1、極值點偏移的相關概念
所謂極值點偏移，是指對于單極值函數，由于函數極值點左右的增減速度不同，使得函數圖像沒有對稱性。若函數在處取得極值，且函數與直線交于兩點，則的中點為，而往往。如下圖所示。

圖1 極值點不偏移 圖2 極值點偏移
極值點偏移的定義：對于函數在區(qū)間內只有一個極值點，方程的解分別為，且，（1）若，則稱函數在區(qū)間上極值點偏移；（2）若，則函數在區(qū)間上極值點左偏，簡稱極值點左偏；（3）若，則函數在區(qū)間上極值點右偏，簡稱極值點右偏。
2、對稱變換
主要用來解決與兩個極值點之和、積相關的不等式的證明問題．其解題要點如下：(1)定函數(極值點為)，即利用導函數符號的變化判斷函數單調性，進而確定函數的極值點x0.
(2)構造函數，即根據極值點構造對稱函數，若證 ，則令.
(3)判斷單調性，即利用導數討論的單調性．
(4)比較大小，即判斷函數在某段區(qū)間上的正負，并得出與的大小關系．
(5)轉化，即利用函數的單調性，將與的大小關系轉化為與之間的關系，進而得到所證或所求．
【注意】若要證明的符號問題，還需進一步討論與x0的大小，得出所在的單調區(qū)間，從而得出該處導數值的正負．
構造差函數是解決極值點偏移的一種有效方法，函數的單調性是函數的重要性質之一，它的應用貫穿于整個高中數學的教學之中.某些數學問題從表面上看似乎與函數的單調性無關，但如果我們能挖掘其內在聯系，抓住其本質，那么運用函數的單調性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數的單調性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據題目的特點，構造一個適當的函數，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效
3、應用對數平均不等式證明極值點偏移：
①由題中等式中產生對數；
②將所得含對數的等式進行變形得到；
③利用對數平均不等式來證明相應的問題.
4、比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構造函數利用函數的單調性證明題中的不等式即可.
題型一：極值點偏移:加法型
例1．（2023·河南周口·高二校聯考階段練習）已知函數，
(1)若，求的單調區(qū)間；
(2)若，，是方程的兩個實數根，證明：．
【解析】（1）由題可知的定義域為，
.
令，則的兩根分別為，．
當或時，；
當時，；
所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，．
（2）原方程可化為，
設，則，．
令，得．∵在上，，在上，，
∴在上單調遞增，在上單調遞減，
∴，且當，趨向于0時，趨向于，
當趨向于時，趨向于．
則在和上分別有一個零點，，
不妨設，∵，∴，
設，則，
．
當時，，
∴在上單調遞增，而，
∴當時，，，即．
∵，
∴．
∵在上單調遞減，
∴，即．
例2．（2023·河北石家莊·高三校聯考階段練習）已知函數.
(1)求函數的單調區(qū)間；
(2)若函數有兩個零點、，證明.
【解析】（1）因為的定義域為，
則，
令，解得，令，解得，
所以的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為.
（2）證明：不妨設，由（1）知：必有.
要證，即證，即證，
又，即證.
令，其中，
則，
令，則
在時恒成立，
所以在上單調遞減，即在上單調遞減，所以，
所以在上單調遞增，所以，
即，所以；
接下來證明，
令，則，又，即，所以，
要證，即證，有，
不等式兩邊取對數，即證，
即證，即證，
令，，則，
令，其中，則，
所以，在上單調遞增，則當時，，
故當時，
可得函數單調遞增，可得，即，所以，
綜上，.
例3．（2023·廣東深圳·高三紅嶺中學?？计谀┮阎瘮?
(1)討論函數的單調性；
(2)①證明函數（為自然對數的底數）在區(qū)間內有唯一的零點；
②設①中函數的零點為，記（其中表示中的較小值），若在區(qū)間內有兩個不相等的實數根，證明：.
【解析】（1）由已知，
函數的定義域為，導函數
當時，恒成立，所以在上單調遞增；
當時，令有，
∴當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減.
綜上所述：
當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減.
（2）①的定義域為，導函數，
當時，，即在區(qū)間內單調遞增，
又，，且在區(qū)間內的圖像連續(xù)不斷，
∴根據零點存在性定理，有在區(qū)間內有且僅有唯一零點.
②當時，，函數在上單調遞增，
又，
∴當時，，故，即；
當時，，故，即，
∴可得，
當時，，由得單調遞增；
當時，，由得單調遞減：
若在區(qū)間內有兩個不相等的實數根，，
則，
∴要證，需證，又，
而在內遞減，
故需證，又，
即證，即
下證：
記，，
由知：，
記，則：
當時，；
當時，，
故，而，所以，
由，可知.
∴，即單調遞增，
∴當時，，即，故，得證.
變式1．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學?？寄M預測）已知函數為其極小值點．
(1)求實數的值；
(2)若存在，使得，求證：．
【解析】（1）的定義域為，
，依題意得，得，
此時，
當時，，，，故，在內單調遞減，
當時，，，，故，在內單調遞增，
故在處取得極小值，符合題意.
綜上所述：.
（2）由（1）知，，
不妨設，
當時，不等式顯然成立；
當，時，不等式顯然成立；
當，時，由（1）知在內單調遞減，因為存在，使得，所以，
要證，只要證，
因為，所以，又在內單調遞減，
所以只要證，又，所以只要證，
設，
則
，
令，則，
因為，所以，在上為減函數，所以，
即，
所以在上為減函數，
所以，即.
綜上所述：.
變式2．（2023·湖北武漢·高二武漢市第六中學?？茧A段練習）已知函數，a為實數．
(1)求函數的單調區(qū)間；
(2)若函數在處取得極值，是函數的導函數，且，，證明：
【解析】（1）函數的定義域為，
令，所以，得，
當，，當，，
故函數遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.
