數(shù)學(xué)北師大版（2024）1 二次函數(shù)當(dāng)堂達(dá)標(biāo)檢測題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

倍速學(xué)習(xí)四種方法
【方法一】脈絡(luò)梳理法
知識(shí)點(diǎn)1.二次函數(shù)與的圖象及性質(zhì)
知識(shí)點(diǎn)2.二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)（重點(diǎn)）
知識(shí)點(diǎn)3.二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)（重點(diǎn)）
知識(shí)點(diǎn)4.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（重點(diǎn)）
知識(shí)點(diǎn)5.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（重點(diǎn)）
【方法二】實(shí)例探索法
題型1.判斷二次函數(shù)圖象的開口大小
題型2.二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合
題型3.畫二次函數(shù)的圖象
題型4.二次函數(shù)與幾何圖形的綜合
【方法三】差異對(duì)比法
易錯(cuò)點(diǎn)：忽略了二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)的作用
【方法四】成果評(píng)定法
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
掌握二次函數(shù)圖象的畫法及性質(zhì)，并了解三個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系。
掌握二次函數(shù)圖象的畫法及性質(zhì)，并了解圖象之間的關(guān)系。
能靈活運(yùn)用二次函數(shù)與圖象之間的關(guān)系解決問題。
重點(diǎn)：二次函數(shù)圖象的畫法及性質(zhì)
難點(diǎn)：二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用
【倍速學(xué)習(xí)四種方法】
【方法一】脈絡(luò)梳理法
知識(shí)點(diǎn)1.二次函數(shù)與的圖象及性質(zhì)
【例1】已知二次函數(shù)y＝x2的圖象與直線y＝x＋2的圖象如圖所示.
(1)判斷y＝x2的圖象的開口方向，并說出此拋物線的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)設(shè)直線y＝x＋2與拋物線y＝x2的交點(diǎn)分別為A，B，如圖所示，試確定A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)連接OA，OB，求△AOB的面積.
[解析] (1)拋物線y＝x2的開口向上，對(duì)稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0).
(2)由題意得x2＝x＋2，解得x＝2或x＝－1，則y＝4或y＝1.
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(2，4)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，1).
(3)∵y＝x＋2與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，2)，
∴△AOB的面積＝12×2×1＋12×2×2＝3.
【變式】已知二次函數(shù)y＝x2，當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，求函數(shù)y的最小值和最大值.小王的解答過程如下：
解：當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝1；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4；
所以函數(shù)y的最小值為1，最大值為4.
小王的解答過程正確嗎?如果不正確，寫出正確的解答過程.
[解析] 小王的做法是錯(cuò)誤的.
正確的做法如下：
∵二次函數(shù)y＝x2的圖象開口向上，該函數(shù)的對(duì)稱軸是y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，
∴當(dāng)x＝0時(shí)取得最小值，最小值是0.
∵－1≤x≤2，
當(dāng)x＝2時(shí)取得最大值，此時(shí)y＝4，
由上可得，當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，函數(shù)y的最小值是0，最大值是4.
【例2】觀察二次函數(shù)y＝－x2的圖象，請(qǐng)問：
(1)什么時(shí)候y隨x的增大而增大?什么時(shí)候y隨x的增大而減小?
(2)什么時(shí)候函數(shù)有最大值或最小值?其最大值或最小值是多少?
[解析](1)當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小.
(2)y＝－x2的圖象開口向下，
∴函數(shù)y＝－x2有最大值，且當(dāng)x＝0時(shí)，y有最大值，最大值是0.
【變式】函數(shù)y＝ax2(a≠0)與直線y＝x－2交于點(diǎn)(1，b).
(1)求a，b的值.
(2)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大?
[解析](1)把(1，b)代入y＝x－2可得b＝1－2＝－1，
∴交點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，－1).
把(1，－1)代入y＝ax2可得a＝－1，
∴a＝－1，b＝－1.
(2)由(1)可得y＝－x2，
∴拋物線開口向下，且對(duì)稱軸為y軸，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大.
知識(shí)點(diǎn)2.二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)（重點(diǎn)）
二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象的性質(zhì)，見下表：
要點(diǎn)詮釋：
頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同. │a│相同，拋物線的開口大小、形狀相同.
│a│越大，開口越小，圖象兩邊越靠近y軸，│a│越小，開口越大，圖象兩邊越靠近x軸.
