重難點(diǎn)突破08 證明不等式問(wèn)題（十三大題型）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過(guò)解題來(lái)提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過(guò)后，總有同學(xué)抱怨沒(méi)考好，糾其原因是考試時(shí)沒(méi)有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問(wèn)題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
重難點(diǎn)突破08 證明不等式問(wèn)題
目錄
利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
（4）對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找基友
（5）凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題
（6）同構(gòu)變形
題型一：直接法
例1．（2023·北京房山·北京市房山區(qū)良鄉(xiāng)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在點(diǎn)處的切線平行于直線，求切點(diǎn)P的坐標(biāo)及此切線方程；
(2)求證：當(dāng)時(shí)，．（其中）
例2．（2023·北京·高二北京二十中校考期中）已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求證：.
例3．已知函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：，．
題型二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造）
例4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)證明：；
(2)討論的單調(diào)性，并證明：當(dāng)時(shí)，．
例5．已知曲線與曲線在公共點(diǎn)處的切線相同，
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；
（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，．
例6．已知函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若直線是函數(shù)圖象的切線，求證：當(dāng)時(shí)，．
變式1．已知函數(shù)．
（1）證明：；
（2）數(shù)列滿足：，．
（?。┳C明：；
（ⅱ）證明：，．
變式2．討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，．
題型三：分析法
例7．已知函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．
（1）求；
（2）設(shè)函數(shù)．證明：．
例8．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)
(1)求在處的切線;
(2)若，證明當(dāng)時(shí)，.
例9．已知，函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；
（Ⅱ）記為函數(shù)在上的零點(diǎn)，證明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
變式3．已知函數(shù)在上有零點(diǎn)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）記是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，證明：．
題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù)
例10．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，證明：任意的，都有恒成立.
例11．（2023·河南開(kāi)封·?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，．
(1)若函數(shù)在上存在最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，求證：．
例12．已知函數(shù)．
（Ⅰ）若是的極小值點(diǎn)，求的取值范圍；
（Ⅱ）若，為的導(dǎo)函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，．
變式4．已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求證：．
題型五：對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友
例13．已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求在，上最大值及最小值；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證．
例14．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．
（1）求、的值；
（2）當(dāng)且時(shí)．求證：．
例15．已知二次函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都滿足，且（1），令．
（1）求的表達(dá)式；
（2）設(shè)，．證明：對(duì)任意，，，恒有．
變式5．已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，求證：．
變式6．已知函數(shù)．
（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，求證：．
題型六：放縮法
例16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，求證：．
例17．（2023·湖南常德·常德市一中?？级＃┮阎瘮?shù) （，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，求證：.
例18．已知函數(shù)．（其中常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）證明：對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，．
變式7．已知函數(shù)，
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）求證：當(dāng)時(shí)，．
變式8．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）解關(guān)于的不等式
題型七：虛設(shè)零點(diǎn)
例19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意的，．
例20．（2023·重慶萬(wàn)州·重慶市萬(wàn)州第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)若在區(qū)間上有極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)求證：.
例21．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在處取得極小值．
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：．
變式9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，證明：．
變式10．（2023·山東淄博·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，.
題型八：同構(gòu)法
例22．已知函數(shù)，．
（1）討論的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，證明．
例23．已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，求證：在上恒成立；
（3）求證：當(dāng)時(shí)，．
例24．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在處取得極值，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，求證：．
變式11．已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)在處取得極值，不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，證明不等式．
題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理
例25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）證明不等式：．
例26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）證明：
例27．（2023·廣東廣州·高三華南師大附中校考階段練習(xí)）已知正數(shù)數(shù)列滿足，且.（函數(shù)求導(dǎo)次可用表示）
(1)求的通項(xiàng)公式.
(2)求證：對(duì)任意的，，都有.
變式12．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)若，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)已知且，求證：.
變式13．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)．若正實(shí)數(shù)，滿足，，，，證明：．
變式14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給出以下三個(gè)材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作．類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，記作．②若，定義．③若函數(shù)在包含的某個(gè)開(kāi)區(qū)間上具有階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任一有，我們將稱為函數(shù)在點(diǎn)處的階泰勒展開(kāi)式．例如，在點(diǎn)處的階泰勒展開(kāi)式為．
根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：
（1）求出在點(diǎn)處的階泰勒展開(kāi)式，并直接寫出在點(diǎn)處的階泰勒展開(kāi)式；
（2）比較（1）中與的大小．
（3）已知不小于其在點(diǎn)處的階泰勒展開(kāi)式，證明：．
題型十：分段分析法、主元法、估算法
例28．（2023·貴州安順·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，求證：對(duì)，恒成立．
例29．（2023·山東泰安·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)，且時(shí)，．
例30．若定義在上的函數(shù)滿足，，．
（Ⅰ）求函數(shù)解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若、、滿足，則稱比更接近．當(dāng)且時(shí)，試比較和哪個(gè)更接近，并說(shuō)明理由．
變式15．已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意的，，．
題型十一：割線法證明零點(diǎn)差大于某值，切線法證明零點(diǎn)差小于某值
例31．已知函數(shù)
（1）求曲線在原點(diǎn)處的切線方程；
（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，，求證：．
例32．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
（1）求，的值；
（2）證明：；
（3）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明．
例33．設(shè)函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；
（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，設(shè)為，，證明：．
題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問(wèn)題
例34．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)若，求實(shí)數(shù)的值；
(2)已知且，求證：.
例35．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)若在上單調(diào)遞增，求的值；
(2)證明：（且）.
例36．（2023·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)是的導(dǎo)函數(shù)，求的最小值；
(2)證明：對(duì)任意正整數(shù)，都有（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
變式16．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求的極值；
(2)對(duì)任意的，求證：.
變式17．（2023·河北石家莊·高三石家莊二中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若恒成立，求的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：.
題型十三：三角函數(shù)
例37．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．當(dāng)，時(shí)，求證：．
例38．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)討論的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：.
例39．已知函數(shù)在，（1）處的切線為．
（1）求的單調(diào)區(qū)間與最小值；
（2）求證：．

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