題意可得，是關(guān)于方程的兩個(gè)實(shí)根，
所以，，
由，有，
所以，
將代入上式，得，
同理可得，
所以，
，①，
令,①式化為，
設(shè)，即，
，
記，則，
記，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以，在上單調(diào)遞增，所以，
所以，在上單調(diào)遞減，
又，
，
當(dāng)時(shí)，的最小值為4，即的最小值為2，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，的最大值為，
所以的最大值為.
【典例3-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).
(1)若，求函數(shù)的最值；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，記作，且，求證：.
【解析】（1）由題意得，則.
令，解得；令，解得，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，
無最小值，最大值為.
（2），則，
又有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，
欲證，即證，
原式等價(jià)于證明①.
由，得，則②.
由①②可知原問題等價(jià)于求證，
即證.
令，則，上式等價(jià)于求證.
令，則，
恒成立，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即，
原不等式成立，即.
【變式3-1】（2024·四川德陽·二模）已知函數(shù)，
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的最小值.
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以,
令，則，
因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，則，即，
此時(shí)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，由，得，且，
當(dāng)或時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即，
所以在,上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在,上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
其中.
（2）由（1）可知，為的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，
所以，且是方程的兩不等正根，
此時(shí)，，，
所以，，且有，，
則
令，則，令，
則，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，
所以，
所以的最小值為.
【變式3-2】（2024·廣東佛山·二模）已知.
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
，
則當(dāng)，即時(shí)，，
當(dāng)，即時(shí)，，
故的單調(diào)遞減區(qū)間為、，單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2），令，即，
令，，則、是方程的兩個(gè)正根，
則，即，
有，，即，
則
，
要證，即證，
令，
則，
令，則，
則在上單調(diào)遞減，
又，，
故存在，使，即，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，
又，則，故，
即，即.
題型四：雙變量不等式:中點(diǎn)型
【典例4-1】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)記函數(shù)的圖象為曲線C.設(shè)點(diǎn)，是曲線C上的不同兩點(diǎn).如果在曲線C上存在點(diǎn)，使得:①;②曲線C在點(diǎn)M處的切線平行于直線AB，則稱函數(shù)F(x)存在“中值相依切線”.試問:函數(shù)是否存在“中值相依切線”，請說明理由.
【解析】（1）函數(shù)的定義域是.
由已知得，，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，令，解得或；
令，解得.
所以，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，顯然，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，令，解得或；
令，解得.
所以，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上可得：
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”.
設(shè)，是曲線上的不同兩點(diǎn)，且，
則，．
，
曲線C在點(diǎn)處的切線斜率，
依題意得：，
化簡可得：，即，
設(shè)（），上式化為：，即，
令（），，
所以在上遞增，顯然有恒成立.
所以在內(nèi)不存在t，使得成立，
則函數(shù)不存在“中值相依切線”.
【典例4-2】已知函數(shù)，．
(1)若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，且，求的最小值．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>由題意，
即對恒成立，
整理得：，
即，在上恒成立，
顯然時(shí)成立．
當(dāng)時(shí)，設(shè)，
顯然且對稱軸為，
所以在上單調(diào)遞增，
所以只要，又，
所以；
綜上，；
（2），
即為方程的兩個(gè)根，
由題意可得，
∴，解得，
又，，
兩式相減得，
令，則
，
令，
，所以在遞減，
，所以的最小值為．
【變式4-1】已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)設(shè)，若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，且．問：函數(shù)在點(diǎn)處的切線能否平行于軸？若能，求出該切線方程，若不能，請說明理由．
【解析】（1），，
由題意知恒成立，即恒成立，所以，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
故，所以；
（2）設(shè)在點(diǎn)的切線平行于軸，其中，
則，
由題意有，
①－②得，所以，
由④得，所以
即⑤
設(shè)，則⑤式變?yōu)椋?br>令，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此，即，也就是，此式與⑤矛盾，
所以在點(diǎn)的切線不可能平行于軸．
【變式4-2】（2024·廣東·二模）已知.
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)函數(shù)的圖象上是否存在兩點(diǎn)（其中），使得直線與函數(shù)的圖象在處的切線平行？若存在，請求出直線；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）由題可得
因?yàn)?，所以?br>所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.
綜上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）由題意得，斜率
，
,
由得，
，即，即
令，不妨設(shè)，則，
記
所以，所以在上是增函數(shù)，所以，
所以方程無解，則滿足條件的兩點(diǎn)不存在.
題型五：雙變量不等式:剪刀模型
【典例5-1】已知函數(shù).
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程.
（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，證明：.
