重難點(diǎn)03 利用導(dǎo)函數(shù)研究雙變量問題（含極值點(diǎn)偏移）（6題型高分技法限時(shí)提升練）-2025年高考數(shù)學(xué) 熱點(diǎn) 重點(diǎn) 難點(diǎn) 專練（天津?qū)Ｓ茫?試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型1 雙變量能成立問題
1．（24-25高三上·遼寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若對(duì)任意，，使得恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題
【分析】結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出，利用導(dǎo)數(shù)求出，“對(duì)任意，，使得恒成立”只需“”，解之即可.
【詳解】顯然，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，
在0,+∞上單調(diào)遞減，所以．
，
因?yàn)?，設(shè)，則，
設(shè)，得，
令，得，
則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且.
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
故.
所以當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，．
因?yàn)橐谷我猓?，恒成立，只需?br>所以，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故選：C
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
一般地，已知函數(shù)，
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故．
2．（23-24高二下·天津）已知函數(shù)，則的極小值為；若函數(shù)，對(duì)于任意的，總存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、求已知函數(shù)的極值
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的極小值；
（2）由題意可得出，分、、三種情況討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于的不等式，進(jìn)而可求得的取值范圍.
【詳解】由，得，
令，得，
列表如下：
所以，函數(shù)的極小值為；
（2），，使得，即，.
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，，
，即；
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，，
，即；
③當(dāng)時(shí)，，不符合題意.
綜上：.
故答案為：；.
3．（2023·上海金山·二模）已知函數(shù)和的表達(dá)式分別為，，若對(duì)任意，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為，由二次函數(shù)性質(zhì)可求得在上的最大值為，分別在、和的情況下，結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性，從而得到，由可構(gòu)造不等式求得的范圍.
【詳解】對(duì)任意，若存在，使得，；
當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；
當(dāng)時(shí)，，
①當(dāng)時(shí)，，，
則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，
，，解得：，
；
②當(dāng)時(shí)，，，
令，解得：，
（i）當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，
在上單調(diào)遞減，，
，解得：，；
（ii）當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，
在上單調(diào)遞增，，
，解得：（舍）；
（iii）當(dāng)，即時(shí)，
若，則；若，則；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，，解得：（舍）；
③當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
，，
當(dāng)，即時(shí)，，
，解得：，；
當(dāng)，即時(shí)，，
，解得：，；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
4．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知，，若存在，，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題
【分析】由題意轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求的最大值，并求二次函數(shù)的最大值.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以.
，時(shí)，，
若存在，，
使得成立，只需即可，
所以的取值范圍為
故答案為：
5．（2024·湖南郴州·模擬預(yù)測(cè)）已知且在上單調(diào)遞增，.
(1)當(dāng)取最小值時(shí)，證明恒成立.
(2)對(duì)，，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題
【分析】（1）首先利用條件可得在恒成立，參變分離后可得，代入后構(gòu)造函數(shù)解不等式即可；
（2）根據(jù)題意只需不等式左邊的最小值小于等于右邊的最小值即可，利用導(dǎo)數(shù)即可求得在上的最小值為，即證，使得成立，
即成立，參變分離后再構(gòu)造函數(shù)即可得解.
【詳解】（1）由題意可知在上恒成立，
參變分離得，，
此時(shí).
設(shè)，
，
令，令，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
恒成立，
（2），
當(dāng)時(shí)，，，
在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，，
在單調(diào)遞減；
，，，
在上的最小值為.
易知為偶函數(shù)，由偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知在上的最小值為
由題意可得，使得成立，
即成立.
由（1）可知，
參變分離得，設(shè)，，
即只需即可.
由（1）知得，
令，令，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，
，又已知a≥1.故的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了恒成立問題和存在性問題，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算量比較大屬于難題.本題的關(guān)鍵點(diǎn)有：
（1）利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立問題求參數(shù)據(jù)范圍；
（2）利用參變分離解決能成立和恒成立問題；
（3）構(gòu)造函數(shù)解決最值問題.
題型2雙變量單調(diào)性問題
1．（23-24高二下·天津·期中）已知函數(shù)，若對(duì)任意的，，當(dāng)時(shí)，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)
【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，分離參數(shù)得到在上恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，求的最值即可求解.
【詳解】不等式等價(jià)于，
令，
根據(jù)題意對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，則，
所以當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)于恒成立問題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：
（1）恒成立；
（2）恒成立.
2．（22-23高三上·天津北辰·期中）已知函數(shù)，其中．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處切線的方程；
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(3)若，證明對(duì)任意，恒成立．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)證明見解析
【知識(shí)點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線斜率，再結(jié)合所過點(diǎn)計(jì)算即可得；
（2）求導(dǎo)后，分及討論即可得；
（3）由的范圍可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，再分及進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，原不等式可轉(zhuǎn)化為證明，從而可構(gòu)造函數(shù)，并結(jié)合該函數(shù)單調(diào)性證明.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
，則，
則曲線在點(diǎn)處切線的方程為，
整理得；
（2），
令，有，，
由且，
當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上，當(dāng)時(shí)，在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（3）由，故在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
若，則，符合要求；
若，則，則，
則要證，只需證，
即只需證，
令，，，
則，
由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
由，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，
故恒成立，即在上單調(diào)遞增，
故，即有，即得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于在時(shí)，將原不等式轉(zhuǎn)化為證明，從而可構(gòu)造函數(shù)，并結(jié)合該函數(shù)單調(diào)性證明.
