第一章 空間向量與立體幾何 章末測(cè)試（提升） 單選題(每題5分，每題只有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，8題共40分) 1．（2023安徽）如圖所示，在四面體中，E，F(xiàn)分別是與的中點(diǎn)，若，，，則與所成的角為（????） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取中點(diǎn)G，連結(jié)，， ∵在四面體中，E，F(xiàn)分別是與的中點(diǎn)， ∴， ， ∴是與所成的角（或所成角的補(bǔ)角）， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴與所成的角為. 故選：D. 2．（2023云南）如圖，是的重心，，則（????） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】是的重心，， ，， ，，， ， ． 故選：D． 3．（2023·高一單元測(cè)試）如圖，正方體中，M是的中點(diǎn)，則（????） A．直線與直線相交，直線平面 B．直線與直線平行，直線平面 C．直線與直線AC異面，直線平面 D．直線與直線垂直，直線∥平面 【答案】D 【解析】因?yàn)槭钦襟w，不妨設(shè)棱長(zhǎng)為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系： 則，，，，，，，， 又M為的中點(diǎn)，故可得，，， 設(shè)平面的法向量為， 則，即，不妨取，故可得． 設(shè)平面的法向量為 則，即，不妨取，故可得． 對(duì)A：因?yàn)?，，故BM，不相交，故錯(cuò)誤； 對(duì)B：，，不存在非零實(shí)數(shù)，使得， 故MB，不平行，故錯(cuò)誤； 對(duì)C：，平面的法向量為， 不存在非零實(shí)數(shù)，使得，故MB與平面不垂直，故錯(cuò)誤； 對(duì)D：，，則，故直線MB與垂直； 又，故MB與平面平行，故正確； 故選：D． 4．（2022秋·高二單元測(cè)試）如圖，在正三棱柱中底面邊長(zhǎng)、側(cè)棱長(zhǎng)都是4，別是的中點(diǎn)，則以下四個(gè)結(jié)論中正確的是（????） ①與所成的角的余弦值為；②平行于平面；③三棱錐的體積為；④垂直于． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【解析】取的中點(diǎn)G，連接，則平行于．在三角形中，． 應(yīng)用余弦定理得，所以①正確. 取的中點(diǎn)H，連接，則平行且等于，所以四邊形為平行四邊形，所以平行于， 又不在平面內(nèi)，平面，所以平行于平面，所以②正確． 三棱錐的體積，所以③正確． 假設(shè)垂直于，又因?yàn)榇怪庇?，所以垂直于?cè)面，所以垂直于，這與等于矛盾，所以④錯(cuò)誤． 故選：A 5．（2022·高二單元測(cè)試）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，若，則的面積的最小值是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸， 建立空間直角坐標(biāo)系， 則點(diǎn)，，所以． 因?yàn)?，，所? 因?yàn)?，所以，所以?因?yàn)?，所以?所以,因?yàn)椋?所以當(dāng)時(shí)，． 因?yàn)檎襟w中，平面，平面,故， 所以， 故選：B． 6．（2023黑龍江）已知向量，若，則與的夾角為（　?。?A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【解析】由， 得，則， 設(shè)向量與的夾角為， 則， 又，所以， 因?yàn)?，所以向量與為相反向量， 所以與的夾角為. 故選：C. 7．（2023·高二單元測(cè)試）如圖，是棱長(zhǎng)為1的正方體，若P∈平面BDE，且滿足，則P到AB的距離為（　?。? A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別為軸建立空間坐標(biāo)系， , 則， 則,，，， 設(shè)平面的一個(gè)法向量， 則，令，則，且面， 則，即，得，故， 所以，， ，則， P到AB的距離為. 故選：C 8．（2023北京）如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成的角為，底面為直角梯形，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，滿足，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（????） A．平面平面； B．點(diǎn)到直線的距離； C．若二面角的平面角的余弦值為，則； D．點(diǎn)A到平面的距離為． 【答案】D 【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?，平面?所以CD， 故∠PBA即為與底面所成的角，， 因?yàn)椋?所以PA=AB=1， 因?yàn)椋?取AD中點(diǎn)F，連接CF，則AF=DF=AB=CF=BC， 則四邊形ABCF為正方形，∠FCD=∠FCA=45°， 所以AC⊥CD， 又因?yàn)椋?