北師大版（2024）九年級(jí)下冊(cè)1 二次函數(shù)課時(shí)作業(yè)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

倍速學(xué)習(xí)四種方法
【方法一】脈絡(luò)梳理法
知識(shí)點(diǎn)1.二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)（重點(diǎn) 難點(diǎn)）
【方法二】實(shí)例探索法
題型1.由拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸及最值求字母或代數(shù)式的取值范圍
題型2.二次函數(shù)的增減性問(wèn)題
題型3.拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性
題型4.根據(jù)條件確定參數(shù)的取值范圍
題型5.二次函數(shù)與其他函數(shù)相結(jié)合的雙圖象問(wèn)題
題型6.二次函數(shù)圖象與圖形的綜合
【方法三】差異對(duì)比法
易錯(cuò)點(diǎn)：不能根據(jù)二次函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)確定二次函數(shù)的大致圖象
【方法四】成果評(píng)定法
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
掌握二函數(shù)圖象的畫(huà)法及性質(zhì)。
會(huì)計(jì)算二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，圖象的開(kāi)口方向，圖象的對(duì)稱(chēng)軸。
會(huì)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決相關(guān)的計(jì)算題。
重點(diǎn)：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)。
難點(diǎn)：二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。
【倍速學(xué)習(xí)四種方法】
【方法一】脈絡(luò)梳理法
知識(shí)點(diǎn)1.二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)（重點(diǎn) 難點(diǎn)）
二次函數(shù)的圖像稱(chēng)為拋物線(xiàn)，這個(gè)函數(shù)的解析式就是這條拋物線(xiàn)的表達(dá)式．
任意一個(gè)二次函數(shù)（其中a、b、c是常數(shù)，且）都可以運(yùn)用配方法，把它的解析式化為的形式．
對(duì)配方得：．
由此可知：
拋物線(xiàn)（其中a、b、c是常數(shù)，且）的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）．
當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，頂點(diǎn)是拋物線(xiàn)的最低點(diǎn)，拋物線(xiàn)在對(duì)稱(chēng)軸（即直線(xiàn)）左側(cè)的部分是下降的，在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的部分是上升的；
當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，頂點(diǎn)是拋物線(xiàn)的最高點(diǎn)，拋物線(xiàn)在對(duì)稱(chēng)軸（即直線(xiàn)）左側(cè)的部分是上升的，在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的部分是下降的．
【例1】對(duì)于二次函數(shù)：
（1）求出圖像的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，這個(gè)函數(shù)有最大值還是最小值？這個(gè)值是多少？
（2）求出此拋物線(xiàn)與x、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）當(dāng)x取何值時(shí)，y隨著x的增大而減小．
【答案】（1）開(kāi)口向下、對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)、頂點(diǎn)坐標(biāo)為，函數(shù)有最大值，最大值為；
（2）、；（3）．
【解析】（1），∴函數(shù)圖像開(kāi)口向下、對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)、頂點(diǎn)坐標(biāo)為，函數(shù)有最大值，最大值為；
（2）把代入解析式得，∴與軸交于；把代入解析式得，∴與軸交于；
（3）∵圖像開(kāi)口向下，∴在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)隨著的增大而減小，即時(shí)，隨著的增大而減小．
【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)．
【變式1】.已知二次函數(shù)，若，，，那么它的圖像大致是（）
A．
B．
C．
D．
x
y
x
y
x
y
x
y
【答案】A．
【解析】∵，∴圖像開(kāi)口向下，又∵，∴對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，在軸左側(cè)，∵，∴拋物線(xiàn)與軸交于正半軸．
【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，當(dāng)、同號(hào)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在軸左側(cè)，當(dāng)、異號(hào)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè)，即“左同右異”，熟記系數(shù)與圖像之間的關(guān)系是做題的關(guān)鍵．
【變式2】二次函數(shù)中，，，，則其圖像的頂點(diǎn)在第____象限．
【答案】四．
【解析】∵，，∴圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè)，又∵，∴頂點(diǎn)在第四象限．
【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的圖像．
【方法二】實(shí)例探索法
題型1.由拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸及最值求字母或代數(shù)式的取值范圍
1．（2022秋·安徽合肥·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)的部分圖像如圖所示，對(duì)稱(chēng)軸為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，下列說(shuō)法：①；②；③；④若、是拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，則；⑤（其中），正確的結(jié)論有（）
A．②③④B．①②⑤C．①③⑤D．①②④⑤
【答案】B
【分析】拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，且交y軸于正半軸及對(duì)稱(chēng)軸為，推導(dǎo)出，、以及a與b之間的關(guān)系：；根據(jù)二次函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得出；再由二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)時(shí)，距離對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)x所對(duì)應(yīng)的y越小；由拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，可知當(dāng)時(shí)，y有最大值．
【詳解】解：∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，
∴，
∵拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，
∴，
∵拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)在x軸上方，
∴，
∴，①正確；
∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，
∴拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)，即，②正確；
∵時(shí)，，
∴③不正確；
∵，
