\l "_Tc169247993" 01方法技巧與總結 PAGEREF _Tc169247993 \h 2
\l "_Tc169247994" 02題型歸納總結 PAGEREF _Tc169247994 \h 2
\l "_Tc169247995" 題型一：判斷或討論函數(shù)零點的個數(shù) PAGEREF _Tc169247995 \h 2
\l "_Tc169247996" 題型二：根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍 PAGEREF _Tc169247996 \h 10
\l "_Tc169247997" 題型三：證明函數(shù)零點的個數(shù) PAGEREF _Tc169247997 \h 15
\l "_Tc169247998" 題型四：證明函數(shù)零點的性質 PAGEREF _Tc169247998 \h 21
\l "_Tc169247999" 題型五：最值函數(shù)的零點問題 PAGEREF _Tc169247999 \h 30
\l "_Tc169248000" 題型六：同構法妙解零點問題 PAGEREF _Tc169248000 \h 35
\l "_Tc169248001" 題型七：零點差問題 PAGEREF _Tc169248001 \h 43
\l "_Tc169248002" 題型八：分離參數(shù)轉化為兩圖像交點解決零點問題 PAGEREF _Tc169248002 \h 51
\l "_Tc169248003" 題型九：零點問題之取點技巧 PAGEREF _Tc169248003 \h 57
\l "_Tc169248004" 題型十：零點與切線問題的綜合應用 PAGEREF _Tc169248004 \h 61
\l "_Tc169248005" 03過關測試 PAGEREF _Tc169248005 \h 67
1、函數(shù)零點問題的常見題型：判斷函數(shù)是否存在零點或者求零點的個數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點情況，求參數(shù)的值或取值范圍.
求解步驟：
第一步：將問題轉化為函數(shù)的零點問題，進而轉化為函數(shù)的圖像與軸(或直線)在某區(qū)間上的交點問題；
第二步：利用導數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調性、極值、端點值等性質，進而畫出其圖像；
第三步：結合圖像判斷零點或根據(jù)零點分析參數(shù).
2、函數(shù)零點的求解與判斷方法：
(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．
(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結合函數(shù)的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．
(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．
3、求函數(shù)的零點個數(shù)時，常用的方法有：一、直接根據(jù)零點存在定理判斷；二、將整理變形成的形式，通過兩函數(shù)圖象的交點確定函數(shù)的零點個數(shù)；三、結合導數(shù)，求函數(shù)的單調性，從而判斷函數(shù)零點個數(shù).
4、利用導數(shù)研究零點問題：
（1）確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復雜，可用導數(shù)知識確定極值點和單調區(qū)間從而確定其大致圖像；
（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構造函數(shù)的方法，把問題轉化為研究構造的函數(shù)的零點問題；
（3）利用導數(shù)研究函數(shù)零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結合思想研究；③構造輔助函數(shù)研究.
題型一：判斷或討論函數(shù)零點的個數(shù)
【典例1-1】（2024·河南·三模）函數(shù)的圖象在處的切線為.
(1)求的值；
(2)求在上零點的個數(shù).
【解析】（1）因為，
所以，所以切線斜率為，即，
所切線方程為
又，所以切點坐標為，代入得
則，解得.
（2）由（1）得，
令，則，
當時，恒成立，所以在上遞增，
所以，
因此在無零點；
當時，恒成立，所以單調遞增，
又，
所以在上存在唯一的零點，
當單調遞減；
當單調遞增；
又，，
因此在上僅有1個零點；
綜上，在上僅有1個零點.
【典例1-2】（2024·河南·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)求的極大值；
(2)若，求在區(qū)間上的零點個數(shù)．
【解析】（1）由題易得，函數(shù)的定義域為，
又，
所以，當時，隨的變化情況如下表：
由上表可知，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為．
所以的極大值為．
當時，隨的變化情況如下表：
由上表可知，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為．
所以的極大值為．
綜上所述，當時，的極大值為；當時，的極大值為0．
（2）方法一：當時，，所以函數(shù)．
由，得．
所以要求在區(qū)間上的零點的個數(shù)，
只需求的圖象與的圖象在區(qū)間上的交點個數(shù)即可．
由（1）知，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，
所以在區(qū)間上單調遞減．
又在區(qū)間上單調遞增，
且，
所以與的圖象在區(qū)間上只有一個交點，
所以在區(qū)間上有且只有1個零點．
因為當時，，
在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，
所以在區(qū)間上有極大值，
即當時，恒有．
又當時，的值域為，且其最小正周期為，
現(xiàn)考查在其一個周期上的情況，
在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，
且，，
所以與的圖象在區(qū)間上只有一個交點，
即在區(qū)間上有且只有1個零點．
因為在區(qū)間上，，
所以與的圖象在區(qū)間上無交點，
即在區(qū)間上無零點．
在區(qū)間上，單調遞減，單調遞增，
且，
所以與的圖象在區(qū)間上只有一個交點，
即在區(qū)間上有且只有1個零點．
所以在一個周期上有且只有2個零點．
同理可知，在區(qū)間上，且單調遞減，
在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，
且，
，
所以與的圖象在區(qū)間和上各有一個交點，
即在上的每一個區(qū)間上都有且只有2個零點．
所以在上共有個零點．
綜上可知，在區(qū)間上共有個零點．
方法二：當時，，所以函數(shù)．
當時，，所以在區(qū)間上單調遞減．
又，所以存在唯一零點，使得．
所以在區(qū)間上有且僅有一個零點．
當時，，所以．
所以在上無零點．
當時，，所以在區(qū)間上單調遞增．
又，所以存在唯一零點．
當時，，
設，則
所以在上單調遞增．
又，
所以存在，使得．
即當時，單調遞減；
當時，單調遞增．
又，所以在區(qū)間上有且僅有一個零點
所以在區(qū)間上有且僅有一個零點．
當時，
，
設，則
所以在上單調遞增．
又，所以在區(qū)間上單調遞減：
又，
所以存在唯一，使得．
所以在區(qū)間上有且僅有一個零點．
所以在區(qū)間上有兩個零點．
所以在上共有個零點．
綜上所述，在區(qū)間上共有個零點．
【變式1-1】（2024·湖南長沙·三模）已知函數(shù).
(1)求的最小值；
(2)設函數(shù)，討論零點的個數(shù).
【解析】（1）的定義域為，
則當時，；當時，，
所以在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，
因此的最小值為；
（2），且，
令，得，
令，則與有相同的零點，
且，
令，則，
因為當時，則，所以在區(qū)間上單調遞增，
又，所以，使，
且當時，，即；當時，，即，
所以在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，
因此的最小值為，
由，得，即，
令，則在區(qū)間上單調遞增，
因為，所以，則，
所以，從而，即
所以的最小值，
所以當時，沒有零點；
當時，有一個零點；
當時，因為，
當趨近于0時，趨近于；當趨近于時，趨近于，
所以有兩個零點.
綜上，當時，的零點個數(shù)為0；
當時，的零點個數(shù)為1；
當時，的零點個數(shù)為2.
【變式1-2】已知，是實數(shù)，1和是函數(shù)的兩個極值點
(1)求，的值.
(2)設函數(shù)的導函數(shù)，求的極值點.
(3)設其中求函數(shù)的零點個數(shù).
【解析】（1）由，得，
因為1和是函數(shù)的兩個極值點，
所以，解得：，，
當，時，，
所以的單調增區(qū)間為，，單調減區(qū)間為，
所以經(jīng)檢驗當，時，1和是函數(shù)的兩個極值點.
（2）由(1)得，則，
令，解得或，
當時，，
當時，，
當時，，
所以，是極值點，不是極值點，
所以極值點為
（3）令，則，
先討論關于的方程根的情況：，
當時，由(2)可知的兩個不同根為和，注意到為奇函數(shù)，。
所以的兩個不同根為和，
當時，因為，，
所以，，，都不是的根，
由(1)知，
①當時，，則是單調增函數(shù)，從而，此時再上無實數(shù)根；
②當時，，則是單調減函數(shù)，因為，，則的圖象不間斷，
所以在內有唯一實根，
同理，在內有唯一實根
③當時，，則是單調減函數(shù)，因為，，則的圖象不間斷，
所以在內有唯一實根，
因此，當時，有兩個不同根，滿足，，
當時，有三個不同的根，，，滿足，，，，
先考慮函數(shù)的零點：
(i)當時，有兩個根，，滿足；
而有三個不同的根，有兩個不同的根，故函數(shù)有5個零點，
(ii) 當時，有兩個根，，,滿足，,,；
而有三個不同的根，故函數(shù)有9個零點，
綜上，當時，函數(shù)有5個零點；
當時，函數(shù)有9個零點.
