一、注意基礎(chǔ)知識的整合、鞏固。進(jìn)一步夯實基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度。
二、查漏補(bǔ)缺，保強(qiáng)攻弱。在二輪復(fù)習(xí)中，針對“一?！笨荚囍械膯栴}要很好的解決，根據(jù)自己的實際情況作出合理的安排。
三、提高運(yùn)算能力，規(guī)范解答過程。在高考中運(yùn)算占很大比例，一定要重視運(yùn)算技巧粗中有細(xì)，提高運(yùn)算準(zhǔn)確性和速度，同時，要規(guī)范解答過程及書寫。
四、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識體系。同學(xué)們在聽課時注意把重點(diǎn)要放到理解老師對問題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們在刷題時做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動作要快要自信。
六、重視和加強(qiáng)選擇題的訓(xùn)練和研究。對于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過程，提高速度。靈活運(yùn)用特值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法等。
重難點(diǎn)專題04函數(shù)中的雙變量問題
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc144404634" 題型1二次函數(shù)中的雙變量問題 PAGEREF _Tc144404634 \h 1
\l "_Tc144404635" 題型2構(gòu)造函數(shù)法 PAGEREF _Tc144404635 \h 9
\l "_Tc144404636" 題型3同構(gòu)法 PAGEREF _Tc144404636 \h 13
\l "_Tc144404637" 題型4換元法（整體法） PAGEREF _Tc144404637 \h 19
\l "_Tc144404638" 題型5選取主元法 PAGEREF _Tc144404638 \h 22
\l "_Tc144404639" 題型6變換主元法 PAGEREF _Tc144404639 \h 25
\l "_Tc144404640" 題型7參變分離 PAGEREF _Tc144404640 \h 30
題型1二次函數(shù)中的雙變量問題
【例題1】（2023·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預(yù)測）二次函數(shù)y=x2?2x+2與y=?x2+ax+ba>0,b>0在它們的一個交點(diǎn)處切線互相垂直，則2ba+4b的最小值為 .
【答案】85+855
【分析】根據(jù)交點(diǎn)處切線垂直得到a+b=52，再利用基本不等式中的乘1法即可得到最值.
【詳解】解：設(shè)該交點(diǎn)為x1,y1，
因為f'x=2x?2，則f'x1=2x1?2，
因為g'x=?2x+a，則g'x1=?2x1+a，
因為兩函數(shù)在交點(diǎn)處切線互相垂直，
所以2x1?2??2x1+a=?1，y1=x12?2x1+2=?x12+ax1+b，
分別化簡得?2x12+2x1+ax1=a?12，2x12?2x1?ax1=b?2，
上述兩式相加得a+b=52，又2ba+4b=5?2aa+4b=5a+4b?2，
其中5a+4b=25?a+b5a+4b=25?5+4+5ba+4ab≥185+855，
當(dāng)且僅當(dāng)5ba=4ab，且a+b=52即a=25?1052b=55?10時取等號.
故所求最小值為85+855，
故答案為：85+855.
【點(diǎn)睛】切線問題是導(dǎo)數(shù)中常遇到的問題，本題設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)交點(diǎn)處切線垂直得到等式，再轉(zhuǎn)化為基本不等式中的最值問題.
【變式1-1】1. （2022秋·江蘇宿遷·高三校考開學(xué)考試）已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a≠0)，滿足f(x+1)為偶函數(shù)，且方程f(x)=x有兩個相等的實數(shù)根，若存在區(qū)間[m,n]使得f(x)的值域為[3m,3n]，則m+n= ．
【答案】-4
【分析】由f(x+1)為偶函數(shù)可以得到函數(shù)f(x)=ax2+bx(a≠0)的對稱軸為x=1，可以結(jié)合題意得到f(x)在[m,n]上單調(diào)遞增，利用fm=3mfn=3n構(gòu)造二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系即可.
【詳解】∵f(x+1)為偶函數(shù) ∴f(x)的對稱軸是x=1 ∴?b2a=1
又f(x)=x有兩個相等的實數(shù)根，即ax2+（b?1)x=0，得b=1,a=?12
∴f(x)=?12x2+x，
∴f(x)max=12，
∴3n≤12,n≤16
∵f(x)在[m,n]上單調(diào)遞增，
∴fm=3mfn=3n ，
∴m,n為方程f(x)=3x的兩根
?12x2?2x=0，
∴m+n=??2?12=?4
故答案為：-4
【變式1-1】2. （2023·河北·高三考試）已知二次函數(shù)fx=ax2+bx a,b∈R，滿足f1?x=f1+x，且在區(qū)間[?1，0]上的最大值為3，若函數(shù)gx=fx?mx有唯一零點(diǎn)，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．[?2，0]B．?2,0∪2,+∞
C．[?2，0)D．?∞,0∪2,+∞
【答案】C
【分析】利用f1?x=f1+x求出二次函數(shù)對稱軸，得到a,b的關(guān)系，再利用最大值來確定a,b的值，從而確定fx的解析式，然后畫出|fx|的圖象，gx=fx?mx的零點(diǎn)等價于函數(shù)y=fx和y=mx的交點(diǎn)問題，通過圖象來進(jìn)行求解.