3．（24-25高三上·天津南開·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析；
(2).
【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性；
（2）根據(jù)題設(shè)有，令，將問題化為在0,+∞上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立求參數(shù)范圍.
【詳解】（1）由題設(shè)，
當(dāng)時(shí)，、上，上，
此時(shí)在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，恒成立，在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，、上，上，
此時(shí)在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）由題設(shè)，由（1）知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
所以，
整理得，
令，則在x∈0,+∞上單調(diào)遞減，且，
所以在0,+∞上恒成立，即恒成立，
令，則，
所以，在上，在上，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，注意有，構(gòu)造對(duì)應(yīng)函數(shù)并將問題化為恒成立為關(guān)鍵.
4．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的極值；
(2)證明：對(duì)任意的，有；
(3)若，證明：．
【答案】(1)；
(2)證明見解析；
(3)證明見解析.
【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、求已知函數(shù)的極值、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式
【分析】（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，再令根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性得出極值.
（2）先構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)得出函數(shù)單調(diào)性，得出函數(shù)最小值，得出，同乘即可得出證明不等式；
（3）先構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用單調(diào)性可得，再分，三種情況分別證明即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>令，
又因?yàn)閱握{(diào)遞減；單調(diào)遞增；
所以的極小值為，無極大值.
（2）令，
可得，令，
單調(diào)遞增，，
單調(diào)遞減；
單調(diào)遞增；
所以，
所以，
所以，即得，
所以
（3）對(duì)任意的，令，
所以
令
單調(diào)遞增，，
單調(diào)遞減，
所以設(shè)，則即
可得，
當(dāng)單調(diào)遞增，所以，可得
所以，
當(dāng)單調(diào)遞減，所以，可得
所以，
當(dāng)
因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，可得可得，
因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以，可得可得，
所以，
所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：先構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性，應(yīng)用單調(diào)性可得，再把分為，三種情況分別證明即可.
5．（23-24高二下·天津·期中）已知函數(shù)，，令函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；
(2)當(dāng)為正數(shù)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(3)若不等式對(duì)一切都成立，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)分類討論，答案見解析.
(3)
【知識(shí)點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)求導(dǎo)，求出，由點(diǎn)斜式方程即可得出答案；
（2）對(duì)求導(dǎo)，分類討論，和，討論f′x與的大小，即可求出函數(shù)的單調(diào)性；
（3）將不等式變形為，令，即Fx在x∈0,+∞上單調(diào)遞增，分類討論和，使得在x∈0,+∞恒成立，求解即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，
故，則，
故函數(shù)y=gx在處的切線方程為，即；
（2）因?yàn)?，?br>則，
時(shí)，f′x在，上為正，上為負(fù)，
所以的單增區(qū)間為，，單減區(qū)間為，
時(shí)，f′x在0,+∞上恒，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，
時(shí)，f′x在，上為正，上為負(fù)，
所以的單增區(qū)間為，，單減區(qū)間為，
綜上：時(shí)，的單增區(qū)間為，，單減區(qū)間為，
時(shí)，在0,+∞上單調(diào)遞增，
時(shí)，的單增區(qū)間為，，單減區(qū)間為.
（3）由，，變形為，
令，則Fx在x∈0,+∞上單調(diào)遞增，
其中，x∈0,+∞，
則，
若，此時(shí)在x∈0,+∞上恒成立，
則Fx在x∈0,+∞上單調(diào)遞增，滿足要求，
若，此時(shí)要滿足在x∈0,+∞恒成立，
令，對(duì)稱軸為，
故要滿足，解得，
綜上：，即的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵點(diǎn)是將不等式變形為，令，將題意轉(zhuǎn)化為Fx在x∈0,+∞上單調(diào)遞增，分類討論和，使得在x∈0,+∞恒成立，求解即可.
題型3雙變量相等問題
1．（24-25高三上·吉林長春·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）
【分析】題中條件“，使得”可轉(zhuǎn)化為和值域交集非空，分別求出和值域分析求解即可.
【詳解】由得：，
因?yàn)楸绢}中，所以，
所以單調(diào)遞減，所以，
由得：，
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，
所以，
因?yàn)?，使得?br>所以，
所以，
故選：D.
2．（23-24高三上·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）已知函數(shù)，若，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【分析】設(shè)在上的值域?yàn)?，在上的值域?yàn)椋深}意可得，當(dāng)時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，分，和三種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷在內(nèi)的單調(diào)性和值域，列式求解即可.
【詳解】設(shè)在上的值域?yàn)椋谏系闹涤驗(yàn)椋?br>若，，使得成立，則.
