類(lèi)型二：巧用正數(shù)的兩個(gè)平方根的關(guān)系求值
類(lèi)型三：巧用算術(shù)平方根的最小值求值
類(lèi)型四：巧用平方根的定義解方程
【類(lèi)型一：巧用非負(fù)性求值】
1．（2023秋?余姚市期中）已知，則的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出m、n的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【解答】解：∵，
∴m﹣4＝0，n+9＝0，
解得m＝4，n＝﹣9，
∴＝＝﹣．
故選：B．
2．（2023春?祥云縣期末）已知+|b﹣1|＝0．那么（a+b）2023的值為（ ）
A．﹣1B．1C．32023D．﹣32023
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、絕對(duì)值的非負(fù)性，求出a、b的值，再代入計(jì)算即可．
【解答】解：∵+|b﹣1|＝0．
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
即a＝﹣2，b＝1，
∴（a+b）2023＝（﹣2+1）2023＝﹣1，
故選：A．
3．（2023春?五華區(qū)校級(jí)期中）已知x，y滿足+（y+1）2＝0，那么x﹣y的平方根是（ ）
A．B．C．1D．±1
【分析】利用算術(shù)平方根的定義以及偶次方的性質(zhì)得出x，y的值，再利用平方根的定義求出答案．
【解答】解：∵x，y滿足+（y+1）2＝0，
∴x＝2，y＝﹣1，
∴x﹣y＝2﹣（﹣1）＝3，
∴x﹣y的平方根是：±．
故選：A．
4．（2023秋?大東區(qū)期中）+|b+2|＝0，則的值是（ ）
A．0B．2018C．﹣1D．1
【分析】直接利用絕對(duì)值以及算術(shù)平方根的性質(zhì)得出a，b的值，代入計(jì)算得出答案．
【解答】解：根據(jù)題意得a﹣1＝0，b+2＝0，
解得：a＝1，b＝﹣2，
則＝＝1．
故選：D．
5．（2023春?西崗區(qū)月考）已知（4﹣a）2與互為相反數(shù)，則a﹣b的平方根是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、偶次方的非負(fù)性求出a、b的值，再求出a﹣b的值，由平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：由題意得，（4﹣a）2+＝0，而（4﹣a）2≥0，≥0，
∴4﹣a＝0，b+1＝0，
解得a＝4，b＝﹣1，
∴a﹣b＝5，
∴a﹣b的平方根是，
故選：C．
6．（2022秋?九龍坡區(qū)期末）已知a、b、c都是實(shí)數(shù)，若，則的值等于（ ）
A．1B．﹣C．2D．﹣2
【分析】先根據(jù)平方，絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性求出a，b，c的值，再將a，b，c代入中即可求解．
【解答】解：∵，
，|2b﹣|≥0，（c+2a）2≥0，
∴a﹣2＝0，2b﹣＝0，c+2a＝0，
∴a＝2，b＝，c＝﹣4，
∴＝＝＝2，
故選：C．
7．（2023春?賽罕區(qū)期中）已知，則a2+b2的值為（ ）
A．2B．C．1或﹣1D．1
【分析】由已知得，兩邊平方整理可得（1﹣a2﹣b2）2＝0，從而可選出正確答案．
【解答】解：，
則兩邊平方得，
整理得，
兩邊平方得4b2（1﹣a2）＝（1+b2﹣a2）2＝（1﹣a2）2+2b2（1﹣a2）+b4，
所以（1﹣a2）2﹣2b2（1﹣a2）+b4＝0，即（1﹣a2﹣b2）2＝0，
所以1﹣a2﹣b2＝0，即a2+b2＝1，
故選：D．
8．（2023春?南山區(qū)校級(jí)月考），則a+b＝（ ）
A．a(chǎn)+b＝﹣1B．a(chǎn)+b＝1C．a(chǎn)+b＝2D．a(chǎn)+b＝3
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和絕對(duì)值的非負(fù)性，可得a﹣b﹣3＝0，2a﹣4＝0，從而得到a＝2，b＝﹣1，即可求解．
【解答】解：∵，，
∴，
∴a﹣b﹣3＝0，2a﹣4＝0，
解得：a＝2，b＝﹣1，
∴a+b＝1．
故選：B．
【類(lèi)型二：巧用正數(shù)的兩個(gè)平方根的關(guān)系求值】
9．（2023秋?榆陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是2a﹣3和5﹣a，則這個(gè)數(shù)是（ ）
A．49B．25C．16D．7