∴到對(duì)稱(chēng)軸距離小于到對(duì)稱(chēng)軸距離，
∴，④不正確；
∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，
∴當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)y取得最大值，
當(dāng)時(shí)，，且，
∴，
即，
故⑤正確；
綜上，結(jié)論①②⑤正確，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系及二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，需要充分掌握二次函數(shù)各系數(shù)的意義，以及它們跟二次函數(shù)圖像之間的聯(lián)系．
題型2.二次函數(shù)的增減性問(wèn)題
2.已知拋物線(xiàn)，當(dāng)x > 1時(shí)，y隨著x的增大而______；當(dāng)x < 1時(shí)，y隨著x的增大而______．
【答案】減?。辉龃螅?br>【解析】∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)二次函數(shù)的y值隨x的增大而減小，在對(duì)稱(chēng)軸
的左側(cè)二次函數(shù)的y值隨x的增大而增大，即當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的值隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的值隨的增大而增大．
【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
3.請(qǐng)選擇一組a、b、c的值，使二次函數(shù)（）的圖像同時(shí)滿(mǎn)足下列條件：當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小．這樣的二次函數(shù)的解析式可以是___________________．
【答案】，答案不唯一，符合題意即可．
【解析】由題意得拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)．
【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
題型3.拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性
4.已知二次函數(shù)的圖像上有A（，y1）、B（2，y2）、C（，y3）三個(gè)點(diǎn)，則y1、y2、y3的大小關(guān)系為（）
A．B．
C．D．
【答案】D．
【解析】二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∵，
∴到直線(xiàn)的距離越小的點(diǎn)就越小，∴．
【總結(jié)】本題主要考查學(xué)生對(duì)二次函數(shù)圖像的理解，做題的關(guān)鍵是掌握拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性．
5.已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，且過(guò)點(diǎn)（0，4），求m、n的值．
【答案】，．
【解析】由題意得，解得，把（0，4）代入得．
【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸公式及拋物線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
題型4.根據(jù)條件確定參數(shù)的取值范圍
6．（2023·安徽合肥·校考一模）已知拋物線(xiàn)，其中a為常數(shù)，且．
(1)設(shè)此拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)B，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)若拋物線(xiàn)先向右平移h個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3h個(gè)單位長(zhǎng)度后，可得拋物線(xiàn)，求a的值；
(3)已知點(diǎn)、均在此拋物線(xiàn)上，且，求m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根據(jù)，求得x值，即可確定點(diǎn)B的坐標(biāo)．
(2)根據(jù)平移規(guī)律得到，得到，確定h的值，后計(jì)算a值即可．
(3)根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，確定的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，結(jié)合，確定m的范圍即可．
【詳解】（1）∵拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為A，
∴．
∴，
解得（舍去），
∴．
（2）根據(jù)平移規(guī)律得到，
∴，
∴，
∴，
解得，
故a值為．
（3）∵拋物線(xiàn)，
∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，
設(shè)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，
∴，
解得，
∴
∵點(diǎn)、均在此拋物線(xiàn)上，且，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)，平移規(guī)律，對(duì)稱(chēng)性和增減性，熟練掌握平移規(guī)律，對(duì)稱(chēng)性和增減性是解題的關(guān)鍵．
題型5.二次函數(shù)與其他函數(shù)相結(jié)合的雙圖象問(wèn)題
7.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和（m是常數(shù)，且）的圖像可能是（）
A．
B．
C．
D．
x
y
x
y
x
y
x
y
【答案】D．
【解析】當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，一次函數(shù)經(jīng)過(guò)第一、二、三象限；當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸在軸左側(cè)，一次函數(shù)經(jīng)過(guò)第二、三、四象限．
【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，用假設(shè)法來(lái)解決這種數(shù)形結(jié)合是一種很好的方法．
8.如圖，已知二次函數(shù)與一次函數(shù)，它們?cè)谕恢苯亲鴺?biāo)系中的圖像大致是（）
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
A．
B．
C．
D．
【答案】A．
【解析】A：由拋物線(xiàn)可知，，由直線(xiàn)知，，∴A正確；
B：由拋物線(xiàn)可知，，由直線(xiàn)知，，∴B錯(cuò)誤；
C：由拋物線(xiàn)可知，，由直線(xiàn)知，，∴C錯(cuò)誤；
D：由拋物線(xiàn)可知，，由直線(xiàn)知，，∴D錯(cuò)誤；
【總結(jié)】本題考察二次函數(shù)和一次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是做題的關(guān)鍵，用假設(shè)法來(lái)解決這種數(shù)形結(jié)合是一種很好的方法．
題型6.二次函數(shù)圖象與圖形的綜合
9.將拋物線(xiàn)沿y軸向下平移后，所得拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C．如果是等腰直角三角形，求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．
【答案】．
【解析】設(shè)拋物線(xiàn)向下平移個(gè)單位，平移后的拋物線(xiàn)為，
則，，，
設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn)，可得，，
∵拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為，由拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性可知，∴，
∴，即，解得，（舍），
∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的圖像與幾何變換、等腰直角三角形的性質(zhì)及拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)題意畫(huà)出圖形、作出輔助線(xiàn)是解答此題的關(guān)鍵．