1.當(dāng)時(shí)，則，
可知開口向下，對(duì)稱軸為，
則在上單調(diào)遞增，可得，
所以在上的值域?yàn)椋裕?br>2.當(dāng)時(shí)，則，
（1）若，則在內(nèi)單調(diào)遞減，
且當(dāng)x趨近于0時(shí)，趨近于，當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于，
所以，符合題意；
（2）若，則，即，不合題意；
（3）若，則，
令，解得；令，解得；
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，
且當(dāng)x趨近于0或時(shí)，均趨近于，所以，
又因?yàn)?，則，
注意到，即，解得；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若，，使得成立，則在內(nèi)的值域是在內(nèi)的值域的子集.
3．（24-25高三上·江蘇泰州·期中）已知函數(shù)，.
(1)若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍；
(2)若對(duì)任意，存在，使得，求的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)值域求參數(shù)的值或者范圍、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題、函數(shù)不等式恒成立問題
【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式解集的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)任意性和存在性的性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)任意x∈R，不等式恒成立，
所以即對(duì)任意x∈R恒成立，
則，解得，
故的取值范圍為；
（2）設(shè)函數(shù)fx在區(qū)間的值域?yàn)锳，在區(qū)間上的值域?yàn)锽，
因?yàn)閷?duì)任意，存在，使得，所以，
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)fx在區(qū)間的值域?yàn)椋?br>函數(shù)的對(duì)稱軸為，
，則在上單調(diào)遞增，故，
而不是的子集，不符合；
當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，故，
要使，則，解得，
綜上，的取值范圍是.
4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．
(1)已知，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)的最值；
(2)對(duì)于（1）中的函數(shù)和函數(shù)，若，使得成立，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】(1)最小值為-4，最大值為-3；
(2)．
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)值域求參數(shù)的值或者范圍、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、函數(shù)新定義
【分析】（1）將變形為，令，轉(zhuǎn)化為求的值域，利用題干所給函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（2）求出的值域，根據(jù)題意的值域是的值域的子集，列式求解即可．
【詳解】（1），
設(shè)
則．
由已知性質(zhì)得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，
又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
即的最小值為-4，最大值為-3；
（2）因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，故，
由題意，使得成立，
故的值域是的值域的子集，
.
5．（24-25高一上·山東淄博·階段練習(xí)）“函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱”的充要條件是“對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有”.若函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，.
(1)求的值；
(2)設(shè)函數(shù)
（ⅰ）證明：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；
（ⅱ）若對(duì)任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)4；
(2)（ⅰ）證明過程見解析；（ⅱ）.
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)值域求參數(shù)的值或者范圍、函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用、由函數(shù)對(duì)稱性求函數(shù)值或參數(shù)、函數(shù)不等式恒成立問題
【分析】（1）由對(duì)稱性得到，故；
（2）（ⅰ）計(jì)算得到，得到的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；
（ⅱ）分離常數(shù)得到在上單調(diào)遞增，求出的值域?yàn)椋O(shè)fx在上的值域?yàn)?，由題意得，分，和三種情況，結(jié)合對(duì)稱性，得到的單調(diào)性，得到值域，結(jié)合得到不等式組，求出的取值范圍.
【詳解】（1）函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
故，
令得；
（2）（ⅰ）證明：，
故，
故函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；
（ⅱ），
故在上單調(diào)遞增，其中，
，
故的值域?yàn)椋?br>設(shè)fx在上的值域?yàn)椋深}意得，
圖象開口向上，對(duì)稱軸為，且，
當(dāng)時(shí)，
若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由對(duì)稱性可知，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋裕?br>所以，由得，解得，
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由對(duì)稱性可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
結(jié)合對(duì)稱性可知，或，
因?yàn)?，所以?br>，
又，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，滿足；
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
由對(duì)稱性可知，在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以?br>所以，由得，解得，
綜上，的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，一般有三個(gè)方法，
一是分離參數(shù)法, 使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對(duì)具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件；
二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論；
三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.
題型4極值點(diǎn)偏移（對(duì)稱化構(gòu)造法）
1．（23-24高三上·天津·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求在處的切線方程；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
(3)如果，且，證明：.
【答案】(1)
(2)單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；
(3)證明見解析
【知識(shí)點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題
【分析】（1）求出，進(jìn)而求出，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)斜式方程即可求解；
（2）求出，進(jìn)而求出的解，即可求出結(jié)論；
（3）設(shè)，結(jié)合單調(diào)性可知；令，，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)遞減，可知，由此可得，結(jié)合、在1,+∞上的單調(diào)性可推導(dǎo)得到結(jié)論.
【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以?br>即切線斜率為1，又，所以在處的切線方程為，即；
（2），令得，
令得，令得，
所以單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；
（3）不妨設(shè)，由（1）知及得：，則，
因?yàn)閱握{(diào)遞減區(qū)間是，所以要證，需證，
即證，即證，
令，，
則，當(dāng)時(shí)，，，所以，
所以在上單調(diào)遞增，所以，又，，
所以，又，所以，所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理極值點(diǎn)偏移問題中的類似于（）的問題的基本步驟如下：
①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；
②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后可得Fx恒正或恒負(fù)；
③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；
④根據(jù)與所處的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得到與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.
2．（23-24高二下·天津·期末）已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，已知曲線y=fx在處的切線的斜率為3.
(1)求的值；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，；
(3)若對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且，有，求證：.