題型二：根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍
【典例2-1】（2024·廣東茂名·一模）設函數(shù)，.
(1)當時，在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若在上存在零點，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）當時，，
所以不等式轉化為，在上恒成立.
令，
所以.
當時，恒成立.
若，則在上恒成立，
在上單調遞增，
故，符合題意；
若，令函數(shù)，
則在上恒成立，
所以在上單調遞增，
因為，且當時，.
所以，，
故當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
則，不符合題意.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為；
（2）因為，，
令，即，
所以.
令，，
則.
令，得.
所以當時，，單調遞減；
當，時，單調遞增.
所以當時，取得極小值，
即當時，取得極小值.
又因為，，
所以.
所以.
當取得極大值，
即當時，取得極大值.
又因為，，
所以.
所以，
所以當，.
所以.
又因為，
所以時，在上存在零點，
所以實數(shù)的取值范圍為.
【典例2-2】（2024·湖北·模擬預測）已知函數(shù)，，其中a為整數(shù)且.記為的極值點，若存在兩個不同的零點，，
(1)求a的最小值；
(2)求證：；
【解析】（1），
令，則，
故 在 上單調遞增，
且 ，，
由零點存在性定理知，存在唯一的，使得，即，
且，，，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
故 ，
又，，
若存在兩個不同的零點，則，即，，
由知，所以整數(shù)的最小值為3.
（2）由題意，即，
故 ，同理 .
所以.
【變式2-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，曲線在點處的切線平行于直線．
(1)當時，求b的值；
(2)當時，若在區(qū)間各內有一個零點，求a的取值范圍．
【解析】（1）當時，，
所以，
所以．
（2）令，
有，
在區(qū)間內各有一個零點，
也即在區(qū)間內各有一個零點，
則，
（i）當時，，
令，則，
當時，；當時，；
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
易知當時，取得最小值1，
所以，
當時，，于是在上遞增，
則與在上有一個零點矛盾，舍去．
（ii）當時，令，
則，
令，
則，
所以在上單調遞增，
又，
即，使，且當時，單調遞減；
當時單調遞增，
所以，
，
當時，，
故，使，
且在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．
又，故，
因為當時，，當時，，
故，使，
綜上，．
所以的取值范圍為．
【變式2-2】（2024·江西吉安·模擬預測）已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)若函數(shù)有2個零點，求的取值范圍.
【解析】（1）當時，，所以，
所以，因為，
所以曲線在處的切線方程為，
即.
（2），若在上單調遞增，不滿足題意，
若，令得，
在上單調遞減，在上單調遞增，
且當和時，，
故，解得，
即的取值范圍是.
題型三：證明函數(shù)零點的個數(shù)
【典例3-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，且曲線在點處的切線方程為．
(1)求實數(shù)，的值；
(2)證明：函數(shù)有兩個零點．
【解析】（1）由題意可得，由切線方程可知其斜率為，
所以，解得；
（2）由可得，所以．
函數(shù)有兩個零點即函數(shù)有兩個零點．
，
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．
又，，0，
所以，．
由零點存在定理可得使得，使得，
所以函數(shù)有兩個零點．
【典例3-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)求證：在上有唯一的極大值點；
(2)若恒成立，求a的值；
(3)求證：函數(shù)有兩個零點．
【解析】（1）因為，設，
則對恒成立，
所以在上單調遞減．
又，
由零點存在性定理可知在上有唯一的零點，
和隨x變化而變化的情祝如下．
所以在有唯一的極大值點．
（2）令，
由條件知恒成立，所以．
因為，且在定義域上連續(xù)，
所以是的一個極大值點，則．
又，
所以，解得．
當時，，
，
當時，，，故在上單調遞增，
所以當時，；
設，則，令，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，則，即.
當時，，
又因為，
所以．
綜上可知，當時，恒成立．
（3），則．
由（2）可知在上單調遞增，
又因為，
由零點存在定理可知，存在，使得；
當時，，所以，
故在上單調遞減，又，
由零點存在定理可知，存在，使得；
當時，由上可知，
故在上沒有零點．
綜上可知，函數(shù)有且只有兩個零點．
【變式3-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；
(2)若函數(shù)的兩個極值點分別為，證明：；
(3)設，求證：當時，有且僅有2個不同的零點．
（參考數(shù)據(jù)：）
【解析】（1）函數(shù)的定義域為，
．
設，
則函數(shù)為二次函數(shù)，對稱軸為直線，
且．
令，則．
當，即時，，
故當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間．
當時，，
故當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間．
當時，令，得，
當時，，當時，，
故當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為和，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為．
綜上所述，當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；
當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為．
（2）．
因為函數(shù)有兩個極值點，
所以方程在上有兩個不同的實數(shù)解，
則解得，
所以
．
要證，
即證．
不妨設，
則只需證．
設，則只需證．
令．
則，
所以在上單調遞增，
所以，得證．
（3）由得，
在上有且僅有2個不同的根，
等價于直線與函數(shù)的圖象在上有2個交點．
設，
①當時，令，，
所以在上單調遞增．
又因為，
即當時，存在，且的圖象連續(xù)，
所以在上有且僅有1個零點，即存在，使．
當時，在上單調遞減；
當時，在上單調遞增，
所以在上存在唯一的極小值點．
①當時，又，
記，則，則在上單調遞減，
所以，所以當時，恒成立，
則，
所以當時，直線與函數(shù)的圖象在上有1個交點．
②當時，，
所以在上單調遞增．
已證在上單調遞增，
所以在上單調遞增．
又因為，
由①知，
所以當時，直線與函數(shù)的圖象在上有1個交點．
③當時，，
設，則，
故函數(shù)在上單調遞增，
所以，
則當時，直線與函數(shù)的圖象在上無交點．
綜上，當時，直線與函數(shù)的圖象在上有2個交點．
即當時，有且僅有2個不同的零點．
【變式3-2】（2024·上海閔行·二模）已知定義在上的函數(shù)的表達式為，其所有的零點按從小到大的順序組成數(shù)列（）.
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的值域；
(2)求證：函數(shù)在區(qū)間（）上有且僅有一個零點；
【解析】（1）由，
當時，，即函數(shù)在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，
且，，
所以在區(qū)間上的值域為.
（2）當時，
①當是偶數(shù)時，，
函數(shù)在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)；
②當是奇數(shù)時，，
函數(shù)在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)；
且，故，
所以由零點存在定理可知，
函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點.
題型四：證明函數(shù)零點的性質
【典例4-1】（2024·全國·一模）已知
(1)若，求實數(shù)的取值范圍；
(2)設是的兩個零點（），求證：①；②.
【解析】（1），設，
則，所以單調遞增，注意到，
所以當時，，，單調遞減，
當時，，，單調遞增，
所以，
若，則，解得，
所以實數(shù)的取值范圍為；
（2）①由題意不妨設，則由（1）可知，且，
所以
，
設，，
所以函數(shù)單調遞增，所以，
所以，即，
又函數(shù)在上面單調遞減，所以，所以；
②注意到，
所以，要證，
只需，即只需，
令，則，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
又，所以，
所以要證，只需，即，
不妨設，
則，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞增，
因為，所以，即，
又因為，所以，
綜上所述，命題得證.
【典例4-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，且有兩個相異零點．
(1)求實數(shù)a的取值范圍．
(2)證明：．
【解析】（1）函數(shù)，求導得，
當時，；當時，，在上單調遞減，在上單調遞增，
則．
當時，恒成立，至多有一個零點，不符合題意，
當時，，，即，使，
，令，求導得，
令，求導得，即在上單調遞增，，
于是，函數(shù)在上單調遞增，，
因此，使，
所以實數(shù)a的取值范圍為．
（2）由（1）知，有兩個相異的解，即方程有兩個相異的解，
令函數(shù)，求導得在上單調遞增，且，
當時，，在單調遞減，當時，，在單調遞增，
不妨設，顯然，，
要證，即證，即證．
又，則即證，令函數(shù)，，
則，
而，則，
因此函數(shù)在上單調遞減，即，則，
所以．
【變式4-1】（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)若恒成立，求的取值范圍；
(2)若有兩個不同的零點，證明．
【解析】（1）首先由可知的定義域是，從而.