（2）因為函數在處取得極值，
所以，得，
所以，得，
令，
因為，當時，，
所以函數在單調遞減，在單調遞增，
且當時,,當時,,
故.
先證，需證.
因為，下面證明.
設,
則,
故在上為增函數,故,
所以,則,
所以,即得，
下面證明：
令，當時，所以成立,
所以，所以.
當時，記,
所以時，所以為減函數得,
所以,即得.
所以得證，
綜上，.
變式3．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預測）已知函數
(1)若函數在定義域上單調遞增，求的最大值；
(2)若函數在定義域上有兩個極值點和，若，，求的最小值．
【解析】（1）因為，其中，
則，
因為函數在上單調遞增，對任意的，，即，
令，其中，則，，
由可得，由可得，
所以，函數的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，
所以，，故，所以，的最大值為.
（2）由題意可知，，設，
由可得，則，
可得，，所以，，令，其中，
所以，，
令，其中，則，
因為，由，可得，由可得，
所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，且，
又因為且，
所以，當時，，即，
當時，，即，
所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，.
變式4．（2023·全國·模擬預測）已知函數．
(1)討論函數的極值點的個數；
(2)若函數恰有三個極值點、、，且，求的最大值．
【解析】（1）函數的定義域為，
且．
①，，由，可得；由，可得.
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
因此在處取得極大值，故當時，有一個極值點；
②，令，其中，則，
由可得，由可得，
因此在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，所以，故，
由可得，由可得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
因此在處取得極小值，故當時，有一個極值點；
③當時，，
令得或，令，由②知，
而，，
令，則，
所以在上單調遞減，因此，故，
所以函數在和上各存在唯一的零點，分別為、，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
故函數在和處取得極小值，在處取得極大值，
所以當時，有三個極值點．
綜上所述，當或時，有一個極值點；當時，有三個極值點．
（2）因為函數恰有三個極值點、、，
所以由（1）知，，，
由，兩式相除得到．
令，則，則，，得，，
因此，所以，則．
令，其中，則，
令，則，
所以在上單調遞增，則當時，，
即，故在上單調遞增，
所以當時，，故的最大值為．
變式5．（2023·廣西玉林·高二廣西壯族自治區(qū)北流市高級中學校聯考階段練習）已知函數．
(1)討論函數f(x)的單調性；
(2)當時，若，求證：
【解析】（1）的定義域為，
因為，
當時，，
所以在上單調遞增；
當時，令得，令得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減；
綜上，當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減．
（2）當時，，定義域為，
，所以在上單調遞增，在上單調遞減，
又因為，所以，
設，
則在上恒成立，
所以在上單調遞增，
所以， 即，
又因為，，所以，
又因為在上單調遞減，
所以，即．
變式6．（2023·安徽·高二安徽師范大學附屬中學?？茧A段練習）已知函數．
(1)若為定義域上的增函數，求a的取值范圍；
(2)令，設函數，且，求證：．
【解析】（1）的定義域為，
由為定義域上的增函數可得恒成立.
則由得，
令，
所以當時，單調遞增；
當時，單調遞減；
故,
則有 解得.
故a的取值范圍為
（2）
由有
有
即
即.
令
由可得當時，單調遞增；
當時，單調遞減；則，
即，
解得或(負值舍去)，
故.
變式7．（2023·全國·高二專題練習）已知函數（）．
(1)試討論函數的單調性；
(2)若函數有兩個零點，（），求證：．
【解析】（1）由已知，的定義域為，，
①當時，，恒成立，
∴此時在區(qū)間上單調遞增；
②當時，令，解得，
當時，，在區(qū)間上單調遞增，
當時，，在區(qū)間上單調遞減，
綜上所述，當時，在區(qū)間上單調遞增；
當時，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減.
（2）若函數有兩個零點，（），
則由（1）知，，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，
且，，，
當時，，當時，，（*）
∵，∴，∴，
又∵，∴，
∴只需證明，即有.
下面證明，
設
，，
設，則，
令，解得，
當時，，在區(qū)間單調遞減，
當時，，在區(qū)間單調遞增，
∴，在區(qū)間上單調遞增，
又∵，∴，
即，
∴由（*）知，，∴，即.
又∵，，
∴，原命題得證.
變式8．（2023·全國·高二專題練習）已知函數.
(1)討論的單調性；
(2)若有兩個零點，證明：.
【解析】（1）函數的定義域為，
時，恒成立，所以在上單調遞減；
時，令得，
當時，；當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）證明：時，由（1）知至多有一個零點.
時，由（1）知當時，取得最小值，最小值為.
①當時，由于，故只有一個零點；
②當時，即，故沒有零點；
③當時，即，
又，
由（1）知在上有一個零點.
又，
由（1）知在有一個零點，
所以在上有兩個零點，的取值范圍為
不妨設，則，且，
令
，
則，
由于（且僅當等號成立，
所以當時，在單調遞減，又，
所以，即，
又，所以，
又由于，且在上單調遞增，
所以即.
變式9．（2023·全國·高三專題練習）設函數.
(1)若對恒成立，求實數的取值范圍；
(2)已知方程有兩個不同的根、，求證：，其中為自然對數的底數.
【解析】（1）由，得.
令，，則，
令，則.
所以，函數在上單增，故.
①當時，則，所以在上單增，，
此時對恒成立，符合題意；
②當時，，，
故存在使得，
當時，，則單調遞減，此時，不符合題意.
綜上，實數的取值范圍.
（2）證明：由（1）中結論，取，有，即.
不妨設，，則，整理得.
于是，
即.
變式10．（2023·江西宜春·高三校考開學考試）已知函數，.