【詳解】解：已知二次函數(shù)fx=ax2+bx a,b∈R，滿足f1?x=f1+x，
即x=1是函數(shù)fx的對稱軸，
即?b2a=1，
即b=?2a，
∴fx=ax2?2ax，
又∵fx在區(qū)間?1,0上的最大值為3，
若a>0，則fx在區(qū)間?1,0上遞減，
∴fxmax=f?1=a+2a=3a=3，
解得：a=1，
此時，fx=x2?2x，
若a0時，由mx=2x?x2，
即x2+m?2x=0，
令Δ=m?22=0，
解得：m=2，
由圖象可知：m≥2時，y=fx和y=mx有兩個交點(diǎn)，
當(dāng)0x，從而得到y(tǒng)>x>z.
【詳解】由eylnx=yex得eyy=exlnx，————①
由ezln1x=zex得ezz=exln1x，————②
兩式相加得eyy+ezz=0，因為y>1，ey>0，所以ezz0 ，所以z1，所以exlnx>0，即lnx>0，所以x>1；
令f(x)=x?lnx x>1，則f'(x)=1?1x=x?1x，當(dāng)x∈1,+∞時，f'(x)>0，
所以f(x)=x?lnx在1,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，即x>lnx，
所以eyy=exlnx>exx，即eyy>exx，
又令g(x)=exxx>1，則g'(x)=xex?exx2=x?1exx2x>1，
當(dāng)x>1時，g'(x)>0，所以g(x)=exx在1,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，所以由eyy>exx，得到y(tǒng)>x.
所以y>x>z.
故選：D.
【變式2-1】2. （2021·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知00，則方程1+t2lnt?at=0有實根，即a=1t+tlnt有實根，令ft=1t+tlnt，則f't=?1t2+1+lnt，令gt=f't=?1t2+1+lnt，則g't=2t3+1t>0，∴f't在0,+∞上單調(diào)遞增，又∵f'1=0，∴ft在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，∴ftmin=f1=1，∴要使a=1t+tlnt有實根，則a≥1.
故答案為：1,+∞
【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值及方程的有解問題，屬中檔題
題型3同構(gòu)法
【例題3】（2021?龍鳳區(qū)校級月考）已知a1，則f'(x)=x+1ex>0，x>1，所以函數(shù)f(x)在x∈(1,+∞)上是增函數(shù)，
所以不等式xa+1?ex+alnx≥0對于任意x∈(1,+∞)恒成立，等價于f(x)≥f(lnx?a)，
所以x≥lnx?a，即x≥?alnx對任意的x>1恒成立，
因為x>1，所以lnx>0，即?a≤xlnx對任意的x>1恒成立，即?a≤(xlnx)min，
令g(x)=xlnx，則g'(x)=lnx?1(lnx)2，由g'(x)=0，得x=e，
所以當(dāng)x∈(1,e)時，g'(x)1)，
當(dāng) 10，g'x>0，gx單調(diào)遞增，
則不等式emx2?lnx2m≥0恒成立等價于g(mx2)≥g(lnx)恒成立，即mx2≥lnx恒成立，
進(jìn)而轉(zhuǎn)化為m≥2lnxx恒成立，
設(shè)?x=2lnxx，可得?'x=2(1?lnx)x2，
當(dāng)0e時，函數(shù)y遞減，00，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，
則可得ln2?2tx≤2x恒成立，
所以00,∴?'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，
又?'(1)=?112+ln1+1=0,∴當(dāng)x∈(0,1)時，?'(x)0，結(jié)合φ00，得到存在唯一的x0∈0,1使得φx0=0，得出函數(shù)?x的單調(diào)性，結(jié)合?0,?1,??1,?2的值和題設(shè)條件，得出10)，則不等式fxx?xex+e?x，令?x=x?xex+e-x，可得?'x=ex+x?2ex，
令φx=ex+x?2，可得φ'x=ex+1>0，所以φx在R上單調(diào)遞增，
又由φ0=?10，所以存在唯一的x0∈0,1使得φx0=0，
當(dāng)x∈?∞,x0時，φx0，所以?x單調(diào)遞增，且x0∈0,1，
又因為?0=1,?1=1,??1=2e?1,?2=2?1e2，
所以當(dāng)原不等式有且僅有兩個整數(shù)解時，則滿足10在x∈0,+∞上恒成立，
記g(x)＝mlnx+1?3x?3?mx+3ex=mlnx+1?x+3(ex?x?1)，
由基本初等函數(shù)的圖象及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，
y=x+1與y=x-1分別為y=ex與y=lnx的切線，
即ex≥x+1,(x=0時等號成立)，lnx≤x?1（x=1時等號成立），可得lnx+1≤x(x=0時等號成立)，
∴m≤0時，mlnx+1?x≥0在x∈0,+∞上恒成立，
又3ex?x?1>0在x∈0,+∞上恒成立，
∴mlnx+1?x+3ex?x?1>0在x∈0,+∞上恒成立，
∴m≤0時符合題意，排除A、B；
當(dāng)m>0時，驗證C選項是否符合，只需代入m=3，此時g(x)＝3lnx+1?6x?3+3ex，
則g'x=3x+1?6+3ex=?3xx+1+3（ex?1），此時g'0=0，
令g'x=?x，h'x=3(ex?1(x+1)2)在x∈0,+∞上單調(diào)遞增，且h'0=0，∴h'x>0在x∈0,+∞上恒成立，即g'x在x∈0,+∞上單調(diào)遞增，而g'0=0，∴g'x>0在x∈0,+∞上恒成立，
∴g(x)在x∈0,+∞上單調(diào)遞增,又g(0)=0，∴g(x)>0在x∈0,+∞上恒成立，
即m=3符合題意，排除D,
故選C.