【答案】(1)2
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題
【分析】（1）由求得值；
（2）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)確定其單調(diào)性后可證；
（3）不妨設(shè)，令，由進(jìn)行轉(zhuǎn)化后把用表示，把要證不等式化為關(guān)于的不等式，再利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明．
【詳解】（1）由，可知，
因?yàn)閥=fx在1,f1處的切線斜率為3，
所以.
所以.
（2）證明：由（1）知，
不妨設(shè)，則.
令
因?yàn)椋?br>所以在1,+∞上單調(diào)遞增，.
故，
所以在1,+∞上單調(diào)遞增，，
所以.
（3）由（1）知，
不妨設(shè)，令
由即得，即.
即，則，
所以，
要證.
設(shè)，則.
則在1,+∞上單調(diào)遞減，，故成立.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：關(guān)于函數(shù)中兩個(gè)變量的問題的處理，一般需要進(jìn)行消元，化二元為一元（多元為少元至一元），處理方法可以設(shè)，（或，然后利用的關(guān)系，如或是函數(shù)的極值點(diǎn)之類的，把與有關(guān)的等式或不等式表示為關(guān)于的函數(shù)的等式或不等式，再利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解證明．
3．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，
①若函數(shù)的最大值為0，求實(shí)數(shù)的值；
②若存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)，若，其中，證明：.
【答案】(1)① ；②
(2)證明見解析
【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題
【分析】(1)① 當(dāng)時(shí)，對(duì)求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最值.
② 要求恒成立時(shí)的取值范圍，等價(jià)于，構(gòu)造新的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求新構(gòu)造函數(shù)的最大值，問題即可解決.
(2)當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)即可得到的函數(shù)表達(dá)式，對(duì)求導(dǎo)，得到函數(shù)的圖像，設(shè)，則要證明，只需要證明，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明在上恒成立即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.
①易知，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
故，所以.
②解法一，不等式.
設(shè)（），，
則由① 知，所以存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，
等價(jià)于存在實(shí)數(shù)，使得成立.
易知在上單調(diào)遞減，所以，
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
解法二，不等式.
設(shè)，
則存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，等價(jià)于存在實(shí)數(shù)，使得成立.易知，
當(dāng)時(shí)，易知，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（2）當(dāng)時(shí)，，，
所以，所以，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故可作出的大致圖象如圖所示.
-2
不妨設(shè)，由圖易知.要證，只需證.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以只需證，
又，所以只需證對(duì)任意的恒成立.
設(shè)，
則.
設(shè)，
則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，
所以所以在上單調(diào)遞減，所以，
又當(dāng)時(shí)，，
所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，
即在上恒成立，又，
所以，原不等式得證.
【點(diǎn)睛】處理極值點(diǎn)偏移問題中的類似于（滿足）的問題的基本步驟如下：①求導(dǎo)，確定的單調(diào)性，得到的范圍；②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后可得恒正或恒負(fù)；③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；④根據(jù)與所處的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得到與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.
4．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)
(1)分析的單調(diào)性和極值；
(2)設(shè)，若對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(3)若，且滿足時(shí)，證明：.
【答案】(1)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，的極小值為，無極大值.
(2)
(3)證明見解析
【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、求已知函數(shù)的極值、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題
【分析】（1）求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性，求出極值；
（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后注意到，進(jìn)而得到，，再驗(yàn)證充分性；
（3）構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性，從而證明不等式.
【詳解】（1）函數(shù)，則，
令，解得：，且當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
因此：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故的極小值為，無極大值.
（2）對(duì)任意的，都有成立，
即對(duì)任意的，恒成立，
令，則，
注意到：，若要，必須要求，即，亦即，
另一方面：當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，
則當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以在時(shí)單調(diào)遞增，故；故實(shí)數(shù)的取值范圍為：；
（3）記，則，
記，，，
當(dāng)x∈0,1時(shí)，，為增函數(shù)，
當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，，為減函數(shù)，
所以，即，
所以函數(shù)在0,+∞單調(diào)遞減，
則為，注意到，不妨，
要證，只需證，即證：，
即證：，即證：，
記，
則，記，
則，所以在0,1單調(diào)遞增，所以，
即，所以在0,1單調(diào)遞減，所以，
所以，所以，得證.
5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)為實(shí)數(shù).
(1)討論函數(shù)的極值；
(2)若存在滿足，求證：.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)極值的辨析、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，分類討論函數(shù)的單調(diào)性，從而確定極值；
（2）先求出函數(shù)的最大值，將要證的不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于的不等式，即可證明.
【詳解】（1）由題意知，定義域?yàn)?,+∞，，
因?yàn)?，所以恒成?
①當(dāng)時(shí)，f′x>0，函數(shù)為0,+∞上的增函數(shù)，所以函數(shù)無極值.
②當(dāng)時(shí)，令，得，
當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，函數(shù)無極大值.
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極小值為，無極大值.
（2）因?yàn)椋?br>所以欲證，只需證明，
由（1）知若存在滿足，則，
不妨設(shè)，則，
設(shè)，
則
，
因?yàn)椋裕?br>所以，所以在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，即，
故，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以，即，故.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理此類雙變量問題有兩個(gè)策略：
一是轉(zhuǎn)化，即從已知條件入手，尋找雙變量所滿足的不等式，并把含雙變量的不等式轉(zhuǎn)化為含單變量的不等式；
二是巧妙構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求解.