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)設，是的兩個不同零點，證明：.
【解析】（1）當時，，
，，，
曲線在處的切線方程為，即；
（2）令，可得，
令，，設函數與相切于，
由、、可得，，，
，的大致圖象如下，
當時，與有兩個不同的交點，
即有兩個零點，所以的取值范圍為，
，當時，，在上遞增，
當時，，在上遞減，
要證，只要證，
不妨設，由，則，
構造函數，
，
∵，∴，∴在是遞增，
又，∴，∴，
∴，又，∴，
而，，在上遞減，∴，即，
∴.
變式11．（2023·海南·海南華僑中學?？寄M預測）已知函數.
(1)討論的單調性；
(2)若存在，且，使得，求證：.
【解析】（1）函數的定義域為，
，
令，得或，
在上，，在上，，在上，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）由（1）可知，
設，，
則，
因為，所以，在上單調遞增.
又，所以當時，，即.
因為，所以，所以，
因為在上單調遞增，且，，
所以，即.①
設，，
則.
因為，所以，在上單調遞增，
又，所以當時，，即，
因為，所以，所以.
因為在上單調遞增，且，，
所以，即.②
由①得，由②得，所以.
題型二：極值點偏移:減法型
例4．（2023·全國·模擬預測）已知函數．
(1)求函數的單調區(qū)間與極值．
(2)若，求證：．
【解析】（1）定義域為，，
令，解得：或，
當時，；當時，；
的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為；
的極大值為，極小值為.
（2）由（1）知：，，．
令，，
則；
令，則；
令，則，
在上恒成立，在上單調遞增，
，
在上恒成立，在上單調遞增，，
在上恒成立，在上單調遞增，，
對任意恒成立．
，，又，，
在上單調遞增，，，即；
令，，
則；
在上單調遞增，，
在上恒成立，在上單調遞增，
，對任意恒成立．
，．又，，
在上單調遞增，且，，；
由得：，，.
例5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，（其中是自然對數的底數）
(1)試討論函數的零點個數；
(2)當時，設函數的兩個極值點為、且，求證：.
【解析】（1）由可得，令，其中，
則函數的零點個數等于直線與函數圖象的公共點個數，
，令可得，列表如下：
如下圖所示：
當時，函數無零點；
當時，函數只有一個零點；
當時，函數有兩個零點.
（2）證明：，其中，
所以，，由已知可得，
上述兩個等式作差得，
要證，即證，
因為，設函數的圖象交軸的正半軸于點，則，
因為函數在上單調遞增，，，，
設函數的圖象在處的切線交直線于點，
函數的圖象在處的切線交直線于點，
因為，所以，函數的圖象在處的切線方程為，
聯立可得，即點，
構造函數，其中，則，
當時，，此時函數單調遞減，
當時，，此時函數單調遞增，所以，，
所以，對任意的，，當且僅當時等號成立，
由圖可知，則，所以，，
因為，可得，
函數在處的切線方程為，
聯立，解得，即點，
因為，
所以，，
構造函數，其中，則，，
當時，，此時函數單調遞減，
當時， ，此時函數單調遞增，則，
所以，對任意的，，當且僅當時，等號成立，
所以，，可得，
因此，，故原不等式成立.
例6．（2023·四川成都·高二川大附中?？计谥校┮阎瘮?
（1）若在定義域上不單調，求的取值范圍；
（2）設分別是的極大值和極小值，且，求的取值范圍.
【解析】分析：（1）利用導數法求出函數 單調遞增或單調遞減時，參數 的取值范圍為，則可知函數 在定義域上不單調時， 的取值范圍為 ；（2）易知 ，設 的兩個根為 ，并表示出，則，令，則，再利用導數法求的取值范圍.
詳由已知，
（1）①若在定義域上單調遞增，則，即在上恒成立，
而，所以；
②若在定義域上單調遞減，則，即在上恒成立，
而，所以.
因為在定義域上不單調，所以，即.
（2）由（1）知，欲使在有極大值和極小值，必須.
又，所以.
令的兩根分別為，，
即的兩根分別為，，于是.
不妨設，
則在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，，
所以
.
令，于是，
，
由，得，
又，所以.
因為，
所以在上為減函數，
所以.
題型三：極值點偏移:乘積型
例7．（2023·全國·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數．
(1)當，和有相同的最小值，求的值；
(2)若有兩個零點，求證：．
【解析】（1）問題轉化為有兩個零點，證明，進而只需要證明只需要證明，也即是，從而令，構造函數求出最值即可證出結論．
【詳解】（1）由．
所以．
所以．
令，則為上的增函數，且．
所以在上單調遞減，上單調遞增．
所以．
又．
所以．令，則
所以為上的增函數．
又．
令，因為在上單調遞增，且，而，因此函數與直線有唯一交點，
故方程在上有唯一解，
所以存在唯一，使得．
即，故，
所以在上單調遞減，在上單調遞增．
所以．
所以．
故而．
（2）由題意有兩個零點．
所以，即．
所以等價于：有兩個零點，證明.
不妨令．
由．
要證，只需要證明．
即只需證明：．
只需證明：，即．
令．
只需證明：．
令．
則，即在上為增函數．
又．
所以．
綜上所述，原不等式成立．
例8．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.
(1)證明：.
(2)若函數，若存在使，證明：.
【解析】（1）令，，，
令，解得：；令，解得：，
∴在遞增，在遞減，則，
∴恒成立，即.
（2）∵，，∴，
令，解得：；令，解得：；
∴在遞增，在遞減.
又∵，，，，且，.
要證，即證.
∵，∴，
又∵，∴只證即可.
令，，
恒成立，
∴在單調遞增.
又∵，∴，∴，
即，∴.
例9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，.
(1)求證：，；
(2)若存在、，且當時，使得成立，求證：.
