知識(shí)點(diǎn)01 算術(shù)平方根
算術(shù)平方根的定義及其表示方法：
一般地，如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，即，那么這個(gè)正數(shù)叫做的算術(shù)平方根。記為 。讀作根號(hào)。所以就表示的算術(shù)平方根。
其中叫做根號(hào)，叫做被開方數(shù)。
規(guī)定0的算術(shù)平方根是 。
算術(shù)平方根的性質(zhì)：
①正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根。0的算術(shù)平方根是0本身。
②算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性：
只有 才有算術(shù)平方根，且它的算術(shù)平方根也是一個(gè) 。所以算術(shù)平方根本身 ，算術(shù)平方根的被開方數(shù)也 。即 0， 0。
非負(fù)性的應(yīng)用：
幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)分別等于0。
即若，則 。
③一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)數(shù)本身。即 。
④一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。再根據(jù)這個(gè)數(shù)的正負(fù)去絕對(duì)值符號(hào)。
即 。
【即學(xué)即練1】
1．求下列各數(shù)的算術(shù)平方根．
（1）196 （2） （3）0.04 （4）102．
【即學(xué)即練2】
2．（1）＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，對(duì)于任意實(shí)數(shù)0，猜想＝ ．
（2）（）2＝ ，（）2＝ ，（）2＝ ，（）2＝ ，對(duì)于任意非負(fù)數(shù)a，猜想（）2＝ ．
【即學(xué)即練3】
3．如果，則＝ ．
知識(shí)點(diǎn)02 估算算術(shù)平方根
估算算術(shù)平方根的方法——夾逼法：
具體步驟：
①估算被開方數(shù)在那兩個(gè)完全平方數(shù)之間（若一個(gè)數(shù)能被寫成某個(gè)整數(shù)的平方，則稱這個(gè)數(shù)為平方數(shù)）；
②確定無理數(shù)的整數(shù)步驟；
③按要求估算。
理論依據(jù)：
被開方數(shù)越大，則對(duì)應(yīng)的算術(shù)平方根也越大。
【即學(xué)即練1】
4．請(qǐng)你估算的大小，大致范圍是（ ）
A．1＜＜2B．2＜＜3C．3＜＜4D．4＜＜5
知識(shí)點(diǎn)03 平方根的概念與性質(zhì)
平方根的概念：
如果一個(gè)數(shù)的平方等于，則這個(gè)數(shù)就叫做的 ，也叫做的二次方根。表示為 。
平方根的性質(zhì)：
①正數(shù)的平方根有 個(gè)，分別是 與 ，他們互為 。
②規(guī)定0的平方根是 。所以0的平方根只有一個(gè)，就是它本身。
③負(fù)數(shù)沒有平方根。
求一個(gè)數(shù)的平方根：
求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算就做開平方，與平方預(yù)算互為逆運(yùn)算。
即，則?？杀硎緸?，。
【即學(xué)即練1】
5．求下列各數(shù)的平方根：
（1）121； （2）0.01； （3）； （4）（﹣13）2．
【即學(xué)即練2】
6．一個(gè)數(shù)的兩個(gè)平方根分別是2a﹣1與﹣a+2，則這個(gè)數(shù)是（ ）
A．﹣1B．3C．9D．﹣3
【即學(xué)即練3】
7．求下列各式中x的值．
（1）x2﹣25＝0； （2）（x﹣1）2＝64．
題型01 求算術(shù)平方根
【典例1】實(shí)數(shù)9的算術(shù)平方根是（ ）
A．3B．±3C．D．﹣9
【變式1】的算術(shù)平方根是（ ）
A．±9B．±3C．9D．3
【變式2】求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）．
【變式3】已知＝x，，z是9的算術(shù)平方根，求2x+y﹣z的算術(shù)平方根．
題型02 求平方根
【典例1】4的平方根是（ ）
A．﹣2B．2C．±2D．16
【變式1】（﹣9）2的平方根是（ ）
A．﹣9B．±9C．81D．
【變式2】的平方根是（ ）
A．4B．±4C．±2D．2
【變式3】求下列各數(shù)的平方根：
（1）49； （2）； （3）2； （4）0.36； （5）．
題型03 算術(shù)平方根的非負(fù)性應(yīng)用
【典例1】若+＝0，則x2023+y2024的值（ ）
A．0B．1C．﹣1D．2
【變式1】已知|a﹣1|+＝0，則a+b的值為（ ）
A．﹣4B．﹣2C．2D．4
【變式2】若實(shí)數(shù)x、y滿足+（y﹣3）2＝0，則等于（ ）
A．0B．5C．4D．±4
【變式3】若實(shí)數(shù)x，y滿足|x﹣3|+＝0，則（x+y）3的平方根為（ ）
A．4B．8C．±4D．±8
【變式4】+|b+2|＝0，則的值是（ ）
A．0B．2018C．﹣1D．1
題型04 算術(shù)平方根的估算
【典例1】下列整數(shù)中，與最接近的是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【變式1】的值介于下列哪兩個(gè)整數(shù)之間（ ）
A．30，35B．35，40C．40，45D．45，50
【變式2】若，則整數(shù)n的值為（ ）
A．0B．1C．﹣1D．﹣2
【變式3】如圖，數(shù)軸上表示的點(diǎn)應(yīng)在（ ）
A．線段AB上B．線段BC上C．線段CD上D．線段DE上
【變式4】實(shí)數(shù)在兩個(gè)相鄰的整數(shù)m與m+1之間，則整數(shù)m是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【變式5】已知a是的整數(shù)部分，b是它的小數(shù)部分，則（﹣a）3+（b+3）2＝ ．