故，從而當時，當時.
故在上遞增，在上遞減，所以具有最大值.
所以命題等價于，即.
所以的取值范圍是.
（2）不妨設，由于在上遞增，在上遞減，故一定有.
在的范圍內定義函數(shù).
則，所以單調遞增.
這表明時，即.
又因為，且和都大于，
故由在上的單調性知，即.
【變式4-2】（2024·山東臨沂·二模）已知函數(shù).
(1)當時，求證：存在唯一的極大值點，且；
(2)若存在兩個零點，記較小的零點為，t是關于x的方程的根，證明：.
【解析】（1）當時，，，
∴，
易知在上單調遞減，且，，
則，使得當時，，
當時，，且，即，即，
∴在上單調遞增，在上單調遞減，
∴存在唯一的極大值點，
而，
∴．
（2）令，得，
設，顯然在定義域上單調遞增，
而，則有，
∴．
依題意，方程有兩個不等的實根，
即函數(shù)在定義域上有兩個零點，
顯然，當時，的定義域為，
在上單調遞增，最多一個零點，不合題意，
∴，的定義域為，
∴求導，得，
當時，，當時，，
∴在上單調遞減，在上單調遞增，
，
要使有兩個零點，必有，即，
此時，即在有一個零點，
，
令，，
求導得，顯然在上單調遞增，
∴，
∴在上單調遞增，，
∴，則函數(shù)在上存在唯一零點．
由為的兩個根中較小的根，
得，，
又由已知得，
從而，
∵，
∴，
∴．
設（），
當時，，，則符合題意，
當時，，則在上單調遞增，
∴不合題意，
∴
∴設，．
求導，得，當時，
令，，
則，，
∴，在上單調遞增，
從而，，即，，
從而，
即在單調遞增，則，
于是，
即，
即．
【變式4-3】（2024·高三·河南鶴壁·期中）已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)若函數(shù)在上有2個極值點，求a的取值范圍；
(2)設函數(shù)，），證明：的所有零點之和大于．
【解析】（1）由題設在上有2個變號零點，
當時，，即在上遞增，不可能有2個零點；
當時，令，則，且在上有2個對應的，
所以，問題化為與在上有兩個交點，
對于，有，則在上，，遞減，
在上，，遞增，
又x趨向于0時，趨向正無窮，x趨向于正無窮時，趨向正無窮，
且，所以，故．
綜上，；
（2）由已知函數(shù)，，其導函數(shù)，
設，，
如圖畫出函數(shù)和 圖象，
，使得當時，，單調遞增，
當時，函數(shù)，單調遞減，又，所以，，
因為，所以，所以，又，
故，使得，，使得，
于是可得當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，
又，，故，
則，，所以存在，使得，
所以，又，所以，
則存在，使得，又，
所以函數(shù)在區(qū)間上無零點，
故函數(shù)在上有兩個零點，，且，
由可得，，
所以，，
又，
所以，
根據(jù)，可得，，
并且函數(shù)在上單調遞減，所以，即，
故的兩個零點之和大于．
【變式4-4】（2024·四川眉山·三模）已知函數(shù).
(1)若過點可作曲線兩條切線，求的取值范圍；
(2)若有兩個不同極值點.
①求的取值范圍；
②當時，證明：.
【解析】（1）依題意，，
設過點的直線與曲線相切時的切點為，斜率，
切線方程為，而點在切線上，
則，即有，
由過點可作曲線兩條切線，得方程有兩個不相等的實數(shù)根，
令，則函數(shù)有2個零點，
求導得，
①若，由，得或，由，得，
即函數(shù)在，上單調遞增，在上單調遞減，
則當時，取得極大值；當時，取得極小值，
又，
當時，恒成立，因此函數(shù)最多1個零點，不合題意；
②若，恒成立，函數(shù)在上單調遞增，
因此函數(shù)最多1個零點，不合題意；
③若，由，得或，由，得，
即函數(shù)在，上單調遞增，在上單調遞減，
則當時，取得極大值；當時，取得極小值，又，
顯然當時，恒成立，因此函數(shù)最多1個零點，不合題意；
④若，顯然，當時，，當時，，
函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，當時，取得最大值，
要函數(shù)有2個零點，必有，得，
當時，，
而函數(shù)在上的值域為，因此在上的值域為，
當時，令，求導得，函數(shù)在上單調遞減，
則，，
而函數(shù)在上單調遞減，值域為，
因此函數(shù)在上的值域為，
于是當時，函數(shù)有兩個零點，
所以過點可作曲線兩條切線時，的取值范圍是.
（2）①由（1）知，，
由函數(shù)有兩個極值點，得，即有兩個實數(shù)根，
令，求導得，當時，，當時，，
函數(shù)在上單調遞增，上單調遞減，，
且，當時，函數(shù)恒成立，因此當時，有兩個實數(shù)根
所以函數(shù)有兩個極點時，的取值范圍是.
②由，即，得，
要證明，只需證明，
而，
令，則，欲證明，
即證明，只需證明即可，
令，
求導得，
則在時單調遞增，故，
則，令在時單調遞增，則，
因此，即，
所以.
題型五：最值函數(shù)的零點問題
【典例5-1】（2024·湖北黃岡·三模）已知函數(shù)．
(1)當時，求函數(shù)在上的極值；
(2)用表示中的最大值，記函數(shù)，討論函數(shù)在上的零點個數(shù)．
【解析】（1）
當時，，
由，得或，則和隨的變化如下表所示：
∴在上有2個極大值：在上有1個極小值．
（2）由，知．
（?。┊敃r，，
∴，故在上無零點．
（ⅱ）當時，．
故當時，即時，是的零點；
當時，即時，不是的零點．
（ⅲ）當時，．故在的零點就是在的零點，
．
①當時，，故時，在是減函數(shù)，
結合，可知，在有一個零點，
故在上有1個零點．
②當時，，故時，在是增函數(shù)，
結合可知，在無零點，故在上無零點．
③當時，，使得時，在是增函數(shù)；
時，在是減函數(shù)；
由知，．
當，即時，在上無零點，故在上無零點．
當，即時，在上有1個零點，故在上有1個零點．
綜上所述，時，有2個零點；時，有1個零點；時，無零點
【典例5-2】（2024·四川南充·三模）已知函數(shù)，．
(1)當時，求函數(shù)在上的極值；
(2)用表示，中的最大值，記函數(shù)，討論函數(shù)在上的零點個數(shù)．
【解析】（1）當時，，，
由，得或，則和隨的變化如下表所示：
在上有2個極大值：，
在上有1個極小值：.
（2）由，知.
（i）當時，，
，故在上無零點．
（ii）當時，，．
故當時，即時，，是的零點；
當時，即時，，不是的零點.
（iii）當時，．
故在的零點就是在的零點，
，．
①當時，，故時，，在是減函數(shù)，
結合，可知，在有一個零點，
故在上有1個零點.
②當時，，故時，，在是增函數(shù)，
結合可知，在無零點，
故在上無零點．
③當時，，使得時，，在是增函數(shù)；
時，，在是減函數(shù)；
由知，．
當，即時，在上無零點，
故在上無零點．
當，即時，在上有1個零點，
故在上有1個零點.
綜上所述，時，有2個零點；
時，有1個零點；
時，無零點.
【變式5-1】（2024·四川南充·三模）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當時，求函數(shù)的極值；
(2)用表示，中的最大值，記函數(shù)，當時，討論函數(shù)在上的零點個數(shù).
【解析】（1）當時，，，
由得：或；由得：
列表：
∴；；
（2）由知：
（i）當時，
，故在上無零點.
（ii）當時，，知：當時，，，
是的零點；
當時，，，不是的零點；
（iii）當時，，故在的零點就是在的零點.
由得：，
設，則，
在上單調遞增，
又∵，，
∴當時，即在上無零點；
當時，即在上有1個零點；
當時，即在上無零點；
綜上所述：時，有2個零點；
或時，有1個零點；
時，無零點.