【解析】（1）因?yàn)?，所?
又因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線方程為.
即；
（2）解法一：由題知，，
則，
因?yàn)椋?br>所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，令，，
則，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
令，，
，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以的最大值為，
因?yàn)椋栽谏虾愠闪ⅲ?br>故.
即，得證．
解法二：因?yàn)椋?br>所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
結(jié)合（1）可知，
設(shè)，
，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以的最大值為.
因?yàn)椋?br>所以在上恒成立，故.
設(shè)的解為，則，設(shè)的解為，則，
故，.故，得證．
【典例5-2】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)求證：；
(3)求證：．
【解析】（1），
又因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，且，
所以，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)，即時(shí)，
，
，
所以在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，的最小值為，且，
所以在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是；
（2）設(shè)，，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，
即當(dāng)時(shí)，，
又因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
由（1）知，，，
所以，
（3）設(shè)，
，
，當(dāng)時(shí)，
因?yàn)椋?br>令，，
設(shè)，，
令，解得：，令，解得：，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以,
所以恒成立，顯然，
令，解得：，令，解得：，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
即，
設(shè)的零點(diǎn)為，，
易知，
所以，
設(shè)，
設(shè)，，
令，解得：，令，解得：，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以恒成立，即，
設(shè)的零點(diǎn)為，，
易知，，
所以，
所以，
所以
【變式5-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法．具體做法如下：如圖，設(shè)r是的根，首先選取作為r的初始近似值，若在點(diǎn)處的切線與軸相交于點(diǎn)，稱是r的一次近似值；用替代重復(fù)上面的過程，得到，稱是r的二次近似值；一直重復(fù)，可得到一列數(shù)：．在一定精確度下，用四舍五入法取值，當(dāng)近似值相等時(shí)，該值即作為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)．
(1)若，當(dāng)時(shí)，求方程的二次近似值（保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位）；
(2)牛頓法中蘊(yùn)含了“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想，直線常常取為曲線的切線或割線，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線，并證明：；
(3)若，若關(guān)于的方程的兩個(gè)根分別為，證明：．
【解析】（1），
當(dāng)時(shí)，，在點(diǎn)處的切線方程為，與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
所以，，在點(diǎn)處的切線方程為，與軸的交點(diǎn)為，
所以方程的二次近似值為．
（2）由題可知，，，，
所以在處的切線為，即；
設(shè)，
則，顯然單調(diào)遞減，令，解得，
所以當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，
所以，
所以，即．
（3）由，得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以是的極大值點(diǎn)，也是的最大值點(diǎn)，即，
又時(shí)，，時(shí)，，
所以當(dāng)方程有兩個(gè)根時(shí)，必滿足；
曲線過點(diǎn)和點(diǎn)的割線方程為，
下面證明，
設(shè)，
則，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，；
在上單調(diào)遞減，，
所以當(dāng)時(shí)，，即（當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號），
由于，所以，解得；①
下面證明當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），
由于所以，解得，②
①②，得．
題型六：雙變量不等式:主元法
【典例6-1】（2024·高三·北京·開學(xué)考試）已知.
(1)若，求在處的切線方程；
(2)設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；
(3)求證：當(dāng)時(shí)，.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
故在處的切線斜率為，而，
所以在處的切線方程為，即.
（2）由題意得，則，
令，即，
令，即，
時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.
（3）證明：由（2）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，而，
即在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，
設(shè)，則，
因?yàn)椋瑒t，故，
所以在上單調(diào)遞增，而，
則，即，而，
故，即.
【典例6-2】（2024·江蘇鹽城·高三鹽城中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值；
(2)當(dāng)時(shí)，求證：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；
(3)若，求證：．
【解析】(1)
令得：，
，；
令得：；
在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)；
.
(2)由（1）知：當(dāng)時(shí)，有，
，即：，.
(3)將變形為：
即只證：
設(shè)函數(shù)
，
令，得：．
在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；
的最小值為：，即總有：．
，即：，
令，，則
，
成立．
【變式6-1】已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求函數(shù)的最小值，并證明：當(dāng)時(shí)，．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）
【解析】(1)的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)椋?br>所以，
又因?yàn)椋?br>所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．
(2)令，，
解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以．
證明如下：當(dāng)時(shí)，有，
所以，
即，
所以．
【變式6-2】已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，求證：，．
【解析】（1）由題知，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
（2）由題知，，，
所以，
因?yàn)椋?br>所以
令
即證在上恒成立，
因?yàn)?br>當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，?br>令，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以恒成立，
因?yàn)椋?br>所以在上恒成立，即得證.