【例3】．（2023秋?普陀區(qū)期末）下列關(guān)于拋物線y＝2x2和拋物線y＝﹣2x2的說法中，不正確的是（）
A．對(duì)稱軸都是y軸
B．在y軸左側(cè)的部分都是上升的
C．開口方向相反
D．頂點(diǎn)都是原點(diǎn)
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說法是否正確，從而可以解答本題．
【解答】解：∵拋物線y＝2x2和拋物線y＝﹣2x2，
∴它們的對(duì)稱軸都是y軸，故選項(xiàng)A不符合題意；
拋物線y＝2x2在y軸左側(cè)的部分是下降的，拋物線y＝﹣2x2在y軸左側(cè)的部分都是上升的，故選項(xiàng)B符合題意；
它們的開口方向相反，故選項(xiàng)C不符合題意；
頂點(diǎn)都是原點(diǎn)，故選項(xiàng)D不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
【變式】．（2023秋?瓊山區(qū)校級(jí)期中）已知拋物線y＝（3m﹣1）x2的開口向下，則m的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【分析】由拋物線開口向下，可知二次項(xiàng)系數(shù)3m﹣1＜0，求解即可．
【解答】解：∵拋物線y＝（3m﹣1）x2的開口向下，
∴3m﹣1＜0，
解得：m＜，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟知當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口（a為拋物線二次項(xiàng)的系數(shù)）是解題關(guān)鍵．
知識(shí)點(diǎn)3.二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)（重點(diǎn)）
關(guān)于二次函數(shù)的性質(zhì)，主要從拋物線的開口方向、頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、函數(shù)值的增減性以及函數(shù)的最大值或最小值等方面來研究．下面結(jié)合圖象，將其性質(zhì)列表歸納如下：
【例4】．（2023秋?日喀則市期末）在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣mx+n2與二次函數(shù)y＝x2+m的圖象可能是（）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的位置和一次函數(shù)的增減性，判斷出m的符號(hào)，即可確定出正確的選項(xiàng)．
【解答】解：A．由直線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上可知，n2＜0，錯(cuò)誤，不符合題意；
B．由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上可知，m＞0，由直線可知，﹣m＞0，錯(cuò)誤，不符合題意；
C．由拋物線y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上可知，m＜0，由直線可知，﹣m＜0，錯(cuò)誤，不符合題意；
D．由拋物線y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上可知，m＜0，由直線可知，﹣m＞0，正確，符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，由二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)結(jié)合選項(xiàng)找出m＜0是解題的關(guān)鍵．
知識(shí)點(diǎn)4.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（重點(diǎn)）
一般地，二次函數(shù)的圖像是拋物線，稱為拋物線，它可以通過將拋物線向左（時(shí)）或向右（時(shí)）平移個(gè)單位得到．
拋物線（其中a、m是常數(shù)，且）的對(duì)稱軸是過點(diǎn)（-m，0）且平行（或重合）于y軸的直線，即直線x = -m；頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-m，0）．當(dāng)時(shí)，開口向上，頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，開口向下，頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．
【例5】．（2023秋?西昌市校級(jí)期末）y＝ax+b與y＝a（x+b）2在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（）
A． B．
C． D．
【分析】先由一次函數(shù)y＝ax+b圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)y＝a（x+b）2的圖象相比較看是否一致．
【解答】解：A、由拋物線可知，a＞0，x＝﹣b＞0，得b＜0，由直線可知，a＞0，b＞0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、由拋物線可知，a＞0，x＝﹣b＜0，得b＞0，由直線可知，a＜0，b＞0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、由拋物線可知，a＞0，x＝﹣b＜0，得b＞0，由直線可知，a＜0，b＞0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、由拋物線可知，a＞0，x＝﹣b＜0，得b＞0，由直線可知，a＞0，b＞0，故本選項(xiàng)正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象，掌握拋物線和直線的性質(zhì)，用假設(shè)法來搞定這種數(shù)形結(jié)合題是一種很好的方法．
知識(shí)點(diǎn)5.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（重點(diǎn)）
二次函數(shù)（其中a、m、k是常數(shù)，且）的圖像即拋物線，可以通過將拋物線進(jìn)行兩次平移得到．
這兩次平移可以是：先向左（時(shí)）或向右（時(shí)）平移個(gè)單位，再向上（時(shí)）或向下（時(shí)）平移個(gè)單位．
利用圖形平移的性質(zhì)，可知：拋物線（其中a、m、k是常數(shù)，且）的對(duì)稱軸是經(jīng)過點(diǎn)（，0）且平行于y軸的直線，即直線x =；拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，k）．拋物線的開口方向由a所取值的符號(hào)決定，當(dāng)時(shí)，開口向上，頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，開口向下，頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．
【例6】．（2022秋?環(huán)江縣期末）二次函數(shù)y＝2（x+2）2﹣1的圖象是（）
A．B．
C．D．
【分析】先根據(jù)解析式確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，然后對(duì)圖象進(jìn)行討論選擇．