【變式5-2】（2024·江西九江·二模）已知函數(shù)，．
(1)若直線與曲線相切，求a的值；
(2)用表示m，n中的最小值，討論函數(shù)的零點個數(shù)．
【解析】（1）設切點為，∵，∴
∴（*）
消去a整理，得，∴
∴
（2）①當時，，，∴在上無零點
②當時，，．
若，，此時，是的一個零點，
若，，此時，不是的零點
③當時，，此時的零點即為的零點．
令，得，令，則，
當時，；當時，，∴在上單調遞減，在上單調遞增，且當時，
（i）若，即時，在上無零點，即在上無零點
（ii）若，即時，在上有一個零點，即在上有一個零點
（iii）若，即時，在上有兩個零點，即在上有兩個零點
（iv）若，即時，在上有一個零點，即在上有一個零點
綜上所述，當或時，在上有唯一零點；
當或時，在上有兩個零點；
當時，在上有三個零點
題型六：同構法妙解零點問題
【典例6-1】已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內存在零點，求實數(shù)的取值范圍
【解析】解：方法一：由可得，
設，，，則，令，在單調遞減，在單調遞增，
故（1）．
①當時，令，當時，單調遞減，當時，單調遞增，
（1），此時在區(qū)間內無零點；
②當時，（1），此時在區(qū)間內有零點；
③當時，令，解得或1或，且，
此時在單減，，單增，單減，，單增，
當或時，，此時在區(qū)間內有兩個零點；
綜合①②③知在區(qū)間內有零點．
方法二：由題意可得
，即，
因為當時等號成立，
所以，即，
，令，，
易知在單減，在上單增，所以（1），
又趨近于0和正無窮時，趨近于正無窮，
所以．
【典例6-2】已知．
（1）若函數(shù)在上有1個零點，求實數(shù)的取值范圍．
（2）若關于的方程有兩個不同的實數(shù)解，求的取值范圍．
【解析】解：（1），，，
所以，
當時，，所以在，單調遞增，
又因為，所以在，上無零點；
當時，，使得，
所以在，單調遞減，在單調遞增，
又因為，，
所以若，即時，在，上無零點，
若，即時，在，上有一個零點，
當時，，在，上單調遞減，在，上無零點，
綜上當時，在，上有一個零點；
（2）由，
即，即，
則有，
令，，則，
，所以函數(shù)在上遞增，
所以，則有，即，，
因為關于的方程有兩個不同的實數(shù)解，
則方程，有兩個不同的實數(shù)解，
令，則，
當時，，當時，，
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，
所以（1），
當時，，當時，，
所以．
【變式6-1】已知函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)的極值；
（2）若函數(shù)有且僅有兩個零點，求的取值范圍．
【解析】（1）當時，，，，
顯然在單調遞增，且，
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．
在處取得極小值，無極大值．
（2）函數(shù)有兩個零點，即有兩個解，即有兩個解，
設，則，單調遞增，
有兩個解，即有兩個解．
令，則，
當時，，單調遞增；當時，，單調遞減．
，，當時，
．
【變式6-2】（2024·上海嘉定·一模）已知．
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；
(2)請嚴格證明曲線有唯一交點；
(3)對于常數(shù)，若直線和曲線共有三個不同交點，其中，求證：成等比數(shù)列．
【解析】（1）由題意可知：的定義域為，的定義域為，
，
當時，得，此時函數(shù)單調遞增，
當時，得，此時函數(shù)單調遞減，
因此函數(shù)極大值為，
單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；
當時，得，此時函數(shù)單調遞增，
當時，得，此時函數(shù)單調遞減，
因此函數(shù)極大值為，
單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，
所以函數(shù)極大值為，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；
函數(shù)極大值為，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.
（2）設，
設，
設，
當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
所以，
設，
當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
所以，
因此有，當時取等號，
于是有，
因此單調遞減，而，
根據(jù)函數(shù)零點存在原理，當時，函數(shù)在內有唯一零點，
因此有唯一實根，因此曲線有唯一交點.
（3）由（1）可知兩個函數(shù)的最大值均為，
且函數(shù)單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；
函數(shù)單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，
由（2）可知曲線有唯一交點，且交點在內，
因為直線和曲線共有三個不同交點，其中，
因此兩條曲線必過兩個曲線的交點，
所以有，
因此有，
因為，，在上單調遞增，
所以有，
同理，，而函數(shù)在單調遞減，
所以有，而，所以，
因此成等比數(shù)列.
【變式6-3】（2024·四川·三模）已知函數(shù)和函數(shù)，且有最大值為．
(1)求實數(shù)a的值；
(2)直線y＝m與兩曲線和恰好有三個不同的交點，其橫坐標分別為，，，且，證明：．
【解析】（1）的定義域為R，且，，
當時，，遞增；當時，，遞減；
所以，
所以，解得，又，所以a＝1.
（2）證明：由（1）可知：在遞增，在遞減，
又，所以在遞增，在遞減，
和的圖象如圖所示：
設和的圖象交于點A，則當直線y＝m經(jīng)過點A時，
直線y＝m與兩條曲線和共有三個不同的交點，
則，且，，，
因為，所以，即，
因為，，且在遞增，所以，
所以，
因為，所以，即，
因為，，且在遞減，
所以，所以，
所以，即．
【變式6-4】（2024·河北邯鄲·二模）已知函數(shù)．
(1)是否存在實數(shù)，使得和在上的單調區(qū)間相同？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．
(2)已知是的零點，是的零點．
①證明：，
②證明：．
【解析】（1）由題意得，
當時，，所以和在上都單調遞增，符合題意；
當時，若和在上的單調區(qū)間相同，
則和有相同的極值點，即，
令，則，
當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，則，
所以無解，
綜上，當時，和在上的單調區(qū)間相同；
（2）①由題意，有兩個零點，，
若，則，所以在上單調遞增，不符合題意，
若，則當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
且當時，，當時，，
所以，解得，得證；
②令，得，即，
令，則，
當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
在同一坐標平面內作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，
它們有公共點，如圖，
故，且有，
由，得，即，又，所以，
由，得，即，又，所以，
由，得，即，
故.
題型七：零點差問題
【典例7-1】（2024·重慶·模擬預測）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法．具體做法如下：如圖，設r是的根，首先選取作為r的初始近似值，若在點處的切線與軸相交于點，稱是r的一次近似值；用替代重復上面的過程，得到，稱是r的二次近似值；一直重復，可得到一列數(shù)：．在一定精確度下，用四舍五入法取值，當近似值相等時，該值即作為函數(shù)的一個零點．
(1)若，當時，求方程的二次近似值（保留到小數(shù)點后兩位）；
(2)牛頓法中蘊含了“以直代曲”的數(shù)學思想，直線常常取為曲線的切線或割線，求函數(shù)在點處的切線，并證明：；
(3)若，若關于的方程的兩個根分別為，證明：．
【解析】（1），
當時，，在點處的切線方程為，與軸的交點橫坐標為，
所以，，在點處的切線方程為，與軸的交點為，
所以方程的二次近似值為．
（2）由題可知，，，，
所以在處的切線為，即；
設，
則，顯然單調遞減，令，解得，
所以當時，，則在單調遞增，
當時，，則在單調遞減，
所以，
所以，即．
（3）由，得，
當時，；當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以是的極大值點，也是的最大值點，即，
又時，，時，，
所以當方程有兩個根時，必滿足；
曲線過點和點的割線方程為，
下面證明，
設，
則，
所以當時，；當時，，
所以在上單調遞增，；
在上單調遞減，，
所以當時，，即（當且僅當或時取等號），
由于，所以，解得；①
下面證明當時，，
設，因為，
所以當時，（當且僅當時取等號），
由于所以，解得，②
①②，得．
【典例7-2】（2024·河南·模擬預測）已知，函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.
(1)求a，b的值;
(2)若方程（e為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個實數(shù)根，且，證明：
【解析】（1）因為，所以，
由題意知，所以，
聯(lián)立方程組，解得.
（2）由（1）可知，，
，設，
，
所以即在上單調遞增.
又，所以存在，使得，
且時，，時，，
故在上單調遞減，在上單調遞增，
設，令，
則，
因為在上單調遞增，
所以在上單調遞增.