所以CD⊥平面PAC， 因?yàn)镃D平面PCD， 所以平面平面PCD，A正確； 由A選項(xiàng)的證明過程可知：CD⊥平面PAC， 因?yàn)槠矫鍼AC 所以CD⊥PC， 故點(diǎn)P到直線CD的距離即為PC的長(zhǎng)度， 其中 由勾股定理得：，B正確； 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，， 其中平面ACD的法向量為，設(shè)平面ACE的法向量為， 則，令得：， 所以， 設(shè)二面角的平面角為，顯然， 其中， 解得：或， 因?yàn)椋?，C正確； 過點(diǎn)A作AH⊥PC于點(diǎn)H， 由于CD⊥平面APC，平面APC， 所以AH⊥CD， 因?yàn)椋?所以AH⊥平面PCD， 故AH即為點(diǎn)A到平面PCD的距離， 因?yàn)镻A⊥AC， 所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤 故選：D 二、多選題（每題至少有兩個(gè)選項(xiàng)為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分） 9．（2022·高二單元測(cè)試）已知空間中三點(diǎn)A（0，1，0），B（1，2，0），C（﹣1，3，1），則正確的有（　?。?A．與是共線向量 B．的單位向量是（1，1，0） C．與夾角的余弦值是 D．平面ABC的一個(gè)法向量是（1，﹣1，3） 【答案】CD 【解析】由題意知，，，， 因?yàn)?，所以與不是共線向量，即A錯(cuò)誤； 的單位向量為，所以的單位向量為或，即B錯(cuò)誤； ，所以與夾角的余弦值為，即C正確； 設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為，則，即， 令x＝1，則y＝﹣1，z＝3，所以，即D正確． 故選：CD． 10．（2023·高二單元測(cè)試）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，、、分別為、、的中點(diǎn)，則（????） A．直線與直線垂直 B．直線與平面平行 C．平面截正方體所得的截面面積為 D．點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等 【答案】BC 【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則、、、、、、、 、、、， 對(duì)于A選項(xiàng)，，，則， 所以，直線與直線不垂直，A錯(cuò)； 對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，， 則，取，可得， ，所以，，即， 因?yàn)槠矫?，平面，B對(duì)； 對(duì)于C選項(xiàng)，連接、、， 因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則， 且，所以，四邊形為平行四邊形，則， 所以，，所以，、、、四點(diǎn)共面， 故平面截正方體所得截面為， 且，同理可得，， 所以，四邊形為等腰梯形， 分別過點(diǎn)、在平面內(nèi)作，，垂足分別為、，如下圖所示： 因?yàn)?，，?所以， ，故，， 因?yàn)?，，，則四邊形為矩形，所以，， ，故， 故梯形的面積為，C對(duì)； 對(duì)于D選項(xiàng)，，則點(diǎn)到平面的距離為， ，則點(diǎn)到平面的距離為， 所以，點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離不相等，D錯(cuò). 故選：BC. 11．（2023遼寧）正方體的棱長(zhǎng)為2，為底面的中心，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（不包含兩個(gè)端點(diǎn)），則下列命題中錯(cuò)誤的是（????） ?? A．存在點(diǎn)，使得平面 B．存在點(diǎn)，使得平面 C．存在點(diǎn)，使得 D．存在點(diǎn)，使得與所成角為 【答案】ABC 【解析】如圖，連接，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)， 選項(xiàng)A，易知平面，故與平面有交點(diǎn)，所以不存在點(diǎn)，使得平面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤； 選項(xiàng)B，在正方體中，易知，故為等邊三角形，所以， 所以不存在點(diǎn)，使得平面，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤； 選項(xiàng)C，則，，由，得到 ， 所以時(shí)，點(diǎn)與重合，由條件知，不存在點(diǎn)，使得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤； 選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，由?得到，化簡(jiǎn)得到，得到或， 因?yàn)?，所以存在點(diǎn)，使得與所成角為，故選項(xiàng)D正確； ?? 故選：ABC. 12．（2023湖南）下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（????） A．若向量是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底 B．若，則的夾角是鈍角 C．已知，，若與垂直，則 D．已知A、B、C是空間中不共線的三個(gè)點(diǎn)，若點(diǎn)O滿足，則點(diǎn)O是唯一的，且一定與A、B、C共面 【答案】ACD 【解析】因?yàn)橄蛄渴强臻g的一個(gè)基底，則不共面，所以也不共面，所以也可以作為空間的一個(gè)基底，故A正確； 當(dāng)與的夾角為時(shí)，也可得，所以B錯(cuò)誤； 因?yàn)?