【解析】（1）證明：構造函數，其中，
則
，
因為，則，，
即當時，，所以，函數在上單調遞減，
故當時，，即.
（2）證明：先證明對數平均不等式，其中，
即證，
令，即證，
令，其中，則，
所以，函數在上為減函數，當時，，
所以，當時，，
本題中，若，則，
此時函數在上單調遞減，不合乎題意，所以，，
由（1）可知，函數在上單調遞減，不妨設，則，
則，即，
所以，，
因為，則，
所以，，
所以，，
所以，，所以，，
由對數平均不等式可得，可得，所以，.
變式12．（2023·全國·高二專題練習）已知函數．
(1)證明：若，則；
(2)證明：若有兩個零點，，則．
【解析】（1）因為定義域為，所以等價于．
設，則，
當時，，當時，，
所以在單調遞減，在單調遞增，
故．
因為，所以，于是．
（2）不妨設，由（1）可知，也是的兩個零點，且，，于是，由于在單調遞減，故等價于．
而，故等價于．①
設，則①式為．
因為．
設，
當時，，故在單調遞增，
所以，從而，因此在單調遞增．
又，故，故，于是．
變式13．（2023·江西南昌·南昌縣蓮塘第一中學校聯考二模）已知函數，．
(1)當時，恒成立，求a的取值范圍．
(2)若的兩個相異零點為，，求證：．
【解析】（1）當時，恒成立，
即當時，恒成立，
設，
所以，即，
，
設，
則，
所以，當時，，即在上單調遞增，
所以，
所以當時，，即在上單調遞增，
所以，
若恒成立，則．
所以時，恒成立，a的取值范圍為.
（2）由題意知，，
不妨設，由得，
則，
令，
則，即：．
要證，
只需證，
只需證，
即證，
即證（），
令（），
因為，
所以在上單調遞增，
當時，，
所以成立，
故．
變式14．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預測）已知．
(1)當時，討論函數的極值點個數；
(2)若存在，，使，求證：．
【解析】（1）當時，，則，
當時，，
故在上單調遞增，不存在極值點；
當時，令，則總成立，
故函數即在上單調遞增，
且，，所以存在，使得，
所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；
故在上存在唯一極值點，
綜上，當時，函數的極值點有且僅有一個．
（2）由知，
整理得，（*），
不妨令，則，故在上單調遞增，
當時，有，即，
那么，
因此，（*）即轉化為，
接下來證明，等價于證明，
不妨令（），
建構新函數，，則在上單調遞減，
所以，故即得證，
由不等式的傳遞性知，即．
變式15．（2023·北京通州·統(tǒng)考三模）已知函數
(1)已知f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為，求實數a的值；
(2)已知f（x）在定義域上是增函數，求實數a的取值范圍.
(3)已知有兩個零點，，求實數a的取值范圍并證明.
【解析】（1）因為，所以.
所以，又f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為，
所以，解得..
（2）f（x）的定義域為（0，+∞），因為f（x）在定義域上為增函數，
所以在（0，+∞）上恒成立.
即恒成立.，即，
令，所以，
時，時，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，即.
（3）
定義域為
當時，，所以在（0，+∞）上單調遞減，不合題意.
當時，
在（0，）上單調遞減，在上單調遞增，
所以的最小值為，
函數存在兩個零點的必要條件是，
即，又，
所以在（1，）上存在一個零點（）.
當時，，所以在（，+∞）上存在一個零點，
綜上函數有兩個零點，實數a的取值范圍是.
不妨設兩個零點
由，所以，
所以，所以，
要證，
只需證，
只需證，
由，
只需證，
只需證，
只需證，
令，只需證，
令，
，
∴H（t）在（0，1）上單調遞增，∴，
即成立，
所以成立.
題型四：極值點偏移:商型
例10．（2023·浙江杭州·高三浙江大學附屬中學?？计谥校┮阎瘮?，其中為自然對數的底數.
（1）討論函數的單調性；
（2）若，且，證明：.
【解析】（1），是減函數，是增函數，
所以在單調遞減，
∵，
∴時，，單調遞增；時，，單調遞減.
（2）由題意得，，即
，，
設，，則由得，，且.
不妨設，則即證，
由及的單調性知，.
令，，則
，
∵，∴，，
∴，取，則，
又，則，
又，，且在單調遞減，∴，.
下證：.
（i）當時，由得，；
（ii）當時，令，，則
，
記，，則，
又在為減函數，∴，
在單調遞減，在單調遞增，∴單調遞減，從而，在單調遞增，
又，，
∴，
又，
從而，由零點存在定理得，存在唯一，使得，
當時，單調遞減；
當時，單調遞增.
所以，，
又，
，
所以，，
顯然，，
所以，，即，
取，則，
又，則，
結合，，以及在單調遞增，得到，
從而.
例11．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數.
（1）討論的單調性；
（2）設，為兩個不相等的正數，且，證明：.
【解析】(1)的定義域為．
由得，，
當時，；當時；當時，．
故在區(qū)間內為增函數，在區(qū)間內為減函數，
(2)[方法一]：等價轉化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨設，則，從而，得，
①令，
則，
當時，，在區(qū)間內為減函數，，
從而，所以，
由（1）得即．①
令，則，
當時，，在區(qū)間內為增函數，，
從而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．
令．則上式變?yōu)椋?br>于是命題轉換為證明：．
令，則有，不妨設．
由（1）知，先證．
要證：
．
令，
則，
在區(qū)間內單調遞增，所以，即．
再證．
因為，所以需證．
令，
所以，故在區(qū)間內單調遞增．
所以．故，即．
綜合可知．
[方法三]：比值代換
證明同證法2．以下證明．
不妨設，則，
由得，，
要證，只需證，兩邊取對數得，
即，
即證．
記，則.
