重難點(diǎn)突破02 原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)混合還原問題（十三大題型）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

\l "_Tc168752299" 01方法技巧與總結(jié) PAGEREF _Tc168752299 \h 2
\l "_Tc168752300" 02題型歸納總結(jié) PAGEREF _Tc168752300 \h 3
\l "_Tc168752301" 題型一：利用構(gòu)造型 PAGEREF _Tc168752301 \h 3
\l "_Tc168752302" 題型二：利用構(gòu)造型 PAGEREF _Tc168752302 \h 4
\l "_Tc168752303" 題型三：利用構(gòu)造型 PAGEREF _Tc168752303 \h 7
\l "_Tc168752304" 題型四：用構(gòu)造型 PAGEREF _Tc168752304 \h 9
\l "_Tc168752305" 題型五：利用、與構(gòu)造型 PAGEREF _Tc168752305 \h 11
\l "_Tc168752306" 題型六：利用與構(gòu)造型 PAGEREF _Tc168752306 \h 14
\l "_Tc168752307" 題型七：復(fù)雜型：與等構(gòu)造型 PAGEREF _Tc168752307 \h 16
\l "_Tc168752308" 題型八：復(fù)雜型：與型 PAGEREF _Tc168752308 \h 18
\l "_Tc168752309" 題型九：復(fù)雜型：與結(jié)合型 PAGEREF _Tc168752309 \h 20
\l "_Tc168752310" 題型十：復(fù)雜型：基礎(chǔ)型添加因式型 PAGEREF _Tc168752310 \h 22
\l "_Tc168752311" 題型十一：復(fù)雜型：二次構(gòu)造 PAGEREF _Tc168752311 \h 24
\l "_Tc168752312" 題型十二：綜合構(gòu)造 PAGEREF _Tc168752312 \h 26
\l "_Tc168752313" 題型十三：找出原函數(shù) PAGEREF _Tc168752313 \h 29
\l "_Tc168752314" 03過關(guān)測(cè)試 PAGEREF _Tc168752314 \h 33
1、對(duì)于，構(gòu)造，
2、對(duì)于，構(gòu)造
3、對(duì)于，構(gòu)造，
4、對(duì)于，構(gòu)造
5、對(duì)于，構(gòu)造，
6、對(duì)于，構(gòu)造
7、對(duì)于，構(gòu)造，
8、對(duì)于，構(gòu)造
9、對(duì)于，構(gòu)造，
10、對(duì)于，構(gòu)造
11、對(duì)于，構(gòu)造，
12、對(duì)于，構(gòu)造
13、對(duì)于，構(gòu)造
14、對(duì)于，構(gòu)造
15、；；；
16、；．
題型一：利用構(gòu)造型
【典例1-1】函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根據(jù)題意，，則導(dǎo)函數(shù)，
函數(shù)在區(qū)間上，滿足，則有，
所以，即函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，
，
所以，
則有，
解得，
即此不等式的解集為.
故選：D
【典例1-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，函數(shù)為奇函數(shù)，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意知，
設(shè)，則，
僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以單調(diào)遞減．
又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即，
故由可得，
所以不等式的解集為，
故選：A
【變式1-1】設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，得，即，
令，則當(dāng)時(shí)，得，即在上是減函數(shù)，
∴，，
即不等式等價(jià)為，
∴，得，即，
又，解得，故．
故選：D.
【變式1-2】（2024·江西南昌·三模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?duì)任意，，則不等式的解集是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，則，
對(duì)任意，，恒成立，即在上單調(diào)遞減，
由可得，，解得，即解集為.
故選：A
題型二：利用構(gòu)造型
【典例2-1】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，其?dǎo)函數(shù)滿足，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意可令，
所以在上單調(diào)遞減，
則原不等式等價(jià)于，
由，
解之得.
故選：B
【典例2-2】已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，
當(dāng) 時(shí)，，
當(dāng) 時(shí)，，
在上單調(diào)遞減；
又為的奇函數(shù)，
，即為偶函數(shù)，
在上單調(diào)遞增；
又由不等式得，
當(dāng) ，即時(shí)，不等式可化為，即，
由在上單調(diào)遞減得，解得，故；
當(dāng)，即時(shí)，不等式可化為，即，
由在上單調(diào)遞增得，解得，故；
綜上所述，不等式的解集為：．
故選：D．
【變式2-1】（多選題）已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，，且，則（）
A．B．當(dāng)時(shí)，
C．D．不等式解集為
【答案】ACD
【解析】構(gòu)造函數(shù)，其中，
因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的奇函數(shù)，則，
所以，故函數(shù)為偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，則，則.