【解答】解：∵a＝2＞0，
∴拋物線開口方向向上；
∵二次函數(shù)解析式為y＝2（x+2）2﹣1，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），對(duì)稱軸x＝﹣2．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】判斷圖象的大體位置根據(jù)：（1）根據(jù)a的正負(fù)確定開口方向；（2）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸確定圖象位于哪些象限．
【變式1】．（2023?長興縣一模）拋物線y＝2（x+9）2﹣3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）
A．（ 9，3）B．（9，﹣3）C．（﹣9，3）D．（﹣9，﹣3）
【分析】由拋物線解析式可得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：∵y＝2（x+9）2﹣3，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣9，﹣3），
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式．
【變式2】．（2023秋?西山區(qū)校級(jí)月考）在直角坐標(biāo)系中，將拋物線y＝﹣2x2先向下平移1個(gè)單位長度，再向左平移2個(gè)單位長度，所得新拋物線的解析式為（）
A．y＝﹣2（x+1）2﹣2B．y＝﹣2（x﹣1）2+2
C．y＝﹣2（x+2）2﹣1D．y＝﹣2（x﹣2）2+1
【分析】直接根據(jù)函數(shù)圖象平移的法則解答即可．
【解答】解：拋物線y＝﹣2x2先向下平移1個(gè)單位長度，再向左平移2個(gè)單位長度，所得新拋物線的解析式為：y＝﹣2（x+2）2﹣1．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“左加右減，上加下減”的法則是解題的關(guān)鍵．
【方法二】實(shí)例探索法
題型1.判斷二次函數(shù)圖象的開口大小
1.（1）在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)、的圖像；
（2）函數(shù)、的圖像與函數(shù)的圖像，有何異同？
【答案】（1）如圖：
（2）相同點(diǎn)：開口方向都向上；頂點(diǎn)都是點(diǎn)；對(duì)稱軸都是軸；不同點(diǎn)：開口大小不同．
【解析】（1）略；
（2）圖像頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)；對(duì)稱軸為軸；
，開口向上，，開口向下；
決定開口大小，越大，開口越小．
【總結(jié)】本題考察特殊二次函數(shù)的圖像畫法及二次函數(shù)圖像的性質(zhì)．
2.（1）在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)、、的圖像；
（2）函數(shù)、、的圖像與函數(shù)、、的圖像有何異同？
【答案】（1）如圖：
（2）相同點(diǎn)：相同的開口大小一樣；頂點(diǎn)都是原點(diǎn)；對(duì)稱軸都是軸；
不同點(diǎn)：開口方向不同．
【解析】（1）略；
（2）圖像頂點(diǎn)坐標(biāo)為；對(duì)稱軸為軸；
，開口向上，，開口向下；決定開口大小，越大，開口越?。?br>【總結(jié)】本題考察特殊二次函數(shù)的圖像畫法及二次函數(shù)的性質(zhì)．
題型2.二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合
3.已知直線上有兩個(gè)點(diǎn)A、B，它們的橫坐標(biāo)分別是3和-2，若拋物線也經(jīng)過點(diǎn)A，試求該拋物線的表達(dá)式．該拋物線也經(jīng)過點(diǎn)B嗎？請(qǐng)說出你的理由．
【答案】；拋物線不經(jīng)過點(diǎn)．
【解析】把3和-2分別代入得、，
把代入得，∴拋物線的表達(dá)式為；
把代入得，與B點(diǎn)縱坐標(biāo)不同，
∴拋物線不經(jīng)過點(diǎn)B．
【總結(jié)】本題考察利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式．
4.物線與直線交于點(diǎn)（1，b）．
（1）求a和b的值；
（2）求拋物線的解析式，并求頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；
（3）當(dāng)x取何值時(shí)，二次函數(shù)的y值隨x的增大而增大．
【答案】（1），；
（2），頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為軸；
（3）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的值隨的增大而增大．
【解析】（1）把（1，b）代入得，∴交點(diǎn)坐標(biāo)為．
把代入得，∴；
（2）由（1）得拋物線的解析式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為軸；
（3）∵拋物線開口向下，在對(duì)稱軸的左側(cè)二次函數(shù)的y值隨x的增大而增大，
即當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的值隨的增大而增大．
【總結(jié)】本題考察了待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式及二次函數(shù)的性質(zhì)．
題型3.畫二次函數(shù)的圖象
5.（2022秋·河南濮陽·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)，解答下列問題：
(1)根據(jù)已知的圖像部分畫出這個(gè)函數(shù)圖象的另一部分（直接在網(wǎng)格中作圖即可）．
(2)判斷點(diǎn)是否在這個(gè)函數(shù)圖象上，說明理由．
(3)求當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象在第一象限的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)見解析；
(2)點(diǎn)不在這個(gè)函數(shù)圖像上；
(3)
【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱性可直接畫出圖象；
（2）代入橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)都可判斷；
（3）代入即可求出坐標(biāo)．
【詳解】（1）如圖所示，
（2）當(dāng)時(shí)，
，
∴點(diǎn)不在這個(gè)函數(shù)圖象上；
（3）當(dāng)時(shí)，
，
∴，
∴時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)為：
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵是運(yùn)用好數(shù)形結(jié)合的思想．
題型4.二次函數(shù)與幾何圖形的綜合
6.有一個(gè)拋物線形的拱形隧道，隧道的最大高度為6m，跨度為8m，把它放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中．