，，則，， 且與垂直，所以，解得，故C正確； 因?yàn)?，所以，所以共面?所以四點(diǎn)共面， 如圖，取中點(diǎn)為，取中點(diǎn)為， 則， 又因?yàn)?，故?所以，即，則在上且靠近的三等分點(diǎn)處， 即滿足此關(guān)系的點(diǎn)只有一個(gè)，所以點(diǎn)唯一，且與共面，故D正確； 故選: ACD 三、填空題(每題5分，4題共20分) 13．（2023黑龍江）已知，，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是 【答案】 【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，所以存在，使得， 因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為. 所以，， 所以， 所以當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為. 故答案為：. 14．（2023春·高二單元測(cè)試）如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱長(zhǎng)均為1，且AA1⊥底面ABC，則點(diǎn)B1到平面ABC1的距離為 . 【答案】 【解析】以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示， 則， 所以，， ， 設(shè)平面ABC1的法向量為，則，即， 令，則，故， 所以點(diǎn)B1到平面ABC1的距離為. 故答案為：. . 15．（2023安徽）如圖所示，在正方體中，AB＝3，M是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足，若AM與平面所成的角，則的最大值為 . 【答案】 【解析】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 則， 設(shè)， 則， 因?yàn)椋?所以， 所以，則， 因?yàn)槠矫妫?所以即為AM與平面所成角，即， 則， 所以當(dāng)時(shí)，取得最大值. 故答案為：. 16．（2022·高二單元測(cè)試）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，若平面平面ABCD，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為的正三角形，底面ABCD是矩形，，點(diǎn)Q是PD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是 ．（填序號(hào)） ①平面PAD；②PC與平面AQC所成角的余弦值為； ③三棱錐B-ACQ的體積為；④四棱錐Q-ABCD外接球的內(nèi)接正四面體的表面積為． 【答案】②④ 【解析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接， 因?yàn)槿切螢榈冗吶切?，所? 因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，所以平面， 因?yàn)?，所以兩兩垂直?所以，如下圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸， 軸 ，軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則， ， 因?yàn)辄c(diǎn)Q是PD的中點(diǎn)，所以， 對(duì)于①：平面的法向量為，， 所以 與 不共線，所以與平面不垂直，故①不正確； 對(duì)于②：， 設(shè)平面的法向量為，則 ， 令，則， 所以， 設(shè)PC與平面AQC所成角為， 則， 所以，所以②正確； 對(duì)于③：三棱錐的體積為 ，所以③不正確； 對(duì)于④：設(shè)四棱錐外接球的球心為，則， 所以， 解得，即為矩形對(duì)角線的交點(diǎn)， 所以四棱錐外接球的半徑為， 設(shè)四棱錐外接球的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)為， 將四面體拓展成正方體，其中正四面體棱為正方體面的對(duì)角線， 故正方體的棱長(zhǎng)為，所以，得， 所以正四面體的表面積為，所以④正確. 故選：②④. 四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分） 17．（2023河南）如圖，在三棱錐中，已知平面，平面平面. ?? (1)求證：平面； (2)若是的中點(diǎn)，與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值. 【答案】(1)證明見解析 (2) 【解析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫妫?平面平面平面，所以平面， 因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以?又，平面，所以平面. ?? （2）幾何法：因?yàn)槠矫妫裕?又因?yàn)槠矫?，所以為與平面的所成角， 令，則， 則，解得； 因?yàn)椋移矫嫫矫妫?所以為的平面角，. ?? 坐標(biāo)法：因?yàn)槠矫?，所以，則以為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，軸，取，則，; 設(shè)平面的法向量為，由可得：； 取，則， 平面的一個(gè)法向量為，設(shè)與平面所成角為， 則，解得， 此時(shí)，則， 設(shè)平面與平面的夾角為，則. ?? 