題型5 極值點(diǎn)偏移（差值代換法）
1．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【知識(shí)點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題
【分析】（1）求導(dǎo)得斜率，再利用點(diǎn)斜式求直線并化簡(jiǎn)即可；
（2）由導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)得和，得到，轉(zhuǎn)化為證明，換元，證明即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
則，則切線方程為，
因此曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
（2）證明：函數(shù)是的兩個(gè)零點(diǎn)，
所以，則有，
且，由，得．
要證，只要證明，即證．
記，則，
因此只要證明，即．
記，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上遞增，則，
即，
則在上單調(diào)遞增，，
即成立.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，關(guān)鍵是利用零點(diǎn)代換得，進(jìn)而換元求解函數(shù)最值即可證明.
2．（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·期末）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，直線（為常數(shù)）與曲線相切，求的值；
(2)若恒成立，求的取值范圍；
(3)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題、已知切線（斜率）求參數(shù)、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義先求切點(diǎn)，即可得解；
（2）方法一：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值；
方法二：分離參數(shù)法，等價(jià)于恒成立；
方法三：由題意，分離參數(shù)法，等價(jià)于恒成立；
（3）方法一：思路一：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性；思路二：要證，即證，令，即證；思路三：令，要證，即證，即證，即證，利用導(dǎo)數(shù)證明；
方法二：由，令，求其最小值，由的單調(diào)性可知，思路一：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得證；思路二：令，要證，即證，即證；思路三：令，則，要證，即證，即證；思路四：對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得，下面同方法一.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.
設(shè)切點(diǎn)，則
消得，解得，代入得.
（2）方法一：因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，
所以當(dāng)x∈0,1時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，單調(diào)遞增.
所以.
又-axe，故恒成立，所以成立.
當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)x∈0,1時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，單調(diào)遞增.
故，解得，又，所以，
綜上所述，的取值范圍為.
方法二：因?yàn)楹愠闪ⅲ?br>又，所以上式等價(jià)于恒成立.
記，則，
設(shè)，則.
當(dāng)x∈0,1時(shí)，在0,1上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，在1,+∞上單調(diào)遞增.
所以.
所以當(dāng)x∈0,1時(shí)，在0,1上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，在1,+∞上單調(diào)遞增.
所以.
故的取值范圍為.
方法三：因?yàn)楹愠闪ⅲ?br>又，所以上式等價(jià)于恒成立.
記，則，
所以當(dāng)x∈0,1時(shí)，在0,1上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，在1,+∞上單調(diào)遞增.所以.
令，則，則恒成立.
記，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.
故的取值范圍為.
（3）方法一：因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，
則，
即，即，
令，則，
所以當(dāng)x∈0,1時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，單調(diào)遞增.
所以.
令，則單調(diào)遞增，
又，所以，即.
由的單調(diào)性可知.
思路一：構(gòu)造函數(shù).
則，
故在0,1上單調(diào)遞減，
又，所以，則，即，
又，所以，
又在1,+∞上單調(diào)遞增，所以.
故.
思路二：要證，即證，即證.
令，即證.
構(gòu)造函數(shù).
則，
故在0,1內(nèi)單調(diào)遞減，則，即.
故.
思路三：因?yàn)椋矗?br>令，則
即
要證，即證，
即證，即證，
下同思路一，略.
方法二：因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，
則，
即.
令，則，
所以當(dāng)x∈0,1時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，單調(diào)遞增.
所以.
令，則單調(diào)遞增，
又，所以，即
由的單調(diào)性可知.
思路一：構(gòu)造函數(shù).
則
，
令，則，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x∈0,1時(shí)，，則，所以，
故在0,1上單調(diào)遞減，又，所以，則，即，
又，所以，
又在1,+∞上單調(diào)遞增，所以.
故.
思路二：因?yàn)?，所以?br>即，
令，要證，即證，
即證.
構(gòu)造函數(shù).
則，
故在0,+∞上單調(diào)遞減，則.
故.
注：要證明，即證，構(gòu)造函數(shù).
則，
故在0,+∞上單調(diào)遞減，則.故.
思路三：令，則即.
要證，即證，即證.
下同思路二，略.
思路四：對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得，下面同方法一.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.
3．（2024·湖南岳陽·一模）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性和最值；
(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求證：.
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）、導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論得到導(dǎo)數(shù)的符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)性和最值.
（2）利用同構(gòu)可得原方程即為有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，結(jié)合構(gòu)造法可證
成立.
【詳解】（1），其中
若，則在上恒成立，故在上為減函數(shù)，
故無最值.
若，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
故，無最小值.
（2）方程即為，
故，
因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，所以
所以關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根即為：
有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.
所以，所以，
不妨設(shè)，，故，
要證：即證，
即證，即證，
即證，
設(shè)，則，
故，所以在上為增函數(shù)，
故，所以在上為增函數(shù)，
所以，故成立.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于較為復(fù)雜的與指數(shù)、對(duì)數(shù)有關(guān)的方程，可以考慮利用同構(gòu)將其轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的方程，從而利用常見的極值點(diǎn)偏移的方法來處理零點(diǎn)不等式.