10．（2023秋·安徽合肥·九年級(jí)合肥市五十中學(xué)西校?？茧A段練習(xí)）已知k為任意實(shí)數(shù)，隨著k的變化，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)，則頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)經(jīng)過(guò)的路徑與兩條坐標(biāo)軸圍成圖形的面積是___________．
【答案】1
【分析】將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式可得拋物線(xiàn)頂點(diǎn)所在函數(shù)解析式，進(jìn)而求解．
【詳解】解：∵，
∴拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)，則，
∴拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在直線(xiàn)上，
將代入得，
將代入得，
解得，
∴直線(xiàn)經(jīng)過(guò)，，
∴頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)經(jīng)過(guò)的路徑與兩條坐標(biāo)軸圍成圖形的面積是，
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握求拋物線(xiàn)頂點(diǎn)軌跡的方法．
【方法三】差異對(duì)比法
易錯(cuò)點(diǎn)：不能根據(jù)二次函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)確定二次函數(shù)的大致圖象
11.已知二次函數(shù)，若，，，那么它的圖像大致是（）
A．
B．
C．
D．
x
y
x
y
x
y
x
y
【答案】A．
【解析】∵，∴圖像開(kāi)口向下，又∵，∴對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，在軸左側(cè)，∵，∴拋物線(xiàn)與軸交于正半軸．
【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，當(dāng)、同號(hào)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在軸左側(cè)，當(dāng)、異號(hào)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè)，即“左同右異”，熟記系數(shù)與圖像之間的關(guān)系是做題的關(guān)鍵．
【方法四】成果評(píng)定法
一．選擇題（共10小題）
1．（2023秋?綠園區(qū)期末）若拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為軸，且點(diǎn)在該拋物線(xiàn)上，則的值為
A．B．0C．2D．4
【分析】直接利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出，再利用圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)得出答案．
【解答】解：拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為軸，
，
點(diǎn)在該拋物線(xiàn)上，
，
解得：．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確得出的值是解題關(guān)鍵．
2．（2022秋?孝義市期末）將拋物線(xiàn)向下平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，得到拋物線(xiàn)的表達(dá)式為
A．B．C．D．
【分析】先將拋物線(xiàn)化為頂點(diǎn)式的形式，再由二次函數(shù)平移的法則即可得出結(jié)論．
【解答】解：將化為頂點(diǎn)式為：，
向下平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，得到拋物線(xiàn)的表達(dá)式為
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是拋物線(xiàn)的平移，掌握拋物線(xiàn)平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．
3．（2023秋?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）已知二次函數(shù)中的與的部分對(duì)應(yīng)值如下表：
則下列判斷正確的是
A．拋物線(xiàn)開(kāi)口向上
B．拋物線(xiàn)與軸交于負(fù)半軸
C．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小
D．方程的正根在3與4之間
【分析】結(jié)合圖表可以得出當(dāng)或2時(shí)，，可以求出此函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，借助兩點(diǎn)可求出二次函數(shù)解析式，從而得出拋物線(xiàn)的性質(zhì)．
【解答】解：由圖表可以得出當(dāng)或2時(shí)，，可以求出此函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
二次函數(shù)解析式為：，
再將點(diǎn)代入得：，
解得：，
，
，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上錯(cuò)誤，故錯(cuò)誤；
，
與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，故與軸交于正半軸，
故錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小時(shí)正確的，
故正確；
方程，△，
此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
由表正根在2和3之間；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】主要考查了二次函數(shù)解析式的求法，以及由解析式求函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)以及一元二次方程根的判別式的應(yīng)用．
4．（2022秋?姜堰區(qū)期末）將關(guān)于的函數(shù)的圖象向下平移兩個(gè)單位，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是
A．開(kāi)口方向不變B．對(duì)稱(chēng)軸不變
C．與軸的交點(diǎn)不變D．自變量的取值范圍不變
【分析】二次函數(shù)的圖象向下平移兩個(gè)單位時(shí)，函數(shù)圖象開(kāi)口方向不變，但頂點(diǎn)坐標(biāo)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)均發(fā)生變化．
【解答】解：將拋物線(xiàn)向下平移兩個(gè)單位，開(kāi)口方向不變、對(duì)稱(chēng)軸不變、自變量的取值范圍不變，與軸的交點(diǎn)改變，故選項(xiàng)符合條件，選項(xiàng)、、均不符合條件，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查二次函數(shù)的圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)圖象平移的特點(diǎn)．
5．（2022秋?丹江口市期末）把二次函數(shù)的圖象向上平移3個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，則兩次平移后的圖象解析式是
A．B．
C．D．
【分析】先把原解析式化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)拋物線(xiàn)平移的性質(zhì)，即可求解．
【解答】解：根據(jù)題意得：，
二次函數(shù)的圖象向上平移3個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，
兩次平移后的圖象解析式是．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的平移，熟練掌握二次函數(shù)的平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”是解題的關(guān)鍵．
6．（2023秋?克東縣期末）點(diǎn)，，均在二次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出圖象的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，根據(jù)時(shí)，隨的增大而減小，即可得出答案．
【解答】解：，