18．（2023陜西）如圖，在四面體中，，分別為棱，上的點(diǎn)，，底面，，． ?? (1)求證：平面平面； (2)求側(cè)棱與平面所成角的正弦值． 【答案】(1)證明見解析； (2)． 【解析】1）因?yàn)椋?，，則四邊形為等腰梯形， 作于，于，則， ?? 在中，，因此，為正三角形，且， 從而，又平面，平面，則， 又平面，于是平面，又平面， 所以平面平面． （2）由（1）知，直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，射線的方向分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系， 顯然，則， 有，設(shè)平面的法向量， 則，令，得， 設(shè)與平面所成的角為，則， 所以側(cè)棱與平面所成角的正弦值為. 19．（2022·高二單元測(cè)試）如圖，已知等邊中，E，F(xiàn)分別為AB，AC邊的中點(diǎn)，N為BC邊上一點(diǎn)，且，將沿EF折到的位置，使平面平面，M為EF中點(diǎn). (1)求證：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)證明見解析； (2). 【解析】（1）證明：因?yàn)闉榈冗叺倪叺闹悬c(diǎn)， 所以是等邊三角形，且，， 因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，， 又由于平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 因?yàn)?，所以，且?則四邊形是平行四邊形，則， 在正中，知，所以， 而，所以平面. 又因?yàn)槠矫妫?所以平面平面. （2）設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為4，取中點(diǎn)，連接， 由題設(shè)知，由（1）知平面， 又平面，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，. 設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 則由，得，令，則， 平面的一個(gè)法向量為， 所以， 顯然，二面角的平面角為銳角， 二面角的平面角的余弦值為. 20．（2023湖北）如圖，在由三棱錐和四棱錐拼接成的多面體中，平面，平面平面，且是邊長(zhǎng)為的正方形，是正三角形. ?? (1)求證:平面； (2)若多面體的體積為16，求與平面所成角的正弦值. 【答案】(1)證明見解析； (2). 【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，由是正三角形，得，平面， 而平面平面，平面平面，則平面， 因?yàn)槠矫?，則，平面， 所以平面. ?? （2）由平面，平面，得，而，， 平面，則平面，又，平面，平面， 因此平面，而平面，于是平面平面， 則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)平面的距離，又， 依題意，，解得， 以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系， 正方形的邊長(zhǎng)為2，是正三角形， 則，， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得， 而，令與平面所成的角為，則， 所以與平面所成角的正弦值是. 21．（2023西藏）如圖1，菱形中，動(dòng)點(diǎn)，在邊，上(不含端點(diǎn))，且存在實(shí)數(shù)使，沿將向上折起得到，使得平面平面，如圖2所示. （1）若，設(shè)三棱錐和四棱錐的體積分別為，，求； （2）試討論，當(dāng)點(diǎn)的位置變化時(shí)，二面角是否為定值，若是，求出該二面角的余弦值，若不是，說明理由. 【答案】（1）；（2）; 【解析】(1)取的中點(diǎn)為， 因?yàn)榧?，所? 所以,又因?yàn)槠矫嫫矫妫?平面平面， 所以平面， 連接,由題意可知, 以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則，,,， 所以，， 因?yàn)?，所以?解得：或者（舍）； 因?yàn)槿忮F和四棱錐的體積分別為，， 所以. (2) 二面角是定值,證明如下： 由（1）知，面的法向量， 由，， 設(shè)面的法向量為 ， 所以， 取，則，，即， 設(shè)二面角的平面角為， 所以， 由圖可知二面角的平面角為鈍角， 所以二面角的平面角的余弦值為. 22．（2023福建）如圖，在六面體中，是等邊三角形，二面角的平面角為30°，. (1)證明：； (2)若點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，求直線CE與平面所成角的正切的最大值. 【答案】(1)證明見解析 (2)2 【解析】（1）證明：取中點(diǎn)，連接， 因?yàn)椋?，且?所以平面， 又平面，所以. （2）連接，則，由，可得， 于是，所以， 又，所以平面， 以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則， 由，可得， 平面的法向量為， 設(shè)，則， 設(shè)與平面所成角為， 則， 令，則， 令，由對(duì)稱軸知，當(dāng)，即時(shí)，， ，于是 直線與平面所成角的正切的最大值為2.

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