題型05 利用兩個(gè)平方根的關(guān)系求值
【典例1】一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是3與a+2，則a的值為（ ）
A．1B．﹣1C．﹣3D．﹣5
【變式1】一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是2a﹣3和5﹣a，則這個(gè)數(shù)是（ ）
A．49B．25C．16D．7
【變式2】若一個(gè)正數(shù)的平方根是2a﹣5和a+2，則a＝ ，這個(gè)正數(shù)是 ．
【變式3】若＝2，正數(shù)b的兩個(gè)平方根分別是2c﹣1和﹣c+2，求2a+b+c平方根．
題型06 利用求平方根解方程
【典例1】解方程：
（1）16x2＝49； （2）（x﹣2）2＝64．
【變式1】求下列各式中x的值：
（1）9x2﹣25＝0； （2）4（2x﹣1）2＝36．
【變式2】解方程：
（1）25x2﹣49＝0； （2）2（x+1）2﹣49＝1．
1．平方根等于它本身的數(shù)是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．±1
2．下列說法正確的是（ ）
A．﹣4的平方根是±2
B．﹣4的算術(shù)平方根是﹣2
C．的平方根是±4
D．0的平方根與算術(shù)平方根都是0
3．式子表示（ ）
A．﹣3的算術(shù)平方根B．6的算術(shù)平方根
C．9的平方根D．9的算術(shù)平方根
4．下列各式正確的是（ ）
A．＝±4B．＝﹣3C．±＝±9D．＝2
5．已知m＝20212+20222，則的值為（ ）
A．2021B．2022C．4043D．4044
6．在下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．B．x4的算術(shù)平方根是x2
C．﹣x2一定沒有平方根D．的算術(shù)平方根是
7．已知，，則＝（ ）
A．35.12B．351.2C．111.08D．1110.8
8．一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)不同的平方根分別是2a﹣1和﹣a+2，則a為（ ）
A．0B．﹣1C．9D．1
9．，則x+y+z的值為（ ）
A．0B．1C．2D．3
10．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)踐課上，老師給同學(xué)們提供面積均為400cm2的正方形紙片，要求沿著邊的方向裁出長(zhǎng)方形．小明、小麗兩位同學(xué)設(shè)計(jì)出兩種裁剪方案．
小明的方案：能裁出一個(gè)長(zhǎng)寬之比為3：2，面積為300cm2的長(zhǎng)方形；
小麗的方案：能裁出一個(gè)長(zhǎng)寬之比為5：3，面積為300cm2的長(zhǎng)方形．
對(duì)于這兩個(gè)方案的判斷，符合實(shí)際情況的是（ ）
A．小明、小麗的方案均正確
B．小明的方案正確，小麗的方案錯(cuò)誤
C．小明、小麗的方案均錯(cuò)誤
D．小明的方案錯(cuò)誤，小麗的方案正確
11．的平方根是 ．
12．已知某數(shù)的一個(gè)平方根為，則這個(gè)數(shù)的另一個(gè)平方根為 ．
13．若單項(xiàng)式2xmy3與3x2ym+n是同類項(xiàng)，則的值為 ．
14．2m﹣4和6﹣m是正數(shù)a的兩個(gè)平方根，則a的值為 ．
15．已知有理數(shù)x，y，z滿足，那么（x﹣yz）2的平方根為 ．
16．利用平方根求下列x的值：
（1）x2＝9； （2）（x+2）2﹣81＝0．
17．（1）已知正數(shù)x的兩個(gè)平方根分別是2a﹣3和5﹣a，求a2和x的值；
（2）若＝0，求3x+6的平方根．
18．某小區(qū)準(zhǔn)備修建一個(gè)面積為75m2的花壇，甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)給出如下兩個(gè)施工方案．
甲：花壇為長(zhǎng)方形，且長(zhǎng)與寬的比為3：1．
乙：花壇為正方形．
（1）求長(zhǎng)方形花壇的寬．
（2）嘉淇說：“正方形花壇的邊長(zhǎng)肯定比長(zhǎng)方形花壇的寬長(zhǎng)3m．”請(qǐng)你判斷嘉淇的說法是否正確，并通過計(jì)算說明．
19．【觀察】|﹣2|＝2，|2|＝2；（﹣3）2＝9，32＝9．
【推理】
（1）若|x|＝1，則x＝ ；
（2）若y2＝16，則y＝ ．
【應(yīng)用】
（3）已知|a+1|＝2，b2＝25．
①求a，b的值；
②若a，b同號(hào)，求a﹣b的值．
20．按要求填空：
（1）填表并觀察規(guī)律：
（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：
已知：＝2.638，則＝ ；
已知：＝0.06164，＝61.64，則x＝ ；
（3）從以上問題的解決過程中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，試簡(jiǎn)要說明．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①算術(shù)平方根
②算術(shù)平方根的估算
③平方根的概念及其性質(zhì)
掌握算術(shù)平方根的概念及其性質(zhì)，并能夠熟練的進(jìn)行應(yīng)用及其求值。
掌握算術(shù)平方根的估算方法，能夠進(jìn)行大小比較。
掌握平方根的概念及其性質(zhì)，并能熟練的應(yīng)用及其求值。
a
0.0004
0.04
4
400








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初中數(shù)學(xué)人教版（2024）七年級(jí)下冊(cè)電子課本 舊教材

6.1 平方根

版本： 人教版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)

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