因?yàn)?，所以，即，，故A正確；
不妨取，則，，B錯(cuò)誤；
因?yàn)榕己瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則，
即，整理可得，C正確；
當(dāng)時(shí)，由可得，解得，
當(dāng)時(shí)，由可得，解得.
綜上所述，不等式解集為，D正確.
故選：ACD.
【變式2-2】已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，則的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，，
因?yàn)椋?br>所以，
所以在單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br>所以，
由，且得，
則，
所以，又在單調(diào)遞增，
所以，
故選：A．
題型三：利用構(gòu)造型
【典例3-1】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，是其導(dǎo)函數(shù)，若，，則不等式的解集是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，
故在R上單調(diào)遞增，，
可化為，
故原不等式的解集為，
故選：B
【典例3-2】已知定義在上的函數(shù)滿足且，則不等式的解集為（）.
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】構(gòu)造函數(shù)，
則，
因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足，所以，
所以在上單調(diào)遞增，且，
所以不等式可化為，即，所以，
即不等式的解集為.
故選：D.
【變式3-1】（2024·云南楚雄·一模）已知是上的奇函數(shù)，且對(duì)任意的均有成立．若，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得．
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又，為奇函數(shù)，
所以，，
則．
故選：B.
【變式3-2】已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】構(gòu)造函數(shù)，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>則，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，且，
由可得，即，解得.
所以，不等式的解集為.
故選：A.
題型四：用構(gòu)造型
【典例4-1】（2024·廣東廣州·三模）已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意的，都有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，由題設(shè)條件，得，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減.
由為奇函數(shù)，得，得，
所以，
不等式等價(jià)于，即，
又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，
故不等式的解集是．
故選：D．
【典例4-2】（2024·遼寧鞍山·二模）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，
，
所以是奇函數(shù).
當(dāng)時(shí)，，
則，
所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，
不等式即，
所以，
所以不等式的解集為.
故選：D
【變式4-1】已知定義在上的函數(shù)滿足，為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，
則，即，
故函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，
當(dāng),時(shí)，，則，
故在,上單調(diào)遞增，在,上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
又，則，
則不等式，即，
故，解得．
故選：C．
【變式4-2】（2024·高三·江蘇常州·期末）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，且對(duì)任意的滿足，則不等式的解集是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】構(gòu)建，則，
因?yàn)?，則，即，
可知在上單調(diào)遞減，且，
由可得，即，解得，
所以不等式的解集是.
故選：A．
【變式4-3】（2024·高三·山東菏澤·期中）已知函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，設(shè)，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，得，
因?yàn)?，則，可知在上單調(diào)遞減，且，
由不等式可得，解得，
所以不等式的解集為.
故選：B
題型五：利用、與構(gòu)造型
【典例5-1】（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)為，若，且當(dāng)時(shí)，，則的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由已知可推得，.
令，則，
所以，
所以，為偶函數(shù).
又，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以，，所以在上單調(diào)遞增.
又為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.
由可得，
.
因?yàn)椋?br>所以，.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，為偶函數(shù)，
所以有，
平方整理可得，，
解得.
故選：C.
【典例5-2】（2024·高三·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)是.若對(duì)任意的有，則關(guān)于的不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令函數(shù)，，求導(dǎo)得，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，不等式，
即，解得，
所以原不等式的解集為.
故選：B
【變式5-1】已知定義在R上的函數(shù)，滿足，且任意時(shí)，有成立，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，則．
由，得，所以為偶函數(shù)．
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有任意時(shí)，有成立，
所以在上單調(diào)遞增，
又為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，即?br>所以，解得．
故選：D．
【變式5-2】已知函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于x的不等式的解集為（）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，
，
設(shè)
所以，即為上的偶函數(shù)
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所?br>則在區(qū)間上單調(diào)遞增
所以
即
即
等價(jià)于，
即
解得．
故選：A.
題型六：利用與構(gòu)造型
【典例6-1】（2024·安徽淮南·二模）定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
令，則，
∴在上為奇函數(shù)，
又∵當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴在上單調(diào)遞增，
又∵在上為奇函數(shù)，
∴在上單調(diào)遞增，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∵在上單調(diào)遞增，
∴，解得：.
故選：A.