題型6 極值點(diǎn)偏移（比值代換法）
1．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且．
(1)求a的取值范圍；
(2)若在和處的切線交于點(diǎn)，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性及函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)結(jié)合零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求切線方程得出，將原不等式化為證明，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明即可.
【詳解】（1）
當(dāng)，，在上單調(diào)遞減，不可能兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，令得
，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，
，
，
時(shí)，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，
所以，即時(shí)，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，
而，
所以；；
∴有唯一零點(diǎn)且有唯一零點(diǎn)，滿足題意，
綜上：；
（2）曲線在和處的切線分別是
，
聯(lián)立兩條切線得，∴，
由題意得，
要證，即證，即證，即證，
令，即證，
令，，∴在單調(diào)遞減，∴，
∴得證．綜上：．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)題目中的證明題，主要觀察所證不等式，直接構(gòu)造函數(shù)，或者將不等式轉(zhuǎn)化變形后，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及最值，利用函數(shù)的單調(diào)性或有界性求證，對(duì)觀察、運(yùn)算能力要求較高，屬于難題.
2．（2023·山東德州·三模）已知函數(shù)，其中．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(3)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)的取值范圍為，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)
【知識(shí)點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出結(jié)果；
（2）求導(dǎo)后，分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得結(jié)果；
（3）根據(jù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)可得，且，根據(jù)單調(diào)性可得，將化為，利用比值代換可求出結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br>所以，
所以，又，
所以函數(shù)在處的切線方程為，即.
（2）的定義域是，
，，
令，則．
①當(dāng)或，即時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增．
②當(dāng)，即時(shí)，由，得或；
由，得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
（3）由（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)無極值；
當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，即方程有兩個(gè)正根，
所以，則在上是減函數(shù)．所以，
因?yàn)椋?br>所以
，
令，則，
，
所以在上單調(diào)遞減，
又，且，
所以，
由，
又在上單調(diào)遞減，
所以且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：涉及到雙變量的問題一般可以利用比值代換處理，本題中，將化為后，設(shè)，化為關(guān)于的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行處理.
3．（2023·福建龍巖·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù).
(1)求的極值；
(2)已知，有最小值，求的取值范圍.
【答案】(1)極大值為，無極小值
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】求已知函數(shù)的極值、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題
【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)正負(fù)可得單調(diào)性，結(jié)合極值定義可求得結(jié)果；
（2）由可得，令，可將表示為；構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后，分別在和的情況下，討論得到單調(diào)性，進(jìn)而確定符合題意的的取值范圍.
【詳解】（1）由題意知：定義域?yàn)椋?br>，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
的極大值為，無極小值.
（2）可化為，
為單調(diào)遞增函數(shù)，
由可得：，即，
令，則，，，，
，
令，
，
令，
；
①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，
，即，在上單調(diào)遞增，
此時(shí)在上不存在最小值，即不存在最小值，不合題意；
②當(dāng)時(shí)，若，則；若，則；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，又，
存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，即有最小值；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值、多變量問題的求解；求解多變量問題的關(guān)鍵是能夠通過引入第三變量，將利用來表示，從而減少變量個(gè)數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)的單調(diào)性的討論問題.
4．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若有2個(gè)不同的零點(diǎn)（），求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【知識(shí)點(diǎn)】已知函數(shù)最值求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題
【分析】（1）求解函數(shù)定義域，參變分離得到，構(gòu)造，利用導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，極值和最值情況，得到；
（2）轉(zhuǎn)化為有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，構(gòu)造，得到其單調(diào)性，得到，且，求出，換元后即證，構(gòu)造，求導(dǎo)后得到在上單調(diào)遞增，，得到證明.
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以成立，等價(jià)于成立.
令，則，
令，則，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，
又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以在處取極大值也是最大值.
因此，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（2）有2個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.
令，則，當(dāng)時(shí)，解得.
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以在處取極大值為.
又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
且時(shí)，.
所以，且.
因?yàn)槭欠匠痰?個(gè)不同實(shí)數(shù)根，即.
將兩式相除得，
令，則，，變形得，.
又因?yàn)?，，因此要證，只需證.
因?yàn)椋灾恍枳C，即證.
因?yàn)?，即證.
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，，
即當(dāng)時(shí)，成立，命題得證.
【點(diǎn)睛】極值點(diǎn)偏移問題中，若等式中含有參數(shù)，則消去參數(shù)，由于兩個(gè)變量的地位相同，將特征不等式變形，如常常利用進(jìn)行變形，可構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)再進(jìn)行求解.
（建議用時(shí)：60分鐘）
1．（2023·天津河西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)若函數(shù)為增函數(shù)，求的取值范圍；
(2)已知.
（i）證明：；
（ii）若，證明：.
【答案】(1)
(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析
【知識(shí)點(diǎn)】由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題
【分析】（1）分析可得原題意等價(jià)于對(duì)恒成立，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求最值結(jié)合恒成立問題運(yùn)算求解；
（2）（i）取，根據(jù)題意分析可得，構(gòu)建，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明即可；
（ii）根據(jù)題意分析可得，，，構(gòu)建，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明，即可得結(jié)果.