圖象的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，
關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，
，
，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
7．（2022秋?東明縣期末）如圖是二次函數(shù)的圖象，其對(duì)稱(chēng)軸為，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】由開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸及拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)位置可判斷結(jié)論①；由對(duì)稱(chēng)軸及對(duì)稱(chēng)軸公式可判斷結(jié)論②；由拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)可判斷結(jié)論④；拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)，可判斷出另一個(gè)交點(diǎn)為，即可判斷結(jié)論③；由對(duì)稱(chēng)軸和當(dāng)時(shí)，的值，即可判斷結(jié)論④．
【解答】解：拋物線(xiàn)開(kāi)口向下、頂點(diǎn)在軸右側(cè)、拋物線(xiàn)與軸交于正半軸，
，，，
，故①錯(cuò)誤；
拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，
，
，
，故②正確；
拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)，
另一個(gè)交點(diǎn)為，
當(dāng)時(shí)，，即，故③正確；
當(dāng)時(shí)，，
，
，
，即，故④正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸，圖象與軸交點(diǎn)，函數(shù)增減性并會(huì)綜合運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵．
8．（2023秋?明光市期中）如圖，拋物線(xiàn)與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)．若OA＝OB，則下列結(jié)論成立的是（）
A．4b﹣c＝1B．b+4c＝1C．4b﹣c＝4D．4b+c＝4
【分析】先求出A、B的坐標(biāo)，然后把A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求解．
【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝c，
∴B（0，c），
∴OB＝c，
∵OA＝OB，
∴OA＝c，
∴A（﹣c，0），
把A（﹣c，0）代入，得，
∴4b+c＝4．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．
9．（2022秋?橋西區(qū)期末）題目：“如圖，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)和點(diǎn)．點(diǎn)是直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，若線(xiàn)段與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，直接寫(xiě)出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．”對(duì)于其答案，甲答：．乙答：，丙答：，丁答：，則正確的是
A．只有甲答的對(duì)B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整D．甲、丁答案合在一起才完整
【分析】依據(jù)題意，根據(jù)待定系數(shù)法首先求出拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的解析式，由得，，可知、的水平距離為3，分三種情況：當(dāng)在左側(cè)的直線(xiàn)上時(shí)，當(dāng)在線(xiàn)段上（不含時(shí)，當(dāng)在右側(cè)的直線(xiàn)上時(shí)，對(duì)線(xiàn)段與拋物線(xiàn)交點(diǎn)進(jìn)行討論．
【解答】解：由題意，把代入得：
，
解得．
把代入得：
，
解得．
從而得或，
，．
、的水平距離為3．
在左側(cè)的直線(xiàn)上時(shí)，向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，此時(shí)線(xiàn)段與拋物線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)，
當(dāng)在線(xiàn)段上（不含時(shí)，向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，線(xiàn)段與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，
此時(shí)．
在右側(cè)的直線(xiàn)上時(shí)，若，
則拋物線(xiàn)和線(xiàn)段交于拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，
即時(shí)，線(xiàn)段與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)．
上所述，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是或．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題時(shí)要能熟練掌握并能分類(lèi)求解確定的位置是關(guān)鍵．
10．（2022秋?安新縣期末）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖是二次函數(shù)的圖象的一部分，給出下列命題：①；②； ③方程的兩根分別為和1；④，其中正確的命題有
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，且過(guò)點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸可得拋物線(xiàn)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，把代入可對(duì)①做出判斷；由對(duì)稱(chēng)軸為，可對(duì)②做出判斷；根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，可對(duì)③做出判斷，根據(jù)根的判別式解答即可．
【解答】解：由圖象可知：拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)，
把代入得，，，所以，因此①錯(cuò)誤；
對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，即：，整理得，，因此②錯(cuò)誤；
由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，可知拋物線(xiàn)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為，，，因此方程的兩根分別為和1；故③是正確的；
由圖可得，拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，故④正確；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，拋物線(xiàn)通常從開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、與軸，軸的交點(diǎn)，以及增減性上尋找其性質(zhì)．
二．填空題（共8小題）
11．（2023秋?鐵西區(qū)期末）二次函數(shù)的最小值是 0 ．
【分析】配成頂點(diǎn)式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解．
【解答】解：，
，
當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值0，
故答案為：0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的最值，掌握求二次函數(shù)最值的方法是解題的關(guān)鍵．
12．（2023秋?閔行區(qū)月考）已知點(diǎn)和在二次函數(shù)圖象上，則 0．（填“”、“ ”或“”
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出圖象的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，根據(jù)時(shí)，隨的增大而減小，即可得出答案．