【典例6-2】偶函數(shù)定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，若對(duì)，有成立，則關(guān)于的不等式的解集為．
【答案】
【解析】令，，因?yàn)槎x域?yàn)樯系呐己瘮?shù)，
所以，則，即為偶函數(shù)，
又，
因?yàn)閷?duì)，有成立，所以當(dāng)時(shí)，
即在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，
又，所以，則不等式等價(jià)于，
即，即，所以，解得或，
所以不等式的解集為.
故答案為：
【變式6-1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)是.有，則關(guān)于的不等式的解集為 .
【答案】
【解析】依題意令，，
則，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，
∴在上單調(diào)遞減，
則等價(jià)于，即，
∴，解得，所以所求不等式的解集為.
故答案為：
題型七：復(fù)雜型：與等構(gòu)造型
【典例7-1】已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意的，都有．且為奇函數(shù)，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，構(gòu)造，則，
且，故在上單調(diào)遞減；
又為上的奇函數(shù)，故可得，
即，則.
則不等式等價(jià)于，
又因?yàn)槭巧系膯握{(diào)減函數(shù)，故解得.
故選：A.
【典例7-2】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意的，都有，且，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)函數(shù)，
所以，因?yàn)椋?br>所以，即，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?br>所以，因?yàn)?，整理得?br>所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以.
故選：C.
【變式7-1】已知函數(shù)與定義域都為，滿足，且有，，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由可得.
而，∴，∴在上單調(diào)遞減，
又，則，
所以，則，
故不等式的解集為．
故選：D．
【變式7-2】已知定義在上的函數(shù)滿足為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，所以，因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，
所以是上的奇函數(shù)；
，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞增，又是上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增；
考慮到，由，
得，即，
由在上單調(diào)遞增，得解得，
所以不等式的解集為，
故選：B.
題型八：復(fù)雜型：與型
【典例8-1】已知函數(shù)的定義域是（-5，5），其導(dǎo)函數(shù)為，且，則不等式的解集是 .
【答案】
【解析】設(shè)，
則.
因?yàn)椋?br>所以，
則是上的增函數(shù).
不等式等價(jià)于，
，
即，則
解得.
故答案為：
【典例8-2】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，若?duì)于任意都有，則當(dāng)時(shí)，則關(guān)于的不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由題意構(gòu)造函數(shù)，則，
函數(shù)在上為增函數(shù)，
，，
又，
，
，由，∴
故選：B．
【變式8-1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋裕?br>構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，
又是定義在R上的偶函數(shù)，所以是定義在R上的偶函數(shù)，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，且．
不等式整理可得：，
即，當(dāng)時(shí)，，則，解得；當(dāng)時(shí)，，則，
解得，又，所以．
綜上，不等式的解集為．
故選：A．
【變式8-2】已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則不等式的解集是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，則．
因?yàn)?，所以，即，所以在上單調(diào)遞減．
不等式等價(jià)于不等式，即．
因?yàn)?，所以，所以?br>因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得．
故選：C．
題型九：復(fù)雜型：與結(jié)合型
【典例9-1】（2024·高三·江蘇揚(yáng)州·開學(xué)考試）若可導(dǎo)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，，
則，
當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，
則當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)榭蓪?dǎo)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，故，
當(dāng)時(shí)，
所以，解得，
又，故不等式的解集為.
故選：B
【典例9-2】（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，則．
因?yàn)?，所以?br>所以，所以在上單調(diào)遞增．
不等式可轉(zhuǎn)化為，
又，且，
即，所以，解得，
即不等式的解集為．
故選：A．
【變式9-1】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，若，，則關(guān)于的不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，，
則，
因?yàn)椋詴r(shí)，，
即在上單調(diào)遞減，
又，則，
所以，
即，則，解得：，
所以關(guān)于的不等式的解集為，
故選：C.
題型十：復(fù)雜型：基礎(chǔ)型添加因式型
【典例10-1】已知為定義域上函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，，且，則不等式的解集為．
【答案】
【解析】由，整理可得，則函數(shù)關(guān)于成中心對(duì)稱，
所以關(guān)于直線成軸對(duì)稱，
當(dāng)時(shí)，，由，則，
由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，易知在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以不等式的解集為，
故答案為：.
【典例10-2】（2024·高三·湖南株洲·開學(xué)考試）已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足，若是奇函數(shù)，則不等式的解集是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】構(gòu)造函數(shù)，依題意可知，
所以在上單調(diào)遞減.由于是奇函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，，所以，
所以，
由得，即，所以，
故不等式的解集為.
故選：B
【變式10-1】（2024·山東聊城·三模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)數(shù)為，若當(dāng)時(shí)，，且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?