又，所以當時， ，當時，.
所以在上單調遞減，在上單調遞增.
故，即，當且僅當時，等號成立.
因為方程有兩個實數(shù)根，且，
也就是，且注意到在上單調遞增，
所以，
所以，即 .
設 的根為：，則 ，
又在上單調遞增，所以 ，
故①.
易知的圖象在坐標原點處的切線方程為，
令，
則 ，
因為在上單調遞增，
所以在上單調遞增.
又 ，
所以當時， ，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增.
所以，，當且僅當時，等號成立.
因為，所以，即.
設的根為，則，
又在上單調遞減，
所以，所以，
從而②.
由①②可知：.
【變式7-1】（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù)．
【變式7-2】（2024·重慶·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)求證：；
(2)若是的兩個相異零點，求證：．
【解析】（1）令，則．
令，得；令，得．
所以在上單調遞減，在上單調遞增．
所以，所以．
（2）易知函數(shù)的定義域是．
由，可得．
令得；令得．
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以．
①當，即時，至多有1個零點，故不滿足題意．
②當，即時，．
因為在上單調遞增，且．所以，
所以在上有且只有1個零點，不妨記為，且．
由（1）知，所以．
因為在上單調遞減，，
所以在上有且只有1個零點，記為，且．
所以，所以．
同理，若記
則有，
綜上所述，．
【變式7-3】（2024·河南信陽·三模）已知函數(shù)
(1)若恒成立，求a的值；
(2)若有兩個不同的零點，且，求a的取值范圍.
【解析】（1），
①當時，，不符合題意.
②當時，令，解得，
當時，，在區(qū)間上單調遞減，
當時，，在區(qū)間上單調遞增，
所以當時，取得最小值；
若恒成立，則，
設，則，
當時，在區(qū)間上單調遞增，
當時，在區(qū)間上單調遞減，
所以，即的解為.
所以.
（2）當時，，在區(qū)間上單調遞增，
所以至多有一個零點，不符合題意；
當時，因為，不妨設，
若，則，不符合題意；
若，則，
由（2）可知，只需，即，解得，
即a的取值范圍為.
【變式7-4】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，.
(1)討論的單調性；
(2)設，若存在兩個不同的零點，，且.
（i）證明：；
（ii）證明：.
【解析】（1）由題的定義域為，，
①若，則，當時，；當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增.
②若，令，得，.
當時，，
當或時，；當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減；
當時，，
當或時，；當時，，
所以在，上單調遞增，在上單調遞減；
當時，，當且僅當時等號成立，
所以在上單調遞增.
（2）（i）由題意知，
所以，
當時，；當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
則，
因為函數(shù)存在兩個不同的零點，故，即.
（ii）下面找出兩個點，，使得，,
注意到，且，于是考慮找點，，
下面我們證明：，，
①，設，下證，
方法1：設，則，故，
所以在上單調遞增，得，
所以在上單調遞增，
故，即，
因此，
設，則，
所以在上單調遞增，所以，
因此，又，故，即，
又，所以.
方法2：易知，設，則，
所以在上單調遞增，得，
所以在上單調遞增，故，
又，從而，即，
又，所以.
②，
設，則，
易知在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，即，
又，即，
所以，且，
因此，
又，所以，即，
于是.
題型八：分離參數(shù)轉化為兩圖像交點解決零點問題
【典例8-1】（2024·天津·模擬預測）已知函數(shù)
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)求證：；
(3)函數(shù)有且只有兩個零點，求a的取值范圍．
【解析】（1）因為，
所以曲線在處的切線斜率為，
又，所以切線方程為.
（2）記，則，
當時，，函數(shù)在上單調遞減；
當時，，函數(shù)在上單調遞增.
所以當時，取得最小值，
所以，即.
（3），
由題知，有且只有兩個不相等實數(shù)根，
即有且只有兩個不相等實數(shù)根，
令，則，
當時，，在上單調遞增；
當時，，在上單調遞減.
當趨近于時，趨近于，當趨近于時，趨近于，
又，所以可得的圖象如圖：
由圖可知，當時，函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，
所以，a的取值范圍為.
【典例8-2】（2024·廣東廣州·二模）已知函數(shù)．
討論的零點個數(shù)；
【解析】因為，
當時，，此時有一個零點；
當時，，所以不是函數(shù)的零點，
令，
故只需討論與的交點個數(shù)即可，
，
因為，
所以在和上單調遞減，在上單調遞增，
，且時，，且時，，
所以的大致圖象如圖所示：
故當與有一個交點，
當時，與有2個交點；
綜上，時，函數(shù)有1個零點，當時，函數(shù)有2個零點．
【變式8-1】（2024·浙江·模擬預測）已知函數(shù).
(1)當時，求的單調區(qū)間；
(2)當時，判斷的零點個數(shù).
【解析】（1）當時，，所以，
當時，，所以，則，
所以，在上單調遞減.
當時，記，則，
因為，所以，在單調遞增，
所以，即，所以在上單調遞增.
綜上，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）當時，，則，
記，則，
當時，，所以，在單調遞增，
所以，在上單調遞增，
所以，在上無零點.
當時，因為，
所以，此時無零點.
當時，記，則，
因為當趨近于0時，趨近于0，所以的變化越來越慢，圖象下凹，
當時，，當時，，
作出函數(shù)和的圖象如圖，
由圖可知，當時，兩個函數(shù)圖象有一個交點，即有一個零點.
易知是的一個零點.
綜上，函數(shù)共有2個零點.
【變式8-2】已知函數(shù)．
(1)若，求曲線在點處的切線方程；
(2)若恰有三個零點，求a的取值范圍．
【解析】（1）當時，函數(shù)，可得，
所以，且，
所以曲線在點處的切線方程為，即.
（2）因為，
可得是的一個零點，
因為恰有三個零點，所以方程有兩個不為2實數(shù)根，
即方程有兩個不為2實數(shù)根，
令，所以，
令，可得，令，可得，
所以在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，
所以，當時，函數(shù)取得極大值，也是最大值，
且當時，，
所以，當時，的值域為；當時，的值域為，
所以，且，所以且．
所以a的取值范圍是．
【變式8-3】（2024·湖北·模擬預測）函數(shù)．
(1)當時，證明：；
(2)討論函數(shù)的零點個數(shù)．
【解析】（1）當時，，所以，令得．
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增．
從而，不等式得證．
（2）令，則，．
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減．
又，當時，；當時，．
從而當時，無零點；當或時，有一個零點；
當時，有兩個零點．
【變式8-4】（2024·廣西河池·模擬預測）已知函數(shù)，定義域為.
(1)討論的單調性；
(2)求當函數(shù)有且只有一個零點時，的取值范圍.
【解析】（1）因為，
（?。┊敚磿r，則在內恒成立，
可知在內單調遞增；
（ⅱ）當，即或時，可知有兩個不相等的根，
不妨令，可知，
①若，因為，可知，
令，解得；令，解得；
可知在內單調遞減，在內單調遞增；
②若，因為，可知，
令，解得或；令，解得；
可知在內單調遞減，在內單調遞增；
綜上所述：當時，在內單調遞增；
當時，在內單調遞減，在內單調遞增；
當時，在內單調遞減，在內單調遞增.
（2）若，可知在內無零點，不合題意，可知
令，整理得，
構建，
原題意等價于與的圖象有且僅有一個交點，
因為，
構建，則，
令，解得；令，解得；
可知在內單調遞增，在內單調遞減，
則，即在內恒成立，
可知在內單調遞減，
且當趨近于0時，趨近于；當趨近于時，趨近于0且；
的大致圖象如圖所示，
可得，即，所以的取值范圍為.