【詳解】（1）∵，則，
若是增函數(shù)，則，且，可得，
故原題意等價(jià)于對(duì)恒成立，
構(gòu)建，則，
令，解得；令，解得；
則在上遞增，在遞減，
故，∴的取值范圍為.
（2）（i）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
∵，則，即，
整理得，
構(gòu)建，則，
令，解得；令，解得；
則在上遞減，在遞增，
故，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
令，可得，
綜上；
（ii）∵，則，
可知有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，由（1）知，
可得，
同理可得，
構(gòu)建，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
且，故對(duì)恒成立，故在上單調(diào)遞減，
∵，則，即，
且，則，故，
可得；
又∵，由（i）可得，即，
則，
且，則，可得；
綜上所述：.
可得，則
故.
【點(diǎn)睛】方法定睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟
(1)作差或變形．
(2)構(gòu)造新的函數(shù)h(x)．
(3)利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的單調(diào)性或最值．
(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．
特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問題．
2．（2022·天津·一模）已知函數(shù).
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
(2)若關(guān)于x的不等式恒成立，求整數(shù)a的最小值；
(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且，求證：.
【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為
(2)2
(3)證明見解析
【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題
【分析】（1）先求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)增區(qū)間；
（2）先利用分離參數(shù)法得到對(duì)恒成立.令，求導(dǎo)得到，再令，判斷出，使，得到在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，求出，得到.由，求出整數(shù)a的最小值；
（3）用分析法證明：當(dāng)時(shí)，把題意轉(zhuǎn)化為只需證.先整理化簡(jiǎn)得到，只需證.令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出.即證.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，
則，定義域?yàn)?
令，解得：.
所以的單調(diào)增區(qū)間為.
（2）依題意對(duì)恒成立，等價(jià)于對(duì)恒成立.
令，則
令在上是增函數(shù)，
，
所以，使即
對(duì)，，，所以在上單調(diào)遞增；
對(duì)，，，所以在上單調(diào)遞減.
所以.
所以.
又，所以整數(shù)a的最小值2
（3）當(dāng)時(shí)，由（2）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減且，時(shí)，；時(shí)，；
依題意存在，使得
已知可得
要證成立，只需證
因?yàn)槭堑牧泓c(diǎn)，所以，
兩式相減得：
即
只需證
又因?yàn)橹恍枳C
即證
令則，所以，
所以在增函數(shù)，所以即.
即成立.
所以原不等式得證.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：
(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．
(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．
(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．
(4)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式．
3．（2022·天津紅橋·一模）已知函數(shù)，．
(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且．
①求實(shí)數(shù)的取值范圍；
②求證：．
【答案】(1)
(2)①；②證明見解析.
【知識(shí)點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題
【分析】（1）根據(jù)條件，求出，，根據(jù)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可得解；
（2）①利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)有個(gè)極值點(diǎn)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍；
②分析可知，，將所證不等式轉(zhuǎn)化為，分、兩種情況討論，在時(shí)，利用不等式的基本性質(zhì)可證得結(jié)論成立；利用，，要證，只需證，構(gòu)造，并利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可證得.
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>則，所以，，，
此時(shí)，曲線在處的切線方程為，即.
（2）解：①，
令，，則，
令，則對(duì)任意的恒成立，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，，
解得，
此時(shí)，
所以，函數(shù)在、上各有一個(gè)極值點(diǎn)，合乎題意；
所以的取值范圍為．
②由于的兩根為，
所以，由①知
要證，只需證，即證：
令，則
令，則.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，即.
所以
又，在上單調(diào)遞增
所以，所以在上單調(diào)遞增，
可得，因?yàn)?，故得證，
即.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
4．（2022·天津?qū)幒印つM預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.
(1)若，求函數(shù)的極值；
(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值；
(3)若，正實(shí)數(shù)滿足，證明：.
【答案】(1)極大值為，無極小值；
(2)；
(3)證明見解析.
【知識(shí)點(diǎn)】求已知函數(shù)的極值、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題
【分析】(1)根據(jù)f(1)＝0求出a的值，確定f(x)并求出，根據(jù)正負(fù)判斷f(x)單調(diào)性，從而可求f(x)在定義域(0，＋?)的極值；
(2)參變分離不等式，構(gòu)造函數(shù)問題，問題轉(zhuǎn)化為.利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)單調(diào)性和最大值即可求出整數(shù)a的最小值；
(3)化簡(jiǎn)方程為，令，構(gòu)造函數(shù)，研究的最小值，得到關(guān)于整體的不等式，解不等式即可得結(jié)論.
【詳解】（1）∵，∴，
此時(shí)，，
，，
由得，由得，
∴的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，
∴有極大值為，無極小值；
（2）由恒成立，得在上恒成立，
問題等價(jià)于在上恒成立.
令，只要.
∵.
令，
∵，∴在上單調(diào)遞減.
∵，，
∴在(0，＋?)上存在唯一的，使得，即，
∴.
∴當(dāng)時(shí)，，g(x)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，g(x)單調(diào)遞減，
∴，即，
∵，∴整數(shù)的最小值為；
（3）由題可知，.
當(dāng)時(shí)，，.
∵，
∴，
∴，
令，則由得，，
易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，
∴，
解得成立.