記，則，
所以，在區(qū)間內單調遞減．，則，
所以在區(qū)間內單調遞減．
由得，所以，
即．
[方法四]：構造函數法
由已知得，令，
不妨設，所以．
由（Ⅰ）知，，只需證．
證明同證法2．
再證明．令．
令，則．
所以，在區(qū)間內單調遞增．
因為，所以，即
又因為，所以，
即．
因為，所以，即．
綜上，有結論得證．
【整體點評】(2)方法一：等價轉化是處理導數問題的常見方法，其中利用的對稱差函數，構造函數的思想，這些都是導數問題必備的知識和技能.
方法二：等價轉化是常見的數學思想，構造對稱差函數是最基本的極值點偏移問題的處理策略.
方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構造函數利用函數的單調性證明題中的不等式即可.
方法四：構造函數之后想辦法出現關于的式子，這是本方法證明不等式的關鍵思想所在.
例12．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.
(1)討論的單調性；
(2)設，為兩個不相等的正數，且，證明：.
【解析】（1）函數的定義域為，又，
當時，，當時，，
故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為
（2）因為，故，
即，故，
設，則，
不妨設，由（1）可知原命題等價于：已知，證明： .
證明如下：
若，恒成立；
若， 即 時，
要證：，即證，而，即證，
即證：，其中
設，，
則，
因為，故，故，
所以，故在為增函數，所以，
故，即成立，
所以成立，
綜上，成立.
變式16．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學?？既＃┮阎瘮?，．
(1)討論函數的單調性；
(2)若關于的方程有兩個不相等的實數根、，
（?。┣髮崝礱的取值范圍；
（ⅱ）求證：．
【解析】（1）因為，
所以，其中.
①當時，，所以函數的減區(qū)間為，無增區(qū)間；
②當時，由得，由可得.
所以函數的增區(qū)間為，減區(qū)間為．
綜上：當時，函數的減區(qū)間為，無增區(qū)間；
當時，函數的增區(qū)間為，減區(qū)間為．
（2）（i）方程可化為，即．
令，因為函數在上單調遞增，
易知函數的值域為，
結合題意，關于的方程（*）有兩個不等的實根．
又因為不是方程（*）的實根，所以方程（*）可化為．
令，其中，則．
由可得或，由可得，
所以，函數在和上單調遞減，在上單調遞增．
所以，函數的極小值為，
且當時，；當時，則.
作出函數和的圖象如下圖所示：
由圖可知，當時，函數與的圖象有兩個交點，
所以，實數的取值范圍是.
（ii）要證，只需證，即證．
因為，所以只需證．
由（?。┲?，不妨設．
因為，所以，即，作差可得．
所以只需證，即只需證．
令，只需證．
令，其中，則，
所以在上單調遞增，故，即在上恒成立．
所以原不等式得證．
題型五：極值點偏移:平方型
例13．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學?？寄M預測）已知函數.
(1)討論函數的單調性：
(2)若是方程的兩不等實根，求證：；
【解析】（1）由題意得，函數的定義域為.
由得：，
當時，在上單調遞增；
當時，由得，由得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減.
（2）因為是方程的兩不等實根，，
即是方程的兩不等實根，
令，則，即是方程的兩不等實根.
令，則，所以在上遞增，在上遞減，，
當時，；當時，且.
所以0，即0.
令，要證，只需證，
解法1（對稱化構造）：令，
則，
令，
則，
所以在上遞增，，
所以h，所以，
所以，所以，
即，所以.
解法2（對數均值不等式）：先證，令，
只需證，只需證，
令，
所以在上單調遞減，所以.
因為，所以，
所以，即，所以.
例14．（2023·全國·高二專題練習）已知函數.
(1)若，求實數的取值范圍；
(2)若有2個不同的零點（），求證：.
【解析】（1）因為函數的定義域為，所以成立，等價于成立.
令，則，
令，則，所以在內單調遞減，
又因為，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，
所以在處取極大值也是最大值.
因此，即實數的取值范圍為.
（2）有2個不同的零點等價于有2個不同的實數根.
令，則，當時，解得.
所以當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
所以在處取極大值為.
又因為，當時，，當時，.
且時，.
所以，且.
因為是方程的2個不同實數根，即.
將兩式相除得，
令，則，，變形得，.
又因為，，因此要證，只需證.
因為，所以只需證，即證.
因為，即證.
令，則，
所以在上單調遞增，，
即當時，成立，命題得證.
例15．（2023·全國·高二專題練習）已知函數，．
(1)若，求的取值范圍；
(2)證明：若存在，，使得，則．
【解析】（1），，令，解得，
所以當時，，在上單調遞增；
當時，，在單調遞減，
所以，要使，則有，而，故，
所以的取值范圍為．
（2）證明：當時，由（1）知，當時，單調遞增；
當時，單調遞減，
設，所以，，
①若，則，成立；
②若，先證，此時，
要證，即證，即，，
令，，
，
所以在上單調遞增，所以，
即，，所以，
因為，，所以，
即．
變式17．（2023·全國·高三專題練習）已知函數
(1)討論f(x)的單調性；
(2)若，且，證明: .
【解析】（1）
當時，， ， 所以單調遞增；， ， 所以單調遞減；
當時，， 所以單調遞減；， 所以單調遞增；
（2）證明：
， ∴ ，
即當時，
由（1）可知，此時是的極大值點，因此不妨令
要證，即證：
①當時，成立；
②當時
先證
此時
要證，即證：，即，即
即： ①
令 ，
∴
∴在區(qū)間上單調遞增
∴，∴①式得證.
∴
∵，
∴ ∴ ∴
變式18．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，.
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）若，，求證：.