題型九：零點問題之取點技巧
【典例9-1】（2024·陜西商洛·模擬預測）已知函數(shù)，．
(1)討論的單調性；
(2)當時，證明：函數(shù)有兩個不同的零點．
【解析】（1）由，得．
當時，，函數(shù)單調遞增．
當時，，
所以當時，，函數(shù)單調遞增；
當時，，函數(shù)單調遞減．
綜上，當時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增；
當時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減．
（2）證明：由得，
所以，
因為，所以，
所以當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以當時，，
因為，所以，下面證明在區(qū)間上與上分別存在一個零點，
因為，
所以在區(qū)間上存在唯一零點，且．
因為，
當時，，
所以，
所以，
所以在區(qū)間上存在唯一零點，且，
所以當時，函數(shù)有兩個不同的零點．
【典例9-2】（2024·浙江杭州·二模）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)若函數(shù)有兩個極值點，
（?。┣髮崝?shù)的取值范圍；
（ⅱ）證明：函數(shù)有且只有一個零點．
【解析】（1）函數(shù)的定義域為，
且，
當時，恒成立，所以在單調遞減；
當時，令，即，解得，，
因為，所以，則，
所以當時，
當時，
當時，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
在上單調遞減；
當時，此時，
所以時，當時，
所以在上單調遞增，在上單調遞減．
綜上可得：當時在單調遞減；
當時在上單調遞減，
在上單調遞增，在上單調遞減；
當時在上單調遞增，在上單調遞減．
（2）（?。┯桑?）可知．
（ⅱ）由（1）在上單調遞減，
在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在處取得極大值，在處取得極小值，
又，所以，則，
又，
又，
所以在上沒有零點，
又，則，則，，
則，
所以，所以在上存在一個零點，
綜上可得函數(shù)有且只有一個零點．
【變式9-1】（2024·陜西銅川·三模）已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若函數(shù)存在零點，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）當時，，所以.
這得到，，所以所求切線是經(jīng)過且斜率為的直線.
故所求切線方程為，即.
（2）設，則，所以當時，當時.
從而在上遞增，在上遞減，故，這得到.
若，則，從而取值恒為負，故沒有零點，不滿足條件；
若，則有，
及.
從而由零點存在定理可知存在零點，滿足條件.
綜上，的取值范圍是.
【變式9-2】（2024·廣東廣州·模擬預測）已知函數(shù).
(1)當時，求函數(shù)的極值；
(2)若函數(shù)在上僅有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）當時，R），所以，
令，則，
所以，
所以的極小值為，無極大值.
（2）函數(shù)在上僅有兩個零點，
令，則問題等價于在上僅有兩個零點，
易知，因為，所以.
①當時，在上恒成立，所以在上單調遞增，
所以，所以在上沒有零點，不符合題意；
②當時，令，得，
所以在上，，在上，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以的最小值為.
因為在上有兩個零點，所以，所以.
因為，
令，則，
所以在上，，在上，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，所以，
所以當時，在和內各有一個零點，
即當時，在上僅有兩個零點.
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
題型十：零點與切線問題的綜合應用
【典例10-1】（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù).
(1)判斷的零點個數(shù)；
(2)求曲線與曲線公切線的條數(shù).
【解析】（1）由函數(shù)，可得其定義域為，且，
令，得；令，得，
可知在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，故的零點個數(shù)為.
（2）因為，所以，
所以曲線在點處的切線方程為：
，即，
曲線在點處的切線方程為：，
即，
令，可得，
消去，整理得，
令，可得，等價于，
設，則，所以在上單調遞增，
又因為，所以在上有唯一的零點，
由，得，所以曲線與曲線有且僅有一條公切線.
【典例10-2】（2024·江西·模擬預測）已知函數(shù)，
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)若，證明：對任意，存在唯一實數(shù)，使得
【解析】（1）因為，
可得，
①當時，，令，則；令，則．
即的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；
②當時，，則的單調遞增區(qū)間為；
③當時，則，令，則或；令，則．
即的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為；
④當時，則，令，則或；
令，則，即的遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為，
綜上可知，當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；
當時，的單調遞增區(qū)間為；
當時，的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為；
當時，的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為；
（2）令，
因為，則在上單調遞減，
其中，，
即，
令，可得，
則在上單調遞增；在上單調遞減，則，
因為，則，即，
又因為，所以，
同理可得，
由（時等號成立）得，，即，（時等號成立），
又因為，所以恒成立，
因為，所以，
由零點存在性定理可得，
對任意，存在唯一實數(shù)，使得成立．
【變式10-1】（2024·四川遂寧·模擬預測）已知函數(shù)，，直線為曲線與的一條公切線.
(1)求；
(2)若直線與曲線，直線，曲線分別交于三點，其中，且成等差數(shù)列，證明：滿足條件的有且只有一個.
【解析】（1）設與相切于點，而，
則，即，，則切點為，，即；
設與相切于點，而，
，即，則切點為，，，
所以，.
（2）依題意，，則，，，
由成等差數(shù)列，得，即，，
令，求導得，
令，求導得，顯然函數(shù)在上單調遞增，
，， 則，使得，即，
當時，；當時，，在上遞減，在上遞增，
，
由，得，則，即，函數(shù)在上單調遞增，
，，因此在上存在唯一零點，
所以滿足條件的有且只有一個.
【變式10-2】（2024·四川瀘州·三模）設函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；
(2)若總存在兩條直線和曲線與都相切，求的取值范圍.
【解析】（1），，
令，得，令，得，
所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；
（2）∵
∴在處的切線方程為，
∵，
∴在點處的切線方程為，
由題意得，則，
令，則，
令，則，
當時，，當時，，
所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，
即函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，
又，且當時，，
所以時，，單調遞減；當時，，單調遞增，
所以，
若總存在兩條直線和曲線與都相切，
則曲線與軸有兩個不同的交點，
則，所以，
此時，而，
故，
所以的取值范圍為.
【變式10-3】（2024·貴州貴陽·模擬預測）已知函數(shù).
(1)若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)已知，，（其中且，，成等比數(shù)列）是曲線上三個不同的點，判斷直線AC與曲線在點B處的切線能否平行？請說明理由.
【解析】（1）令，由題設知方程有兩個實數(shù)根，
因為,由，得，
所以，
當及時，，且，
當時，且時，
所以當時，與有兩個不同的交點，
即有兩個不同的零點.
（2）因為且，，成等比數(shù)列，設公比為，
則，，
直線AC的斜率，
函數(shù)在點B處的切線斜率，
假設直線AC與函數(shù)在點B處的切線平行，則，整理成，
令，，則 ，
所以在單調遞增，所以，
所以在時無實數(shù)解，所以直線AC與函數(shù)在點B處的切線不能平行.
1．（2024·福建寧德·三模）已知函數(shù)的圖象在處的切線過點.
(1)求在上的最小值;
(2)判斷在內零點的個數(shù)，并說明理由.
【解析】（1）法一：，
又，所以切線方程為，
又切線過點，
得，所以.
所以，
當時，，所以在上單調遞減，
所以的最小值為.
法二:，
所以切線方程為，
因此切點為，
得，所以，
所以，
當時，，所以在上單調遞減，
所以的最小值為；
（2）法一：判斷在內零點的個數(shù)，等價于判斷方程根的個數(shù)，
等價于判斷方程根的個數(shù).
令
，令，則，得.
當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減.，
（或）
所以時，方程有2根，
所以在有2個零點.
法二：由（1）得，
令，則在上為減函數(shù)
，
所以在上必有一個零點，使得，
從而當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減..
又，
所以在上必有一個零點，使得.
當時，，即，此時單調遞增;
當時，，即，此時單調遞減..
又因為，
所以在上有一個零點，在上有一個零點，
綜上，在有2個零點.
2．（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)證明：當時，；
(2)求在區(qū)間上的零點個數(shù)．
【解析】（1）設，則．
設，
則，
因為在上單調遞增，所以，
又因為當時，，所以，
所以在上單調遞增，所以，
所以在上單調遞增，所以，
所以當時，．
（2），當時，，所以在上單調遞增，
因為，所以由零點存在定理知在上有且僅有一個零點．
當時，令，則，
當時，有，所以在上單調遞減，
又因為，所以存在使得，
當時，，所以在上單調遞增，
所以當時，故在上無零點，
當時，，所以在上單調遞減，
又，所以在上有且僅有一個零點．
綜上所述：在上有且只有2個零點．
3．（2024·浙江杭州·模擬預測）已知函數(shù).
(1)當時，證明：；
(2)當時，，求的最大值；
(3)若在區(qū)間存在零點，求的取值范圍.