（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若要在隧道壁上點(diǎn)P（如圖）安裝一盞照明燈，燈離地面高4.5m．求燈與點(diǎn)B的距離．

【答案與解析】
（1）由題意，設(shè)拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系為y=ax2+6（a＜0），
∵點(diǎn)A（-4，0）或B（4，0）在拋物線上，
∴0=a?（-4）2+6，
16a+6=0，16a=-6，
．
故拋物線的函數(shù)關(guān)系式為.
（2）過點(diǎn)P作PQ⊥AB于Q，連接PB，則PQ=4.5m．

將y=4.5代入，得x=±2．
∴P（-2，4.5），Q（-2，0），
于是|PQ|=4.5，|BQ|=6，
從而|PB|=
所以照明燈與點(diǎn)B的距離為7.5m．
【總結(jié)升華】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)
際問題．（1）根據(jù)拋物線在坐標(biāo)系的位置可設(shè)解析式：y=ax2+6，把點(diǎn)A（-4，0）代入即可；（2）燈離地面
高4.5m，即y=4.5時(shí)，求x的值，再根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)，勾股定理求PB的值.
【方法三】差異對(duì)比法
易錯(cuò)點(diǎn)：忽略了二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)的作用
7.拋物線與的形狀相同，則a的值為______．
【答案】．
【解析】∵拋物線與的形狀相同，∴，得．
【總結(jié)】本題考察二次函數(shù)的性質(zhì)．
【方法四】成果評(píng)定法
一．選擇題（共9小題）
1．（2023秋?長春期末）若點(diǎn)在二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上，則點(diǎn)的坐標(biāo)可能是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可確定對(duì)稱軸為，點(diǎn)在對(duì)稱軸上，因此的橫坐標(biāo)為5，進(jìn)而可得答案．
【解答】解：二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，
點(diǎn)在二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確確定拋物線的對(duì)稱軸．
2．（2023秋?新賓縣期末）拋物線通過變換可以得到拋物線，以下變換過程正確的是
A．先向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位
B．先向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位
C．先向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位
D．先向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位
【分析】先通過拋物線解析式得到兩個(gè)拋物線的頂點(diǎn)，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)即可判斷是如何平移得到．
【解答】解：的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
將拋物線先向左平移1個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度，可得到拋物線．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，解答時(shí)注意抓住點(diǎn)的平移規(guī)律和求出關(guān)鍵點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)．
3．（2023秋?西城區(qū)校級(jí)月考）已知點(diǎn)，，在拋物線上，則，，的大小關(guān)系是
A．B．C．D．
【分析】先求出拋物線的開口方向和對(duì)稱軸，然后根據(jù)三點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離判斷即可，由點(diǎn)的橫坐標(biāo)到對(duì)稱軸的距離判斷點(diǎn)的縱坐標(biāo)的大小解題即可．
【解答】解：，
，對(duì)稱軸為直線，
拋物線開口向下，
，，，，
，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，先求出拋物線的開口方向和對(duì)稱軸，然后根據(jù)三點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離判斷即可，由點(diǎn)的橫坐標(biāo)到對(duì)稱軸的距離判斷點(diǎn)的縱坐標(biāo)的大小是解此題的關(guān)鍵．
4．（2023秋?綠園區(qū)期末）二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是
A．B．C．D．
【分析】由拋物線頂點(diǎn)解析式可求得答案．
【解答】解：，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在中，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
5．（2022秋?上虞區(qū)期末）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值等于8，則下列關(guān)于，的關(guān)系式中，正確的是
A．B．C．D．
【分析】把，代入計(jì)算即可．
【解答】解：由題意得：
把，代入得：
，
等號(hào)兩邊同除以2得：，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)，熟練掌握代入法轉(zhuǎn)化為關(guān)于，的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．
6．（2022秋?東阿縣期末）已知，點(diǎn)，，都在二次函數(shù)的圖象上，則
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的增減性，進(jìn)行求解即可．
【解答】解：，
，
，，
當(dāng)時(shí)，隨值的增大而減少，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的增減性，在解題時(shí)要考慮點(diǎn)是否在對(duì)稱軸同一側(cè)的圖象上，然后再利用增減性進(jìn)行解題．
7．（2022秋?柯城區(qū)期末）將拋物線向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后，得到的新的拋物線的解析式為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進(jìn)行解答即可．
【解答】解：將拋物線向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后，得到的新的拋物線的解析式為：．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減是解題的關(guān)鍵．