【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查了分類討論思想，注意小題小做的技巧，是一道綜合題．
【變式7-1】2. （2021秋?江西月考）對任意x∈13,+∞，不等式lnx+mx1，
∴x∈13,+∞，恒有g(shù)'x>0，gx在區(qū)間13,+∞上遞增，
∴gx>g13=e13+13ln3，
∴m≤e13+13ln3．
故選：C.
【變式7-1】3. （2021秋?江西月考）不等式x?4ex?alnx≥x+1對任意x∈1,+∞恒成立，則實數(shù)a的取值范圍（ ）
A．?∞,1?eB．?∞,2?e2
C．?∞,?4D．?∞,?3
【答案】C
【分析】利用參變分離法，然后求函數(shù)最值即可.
【詳解】由x?4ex?alnx≥x+1得，
alnx≤x?4ex?x?1對?x∈1,+∞恒成立，
即a≤x?4ex?x?1lnx對?x∈1,+∞恒成立，從而求y=x?4ex?x?1lnx，x∈1,+∞的最小值，
設(shè)g(x)=ex?x?1，則g'(x)=ex?1，令g'(x)=0得，x=0
∴x∈(?∞,0),g'(x)0，所以函數(shù)t=x3ex在1,3上單調(diào)遞增；
當(dāng)x>3時，t'0，所以02733=1，
所以，當(dāng)00，所以函數(shù)t=x3ex在1,27e3上單調(diào)遞增.
所以，函數(shù)ft=1t+lnt在x=1處取得唯一極小值，也是最小值f1=1.
所以，當(dāng)x>1時，有exx3+lnx3ex≥1.
要使x>1時，有a≤exx3+lnx3ex恒成立，則應(yīng)有a≤1.
故答案為：a≤1.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：移項，構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的最值，即可得出參數(shù)的取值范圍.
1 .（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0,a,b,c為常數(shù)）的對稱軸為x=1，其圖像如圖所示，則下列選項正確的有（ ）
A．a(chǎn)bc+abc=0
B．當(dāng)a≤x≤1?a時，函數(shù)的最大值為c?a2
C．關(guān)于x的不等式ax4+bx2>ax2?22+bx2?2的解為x>2或x0，
對稱軸為x=?b2a=1，故b=?2a0，
所以abc0，所以1?a0，
因為a>0，x2>2，解得：x>2或x0，且x≠1），通過二次求導(dǎo)判斷f(x)在(0,1),(1,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)，從而有ey=x+1，即y=ln(x+1)，從而可得a=1+xln(x+1)無解，令?(x)=xlnx（x>0，且x≠1），求導(dǎo)判斷單調(diào)性，結(jié)合圖象即可求解.
【詳解】∵yey?1=lneyey?1=ln(x+1)x=ln(x+1)(x+1)?1，令f(x)=lnxx?1（x>0，且x≠1），
∴fey=f(x+1)，
又f'(x)=x?1x?lnx(x?1)2=1?1x?lnx(x?1)2，
令g(x)=1?1x?lnx(x>0)，則g'(x)=1x2?1x=1?xx2，
∴當(dāng)00，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1,e]時，g'(x)0．
要使fx=xlnx?12m+1x2?x有兩個極值點(diǎn)，
只需f'x=lnx?(m+1)x有兩個變號根，即m+1=lnxx有兩個變號根．
令g(x)=lnxx，(x>0)，則g'(x)=1?lnxx2，
由g'(x)=0得x=e，易知當(dāng)x∈(0,e)時，g'(x)>0，此時g(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(e,+∞)時，g'(x)

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