【分析】根據(jù)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且它們互為相反數(shù)得出2a﹣3+5﹣a＝0，求出a的值，即可求出這個(gè)數(shù)．
【解答】解：由題意得，2a﹣3+5﹣a＝0，
解得a＝﹣2，
∴5﹣a＝5﹣（﹣2）＝7，2a﹣3＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7，
∴（±7）2＝49，
即這個(gè)數(shù)是49，
故選：A．
10．（2023春?臺(tái)江區(qū)校級(jí)期末）若一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是3m+1與2m﹣6，則m的值是（ ）
A．﹣7B．﹣4C．1D．16
【分析】根據(jù)平方根的定義得出3m+1+2m﹣6＝0，再進(jìn)行求解即可得出答案．
【解答】解：∵一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是3m+1與2m﹣6，
∴3m+1+2m﹣6＝0，
∴m＝1；
故選：C．
11．（2023秋?玄武區(qū)校級(jí)期中）若一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根是2a﹣2和﹣a+3，則a＝ ﹣1 ，這個(gè)正數(shù)是 16 ．
【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)即可求得a的值，然后根據(jù)平方根的定義即可求得這個(gè)正數(shù)的值．
【解答】解：∵一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根是2a﹣2和﹣a+3，
∴2a﹣2﹣a+3＝0，
解得：a＝﹣1，
則﹣a+3＝1+3＝4，
那么這個(gè)正數(shù)是16，
故答案為：﹣1；16．
12．（2023春?南通期末）已知正實(shí)數(shù)x的兩個(gè)平方根是a和a+b，若2a2x+（a+b）2x＝27，則x＝ 3 ．
【分析】一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，由此可得x＝a2＝（a+b）2，然后將其代入2a2x+（a+b）2x＝27中，利用平方根的定義計(jì)算后根據(jù)題意確定x的值即可．
【解答】解：∵正實(shí)數(shù)x的兩個(gè)平方根是a和a+b，
∴x＝a2＝（a+b）2，
∵2a2x+（a+b）2x＝27，
∴2x?x+x?x＝27，
即3x2＝27，
則x2＝9，
∵x為正實(shí)數(shù)，
∴x＝3，
故答案為：3．
13．（2023秋?太和區(qū)期中）若＝2，正數(shù)b的兩個(gè)平方根分別是2c﹣1和﹣c+2，求2a+b+c平方根．
【分析】由于一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，得：2c﹣1和﹣c+2＝0．解方程即可求出c，然后即可求b，根據(jù)算術(shù)平方根的定義可求a，再代入計(jì)算可求2a+b+c平方根．
【解答】解：∵正數(shù)b的兩個(gè)平方根分別是2c﹣1和﹣c+2，
∴2c﹣1﹣c+2＝0，解得c＝﹣1，
∴b＝（﹣2﹣1）2＝9，
∵＝2，
解得a＝5，
∴2a+b+c＝10+9﹣1＝18，
∴18的平方根是±3．
14．（2023春?普蘭店區(qū)期中）一個(gè)正數(shù)x的兩個(gè)平方根分別是2a﹣1與﹣a+2，求a的值和這個(gè)正數(shù)x的值．
【分析】正數(shù)x有兩個(gè)平方根，分別是﹣a+2與2a﹣11，所以﹣a+2與2a﹣1互為相反數(shù)；即﹣a+2+2a﹣1＝0解答可求出a；根據(jù)x＝（﹣a+2）2，代入可求出x的值．
【解答】解：∵正數(shù)x有兩個(gè)平方根，分別是﹣a+2與2a﹣1，
∴﹣a+2+2a﹣1＝0
解得a＝﹣1．
所以x＝（﹣a+2）2＝（1+2）2＝9．
15．（2023秋?臨汾月考）若實(shí)數(shù)b的兩個(gè)不同平方根是2a﹣3和3a﹣7，求5a﹣b的平方根．
【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行解題即可．
【解答】解：由題意得 （2a﹣3）+（3a﹣7）＝0，
解得a＝2，
∴b＝（2a﹣3）2＝1，
∴5a﹣b＝9．
∴5a﹣b 的平方根為±3．
16．（2023春?惠陽(yáng)區(qū)期末）已知正實(shí)數(shù)x的兩個(gè)平方根分別為a和a+b．