【解析】（1）定義域為，
當時，，，
由于，
令，
當且僅當，即時，等號成立，
又，故；
（2）當時，，
，
設，則，
令，
，
故在上單調遞增，
又，故當時，，即，
即，故，所以，
則在恒成立，
當時，同理可得，則在上恒成立，
故在上單調遞減，在上單調遞增，
故在處取得極小值，也是最小值，，
故，所以的最大值為；
（3），令，
當時，，由于恒成立，故無解，舍去；
當時，，
令，，
，
下面證明,，
令，，則，，其中，
令，，則，，其中，
令，，則，，
當時，，故在上單調遞增，
故，故在上單調遞增，
故，故在上單調遞增，
故，即,，
則，，
則，
，
由于，而，故，
則，故在上單調遞增，
又趨向于0時，趨向于2，故，
故令，解得，此時有解，故存在零點，
故的取值范圍是.
4．（2024·安徽·三模）已知函數(shù).
(1)若，求在處的切線方程；
(2)若函數(shù)有2個零點，試比較與的大小關系.
【解析】（1）當，所以，
又，所以切線方程為，即.
（2）函數(shù)有2個零點等價于方程有兩個根，
即有兩個根，
令，則，令，
當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，
當時，，
當時，，
所以要使得有兩個根，則，即，
所以.
5．（2024·陜西商洛·三模）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；
(2)當時，若函數(shù)和的圖象在上有交點，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）函數(shù)的定義域為，．
令，得
①當時，，在上單調遞減；
②當時，列表如下：
所以在上遞增，在上遞減；
③當時，列表如下
所以在上遞增，在上遞.
綜上，當時，在上遞減；當時，在上遞增，在上遞減；當時，在上遞增，在上遞減.
（2）當時，設
函數(shù)和的圖象在有交點，
等價于函數(shù)和的圖象在上有交點，
即函數(shù)和的圖象在上有交點，
等價于的圖象在有零點，
的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是．
，由（1）知
當時，在為增函數(shù)，在上有零點，則
或，；
當時，在遞增，在遞減，
，
即，
綜合得：實數(shù)的取值范圍為.
6．（2024·湖北黃石·三模）已知函數(shù)有兩個零點，.
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)如果，求此時的取值范圍.
【解析】（1）令，即，
令，則，
當時，當時，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
又，且時，當時，
又與有兩個交點，所以.
（2）由（1）可得，，
又，
所以，即，
令，，則，
所以，，
記，，則，
令，，則，
所以在上，即單調遞減，
由于，
所以當時，，所以，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，
故，即，
而，在區(qū)間上單調遞增，
故且，
即．
7．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)討論的零點個數(shù)；
(2)若有兩個零點，證明：兩個零點之和大于4．
【解析】（1）由題可得，函數(shù)的定義域為．
由得．
令，則．
令，解得，令，解得，
在上單調遞減，在上單調遞增．
當時，取得極小值，也是最小值，最小值為．
設，
所以，
所以當時，，在上單調遞增，
當時，，在上單調遞減，
所以，
所以，
所以，
當時，，，
當時，，所以，
所以作出的大致圖象，如圖．
由圖可知，當時，直線與函數(shù)的圖象無交點，
函數(shù)的零點個數(shù)為0；
當時，直線與函數(shù)的圖象有1個交點，
函數(shù)的零點個數(shù)為1；
當時，直線與函數(shù)的圖象有2個交點，
函數(shù)的零點個數(shù)為2．
（2）設的兩個零點分別為，
由（1）知，
不妨令，則，且．
要證明兩個零點之和大于4，即，只需證，
又，且在上單調遞增，
故只需證，即．
令，
則
，， ，
在上恒成立，
在上單調遞減，
當時，，
即成立，
，得證.
8．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，．
(1)當時，求的最小值；
(2)討論函數(shù)和的圖象在上的交點個數(shù)．
【解析】（1）當時，，．
令，則，當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，則當時，取得最小值，，
所以當時，取得最小值1.
（2）由，得，兩邊同時取自然對數(shù)得，顯然，則，
于是函數(shù)和的圖象在上的交點個數(shù)，即方程的解的個數(shù)，
令，求導得，令，得，
當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，
因此是的極大值點，，
當時，單調遞增，函數(shù)的取值集合為，
當時，直線與函數(shù)的圖象僅只一個公共點，方程有一個解，
當時，恒成立，在上遞增，函數(shù)值集合為，在上遞減，函數(shù)值集合為，
因此當，即時，直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，方程有兩個解，
當，即時，直線與函數(shù)的圖象僅只一個公共點，方程有一個解，
當，即時，直線與函數(shù)的圖象無公共點，方程沒有實數(shù)解，
綜上，當或時，函數(shù)和的圖象在上的交點個數(shù)是1；
當時，函數(shù)和的圖象在上的交點個數(shù)是0；
當時，函數(shù)和的圖象在上的交點個數(shù)是2.
9．（2024·全國·模擬預測）當時，總有不等式成立．
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)設方程，試確定該方程實根的個數(shù)，并證明你的結論．
【解析】（1）設，則．
當時，令，得；
令，得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
由題意得，
設，則，
令，得；令，得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，所以．
綜上，，所以；
當時，恒成立，
所以在上單調遞減，且，
當時，，不符合題意，所以舍去．
綜上所述，實數(shù)．
（2）由題意得，，
令．
因為，所以是方程的一個實根．
又，
①當時，，
所以，所以在上單調遞減，，
即在上無實根；
②當時，令，
則，所以在上單調遞增，
又，
所以在上有唯一實數(shù)根，且滿足，
當時，在上單調遞減，
此時，方程在上無實根；
當時，在上單調遞增，
因為，可得，
此時
，
，
故方程在上有唯一實根；
③當時，由（1）知，在上單調遞增，
所以，
故，
即方程在上無實根．
綜上所述，方程有且僅有兩個實根．
10．（2024·青海海南·一模）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在上單調遞增，求的取值范圍；
(2)若函數(shù)的兩個零點分別是且，證明：．
【解析】（1）由題意，
設，則，顯然當時，，在上是增函數(shù)，即在上是增函數(shù)，
由得，當時，，在遞減，時，，在遞增，
要使函數(shù)在上單調遞增，則，所以；
（2）由（1）知，
設，
當時，在單調遞增，
當時，在單調遞減，故
故恒成立，
即時，恒成立，
所以有兩個零點分別是且，，
由恒成立，可得，故，
，
，
又，
，
所以，
故，
因此，得證
11．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)若，討論曲線與曲線的交點個數(shù)．
【解析】（1）依題意，，故，
而，故所求切線方程為，即．
（2）令，故，
令，
，令，
．
①當時，，
在上為減函數(shù)，即在上為減函數(shù)，
又，
在上有唯一的零點，設為，即．
在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．
又
，
在上有且只有一個零點，在上無零點；
②當時，單調遞減，
又，
在內恰有一零點；
③當時，為增函數(shù)，
，
單調遞增，又，所以存在唯一，
當時，遞減；當時，遞增，，
在內無零點．綜上所述，曲線與曲線的交點個數(shù)為2．
12．已知函數(shù)．
(1)若恰有兩個零點，求a的取值范圍；
(2)若的兩個零點分別為（），求證：．
【解析】（1）令，其定義域為，
則，
令，則，
當時，，所以在上單調遞減；
當時，，所以在上單調遞增；
因為當時，，當時，，
且，
又恰有兩個零點，即有兩個根，
故函數(shù)與有兩個交點，
所以，故a的取值范圍為.
（2）因為的兩個零點分別為（），
所以，，
所以，，故，
所以，
所以要證成立，只需證明，
即證，即證，
令，即證明，
令，又，
，
由于，令，
所以，
而，其對稱軸為，
所以在上單調遞增，
所以，
于是在上恒成立，
因此在上單調遞增，
所以，
所以原命題得證.
13．（2024·江西贛州·一模）已知函數(shù).
(1)求的單調區(qū)間，
(2)已如.若函數(shù)有唯一的零點.證明，.
【解析】（1），令，
當時，即為增函數(shù)，
又
當時，單調遞減；
當時，單調遞增.
的減區(qū)間為，增區(qū)間為
（2）
由（1）可知在單調遞增，且，
又
存在唯一的使得
當時單調遞減；當時單調遞增；
若方程有唯一的實數(shù)，則
消去可得，
令，
則，在上為減函數(shù)
且
當時，即
14．（2024·廣西·模擬預測）已知函數(shù)有三個零點，.