【變式6-3】設(shè)函數(shù).
(1)求的極值；
(2)設(shè)，若對任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若，證明：.
【解析】(1)函數(shù)，則，
令，解得：，且當(dāng)時(shí)，，時(shí)，
因此：的極小值為，無極大值.
(2)
令，則，
注意到：，若要，必須要求，即，亦即
另一方面：當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在時(shí)單調(diào)遞增，故；故實(shí)數(shù)的取值范圍為：；
(3)構(gòu)造函數(shù)，，，
，，，在上是單調(diào)遞增的；
故即：
另一方面，構(gòu)造函數(shù)，
，
在上是單調(diào)遞減的
故即：
綜上，.
題型七：雙變量不等式:差值代換與比值代換
【典例7-1】已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍;
（ii）求證:．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，其中
①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；
②當(dāng)時(shí)，由得，由可得．
所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．
綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．
（2）（ⅰ）方程可化為，即．
令，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
易知函數(shù)的值域?yàn)椋?
結(jié)合題意，關(guān)于的方程（*）有兩個(gè)不等的實(shí)根．
又因?yàn)椴皇欠匠蹋?）的實(shí)根，所以方程（*）可化為．
令，其中，則．
由可得或，由可得，
所以，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以，函數(shù)的極小值為，
且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則．
作出函數(shù)和的圖象如圖所示：
由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
（ⅱ）要證，只需證，即證．
因?yàn)?，所以只需證，
由（i）知，不妨設(shè)．
因?yàn)?，所以，即，作差可?
所以只需證，即只需證．
令，只需證，
令，其中，
則，
所以在上單調(diào)遞增，故，即在上恒成立．
所以原不等式得證.
【典例7-2】已知函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，，（）．
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)若，求實(shí)數(shù)a的最大值．
【解析】（1）函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，，（），
則有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，（），
即方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，（）．
令，則，
由得，由得或，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，
結(jié)合圖象可知函數(shù)的值域?yàn)椋?br>所以a的取值范圍為．
（2）由（1）知，
且，，所以，
令，則，
則，即，，
令，，則，
令，，則，
所以單調(diào)遞減，則，
則，所以單調(diào)遞減，則，故．
由（1）知，在上單調(diào)遞增，
所以，
故實(shí)數(shù)a的最大值為．
【變式7-1】（2024·安徽阜陽·一模）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性．
(2)已知是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)．
（ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍．
（ⅱ）是的導(dǎo)函數(shù)．證明：．
【解析】（1）．
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．
②當(dāng)時(shí)，令得，即在上單調(diào)遞增；
同理，令得，即在上單調(diào)遞減．
（2）（ⅰ）由（1）可知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
若使有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，
且，當(dāng)時(shí)，，則有，
所以的取值范圍為．
（ⅱ）是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則有①，②，
①-②得，即，
，
因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以不單調(diào)，
因?yàn)?，得?br>所以．
若要證明成立，
只需證，
即證，令，則，
則不等式只需證，
即證，
令，
，令，
令，因?yàn)?，得在上單調(diào)遞減，
得，得，即在上單調(diào)遞減，
得，得，即在上單調(diào)遞減，
所以有，
故有，不等式得證．
【變式7-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．
(1)若存在零點(diǎn)，求a的取值范圍；
(2)若，為的零點(diǎn)，且，證明：．
【解析】（1）的定義域?yàn)椋?br>令，即，等價(jià)于，
設(shè)，則（），
令，可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
則的最小值為，，
要使得存在零點(diǎn)，則，
即，得．
（2）由為的零點(diǎn)，得，
即，即
兩式相減得，即.
要證當(dāng)時(shí)，，
只需證，只需證，，
，．
令，，只需證，
，則在上單調(diào)遞增，
∴，即可得證.
1．（2024·四川南充·二模）已知函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)
則有三個(gè)不等實(shí)根
即方程有三個(gè)不等實(shí)根，
令，則，
由得，由得或
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，所以
（2）由（1）知，，
所以，令，則，
令，則
令，則，
即，，故
在上單調(diào)遞增，所以.