設(shè)，
則，
即為上的偶函數(shù)，
又當(dāng)時(shí)，，
則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)椋?br>所以，
即，所以，即，
解得.
故選：B
題型十一：復(fù)雜型：二次構(gòu)造
【典例11-1】已知定義為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)且，則不等式的解集是
【答案】
【解析】設(shè)，則.
因?yàn)?，所以，所以（為常?shù)）.
又所以所以.
所以.
則不等式為.
設(shè)，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
即為，所以.
所以不等式的解集是.
故答案為:.
【典例11-2】函數(shù)滿足：，．則時(shí)，
A．有極大值，無極小值B．有極小值，無極大值
C．既有極大值，又有極小值D．既無極大值，也無極小值
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所?
令，則，
所以，
令，則，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
即函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，
所以，
即，即函數(shù)在為減函數(shù)，
即時(shí)，既無極大值，也無極小值，
故選D.
【變式11-1】設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，，，則當(dāng)時(shí)，
A．有極大值，無極小值B．無極大值，有極小值
C．既有極大值又有極小值D．既無極大值又無極小值
【答案】B
【解析】由題設(shè)，所以，，所以存在使得，又，所以在上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
因此，當(dāng)時(shí)，取極小值，但無極大值，故選B.
【變式11-2】定義在上的函數(shù)滿足，且，則（）
A．有極大值，無極小值B．有極小值，無極大值
C．既有極大值又有極小值D．既無極大值也無極小值
【答案】D
【解析】因?yàn)?，且?br>所以，①
令，則，
又，記，
所以.
當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增.
結(jié)合①當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為0，即，
因?yàn)椋瑒t，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），所以既沒有最大值，也沒有最小值.
故選：D.
題型十二：綜合構(gòu)造
【典例12-1】已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，，若，則關(guān)于x的不等式的解集為（）
A．（4，+∞）B．（-∞，4）C．（-∞，3）D．（3，+∞）
【答案】A
【解析】因?yàn)槎x在R上的偶函數(shù)滿足，故，故，即，所以，即的周期為3.又，故，即.因?yàn)?，即，故?gòu)造函數(shù)，則，且.綜上有在R上單調(diào)遞增，且.又即，，所以，解得
故選：A
【典例12-2】已知定義在上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，滿足，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，
因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，
則，
所以函數(shù)是上的奇函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，即，
則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)楹瘮?shù)是上的奇函數(shù)，
所以函數(shù)在上是增函數(shù)，
則不等式，
等價(jià)于，
所以，解得，
所以不等式的解集為.
故選：C.
【變式12-1】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)為，不等式恒成立，且，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，得，
令，則，，
所以，則，
令，則，
所以在上是單調(diào)遞增．
不等式等價(jià)于，即，
而，所求不等式即．
由于在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，故不等式的解集為.
故選：C．
【變式12-2】（2024·高三·山東煙臺(tái)·期中）定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由得，，
令，則，即是上的偶函數(shù)，
求導(dǎo)得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
即，則，則在上單調(diào)遞增，
，，即，
即，即，即，即，
所以，解得或，則解集為.
故選：C.
【變式12-3】（2024·高三·河南新鄉(xiāng)·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，，對(duì)任意，都有，且，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，的定義域?yàn)樗詾槠婧瘮?shù)，，
令，，
因?yàn)閷?duì)任意，都有，所以，
所以在上單調(diào)遞增.
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞減.
不等式等價(jià)于，因?yàn)?，所以?br>所以不等式等價(jià)于，
所以，即.