（1）若a＝﹣2，求b和x的值；
（2）若b＝6時(shí)，求a和x的值；
（3）若a2x+（a+b）2x＝8，求x的值．
【分析】（1）根據(jù)平方根的定義及性質(zhì)即可求得b的值和x的值；
（2）根據(jù)平方根的定義及性質(zhì)即可求得a的值和x的值；
（3）根據(jù)平方根的定義將原式進(jìn)行變形后解方程，然后結(jié)合已知條件確定x的值即可．
【解答】解：（1）∵正實(shí)數(shù)x的平方根分別為a和a+b，
∴a+a+b＝0，
即2a+b＝0，
∵a＝﹣2，
∴b＝4，x＝（﹣2）2＝4；
（2）∵2a+b＝0，b＝6，
∴2a+6＝0，
解得：a＝﹣3，
∴x＝（﹣3）2＝9；
（3）∵正實(shí)數(shù)x的平方根分別為a和a+b，
∴x＝a2＝（a+b）2，
∵a2x+（a+b）2x＝8，
∴x2+x2＝8，
即2x2＝8，
解得：x＝±2，
∵x為正實(shí)數(shù)，
∴x＝2．
【類(lèi)型三：巧用算術(shù)平方根的最小值求值】
17．（2023?墨玉縣一模）當(dāng)x＝ 4 時(shí)，式子3+有最小值，且最小值是 3 ．
【分析】先根據(jù)二次根式非負(fù)的性質(zhì)求出x的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【解答】解：∵，
∴當(dāng)x﹣4＝0時(shí)，會(huì)有最小值，
∴當(dāng)x＝4時(shí)，會(huì)有最小值，且最小值是3．
故答案為：4，3．
18．（2023春?東湖區(qū)校級(jí)期中）已知y＝﹣9+，當(dāng)x＝ 13 時(shí)，y的最小值＝ ﹣9 ．
【分析】由算術(shù)平方根的非負(fù)性求解即可．
【解答】解：∵，
∴當(dāng)x＝13時(shí)，有最小值是0，
∴當(dāng)x＝13時(shí)，y有最小值，最小值為﹣9+0＝﹣9，
故答案為：13；﹣9．
19．（2023春?潮陽(yáng)區(qū)期末）已知是整數(shù)，則自然數(shù)m的最小值是（ ）
A．2B．3C．8D．11
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義可得被開(kāi)方數(shù)是9，進(jìn)而求出答案．
【解答】解：若是整數(shù)，則自然數(shù)m的最小值是3，
故選：B．
20．（2023春?海淀區(qū)校級(jí)期中）關(guān)于式子m2+1（m為實(shí)數(shù)），下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A．式子m2+1定有平方根
B．當(dāng)m＝0時(shí)，式子m2+1有最小值
C．無(wú)論m為何值，式子m2+1的值一定是有理數(shù)
D．式子m2+1的算術(shù)平方根一定大于等于1
【分析】分別根據(jù)平方根有意義的條件，最小值，無(wú)理數(shù)的意義及算術(shù)平方根的意義判斷求解．
【解答】解：∵m2+1（m為實(shí)數(shù)）≥1，
∴A：m2+1定有平方根，
B：當(dāng)m＝0時(shí)，m2+1有最小值1，
D：m2+1的算術(shù)平方根大于等于1，
C：當(dāng)m＝π時(shí)，m2+1是無(wú)理數(shù)，
故選：C．
21．（2023春?淮北月考）當(dāng)a取什么值時(shí)，的值最??？請(qǐng)求出這個(gè)最小值．
【分析】根據(jù)≥0，即可求得a的值，以及所求式子的最小值．
【解答】解：∵≥0，
∴當(dāng)a＝﹣時(shí)，有最小值，是0．
則的最小值是1．
【類(lèi)型四：巧用平方根的定義解方程】
22．（2023秋?永修縣期中）已知一個(gè)正數(shù)m的兩個(gè)不相等的平方根是a+5與2a﹣11．
（1）求a及m的值；
（2）求關(guān)于x的方程ax2﹣16＝0的解．
【分析】（1）根據(jù)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)解答；
（2）根據(jù)平方根的定義解方程即可．
【解答】解：（1）由題意得：a+5+2a﹣11＝0，
解得：a＝2，
∴m＝（a+5）2＝49；
（2）原方程為：2x2﹣16＝0，
∴x2＝8，
解得：．
23．（2023春?牧野區(qū)校級(jí)期中）解方程：
（1）16x2＝49；
（2）（x﹣2）2＝64．
【分析】（1）（2）如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根，由此即可求解．