【解答】解：，
圖象的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，
時(shí)，隨的增大而減小，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
13．（2023秋?雁塔區(qū)校級(jí)月考）若三點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系為．（用“”連接）
【分析】求出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性解答即可．
【解答】解：拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，
，
當(dāng)，隨的增大而減小，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)；掌握二次函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵．
14．（2023秋?普陀區(qū)期末）已知二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)在正半軸上，那么的取值范圍是．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖形與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為即可解決問(wèn)題．
【解答】解：由題知，
將代入二次函數(shù)表達(dá)式得，
．
又因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象與軸的交點(diǎn)在正半軸上，
所以，
解得．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，能用表示出二次函數(shù)與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
15．（2023秋?渾江區(qū)期末）開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則．
【分析】主要利用拋物線(xiàn)的性質(zhì)．
【解答】解：由于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，，
解得，．
由于拋物線(xiàn)的開(kāi)口向下，所以當(dāng)時(shí)，，不合題意，應(yīng)舍去，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸公式．
16．（2022秋?潢川縣期末）二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的圖象與直線(xiàn)y＝﹣1的交點(diǎn)坐標(biāo)是（2，﹣1）．
【分析】聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式求解即可．
【解答】解：由題意，得，
解得，
∴次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的圖象與直線(xiàn)y＝﹣1的交點(diǎn)坐標(biāo)是（2，﹣1）．
故答案為：（2，﹣1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)與直線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題，聯(lián)立函數(shù)解析式求解是解答本題的關(guān)鍵．
17．（2022秋?姜堰區(qū)期末）已知關(guān)于的二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第一、二象限，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)合適的常數(shù)的值為 0（答案不唯一）．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)解答即可．
【解答】解：關(guān)于的二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第一、二象限，
，
故答案為：0（答案不唯一）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象，根據(jù)二次函數(shù)解析式的系數(shù)確定圖象位置是解答本題的關(guān)鍵．
18．（2023秋?吉林期中）若二次函數(shù)△有最大值，則“△”中可填的數(shù)字是（答案不唯一）．
【分析】依據(jù)題意，先設(shè)△處為，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得，進(jìn)而可以判斷得解．
【解答】解：由題意，設(shè)△處為，由題意得二次函數(shù)為，
二次函數(shù)有最大值，
二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下即，
可以是．
△中可填的數(shù)是（答案不唯一）．
故答案為：（答案不唯一）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的最值，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)頂點(diǎn)式，并會(huì)根據(jù)頂點(diǎn)式求最值．
三．解答題（共6小題）
19．（2022秋?廣陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（1）求的值，并求出此拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．
【分析】（1）把點(diǎn)代入得到關(guān)于的方程，再解方程可確定拋物線(xiàn)解析式，在化為頂點(diǎn)式求頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）分別確定自變量為0和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，然后結(jié)合函數(shù)圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)求解．
【解答】解：（1）把代入得：
，
解得，
，
拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2），
拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，有最大值4，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，的取值范圍是．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題．
20．（2022秋?鄲城縣期末）已知二次函數(shù)．
（1）求開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)為何值時(shí)，隨增大而減小，當(dāng)為何值時(shí)，隨增大而增大．
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；
（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的開(kāi)口方向朝下，在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，隨增大而增大，在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，隨增大而增大減小進(jìn)行解答即可．
【解答】解：（1），
，
拋物線(xiàn)的開(kāi)口向下，
對(duì)稱(chēng)軸為：直線(xiàn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：；
（2）拋物線(xiàn)的開(kāi)口向下，
時(shí)，隨增大而減小，時(shí)，隨增大而增大．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（2023秋?黃山期中）定義：關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)且對(duì)稱(chēng)軸相同的兩條拋物線(xiàn)叫作“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)”．例如：的“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)”為．
（1）拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，它的“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)”為；
