[對應(yīng)學(xué)生用書P125]1．雙曲線2x2－y2＝8的實(shí)軸長是(　　)A．2　　　B．2　　　C．4　　　D．4C　[雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，故實(shí)軸長為4.]2．雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則雙曲線C的焦距等于(　　)A．2       B．2     C．4       D．4C　[由已知得e＝＝2，所以a＝c，故b＝＝c，從而雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x.由焦點(diǎn)到漸近線的距離為，得c＝，解得c＝2，故2c＝4.]3．(多選題)(2020·江蘇連云港市高二期中)下列有關(guān)雙曲線2x2－y2＝8的性質(zhì)說法正確的是(　　)A．離心率為     B．頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±2)C．實(shí)軸長為4     D．虛軸長為4ACD　[由2x2－y2＝8，得－＝1，所以a2＝4，b2＝8，所以a＝2，b＝2，c＝2，所以離心率e＝＝＝，實(shí)軸長2a＝4，虛軸長2b＝4，頂點(diǎn)為，所以A，C，D正確，B錯(cuò)誤．]4．(多選題)(2020·福建省南平市高級中學(xué)高二期中)我們把離心率為e＝的雙曲線－＝1(a>0，b>0)稱為黃金雙曲線．如圖所示，A1、A2是雙曲線的實(shí)軸頂點(diǎn)，B1、B2是虛軸頂點(diǎn)，F1、F2是焦點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F2且垂直于x軸的直線交雙曲線于M、N兩點(diǎn)，則下列命題正確的是(　　)A．雙曲線x2－＝1是黃金雙曲線B．若b2＝ac，則該雙曲線是黃金雙曲線C．若∠F1B1A2＝90°，則該雙曲線是黃金雙曲線D．若∠MON＝90°，則該雙曲線是黃金雙曲線BCD　[A選項(xiàng)，e＝＝≠，不是黃金雙曲線；B選項(xiàng)，b2＝ac＝c2－a2，化成c2－a2－ac＝0，即e2－e－1＝0，又e>1，解得e＝，是黃金雙曲線；C選項(xiàng)，∵∠F1B1A2＝90°，∴B1A2|2＝|F1A2|2，∴b2＋c2＋b2＋a2＝(a＋c)2，化簡得c2－ac－a2＝0，由B選項(xiàng)知是黃金雙曲線；D選項(xiàng)，∵∠MON＝90°，∴MN⊥x軸，|MF2|＝，且ΔMOF2是等腰直角三角形，∴c＝，即b2＝ac，由B選項(xiàng)知是黃金雙曲線．綜上，B、C、D是黃金雙曲線．故選B、C、D.]5．(多選題)已知F是雙曲線－＝1(a>0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)P是雙曲線C上一點(diǎn)，則∠POF的大小可能是(　　)A．15°      B．25°      C．60°      D．165°ABD　[∵兩條漸近線y＝±x的傾斜角分別為30°，150°，∴0°≤∠POF<30°或150°<∠POF≤180°.]6．已知雙曲線C：x2－＝1，過點(diǎn)P(1，2)的直線l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足上述條件的直線l共有(　　)A．1條    B．2條    C．3條    D．4條B　[如圖，過點(diǎn)P(1，2)的直線與雙曲線x2－＝1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)有兩種情況，分別是垂直于x軸和與漸近線y＝－2x平行．]7．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)與直線y＝2x有交點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是(　　)A．(1，)     B．(1，)∪(，＋∞)C．(，＋∞)     D．[，＋∞)C　[雙曲線的一、三象限漸近線的斜率k＝，要使雙曲線－＝1和直線y＝2x有交點(diǎn)，只要滿足>2即可，∴>2，∴>2，∴e>.]8．(多空題)已知雙曲線－＝1的離心率為2，焦點(diǎn)與橢圓＋＝1的焦點(diǎn)相同，那么雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為__________；漸近線方程為__________．(4，0)，(－4，0)　y＝±x　[橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4，0)，(－4，0)，故c＝4，且滿足＝2，故a＝2，b＝＝2，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x.]9．已知F1，F2分別是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，且雙曲線C的實(shí)軸長為6，離心率為.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P是雙曲線C上任意一點(diǎn)，且|PF1|＝10，求|PF2|.解　(1)由題意知，2a＝6，＝，解得a＝3，c＝5，故b2＝c2－a2＝16.所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.(2)因?yàn)?/span>a＋c＝8，|PF1|＝10＞8，所以點(diǎn)P可能在雙曲線的左支上也可能在雙曲線的右支上．①若點(diǎn)P在雙曲線的左支上，則|PF2|－|PF1|＝2a＝6，所以|PF2|＝|PF1|＋6＝16.②若點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則|PF1|－|PF2|＝2a＝6，所以|PF2|＝|PF1|－6＝4.綜上，|PF2|＝16或4.10．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線均與曲線C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，則該雙曲線的離心率等于(　　)A．　　　B．　　　C．　　　D．A　[曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝4，所以圓心坐標(biāo)為C(3，0)，半徑r＝2.雙曲線的漸近線為y＝±x，不妨取y＝x，即bx－ay＝0.因?yàn)闈u近線與圓相切，所以圓心到直線的距離d＝＝2，即9b2＝4(a2＋b2)，所以5b2＝4a2，b2＝a2＝c2－a2，即a2＝c2，所以e2＝，e＝.]11．已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，F(3，0)是E的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N(－12，－15)，則E的方程為(　　)A．－＝1     B．－＝1C．－＝1     D．－＝1B　[∵kAB＝＝1，∴直線AB的方程為y＝x－3.∵雙曲線的焦點(diǎn)為F(3，0)，∴c＝3，c2＝9.設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a＞0，b＞0)，將y＝x－3代入，得－＝1.整理，得(b2－a2)x2＋6a2x－9a2－a2b2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝＝2×(－12)，∴a2＝－4a2＋4b2，∴5a2＝4b2.又a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5.∴雙曲線E的方程為－＝1.]12．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是________．[2，＋∞)　[可得直線的斜率為，要使直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，只要≥，∴e2＝1＋≥4，即e≥2.]13．設(shè)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)是F，左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，過點(diǎn)F作x軸的垂線與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)，若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為________．±1　[不妨設(shè)點(diǎn)B在第一象限，則A1(－a，0)，B，A2(a，0)，C，所以A1B＝，A2C＝.因?yàn)?/span>A1B⊥A2C，所以A1B·A2C＝0，所以c2－a2－＝0，整理得＝1，即＝1，所以漸近線的斜率為±1.]14．已知雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為(2，0).(1)求雙曲線的方程；(2)求雙曲線的漸近線與直線x＝－2圍成的三角形的面積．解　(1)∵雙曲線的右焦點(diǎn)為(2，0)，且雙曲線方程為－＝1，∴c2＝a2＋b2＝3＋b2＝4，∴b2＝1，∴雙曲線的方程為－y2＝1.(2)∵a＝，b＝1，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x，令x＝－2，則y＝±.設(shè)直線x＝－2與雙曲線的漸近線的交點(diǎn)為A，B，則|AB|＝，記雙曲線的漸近線與直線x＝－2圍成的三角形的面積為S，則S＝××2＝. 
 

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

3.2 雙曲線

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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