【解答】解：（1）16x2＝49，
∴x2＝，
∴x＝±；
（2）（x﹣2）2＝64，
∴x﹣2＝±8，
∴x＝10或x＝﹣6．
24．（2023春?西和縣期中）解方程：
（1）25x2﹣49＝0；
（2）2（x+1）2﹣49＝1．
【分析】（1）利用一元二次方程的解法求解即可；
（2）把（x+1）看作一個(gè)整體，求解即可．
【解答】解：（1）25x2﹣49＝0，
化為：，
∴x＝±，
∴；
（2）2（x+1）2﹣49＝1，
化為：（x+1）2＝25，
∴x+1＝±5，
∴x1＝4，x2＝﹣6．
25．（2023春?澄海區(qū)期末）已知|2a+b﹣4|與互為相反數(shù)．
（1）求5a﹣4b的平方根；
（2）解關(guān)于x的方程ax2+5b﹣5＝0．
【分析】（1）依據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得a、b的值，然后再求得5a﹣4b的值，最后依據(jù)平方根的定義求解即可；
（2）將a、b的值代入得到關(guān)于x的方程，然后解方程即可．
【解答】解：（1）由題意，得，
∴2a+b﹣4＝0，3b+12＝0，
解得：a＝4，b＝﹣4，
∴5a﹣4b＝5×4﹣4×（﹣4）＝36，
∴5a﹣4b的平方根為±6；
（2）將a＝4，b＝﹣4代入ax2+5b﹣5＝0，
得4x2﹣25＝0，
解得：．
26．（2023春?鄱陽(yáng)縣期末）已知a、b滿足，解關(guān)于x的方程（a+4）x+b2＝a﹣1．
【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b的值，然后代入代數(shù)式得到關(guān)于x的一元一次方程，求解即可．
【解答】解：根據(jù)題意得，2a+10＝0，b﹣＝0，
解得a＝﹣5，b＝，
所以，方程為（﹣5+4）x+5＝﹣5﹣1，
即﹣x+5＝﹣6，
解得x＝11．
27．（2023春?天河區(qū)期中）已知一個(gè)正數(shù)的平方根是a+6與2a﹣9，
（1）求a的值；
（2）求關(guān)于x的方程ax3﹣64＝0的解．
【分析】（1）根據(jù)平方根的定義可求出a的值；
（2）將a的值代入后，再由立方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：（1）∵一個(gè)正數(shù)的平方根是a+6與2a﹣9，
∴a+6+2a﹣9＝0，
解得a＝1，
答：a＝1；
（2）當(dāng)a＝1時(shí)，原方程可變?yōu)閤3﹣64＝0，由立方根的定義可知，
x＝4，
即方程x3﹣64＝0的解為x＝4．
28．（2023春?昭平縣期中）已知一個(gè)正數(shù)m的兩個(gè)不相等的平方根是a+6與2a﹣9．
（1）求a的值；
（2）求這個(gè)正數(shù)m；
（3）求關(guān)于x的方程ax2﹣16＝0的解．
【分析】（1）根據(jù)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)解答；
（2）將a＝1代入m＝（a+6）2中，可得m的值；
（3）根據(jù)平方根的定義解方程即可．
【解答】解：（1）由題意得，a+6+2a﹣9＝0，
解得，a＝1；
（2）當(dāng)a＝1時(shí)，a+6＝1+6＝7，
∴m＝72＝49；
（3）x2﹣16＝0，
x2＝16，
x＝±4．
29．（2023春?東港區(qū)校級(jí)月考）已知|2a+b|與互為相反數(shù)．
（1）求2a﹣3b的平方根；
（2）解關(guān)于x的方程ax2+4b﹣2＝0．
【分析】（1）依據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得a、b的值，然后再求得2a﹣3b的值，最后依據(jù)平方根的定義求解即可；
（2）將a、b的值代入得到關(guān)于x的方程，然后解方程即可．
【解答】解：由題意，得2a+b＝0，3b+12＝0，解得 b＝﹣4，a＝2．
（1）∵2a﹣3b＝2×2﹣3×（﹣4）＝16，
∴2a﹣3b的平方根為±4．
（2）把b＝﹣4，a＝2代入方程，得2x2+4×（﹣4）﹣2＝0，即x2＝9，
解得x＝±3．

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初中數(shù)學(xué)人教版（2024）七年級(jí)下冊(cè)電子課本 舊教材

6.1 平方根

版本： 人教版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)

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