(1)求的取值范圍；
(2)記三個零點為，且，證明：.
【解析】（1）函數(shù)的定義域為，
，令，解得：或1，
且時，，，，，，
所以在上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增，
當時，函數(shù)取極大值，當時，函數(shù)取極小值，
又，，
因為函數(shù)有三個零點，且，，
所以，
解得，即的取值范圍為.
（2）由（1）可知，
設，，，
所以函數(shù)單調遞增，所以，所以，
即，所以，即，
設，，
所以函數(shù)單調遞增，
所以即，
即，
所以，，
又，所以.
15．（2024·四川南充·一模）設函數(shù)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，函數(shù)與函數(shù)的圖象關于直線對稱.
(1)設函數(shù)，若時，恒成立，求的取值范圍；
(2)證明：與有且僅有兩條公切線，且圖象上兩切點橫坐標互為相反數(shù).
【解析】（1）由已知，
時，恒成立，
即恒成立，整理得
，
令
令，得，此時單調遞增，
令，得，此時單調遞減，
，
，
得；
（2）函數(shù)與函數(shù)的圖象關于直線對稱，
，
假設與有公切線，明顯斜率存在，
設公切線的方程為，與的切點為，與的切點為
又，
，消去得，
當時，明顯不成立，
整理可得
對于函數(shù)，有，其為奇函數(shù)，
且函數(shù)也為奇函數(shù)，
故方程若有根，其根必為成對的相反數(shù)，
下面研究方程的根的情況，即函數(shù)的零點情況，
可得，令，
則，
當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，
，
又時，，時，，
，使，得，
當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，
，
又，
由零點存在定理得函數(shù)在區(qū)間和各有一個零點，
即函數(shù)有兩個零點，即方程有兩個根，
綜上所述與有且僅有兩條公切線，且圖象上兩切點橫坐標互為相反數(shù).
16．（2024·廣東·二模）已知.
(1)求的單調區(qū)間；
(2)函數(shù)的圖象上是否存在兩點（其中），使得直線與函數(shù)的圖象在處的切線平行？若存在，請求出直線；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）由題可得
因為，所以，
所以當時，，在上單調遞減，
當時，，在上單調遞增.
綜上，在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）由題意得，斜率
，
,
由得，
，即，即
令，不妨設，則，
記
所以，所以在上是增函數(shù)，所以，
所以方程無解，則滿足條件的兩點不存在.
17．（2024·河南·模擬預測）已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為.
(1)求的解析式；
(2)若過點可作圖象的三條切線，證明：.
【解析】（1）因為，，，
所以切線方程為，即.
（2）設切點為，則切線方程為：，
因切線經(jīng)過點，故有，即.
令，依題知有3個零點.
，令得，
①當時，時，，時，，
則在上單調遞減，在上單調遞增，此時至多有兩個零點，不合題意；
②當時，或時，，時，，
則在，上單調遞增，在上單調遞減，
又，，
因，由有3個零點可知：，故得：，即.
18．已知函數(shù) 最小值為
(1)求 ；
(2)若 ，且，過點 可以作曲線 的三條切線． 證明：
【解析】（1）函數(shù)的定義域為.
因為.
由.
若，則在上恒成立，即恒成立，
所以在單調遞增，所以在上無最小值；
若，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，
所以函數(shù)的最小值為：，
由.
（2）設過點的直線與曲線相切，切點為：.
因為：.
所以函數(shù)的切線方程為：，
因為切線過點，所以：.
設，問題轉化為在有三個解.
，
由（因為）.
所以在上遞減，在上遞增，在上遞減.
所以函數(shù)的極小值為：；極大值：.
由，所以（）
由，所以.
只需證當時，（）.
設，則，因為，所以，
所以在上遞減，且，所以.
所以，即.
所以.
19．已知函數(shù).
(1)當時，不用計算器，用切線“以直代曲”，求的近似值（精確到四位小數(shù)）.
(2)討論函數(shù)的零點個數(shù).
【解析】（1）當時，，求導得，則，而，
因此函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，即，
函數(shù)中，當時，，
所以的近似值為.
（2）函數(shù)的定義域為，
求導得，
當時，恒成立，即函數(shù)在上單調遞減，顯然，
當時，，則，，
令函數(shù)，求導得，函數(shù)在上單調遞增，
于是，即，則，從而，
顯然函數(shù)在上單調遞減，取，，
則當時，，
因此函數(shù)在上有唯一零點；
當時，由，得；由，得，
則函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，
①當時，只有一個零點；
②當時，，函數(shù)沒有零點；
③當時，，
，因此在上有一個零點，
設，
則，
令函數(shù)，求導得，函數(shù)在上單調遞增，，
則，因此函數(shù)在上有一個零點，從而有兩個零點，
所以當或時，有一個零點；當時，有兩個零點；當時，沒有零點.
20．（2024·湖北·模擬預測）函數(shù).
(1)求函數(shù)在的值域；
(2)記分別是的導函數(shù)，記表示實數(shù)的最大值，記函數(shù)，討論函數(shù)的零點個數(shù).
【解析】（1）（1），則，當時，單調遞減，當時，單調遞增，.
則在的值域為.
（2）（2）當時，，故，
則在上沒有零點.
當時，，
故若有零點的話，也只能由產生零點.下面討論在上的零點個數(shù).
設，
因為，又在上單調遞減，故
當時，
所以單調遞減，由得：當時，單調遞增
當時，單調遞減
當時，，故，當時，，故在
上必有唯一零點.又
當時，函數(shù)有1個零點
當時，函數(shù)有2個零點
當時，函數(shù)有3個零點
綜上所述：當時，函數(shù)有1個零點；
當時，函數(shù)有2個零點；
當時，函數(shù)有3個零點
21．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）若函數(shù)的極值點恰有個，求實數(shù)的取值范圍；
（2）記若函數(shù)，試討論函數(shù)的零點個數(shù)．
【解析】（1），
當時、，在上單調遞增，
在上無極值點，不符合題意；
當時，令，解得：，
當時，；當時，；
在，上單調遞增，在上單調遞減，
是函數(shù)的個極值點，符合題意；
綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.
（2）由題意知：函數(shù)的定義域為．
當時，，則，在區(qū)間上無零點
當時，，，
當，即時，，不是函數(shù)的一個零點；
當，即時，，是函數(shù)的一個零點．
當時，，只需考慮函數(shù)在區(qū)間上的零點情況，
當時，，
①當時，，則在區(qū)間上單調遞增，
又，
當時，，在區(qū)間上無零點；
當時，，
，
在區(qū)間上有唯一的零點，即在區(qū)間上有唯一的零點．
②當時，令，解得：（舍去），
由得：，由得：，
在上單調遞減，在上單調遞增，
，又，
在區(qū)間上有唯一的零點，即在區(qū)間上有唯一的零點．
綜上所述：當時，函數(shù)的零點個數(shù)為；當時，函數(shù)的零點個數(shù)為；當時，函數(shù)的零點個數(shù)為．
22．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知函數(shù)（），．
(1)若，的導數(shù)分別為，，且，求a的取值范圍；
(2)用表示a，b中的最小值，設，若，判斷的零點個數(shù)．
【解析】（1）
因為（），所以，由得，
因為，所以，
所以問題轉化為時恒成立，即時恒成立，
設（），則，時，單調遞減，時，單調遞增，
所以，
所以，即a的取值范圍是．
（2）因為，設，則，
（ⅰ）若，
時，單調遞增，
時，單調遞減，
所以，
所以時，，，沒有零點，
（ⅱ）若，
由（1）知，
當時，，在上單調遞增，且，所以，
當時，單調遞增，且，，
存在唯一使得，則，，
當時，，，
當時，，在上單調遞減，
且，，
所以存在唯一使得，，
綜上，時沒有零點，時有2個零點．
0
2
0
0
極小值
極大值
0
2
0
0
極大值
極小值
x
0
遞增
極大值
遞減
0
+
0
-
0
+
0
-
極大
極小
極大
0
0
0
0
極大
極小
極大
0
1
+
0

0
+
極大值
極小值
-
0
+
單調遞減
極小值
單調遞增
x
0
單調遞減
極小值
單調遞增
0
極大值
0
極大值

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