2．（2024·四川·一模）已知函數(shù)．
(1)若，求的最小值；
(2)若有2個(gè)零點(diǎn)，證明：．
【解析】（1）當(dāng)，函數(shù)，
則，
可知當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
則當(dāng)時(shí)，取得極小值，也即為最小值，
所以的最小值為；
（2）由已知，是的兩個(gè)零點(diǎn)，
則，，
兩式相減，得，
整理得，
欲證明，
只需證明不等式，
即證明，也即證明，
不妨設(shè)，令，則，
只需證明，即證明即可，
令，則，
又令，則，
所以，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，則，
故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，
所以，原不等式成立，故不等式得證．
3．已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)且，證明：．
【解析】（1）函數(shù)，，
令，，
因?yàn)?，令，?br>當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；
（2）證明：由（1）可知解得，
又，，
所以，
因?yàn)槭堑膬蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，，
即，，兩式相減得，
令，則，，，
所以，，，
要證，即證，即證，
只需證：，
令，，
，
令，
所以在上單調(diào)遞減且，
所以，則在上單調(diào)遞增且，
所以，從而得證，即．
4．已知函數(shù)，其中.
(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；
(2)當(dāng)，時(shí)，證明：.
【解析】（1）由題意，，，
所以當(dāng)時(shí)，，，
由解得：或，由解得：，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故有極大值，極小值.
（2）由題意，，，
要證，只需證，
而，
，
所以只需證，
即證①，下面給出兩種證明不等式①的方法：
證法1：要證，只需證，
即證，令，
則，所以在上單調(diào)遞增，
顯然，所以當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以，即?br>故.
證法2：要證，只需證，即證，
令，則，所以只需證當(dāng)時(shí)，，即證，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，又，所以成立，即，
故
5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)求證：．
【解析】（1）由題意，得，
由，得或，所以0是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)．
所以有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且這2個(gè)根均不為0和．
令，則．
當(dāng)時(shí)，恒成立，故在定義域上是增函數(shù)，不可能有2個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，
所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
所以，即，所以．
又．
由零點(diǎn)存在定理可知，在上存在唯一零點(diǎn)．

令，則，令得，
令得，所以在上遞增，在上遞減，
所以，，
所以，
由零點(diǎn)存在定理可知，在上存在唯一零點(diǎn)．
因?yàn)樗裕?br>綜上，的取值范圍是．
（2）證明：由（1）知，0是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)．不妨設(shè)，所以只要證明．
由得，即兩式相除得．
令，則．
所以，所以．
所以要證明，只要證明，
即，其中，所以．
所以只要證明．令，
所以，從而恒成立，
所以在上是減函數(shù)，所以．
所以在上是增函數(shù)，所以，即證：．
另由，知，所以，且為的兩根．
記，則，當(dāng)，，當(dāng)，
故在上遞增，在上遞減．
不妨取，所以要證，即要證，
只要證，又，故只要證，
即要證，也即要證(#)．
令，則．
而當(dāng)時(shí)，，故在上遞減，
故，故在上遞增，故，所以(#)成立，
故．
6．已知函數(shù).
(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性；
(2)已知函數(shù)，若有且只有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：.
【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，定義域?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，即，解得，
令，解得或，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
（2）由題可知，，，
因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，
所以是的兩個(gè)根，
則，
所以
，
所以，要證，
即證，
即證，即證，即證，
令，則證明，
令，則，
所以，在上單調(diào)遞增，則，
即，
所以原不等式成立．
7．（2024·福建龍巖·二模）已知函數(shù)，．
(1)若滿足，證明：曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線；
(2)若，且，證明：．
【解析】（1）由已知有，,
曲線在點(diǎn)處的切線方程為：,
即：，將代入即有：,
由得令得：，此時(shí),
可得：曲線在點(diǎn)處的切線方程為：
，將代入化簡，
可得：
故曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．
（2）∵，
∴，令，得：，
∴，為方程的兩根，
∴即：，
∴ ∴，
∴
，
令，則，
令，則，
∴在單調(diào)遞減 ∴
即
8．（2024·新疆·三模）已知函數(shù)，．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
綜上當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
（2）方程，即，等價(jià)于，
令，其中，則，顯然，
令，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，且由時(shí)可得在區(qū)間上，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)根，
所以關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，，且，，所以，
要證，即證，即證，只需證，
因?yàn)椋?，整理可得?br>不妨設(shè)，則只需證，
即，
令，，其中，
因?yàn)?，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，故．
9．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，試比較與的大??；
(2)若斜率為的直線與的圖象交于不同兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：.
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，
，
所以，
令，，
所以，
又因?yàn)?，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，
所以，即.
（2）因?yàn)樾甭蕿榈闹本€與的圖象交于不同兩點(diǎn)，，
所以，
，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，所以，
要證，即證，
又因?yàn)榫€段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，即證，
不妨設(shè)，上式可整理為，即，
令，則，所以上式即為，
令，則，
因?yàn)椋?，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，即，
故得證.