【點(diǎn)睛】本題第二問關(guān)鍵是討論函數(shù)的零點(diǎn)和單調(diào)性和，從而參變分離后函數(shù)的最小值，解題過程中零點(diǎn)無法求出，屬于隱零點(diǎn)，可以設(shè)而不求，利用隱零點(diǎn)將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)換為冪式進(jìn)行計(jì)算.第三問的關(guān)鍵是將方程變形，把看成整體進(jìn)行求解.
5．（2022·天津河?xùn)|·二模）已知函數(shù)（且）．
(1)，求函數(shù)在處的切線方程．
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(3)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：．
【答案】(1)；
(2)答案見解析；
(3)證明見解析.
【知識(shí)點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫出切線方程；
（2）求出導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a分類討論： a0分別討論單調(diào)性；
（3）本題屬于極值點(diǎn)偏移，利用分析法轉(zhuǎn)化為只要證明f(2e- x2)>0，由構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出g(t)在(e，2e)上是遞增的，得到g(t)>g(e)=0即為f(2e- x2)>0.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以.
，所以.
所以函數(shù)在處的切線方程為，即.
（2）的定義域?yàn)?0，+∞)， .
當(dāng)a0時(shí)， .在上，，所以單調(diào)遞減；在上，，所以單調(diào)遞增.
（3）當(dāng)，.由(2)知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
由題意可得：.由及得：.
欲證x1+x2>2e，只要x1>2e- x2，注意到f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，且f(x1)=0，只要證明f(2e- x2)>0即可.
由得 .所以
令則，則g(t)在(e，2e)上是遞增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e- x2)>0.
綜上x1+x2>2e.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：
(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．
(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．
(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．
(4)利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，證明不等式．
6．（2022·四川南充·一模）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)求證：.
【答案】(1)
(2)證明見詳解
【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，結(jié)合圖象可解；
（2）利用單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.
又當(dāng)x趨近于0或時(shí)，趨于，
所以，要使有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，只需滿足，即.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（2）不妨設(shè)，由（1）可知，，則，
要證，只需證，
又在上單調(diào)遞增，所以只需證，即證.
記，
則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
又，
所以，即.
所以.
【點(diǎn)睛】本題第二問為極值點(diǎn)偏移問題，關(guān)鍵在于構(gòu)造差函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，單調(diào)性結(jié)合即可證明.
7．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，若，求證：
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【知識(shí)點(diǎn)】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題
【分析】（1）先求定義域，再求導(dǎo)，分與兩種情況，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）先結(jié)合（1）中函數(shù)單調(diào)性得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，從而證明出，得到結(jié)論.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令得，令得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br>，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)?，所以?br>設(shè)，
則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，
又因?yàn)?，，所以?br>又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
所以，即．
【點(diǎn)睛】極值點(diǎn)偏移問題，通常會(huì)構(gòu)造差函數(shù)來進(jìn)行求解，若等式中含有參數(shù)，則消去參數(shù)，由于兩個(gè)變量的地位相同，將特征不等式變形，如常常利用進(jìn)行變形，可構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)再進(jìn)行求解.
三年考情分析
2025年考向預(yù)測(cè)
2024年，第20題第（3）問，考察雙變量證明問題
函數(shù)的雙變量問題，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題，呈現(xiàn)的形式往往非常簡(jiǎn)潔，涉及構(gòu)造函數(shù)證明不等式，是一個(gè)多元數(shù)學(xué)問題，考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想，邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力。
（1）,,使得成立
（2）,,使得成立
（3）,,使得成立
（4）,,使得成立
遞減
極小值
遞增
一般是給出含有的不等式,若能通過變形,把不等式兩邊轉(zhuǎn)化為同源函數(shù),可利用函數(shù)單調(diào)性定義構(gòu)造單調(diào)函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)求解.
常見結(jié)論：
(1)若對(duì)任意,當(dāng)時(shí)恒有,則在D上單調(diào)遞增；
(2)若對(duì)任意,當(dāng)時(shí)恒有,則在D上單調(diào)遞增；
(3)若對(duì)任意,當(dāng)時(shí)恒有,則在D上單調(diào)遞增；
(4)若對(duì)任意,當(dāng)時(shí)恒有,則在D上單調(diào)遞增.
值域法解決雙參等式問題
,,使得成立
①，求出的值域，記為
②求出的值域，記為
③則,求出參數(shù)取值范圍.
主要用來解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和，積相關(guān)的不等式的證明問題．其解題要點(diǎn)如下：
(1)定函數(shù)(極值點(diǎn)為)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)．
(2)構(gòu)造函數(shù)，即對(duì)結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)或；
(3)對(duì)結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)，通過研究的單調(diào)性獲得不等式．
(4)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性．
(5)比較大小，即判斷函數(shù)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系．
(6)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性，將與的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求．
差值代換法（韋達(dá)定理代換令.）
差值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后利用兩個(gè)極值點(diǎn)之差作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用差值(一般用表示)表示兩個(gè)極值點(diǎn)，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問題求解．
比值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后利用兩個(gè)極值點(diǎn)的比值作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用比值(一般用表示)表示兩個(gè)極值點(diǎn)，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問題求解．

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