重難點(diǎn)突破06 雙變量問題（六大題型）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時(shí)沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
重難點(diǎn)突破06 雙變量問題
目錄
破解雙參數(shù)不等式的方法：
一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；
二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；
三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.
題型一：雙變量單調(diào)問題
例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
(2)設(shè)，證明：對任意，，．
例2．（2023·安徽·校聯(lián)考三模）設(shè)，函數(shù).
（Ⅰ）討論函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，且對任意，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
例3．（2023·福建漳州·高二福建省漳州第一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)
（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）若時(shí)，任意的，總有，求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
變式1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，且．
（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
變式2．（2023·天津南開·高三南開大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，證明；
(3)若對任意的不等正數(shù)，總有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
題型二：雙變量不等式:轉(zhuǎn)化為單變量問題
例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）已知，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的取值范圍.
例5．（2023·新疆·高二克拉瑪依市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)若，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
(3)設(shè)f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)且，若求證：.
例6．（2023·山東東營·高二東營市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)（為常數(shù)）
(1)討論的單調(diào)性
(2)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的范圍.
變式3．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(3)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)的取值范圍為，求的取值范圍．
變式4．（2023·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，記,求的取值范圍.
變式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的取值范圍．
變式6．（2023·吉林長春·高二長春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）設(shè)函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，
①求a的取值范圍；
②證明：．
題型三：雙變量不等式:極值和差商積問題
例7．（2023·黑龍江牡丹江·高三牡丹江一中?？计谀┮阎?，函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，.
（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（ii）證明：（……為自然對數(shù)的底數(shù)）.
例8．（2023·內(nèi)蒙古·高三霍林郭勒市第一中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．
例9．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)、，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明：．
變式7．（2023·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，討論方程解的個(gè)數(shù)；
(2)當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，若，證明：
（i）；
（ii）.
變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)
（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：恒成立．
變式9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.
題型四：雙變量不等式:中點(diǎn)型
例10．（2023·天津北辰·高三天津市第四十七中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)．
（1）已知為的極值點(diǎn)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（3）當(dāng)時(shí)，若對于任意，都存在，使得，證明：．
例11．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）已知函數(shù) .
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，；
（Ⅲ）設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明 .
例12．（2023·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)且.
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;
（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，設(shè)線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明:.
變式10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：.
變式11．（2023·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)圖象上不重合的兩點(diǎn).證明：.（是直線的斜率）
變式12．（2023·福建泉州·高二福建省永春第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（）．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)，若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，（）恰為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且的取值范圍是，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
題型五：雙變量不等式:剪刀模型
例13．（2023·天津和平·耀華中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)在點(diǎn)(，)處的切線方程為．
(1)求a、b；
(2)設(shè)曲線y＝f(x)與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y＝h(x)，求證：對于任意的實(shí)數(shù)x，都有f(x)≥h(x)；
(3)若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、，且，證明：．
例14．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．
（1）求，；
（2）函數(shù)圖像與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為，且在點(diǎn)處的切線方程為，函數(shù)，，求的最小值；
（3）關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，證明：．
例15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，是的極值點(diǎn)．
(1)求的值；
(2)設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為，曲線在點(diǎn)處的切線為直線．求證：曲線上的點(diǎn)都不在直線的上方；
(3)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，，求證：．
變式13．（2023·安徽·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)設(shè)曲線與軸正半軸相交于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線為，求證：曲線上的點(diǎn)都不在直線的上方；
(2)若關(guān)于的方程（為正實(shí)數(shù)）有兩個(gè)不等實(shí)根，求證：.
變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，在點(diǎn)處的切線方程記為，令．
(1)設(shè)函數(shù)的圖象與軸正半軸相交于，在點(diǎn)處的切線為，證明：曲線上的點(diǎn)都不在直線的上方；
(2)關(guān)于的方程為正實(shí)數(shù)）有兩個(gè)實(shí)根，，求證：．
題型六：雙變量不等式:主元法
例16．（2023·江蘇鹽城·高三鹽城中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值；
(2)當(dāng)時(shí)，求證：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；
(3)若，求證：．
例17．（2023·河南信陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求函數(shù)的最小值，并證明：當(dāng)時(shí)，．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）
例18．（2023·山西晉中·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，求證：，．
變式15．（2023·廣東廣州·高三廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（其中且為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)，．
(1)若函數(shù)的極值點(diǎn)只有一個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，若（其中恒成立，求的最小值的最大值．
變式16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù).
(1)求的極值；
(2)設(shè)，若對任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若，證明：.
變式17．（2023·廣東珠?！じ咭恢楹Ｊ械诙袑W(xué)校考期中）已知函數(shù).
(1)求不等式的解集；
(2)設(shè)函數(shù)，若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若對任意的，關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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