【解析】（1）當時，，導數為，
可得切線的斜率為，且，
所以切線的方程為，
即為；
（2）證明：由題意可得，
若，則，所以在遞增，
因此不存在，使得，所以；
設，，則，
令，，
所以在遞減，又，所以在恒成立，
從而在遞減，從而.①
又由，可得，
所以.②
由①②可得.
又因為，所以，
因此要證，
只需證明，
即證，③
設，，則，
所以在上為增函數，
又因為，所以，即③式成立.
所以獲證.
題型六：極值點偏移:混合型
例16．（2023·全國·高三專題練習）已知函數（為自然對數的底數，）．
(1)求的單調區(qū)間和極值；
(2)若存在，滿足，求證：．
【解析】（1）.
當時，，所以在上單調增，無極值；
當時，令，得，
當時，；當時，；
所以在上單調遞減，在單調遞增．
所以函數的極小值為，無極大值.
（2）由題（1）可知，當時才存在，滿足，
不妨設，
設，則
，
因為，所以，所以，
所以在上單調遞減，
所以，所以，即
故，
因為，又在上單調遞增，
所以，所以，
下面證明：；
因為，
所以，所以，
所以，得證.
例17．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.
(1)若f（1）=2，求a的值；
(2)若存在兩個不相等的正實數，滿足，證明：
①；
②.
【解析】（1）由，化簡得：，兩邊平方，解得：.
（2）不妨令，
①當時，在上單調遞增，故不能使得存在兩個不相等的正實數，滿足，舍去；
當時，為定值，不合題意；
當時，，由對勾函數知識可知：當時，在上單調遞增，在上單調遞增，兩個分段函數在處函數值相同，故函數在上單調遞增，不能使得存在兩個不相等的正實數，滿足，舍去；
當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，且，即分段函數在處函數值相等，要想存在兩個不相等的正實數，滿足，則有三種類型，第一種：，顯然，令，則，當時，，即在單調遞增，所以，即，由于，所以，又因為，所以，因為，而在上單調遞減，所以，即，綜上：；第二種情況：，顯然滿足，
接下來證明，令，則，當時，，即在單調遞增，所以，又，所以，又，所以，因為，，在上單調遞增，所以，即，綜上：；第三種情況：，由第一種情況可知滿足，由第二種情況可知：，則，
綜上：，證畢.
②由①可知：當時，由得：，整理得：，即；
當時，，整理得：，整理得：，因為，所以，綜上：，證畢.
例18．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，在其定義域內有兩個不同的極值點.
(1)求的取值范圍；
(2)記兩個極值點為，，且，當時，求證：不等式恒成立.
【解析】（1）由題意知，函數的定義域為，
方程在有兩個不同根，
即方程在有兩個不同根，
即方程在有兩個不同根；
令，則，
則當時，，時，，
則函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，
又因為，當時，，當時，，
所以的取值范圍為；
（2）證明：欲證 兩邊取對數等價于要證，
由（1）可知，分別是方程的兩個根，
即，
所以原式等價于，因為，，
所以原式等價于要證明.
又由，作差得，，即.
所以原式等價于，令，，
則不等式在上恒成立.
令，
又，
當時，可見時，，
所以在上單調增，
又，,
所以在恒成立，所以原不等式恒成立.
變式19．（2023·陜西寶雞·?？寄M預測）已知．
（1）求的單調區(qū)間；
（2）當時，若關于x的方程存在兩個正實數根，證明：且．
【解析】（1）的定義域為，
又由得，
當時，，
當時，，
的減區(qū)間為：，增區(qū)間為：，
（2）證明：方法一：由存在兩個正實數根，
整理得方程存在兩個正實數根．
由，知，
令，則，
當時，減函數；當時，增函數．
所以．
因為．所以的值域為，
問題等價于直線和有兩個不同的交點．
，且，
所以，從而．
令，則，解得，
，而，
下面證明時，，
令，
則，
令，則，
在為減函數，，
在為減函數，，
在為減函數，，即．
方法二：由存在兩個正實數根，
整理得方程存在兩個正實數根．
由，知，
令，則，
當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減．
所以．
因為有兩個零點，即，得．
因為實數是的兩個根，
所以，從而．
令，則，變形整理，
要證，則只需證，即只要證，
結合對數函數的圖象可知，只需要證兩點連線的斜率要比兩點連線的斜率小即可．
因為，所以只要證，整理得．
令，則，
所以在上單調遞減，即，
所以成立，故成立．
變式20．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．
（1）判斷函數的單調性；
（2）若方程有兩個不同的根，求實數的取值范圍；
（3）如果，且，求證：．
【解析】（1）因為，所以，令，解得，令，解得，
即函數在上單調遞增，在上單調遞減．
（2）由（1）可得函數在處取得最大值，，
所以函數的圖象大致如下：
．
易知函數的值域為．
因為方程有兩個不同的根，
所以，即，，解得．
即實數的取值范圍為．
（3）證明：由，，不妨設，
構造函數，，，
則，
所以在，上單調遞增，，
也即對，恒成立．
由，則，，
所以，
即，又因為，，且在上單調遞減，所以，
即證．
即．
變式21．（2023·天津河西·統(tǒng)考二模）設，函數．
（1）若，求曲線在處的切線方程；
（2）若無零點，求實數的取值范圍；
（3）若有兩個相異零點，求證：．
【解析】（1）函數的定義域為，，
當時，，則切線方程為，即．
（2）①若時，則，是區(qū)間上的增函數，
∵，，
∴，函數在區(qū)間有唯一零點；
②若，有唯一零點；
③若，令，得，
在區(qū)間上，，函數是增函數；
在區(qū)間上，，函數是減函數；
故在區(qū)間上，的極大值為，
由于無零點，須使，解得，
故所求實數的取值范圍是．
（3）證明：設的兩個相異零點為，，設，
∵，，∴，，
∴，，
∵，故，故，
即，即，
設上式轉化為（），
設，
∴，
∴在上單調遞增，
∴，∴，
∴．
變式22．（2023·四川成都·高二四川省成都列五中學校考階段練習）已知函數，.