10．已知函數(shù)（a為常數(shù)）．
(1)若函數(shù)是增函數(shù)，求a的取值范圍；
(2)設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，（），求的范圍．
【解析】（1）的定義域?yàn)椋?br>，
若函數(shù)為增函數(shù)，則在上恒成立，
所以對任意恒成立，
即對任意恒成立，
又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
所以，解得，
故a的取值范圍是；
（2）若在定義域內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則是方程，即的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
從而得到，即，
又，故，
，
令，則，
，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即的值域?yàn)椋?br>所以的范圍是.
11．設(shè)函數(shù)，.
（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求的極小值；
（2）若對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）因?yàn)?，則.
曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，此切線的斜率為，
即，解得，則，
，
由，得，由，得，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，取得極小值，故的極小值為；
（2）對任意，恒成立等價(jià)于：對任意，
恒成立，
設(shè)，
則對任意，，即，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
在上恒成立，
在上恒成立，，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
12．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）將代入的解析式，得，
其定義域?yàn)椋?br>，
當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，
得，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，于是在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，，
不等式恒成立可轉(zhuǎn)化為
恒成立，
即恒成立，
因?yàn)?，所以?br>設(shè)函數(shù)，則為上的減函數(shù)，
所以在上恒成立，
可得當(dāng)時(shí)，恒成立.
設(shè)，則，令，得，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
13．已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）已知，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的取值范圍.
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即“=”，則，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)正根為，，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
于是得在、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2）因存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，由(1)知，即，則，
顯然，對是遞增的，從而有，
，
令，
，
令，，
即在上單調(diào)遞增，，則，于是得在上單調(diào)遞增，
從而得，即，
所以的取值范圍.
14．已知函數(shù)，其中為常數(shù)．曲線過點(diǎn)，曲線關(guān)于點(diǎn)中心對稱．
(1)求的值;
(2)記．
（i）討論在區(qū)間上的單調(diào)性;
（ii）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的取值范圍．
【解析】（1）由題意知，，又的對稱中心為，
所以，故
（2）由（1）知，
，因?yàn)椋?br>所以當(dāng)，即時(shí)，恒成立，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，由，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
（ⅱ）由（ⅰ）知，時(shí)才可能出現(xiàn)兩個(gè)極值點(diǎn)，，
且，是方程的兩根，則，．
而
，
令，，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則，即不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則，即成立，
即成立，綜上所述，的取值范圍是.
15．已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的取值范圍．
【解析】（1）由題意，函數(shù)，
可得，其中，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，即，
解得，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，即，
解得，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
（2）由（1）值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，
因?yàn)椋?br>所以，
整理得，
所以，即，
因?yàn)?，可得?br>令，則，
所以在為單調(diào)遞增函數(shù)，
又因?yàn)椋援?dāng) 時(shí)，，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為．
16．（2024·四川成都·一模）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)且滿足，求的取值范圍.
【解析】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)榍遥?br>則，
當(dāng)或時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，由得或，
于是結(jié)合函數(shù)定義域的分析可得：
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?，此時(shí)有，
于是在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br>于是在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?，此時(shí)有，
于是在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br>于是在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)；
（2）由（1）知存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是，
由上可知，，
所以
，
不等式可化為，
令，所以，
令，，
當(dāng)時(shí)，，，，
所以，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，，
所以在上是減函數(shù)，
所以，適合題意，即；
綜上，的取值范圍是.
17．（2024·內(nèi)蒙古包頭·二模）設(shè)函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，
①求a的取值范圍；
②證明：．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
故，
所以，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）①，依據(jù)題意可知有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
即有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根．
由，得，
所以有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根可轉(zhuǎn)化為
函數(shù)和的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
令，則，
由，解得；由，解得；
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以．
又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)榕c的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以．
②由①可知有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
聯(lián)立可得，
所以不等式等價(jià)于
．
令，則，且等價(jià)于．
所以只要不等式在時(shí)成立即可．
設(shè)函數(shù)，則，
設(shè)，則，
故在單調(diào)遞增，得，
所以在單調(diào)遞減，得．
綜上，原不等式成立．
18．已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．
【解析】（1）∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．
當(dāng)時(shí)，恒有，則在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，令，．
∵，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，，顯然，
∴當(dāng)和時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
∴當(dāng)和時(shí)，，∴在和上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，
∴，，∴，，
∴．
設(shè)，由（1）易知，∴．
要證明，
只要證明．
設(shè)，則，
∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，從而，即，
∴成立，從而成立．
要證明，只要證明．
由（1）知，，，
只要證明．
設(shè)，
則，，
則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，從而；
則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，從而，
即成立，從而．
綜上，得．
5
+
0
-
極大值

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