8．（2023秋?明光市期中）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為
A．B．C．D．
【分析】拋物線的解析式為頂點(diǎn)式，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式即可得出結(jié)論．
【解答】解：拋物線解析式為，
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)．熟練掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，是解決問題的關(guān)鍵．
9．（2022秋?撫松縣期末）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最小值為，則的值為
A．0或1B．0或4C．1或4D．0或1或4
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論的方法，可以求得的值．
【解答】解：二次函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取得最小值1，
當(dāng)時(shí)，的最小值為，
當(dāng)時(shí)，時(shí)取得最小值，此時(shí)，該方程無解；
當(dāng)時(shí)，時(shí)取得最小值，此時(shí)，得；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí)，得；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論的方法解答．
二．填空題（共8小題）
10．（2023秋?日喀則市期末）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)的性質(zhì)．
11．（2023秋?西城區(qū)校級(jí)月考）將二次函數(shù)y＝2x2的圖象向左平移1個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位，得到的函數(shù)圖象的表達(dá)式是 y＝2（x+1）2﹣5 ．
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移的法則解答即可．
【解答】解：二次函數(shù)y＝2x2的圖象向左平移1個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位，得到的函數(shù)圖象的表達(dá)式是y＝2（x+1）2﹣5．
故答案為：y＝2（x+1）2﹣5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“左加右減，上加下減”的法則是解題的關(guān)鍵．
12．（2023秋?普陀區(qū)期末）如圖，拋物線的頂點(diǎn)為，為對(duì)稱軸上一點(diǎn)，如果，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是．
【分析】依據(jù)題意，設(shè)，由拋物線，求出頂點(diǎn)，再在求得，進(jìn)而可以判斷得解．
【解答】解：如圖，由題意，設(shè)．
由拋物線，
．
，．
．
在中，．
．
．
．
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．
13．（2023秋?普陀區(qū)期末）已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于此拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，如果點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是．
【分析】根據(jù)拋物線，可以計(jì)算出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，寫出拋物線的對(duì)稱軸，再根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于此拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，該拋物線的對(duì)稱軸為直線，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于此拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，
點(diǎn)的坐標(biāo)是，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
14．（2023秋?徐匯區(qū)期末）將拋物線向右平移后，所得新拋物線的頂點(diǎn)是，新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)（如圖所示），聯(lián)結(jié)、，如果是等邊三角形，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是，．
【分析】由題意設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，解得，從而求得，．
【解答】解：點(diǎn)拋物線上，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
是等邊三角形，
，，
或（舍去），
，，
故答案為：，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，等邊三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)題意得到關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．
15．（2023秋?宣化區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)、、的坐標(biāo)分別為、、．若拋物線的圖象與正方形有公共點(diǎn)，則的取值范圍是．
【分析】二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)，求出拋物線經(jīng)過兩個(gè)特殊點(diǎn)時(shí)的的值即可解決問題．
【解答】解：正方形的頂點(diǎn)、、的坐標(biāo)分別為、、．
，
當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，則，
當(dāng)拋物線經(jīng)過時(shí)，，
觀察圖象可知，拋物線的圖象與正方形有公共點(diǎn)，則的取值范圍是，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．（2022秋?松北區(qū)校級(jí)期末）二次函數(shù)的最大值是 5 ．
【分析】所給形式是二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，易知其頂點(diǎn)坐標(biāo)是，由可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值是5．
【解答】解：中，，
此函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，有最大值5，