(1)討論f（x）的單調性；
(2)若時，都有，求實數a的取值范圍；
(3)若有不相等的兩個正實數，滿足，證明：.
【解析】（1）因為，定義域為，.
①當時，令，解得
即當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減；
②當時，在單調遞增；
③當時令，解得，
即當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增；
綜上：當時，在單調遞增，在單調遞減；
當時，在單調遞增；
當時，在單調遞減，在單調遞增.
（2）若時，都有，
即，恒成立.
令，則，，
令，所以，
當時，
，單調遞增，，
所以，在單調遞減，
所以=，所以
（3）原式可整理為，
令，原式為，
由（1）知，在單調遞增，在單調遞減，
則為兩根，其中，不妨令，
要證，
即證，，
只需證，
令，，，
令，則，，單調遞增，
，，單調遞減.
又，
故
，所以恒成立，
即成立，
所以，原式得證.
變式23．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，其中a，b為常數，為自然對數底數，．
(1)當時，若函數，求實數b的取值范圍；
(2)當時，若函數有兩個極值點，，現有如下三個命題：
①；②；③；
請從①②③中任選一個進行證明．
（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）
【解析】（1）當時，，
當時，因為，所以此時不合題意；
當時，當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
所以，
要，只需，
令，則，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減，
所以，則由得，
所以，故實數b的取值范圍為．
（2）當時，，，
令，則，
因為函數有兩個極值點，，所以有兩個零點，
若，則，單調遞增，不可能有兩個零點，所以，
令得，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增；
所以，
因為有兩個零點，所以，則，
設，因為，，則，
因為，所以，，
則，取對數得，
令，，則，即
①令，則，因為，所以在上單調遞減，在上單調遞增，
令，
則，在上單調遞減，
因為，所以，即，
亦即，
因為，，在上單調遞增，所以，
則，整理得，
所以，故①成立
②令，則，
因為，所以在上單調遞減，在上單調遞增，
令，則，在上單調遞增，
又，所以當時，，即，
因為，，在上單調遞增，所以，
所以，即，
所以，
即，故②成立．
③令，，則，
令，則，
∴在上單調遞增，則，
∴，則，
兩邊約去后化簡整理得，即，
故③成立．
變式24．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知函數.
(1)討論的單調性和最值；
(2)若關于的方程有兩個不等的實數根，求證：.
【解析】（1），其中
若，則在上恒成立，故在上為減函數，
故無最值.
若，當時，；
當時，；
故在上為增函數，在上為減函數，
故，無最小值.
（2）方程即為，
故，
因為為上的增函數，所以
所以關于的方程有兩個不等的實數根即為：
有兩個不同的實數根.
所以，所以，
不妨設，，故，
要證：即證，
即證，即證，
即證，
設，則，
故，所以在上為增函數，
故，所以在上為增函數，
所以，故成立.
變式25．（2023·湖南長沙·長沙市實驗中學校考三模）已知函數.
(1)若有兩個零點，的取值范圍；
(2)若方程有兩個實根、，且，證明：.
【解析】（1）函數的定義域為.
當時，函數無零點，不合乎題意，所以，，
由可得，
構造函數，其中，所以，直線與函數的圖象有兩個交點，
，由可得，列表如下：
所以，函數的極大值為，如下圖所示：
且當時，，
由圖可知，當時，即當時，直線與函數的圖象有兩個交點，
故實數的取值范圍是.
（2）證明：因為，則，
令，其中，則有，
，所以，函數在上單調遞增，
因為方程有兩個實根、，令，，
則關于的方程也有兩個實根、，且，
要證，即證，即證，即證，
由已知，所以，，整理可得，
不妨設，即證，即證，
令，即證，其中，
構造函數，其中，
，所以，函數在上單調遞增，
當時，，故原不等式成立.
變式26．（2023·廣東佛山·高二統(tǒng)考期末）已知函數，其中．
(1)若，求的極值：
(2)令函數，若存在，使得，證明：．
【解析】（1）當時，，
所以，
當時，，，所以，
當時，，，所以，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以的極小值為，無極大值.
（2）證明：，
令，則上述函數變形為，
對于，，則，即在上單調遞增，
所以若存在，使得，則存在對應的、，
使得，
對于，則，因為，所以當時，當時，
即在上單調遞減，在上單調遞增，所以為函數的唯一極小值點，
所以，則，
令，則，
所以在上單調遞減，所以，
即，又，所以，
又的單調性可知，即有成立，
所以.
變式27．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.
(1)討論的單調性；
(2)若時，都有，求實數的取值范圍；
(3)若有不相等的兩個正實數滿足，求證：.
【解析】（1）函數的定義域為，.
①當時，令，即，解得：.
令，解得：；令，解得：；
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減.
②當時，則，所以函數在上單調遞增.
綜上所述：當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減.
當時，函數在上單調遞增.
（2）當時，都有，即，
亦即對恒成立.
令，只需.
.
令，則，所以當時，，
所以在上單增，所以，
所以當時，.
所以，所以在上單減，
所以.
所以.
綜上所述：實數的取值范圍為.
（3）可化為：.
令，上式即為.
由（1）可知：在上單調遞增，在上單調遞減，
則為的兩根，其中.
不妨設，要證，只需，即，
只需證.
令.
則
當時，；當時，.
由零點存在定理可得：存在，使得.
當時，，單增；當時，，單減；
又，所以.
.
因為， ，
所以.
所以恒成立.