（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，第四象限的點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，交拋物線(xiàn)的“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)”于點(diǎn)，分別作點(diǎn)、關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)、，連接、、、．當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，求的值．
【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)式的性質(zhì)直接寫(xiě)出坐標(biāo)即可，再由“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)”定義得出答案；
（2）寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由對(duì)稱(chēng)軸求出點(diǎn)，然后結(jié)合正方形的性質(zhì)列出方程求解即可．
【解答】解：（1）由拋物線(xiàn)的解析式可知，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；它的“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)”為．
故答案為：；．
（2）點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)、關(guān)于該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，
點(diǎn)也在拋物線(xiàn)上，
拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，
，
當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，
則，
由題意可知，、關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)且點(diǎn)在第四象限，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解得．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象變換，正方形的性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．（2023秋?蕪湖期中）已知二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)為．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo) ；
（2）請(qǐng)通過(guò)列表描點(diǎn)，畫(huà)出該二次函數(shù)的大致圖象；
（3）當(dāng)時(shí)，則的取值范圍是（直接寫(xiě)出結(jié)果）
【分析】（1）用配方法求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）列出表格，通過(guò)頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱(chēng)軸向左右兩方取值，再描點(diǎn)即可得出；
（3）結(jié)合二次函數(shù)圖象，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍．
【解答】解：（1）；
點(diǎn)的坐標(biāo)為：．
故答案為：；
（2）列表得：
描點(diǎn)、連線(xiàn)畫(huà)出函數(shù)圖象如圖：
（3）時(shí)，；時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，則的取值范圍是，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了配方法求二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)以及描點(diǎn)法畫(huà)二次函數(shù)圖象以及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，此題是二次函數(shù)的基本性質(zhì)也是考查重點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握．
23．（2023?海曙區(qū)一模）對(duì)于拋物線(xiàn)．
（1）若拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)．
①求頂點(diǎn)坐標(biāo)；
②當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍為；
（2）已知當(dāng)時(shí)，，求和的值．
【分析】（1）①解析式化成頂點(diǎn)式，即可求得拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
②求得時(shí)的函數(shù)值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（2）拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，由當(dāng)時(shí)，可知拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且過(guò)點(diǎn)，把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求得，然后把點(diǎn)代入解析式即可求得的值．
【解答】解：（1）若拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則，
解得，
；
①，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
②當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，
故答案為：；
（2）拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，
當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，，
時(shí)，為函數(shù)最小值，即拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，
，
解得，
，
把，代入得，
解得，，
，
，
故的值為2，的值為3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
24．（2023秋?上思縣期中）二次函數(shù)中的，滿(mǎn)足如表．
（1）該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）當(dāng)時(shí)，求對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；
（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值隨的增大而（填“增大”或“減小” ．
【分析】（1）由表格得出即可；
（2）把代入，進(jìn)行計(jì)算即可得；
（3）根據(jù)，，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)得拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，即可得當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大．
【解答】解：（1）由表格數(shù)據(jù)可得出，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
故答案為：；
（2）把，，代入，
，
解得，
，
把代入，可得，
當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為12；
（3），，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，
拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，
當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
故答案為：增大．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
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