即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值5．
故答案為：5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的最值，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)頂點(diǎn)式，并會(huì)根據(jù)頂點(diǎn)式求最值．
17．（2022秋?鳳山縣期末）如圖，把拋物線向左平移2個(gè)單位長度，再向下平移8個(gè)單位長度得到拋物線，拋物線的頂點(diǎn)為，它的對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為 16 ．
【分析】連接，，先求出拋物線的解析式，從而可得頂點(diǎn)的坐標(biāo)，以及點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積公式即可得．
【解答】解：如圖，連接，，
由題意得：平移后的拋物線的解析式為，
則拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即，
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知：，
所以，
故答案為：16．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，以及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．
三．解答題（共5小題）
18．（2022秋?東阿縣期末）如圖，，，，四點(diǎn)在拋物線上，且軸，與軸的交點(diǎn)分別為，，已知，，，求的值及的長．
【分析】由題意可設(shè)點(diǎn)，，然后可列二元一次方程組求得，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)即可解答．
【解答】解：由題意可設(shè)點(diǎn)，，
則：，，
解得：，，
軸
，．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、平行于軸的直線的坐標(biāo)特點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵．
19．（2023秋?瓊山區(qū)校級(jí)期中）已知如圖所示，直線經(jīng)過點(diǎn)和，它與拋物線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，且的面積為4．
（1）求直線的表達(dá)式；
（2）求的值．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式，
（2）根據(jù)面積求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后代入求得其橫坐標(biāo)，代入二次函數(shù)即可求解．
【解答】解：（1）設(shè)直線的解析式為，
將、分別代入得，
解得，
故直線的表達(dá)式為；
（2）的面積為4，
，
，
再把代入，得，
所以．
把代入到中得：．
故的值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，難度中等．
20．（2023秋?安慶期中）平移拋物線，使頂點(diǎn)坐標(biāo)為，并且經(jīng)過點(diǎn)，求平移后拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．
【分析】根據(jù)題意得出平移后的解析式為，然后利用待定系數(shù)法即可求得的值，從而求得平移后的解析式．
【解答】解：平移拋物線，使頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
平移后的解析式為，
平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
，
解得或，
平移后拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．根據(jù)題意得出平移后的解析式為是解題的關(guān)鍵．
21．（2022秋?運(yùn)城期末）探究二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，請(qǐng)?zhí)羁眨?br>①圖象的開口方向是；
②圖象的對(duì)稱軸為直線；
③圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；
④當(dāng) 時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為．
【分析】利用拋物線的頂點(diǎn)式和二次函數(shù)的性質(zhì)填空即可．
【解答】解：，
拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，有最小值1，
令，則，
圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
故答案為：①向上；②；③；④3，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．（2022秋?霍邱縣期末）已知拋物線，經(jīng)過點(diǎn)和．
（1）求、的值；
（2）將該拋物線向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度，得到新的拋物線，直接寫出新的拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．
【分析】（1）將點(diǎn)和，代入解析式求解即可；
（2）將，按題目要求平移即可．
【解答】解：（1）解：將點(diǎn)和代入拋物線得：．
解得：，
，；
（2）原函數(shù)的表達(dá)式為：，向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度，得平移后的新函數(shù)表達(dá)式為：即．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法確定解析式，頂點(diǎn)式的函數(shù)平移，口訣：“左加右減，上加下減”，正確的計(jì)算和牢記口訣是解題的關(guān)鍵．
二次函數(shù)y＝±x2的圖象與性質(zhì)
拋物線
y＝x2
y＝－x2
頂點(diǎn)坐標(biāo)
(0，0)
(0，0)
對(duì)稱軸
y軸
y軸
開口方向
向上
向下
增減性
在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨著x的增大而減??；在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨著x的增大而增大
在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨著x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨著x的增大而減小
最值
當(dāng)x＝0時(shí)，有最小值0
當(dāng)x＝0時(shí)，有最大值0
函數(shù)

圖象
開口方向
頂點(diǎn)坐標(biāo)
對(duì)稱軸
函數(shù)變化
最大（?。┲?
y=ax2
a>0
向上
（0，0）
y軸
x>0時(shí)，y隨x增大而增大；
x

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