所以.
所以.
所以
即證.
題型七：拐點偏移問題
例19．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.
（1）求曲線在點處的切線方程.
（2）若正實數滿足，求證：.
【解析】（1），切點為.
，.
切線為：，即.
（2）
.
令， ，，
，
，，為減函數，
，，為增函數，
，所以.
即.
得：，
得到，即：.
例20．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，當時，恒成立．
(1)求實數的取值范圍；
(2)若正實數、滿足，證明：．
【解析】（1）根據題意，可知的定義域為，
而，
當時，，，
為單調遞增函數，
當時，成立；
當時，存在大于1的實數，使得，
當時，成立，
在區(qū)間上單調遞減，
當時，；
不可能成立，
所以，即的取值范圍為.
（2）證明：不妨設，
正實數、滿足，
有（1）可知，，
又為單調遞增函數，
所以，
又，
所以只要證明：，
設，則，
可得，
當時，成立，
在區(qū)間上單調增函數，
又，
當時，成立，即，
所以不等式成立，
所以.
例21．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預測）已知函數.
(1)求曲線在點處的切線方程;
(2)（ⅰ）若對于任意，都有，求實數的取值范圍;
（ⅱ）設，且，求證:.
【解析】（1）由已知得，切點，
則切線斜率，
所以切線方程為.
（2）（ⅰ）依題意知，只要，，
因為，
，，
所以在遞減，在遞增，
所以，，
所以，
解得：.
（ⅱ）證明：因為，定義域為，
由得，
即，
令
令，，則，
，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
所以
即，
又因為，
所以，即.
變式28．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.
（1）當時，討論函數的單調性；
（2）當時，設，若正實數，，滿足，求證：
【解析】試題分析：求出函數的導數，通過討論的范圍求出函數的單調區(qū)間即可；
結合已知條件構造函數，然后結合函數單調性得到要證的結論．
解析：（1）①時，，即 ，則在和 上單增，在上單減；②時，，，則在上單增
③時，即，則在和上單增，在上單減.
（2）由得：；
；設函數.因為，所以在區(qū)間上，單調遞減，在區(qū)間上，單調遞增；因而函數的最小值為.
由函數知，即，又，故.
變式29．（2023·江蘇鹽城·江蘇省東臺中學?？家荒＃┮阎瘮担?br>(1)若在處取得極值，求的值；
(2)設，試討論函數的單調性；
(3)當時，若存在正實數滿足，求證：．
【解析】（1）因為，所以，
因為在處取得極值，
所以，解得．
驗證：當時，，
令，即，解得；
令，即，解得；
在上單調遞增，上單調遞減，
所以在處取得極大值．
（2）因為，
所以．
①若，， ，
所以當時，，所以函數在上單調遞增；
當時，，所以函數在上單調遞減．
②若，，
(i)當時，，
令，即，解得或，
令，即，解得，
所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減；
(ii)當時，恒成立，所以函數在上單調遞增；
(iii)當時，，
令，即，解得或，
令，即，解得，
所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減．
（3）證明：當時，，
因為，
所以，
即，
所以．
令，，
則，
當時，，所以函數在上單調遞減；
當時，，所以函數在上單調遞增．
所以函數在時，取得最小值，最小值為．
所以，
即，所以或．
因為為正實數，所以．
當時，，此時不存在滿足條件，
所以．
變式30．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，．
(1)若在處取得極值，求的值；
(2)設，試討論函數的單調性；
(3)當時，若存在實數，滿足，求證：．
【解析】（1）因為，所以，
因為在處取得極值，
所以，解得：．
驗證：當時，，
易得在處取得極大值．
（2）因為，
所以，
①若，則當時，，所以函數在上單調遞增；
當時，，函數在上單調遞減；
②若，，
當時，易得函數在和上單調遞增，在上單調遞減；
當時，恒成立，所以函數在上單調遞增；
當時，易得函數在和上單調遞增，在上單調遞減.
（3）證明：當時，因為，
所以，
所以，
令，，則，
當時，，所以函數在上單調遞減；
當時，，所以函數在上單調遞增；
所以函數在時，取得最小值，最小值為1，
所以，
即，所以，
當時，此時不存在，滿足等號成立條件，
所以．
變式31．（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習）已知函數，.
（1）討論函數的單調性；
（2）對實數，令，正實數，滿足，求的最小值.
【解析】（1）.
若，當時，，即在上單調遞增；
當時，，即在上單調遞減.
若，當時，，即在（，上均單調遞增；
當時，，即在上單調遞減.
若，則，即在上單調遞增.
若，當時，，即在，上均單調遞增；
當時，，即在上單調遞減.
（2）當實數時，，
，
，
，
令，，
由于，知當時，，即單調遞減；
當時，，即單調遞增.
從而，，
于是，，即，
而，所以，
而當，時，取最小值6.
變式32．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，.
（1）若在處取得極值，求的值；
（2）設，試討論函數的單調性；
（3）當時，若存在正實數滿足，求證：.
【解析】（1）因為，所以，
因為在處取得極值，
所以，解得．
驗證：當時，在處取得極大值．
（2）因為
所以．
①若，則當時，，所以函數在上單調遞增；
當時，，函數在上單調遞減．
②若，，
當時，易得函數在和上單調遞增，
在上單調遞減；
當時，恒成立，所以函數在上單調遞增；
當時，易得函數在和上單調遞增，
在上單調遞減．
（3）證明：當時，，
因為，
所以，
即，
所以．
令，，
則，
當時，，所以函數在上單調遞減；
當時，，所以函數在上單調遞增．
所以函數在時，取得最小值，最小值為．
所以，
即，所以或．
因為為正實數，所以．
當時，，此時不存在滿足條件，
所以．
減
極小值
增
增
極大值
減

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