平方根（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解平方根、算術(shù)平方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根．2．了解開方與乘方互為逆運算，會用開方運算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會用計算器求平方根．【要點梳理】 要點一、平方根和算術(shù)平方根的概念1.算術(shù)平方根的定義如果一個正數(shù)的平方等于，即,那么這個正數(shù)x叫做的算術(shù)平方根（規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0）；的算術(shù)平方根記作，讀作“的算術(shù)平方根”，叫做被開方數(shù). 要點詮釋：當(dāng)式子有意義時，一定表示一個非負(fù)數(shù)，即≥0，≥0.2.平方根的定義　  如果，那么叫做的平方根.求一個數(shù)的平方根的運算，叫做開平方.平方與開平方互為逆運算. (≥0)的平方根的符號表達(dá)為，其中是的算術(shù)平方根. 要點二、平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1．區(qū)別：（1）定義不同；（2）結(jié)果不同：和2．聯(lián)系：（1）平方根包含算術(shù)平方根；（2）被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)；        （3）0的平方根和算術(shù)平方根均為0．要點詮釋：（1）正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，其中正的那個叫它的算術(shù)平方根；負(fù)數(shù)沒有平方根．（2）正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫出它的另一個平方根.因此，我們可以利用算術(shù)平方根來研究平方根.要點三、平方根的性質(zhì)要點四、平方根小數(shù)點位數(shù)移動規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點向右或者向左移動2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點就相應(yīng)地向右或者向左移動1位.例如：，，，. 【典型例題】類型一、平方根和算術(shù)平方根的概念1、（2015秋?張家港市校級期中）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整數(shù)部分，求a+b+c的平方根．【思路點撥】首先根據(jù)平方根與立方根的概念可得2a﹣1與3a+b﹣9的值，進(jìn)而可得a、b的值；接著估計的大小，可得c的值；進(jìn)而可得a+b+c，根據(jù)平方根的求法可得答案．【答案與解析】解：根據(jù)題意，可得2a﹣1=9，3a+b﹣9=8；故a=5，b=2；又∵2＜＜3，∴c=2，∴a+b+c=5+2+2=9，∴9的平方根為±3．【總結(jié)升華】此題主要考查了平方根、立方根、算術(shù)平方根的定義及無理數(shù)的估算能力，還要掌握實數(shù)的基本運算技能，靈活應(yīng)用． 舉一反三：【變式】已知2－1與－＋2是的兩個不同的平方根，求的值.【答案】2－1與－＋2是的平方根，所以2－1與－＋2互為相反數(shù).解：當(dāng)2－1＋（－＋2）＝0時，＝－1，所以＝2、為何值時，下列各式有意義？(1)；  (2)；  (3)；  (4)．【答案與解析】解：(1)因為，所以當(dāng)取任何值時，都有意義．(2)由題意可知：，所以時，有意義．(3)由題意可知：解得：．所以時有意義．(4)由題意可知：，解得且．所以當(dāng)且時，有意義．【總結(jié)升華】(1)當(dāng)被開方數(shù)不是數(shù)字，而是一個含字母的代數(shù)式時，一定要討論，只有當(dāng)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)時，式子才有意義．(2)當(dāng)分母中含有字母時，只有當(dāng)分母不為0時，式子才有意義．舉一反三：【變式】已知，求的算術(shù)平方根．【答案】解：根據(jù)題意，得則，所以＝2，∴，∴的算術(shù)平方根為．類型二、平方根的運算3、求下列各式的值．(1)；(2)．【思路點撥】（1）首先要弄清楚每個符號表示的意義.（2）注意運算順序.【答案與解析】解：(1)；(2)．【總結(jié)升華】(1)混合運算的運算順序是先算平方開方，再乘除，后加減，同一級運算按先后順序進(jìn)行．(2)初學(xué)可以根據(jù)平方根、算術(shù)平方根的意義和表示方法來解，熟練后直接根據(jù)來解．類型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的.（1）              （2）；（3）【答案與解析】解：（1）∵        ∴        ∴（2）∵    ∴    ∴＋1＝±17   ＝16或＝－18. （3）∵     ∴     ∴     ∴【總結(jié)升華】本題的實質(zhì)是一元二次方程，開平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小題中運用了整體思想分散了難度.舉一反三：【變式】求下列等式中的：（1）若，則＝______；    （2），則＝______；（3）若則＝______；     （4）若，則＝______．【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）；（4）±2.類型四、平方根的綜合應(yīng)用【高清課堂：389316 平方根：例5】5、已知、是實數(shù)，且，解關(guān)于的方程．【答案與解析】解：∵、是實數(shù)，，，，∴，．∴－3，．把－3，代入，得－＋2＝－4，∴＝6．【總結(jié)升華】本題是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)與方程的知識相結(jié)合的一道題，應(yīng)先求出、的值，再解方程．此類題主要是考查完全平方式、算術(shù)平方根、絕對值三者的非負(fù)性，只需令每項分別等于零即可．舉一反三：【高清課堂：389316 平方根：例5練習(xí)】【變式】若，求的值．【答案】解：由，得，，即，．①當(dāng)＝1，＝－1時，．②當(dāng)＝－1，＝－1時，．【高清課堂：389316 平方根：例6】6、小麗想用一塊面積為400的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300 的長方形紙片，使它長寬之比為，請你說明小麗能否用這塊紙片裁出符合要求的長方形紙片.【答案與解析】解：設(shè)長方形紙片的長為3 (＞0) ，則寬為2，依題意得       .             .       .∵ ＞0，    ∴ .             ∴ 長方形紙片的長為.    ∵ 50＞49, ∴.    ∴ , 即長方形紙片的長大于20.      由正方形紙片的面積為400 , 可知其邊長為20,     ∴ 長方形的紙片長大于正方形紙片的邊長.答: 小麗不能用這塊紙片裁出符合要求的長方形紙片.  【總結(jié)升華】本題需根據(jù)平方根的定義計算出長方形的長和寬，再判斷能否用邊長為20的正方形紙片裁出長方形紙片.舉一反三：【變式】（2015春?臺安縣月考）某小區(qū)為了促進(jìn)全民健身活動的開展，決定在一塊面積約為1000m2的正方形空地上建一個籃球場，已知籃球場的面積為420m2，其中長是寬的倍，籃球場的四周必須留出1m寬的空地，請你通過計算說明能否按規(guī)定在這塊空地上建一個籃球場？【答案】解：設(shè)籃球場的寬為xm，那么長為m，由題意知，所以x2=225，因為x為正數(shù)，所以x==15，又因為=900＜1000，所以按規(guī)定在這塊空地上建一個籃球場． 

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6.1 平方根

版本： 人教版

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