故選：B．
題型十三：找出原函數(shù)
【典例13-1】設(shè)函數(shù)滿足，，則時(shí)，（）
A．有極大值，無極小值B．有極小值，無極大值
C．既有極大值又有極小值D．既無極大值也無極小值
【答案】B
【解析】由，即，
結(jié)合，可知，
，
可知此函數(shù)僅有一個(gè)極值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，沒有極大值．
故選：B
【典例13-2】設(shè)函數(shù)是定義在上的連續(xù)函數(shù)，且在處存在導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，則函數(shù)
A．既有極大值又有極小值B．有極大值，無極小值
C．有極小值，無極大值D．既無極大值也無極小值
【答案】C
【解析】由題意可知，，即，
所以，
令，則，
因?yàn)楹瘮?shù)在處存在導(dǎo)數(shù)，所以為定值，，，
所以，
令，當(dāng)時(shí)，，
構(gòu)建函數(shù)，則有，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)，，令，解得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，?br>所以當(dāng)時(shí)函數(shù)必有一解，
令這一解為，，則當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
綜上所述，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
所以有極小值，無極大值．
【變式13-1】（2024·遼寧大連·一模）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則的極值情況為
A．有極大值無極小值B．有極小值無極大值
C．既有極大值又有極小值D．既無極大值也無極小值
【答案】D
【解析】

將代入可得：
則
=
令則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取最大值0，故恒成立，故恒成立，故既無極大值也無極小值，故選
【變式13-2】設(shè)函數(shù)是定義在上的連續(xù)函數(shù)，且在處存在導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，則函數(shù)
A．既有極大值又有極小值B．有極大值，無極小值
C．既無極大值也無極小值D．有極小值，無極大值
【答案】C
【解析】因?yàn)?，?br>所以，所以，
因?yàn)楹瘮?shù)是連續(xù)函數(shù)，所以由，可得，
代入，可得，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
令，所以，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.
所以當(dāng)時(shí)，取得極小值即最小值，
所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以既沒有極大值，也沒有極小值，
故選C.
【變式13-3】（2024·全國(guó)·一模）若函數(shù)滿足，則當(dāng)時(shí)，
A．有極大值，無極小值B．有極小值，無極大值
C．既有極大值又有極小值D．既無極大值又無極小值
【答案】B
【解析】由題設(shè)知，當(dāng)時(shí)，，
可得為常數(shù)），又，得C=0
所以.
又,令，解得或（舍去）.
所以當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，有極小值，無極大值.
故選B.
【變式13-4】（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意得，，
即，
所以，即，
又，所以，故，
，可得，
在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減，
所以的極大值為.簡(jiǎn)圖如下：
所以，，.
故選：D.
1．（2024·高三·江蘇揚(yáng)州·期末）已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，且，則的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，可得，
令，結(jié)合，則，
所以在R上遞減，故，
則原不等式解集為.
故選：A
2．已知函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足時(shí)，，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令函數(shù)，則，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.
又，，所以當(dāng)時(shí)，；
又為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，
所以不等式可化為或，解得，
所以不等式的解集為，
故選：D.
3．（2024·高三·寧夏石嘴山·期中）已知函數(shù)在R上的導(dǎo)函數(shù)為，若恒成立，且，則不等式的解集是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】構(gòu)造新函數(shù)，
因?yàn)楹愠闪ⅲ?br>所以，因此函數(shù)單調(diào)遞增，
，
由，
故選：B
4．已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意的，都有，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由題意對(duì)任意的，都有，即，
令，則，
即為R上的增函數(shù)，
而，故，
又即，即，
所以，即不等式的解集為，
故選：D
5．（2024·高三·四川內(nèi)江·期末）已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，對(duì)任意，恒有，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依題意，令函數(shù)，，求導(dǎo)得，
則函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，
而，則，因此有，解得，
所以原不等式的解集為.
故選：C
6．已知是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)時(shí)，有，則不等式（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，，因?yàn)椋?br>所以，所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以?br>即，解得.
故選：C.
7．定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足且，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，則，
∴在R上單調(diào)遞減，又∵，
∴，即，
∴.
故選：C.
8．已知定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題設(shè)，，
令，則，即為偶函數(shù).
所以，
當(dāng)時(shí)，則在為減函數(shù)，故在上為增函數(shù)，
由，即，
∴，解得.
故選：D.
9．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，
所以，即，
設(shè)，
則，
所以在上單調(diào)遞減，
又，的解集等價(jià)于的解集，即，
所以，即不等式的解集為.
故選：C.
10．（多選題）設(shè)定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若滿足，且，則下列結(jié)論正確的是（）
A．在上單調(diào)遞增
B．不等式的解集為
C．若恒成立，則
D．若，則
【答案】BCD
【解析】因?yàn)?，所?
令，則，
所以（c為常數(shù)），所以.
因?yàn)椋?，?
對(duì)于A，因?yàn)椋?br>所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤.
對(duì)于B,當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，
而，根據(jù)單調(diào)性知：，故B正確.
對(duì)于C，若，則.
當(dāng)時(shí)，恒成立.
當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即.
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，故C正確.
對(duì)于D，若，即.
因?yàn)樵诤阈∮?，在上又單調(diào)遞增，且，
所以，且，所以，
故D正確.
故選：BCD
11．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為．
【答案】
【解析】令，則，
當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，
即在上是增函數(shù)，由題意是定義在上的偶函數(shù)，
所以，又，
所以是偶函數(shù)，所以在遞減，
所以，
即不等式等價(jià)為，
所以，所以．
故答案為：．
12．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，有，若，則不等式的解集是．
【答案】
【解析】因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足
所以函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，即
因?yàn)楫?dāng)時(shí),有即
故令則，在上單調(diào)遞增,
因?yàn)椋?br>所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?br>所以所以當(dāng)時(shí), ,
所以，當(dāng)時(shí),，
所以且,即無解.所以不等式的解集是.
故答案為：.
13．若定義在上的函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為
【答案】
【解析】構(gòu)造，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，且，
不等式可化為，即，所以，
所以原不等式的解集為.
故答案為：
14．定義在上的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為．
【答案】
【解析】令，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，
則，
所以為偶函數(shù).
當(dāng)時(shí)，，，
由已知，
所以，
則在上單調(diào)遞增，
由可化為，
即，得；
當(dāng)，，則，
即，
由為偶函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，
得，
所以不等式的解集為．
故答案為：.
15．已知定義在上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式的解集是 .
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，由，得，則，
所以成立，所以符合，
當(dāng)時(shí)，令，則，
因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，
所以在上遞增，
因?yàn)槎x在上的偶函數(shù)，所以，
所以，所以為偶函數(shù)，
因?yàn)?，定義在上的偶函數(shù)，所以，
所以
由，得，所以，
所以，
因?yàn)樵谏线f增，
所以，且，得，且，
綜上，，即不等式的解集是，
故答案為：
16．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且，若，則不等式的解集為 .
【答案】.
【解析】由函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且，
令，可得，且，
因?yàn)?，可得，所以在上單調(diào)遞減，
不等式，所以，
所以，解得，
所以不等式的解集為.
故答案為：.
17．已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足在上恒成立，則不等式的解集是 .（用區(qū)間表示）
【答案】
【解析】令，則，所以在上單調(diào)遞增，
由，兩端同除以，并移項(xiàng)得，
即，又在上單調(diào)遞增，所以，解得.
所以不等式的解集是.
故答案為：.
18．是定義域?yàn)樯系钠婧瘮?shù)，，當(dāng)時(shí)，有，則不等式的解集為．
【答案】
【解析】令，則，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又為奇函數(shù)，所以，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
綜上，不等式的解集為.
故答案為：
19．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則不等式的解集是．
【答案】
【解析】令，則，
∴在上是減函數(shù)，
，
不等式化為，
即，也即為，
所以，.
故答案為：，
20．（2024·高三·上海浦東新·期中）定義在上的函數(shù)滿足，其中為的導(dǎo)函數(shù)，若，則的解集為 .
【答案】
【解析】由題意知，故，
設(shè)，則，
即在R上單調(diào)遞增，
由，可得，
故即，即，則，
故，即的解集為，
故答案為：
21．已知定義在上的函數(shù)滿足，則關(guān)于的不等式的解集為．
【答案】
【解析】令，則，
所以當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，
又，所以，
因?yàn)?，即，所以?br>所以原不等式的解集為.
故答案為：.
22．（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期中）已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足：，，則的解集為 .
【答案】
【解析】記，則，
因?yàn)?，所以，在R上單調(diào)遞增，
又，所以，
所以，
所以，不等式的解集為.
故答案為：
23．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）已知為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，其中為的導(dǎo)數(shù)，則不等式的解集為．
【答案】
【解析】令函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
由為偶函數(shù)，得，即函數(shù)是奇函數(shù)，于是在R上單調(diào)遞減，
不等式，
因此，解得，所以原不等式的解集是.
故答案為：
24．（2024·山東菏澤·三模）已知奇函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，有，則的解集為．
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋裕?br>所以，所以在上為增函數(shù)，
因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，
所以，且的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以也是定義在上的奇函數(shù)，且，
又因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以在上為增函數(shù)，
由，得，
所以，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，
所以，即.
所以的解集為.
故答案為：
25．函數(shù)定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)是，當(dāng)時(shí)，有，則關(guān)于的不等式的解集為．
【答案】
【解析】令，則，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?br>所以，
所以在上為減函數(shù)，
由，得，
所以，
因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，
所以，
所以不等式的解集為，
故答案為：
26．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足在上恒成立，則不等式的解集是．
【答案】
【解析】令，則，所以在上單調(diào)遞增，
由，得，即，
所以，解得.
所以不等式的解集是.
故答案為：.

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