2.理解平方差公式和完全平方公式的結構特征，并能運用公式進行簡單的運算；
3.會用幾何圖形說明公式的意義，體會數(shù)形結合的思想方法.
知識點01 平方差公式
平方差公式:兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積,等于這兩個數(shù)的平方差.
即(a+b)(a-b)=a2-b2
公式的幾種變化：
①位置變化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a2-b2；
（-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)2-a2=b2-a2
②系數(shù)變化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2
③指數(shù)變化：（a2+b2）(a2-b2)=（a2）2-（b2）2=
④增項變化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)2-c2
⑤連用公式變化：（a+b）(a-b)(a2+b2)=（a2-b2）(a2+b2)=（a2）2-（b2）2=
⑥公式逆運算：a2-b2 =(a+b)(a-b)
知識點02 完全平方公式
完全平方公式:兩數(shù)和(差)的平方,等于它們的平方和,加(減)它們積的2倍.
即完全平方和 (a+b)2=a2+2ab+b2 完全平方差 (a-b)2=a2-2ab+b2
公式的特征：前平方，后平方，中間是乘積的2倍
公式的變化：
①a2+b2=(a+b)2-2ab；②a2+b2=(a-b)2+2ab； ③(a+b)2=(a-b)2+4ab； ④ (a-b)2=(a+b)2-4ab
⑤(a+b)2-(a-b)2=4ab
知識點03 平方差和完全平方差區(qū)別
平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2
完全平方差公式： (a-b)2=a2-2ab+b2
平方差公式和完全平方差公式易混淆，切記完全平方差中間有乘積的2倍
題型01 判斷是否可用平方差公式運算.
【例題】下列各式中不能用平方差公式計算的是（ ）
A．B．
C．D．
【變式訓練】
1．下列能使用平方差公式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各式中，不能用平方差公式計算的是（ ）
A．B．
C．D．
題型02 運用平方差公式進行運算.
【例題】（2023上·全國·八年級專題練習）計算：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)．
【變式訓練】
1．（2023上·八年級課時練習）計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
2．（2023·上?！て吣昙壖倨谧鳂I(yè)）計算：
(1)； (2)．
題型03 利用平方差公式進行簡便運算.
【例題】（2023上·吉林長春·八年級?？茧A段練習）用簡便方法計算：
(1) (2)
【變式訓練】
1．（2023上·八年級課時練習）計算：
(1)； (2)．
2．（2023上·八年級課時練習）計算：
(1)．
(2)．
(3)．
題型04 平方差公式與幾何圖形.
【例題】（2023上·江蘇泰州·七年級靖江市靖城中學校聯(lián)考期中）圖1、圖2分別由兩個長方形拼成．
(1)圖1中圖形的面積為，圖2中圖形的面積為 ．（用含有a、b的代數(shù)式表示）
(2)由（1）可以得到等式： ．
(3)根據你得到的等式解決下列問題：
①計算：．
②若，求的值．
【變式訓練】
1．（2023上·陜西安康·八年級校聯(lián)考階段練習）【實踐操作】
（1）如圖，在邊長為的大正方形中剪去一個邊長為b的小正方形（），把圖中形的紙片按圖剪拼，改造成了一個大長方形如圖，用含、的式子表示圖中大長方形的面積為______；

（2）請寫出圖、圖、圖驗證的乘法公式為：______；
【應用探究】
（3）利用（）中驗證的公式簡便計算：；
（4）計算：．
2．（2023上·山東濟南·七年級山東省濟南稼軒學校?？茧A段練習）實戰(zhàn)與探究，如圖1，邊長為a的大正方形有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．
(1)上述操作能驗證的公式是______（請選擇正確的一個）．
A． B． C．
(2)請應用上面的公式完成下列各題：
①已知，，則______；
②計算：；
③計算：
題型05 運用完全平方公式進行運算
【例題】（2023上·河南信陽·八年級?？茧A段練習）用乘法公式計算
(1)
(2)
【變式訓練】
1．（2023上·八年級課時練習）計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．（2023上·八年級課時練習）計算：
(1)；
(2)；
(3)．
題型06 利用完全平方公式進行簡便運算
【例題】用簡便方法計算：．
【變式訓練】
1．用簡便算法計算
(1) (2)
題型07 通過對完全平方公式變形求值
【例題】（2023上·四川宜賓·八年級?？茧A段練習）已知：，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【變式訓練】
1．已知，，求下列代數(shù)式的值．
(1)
(2)
2．已知，求下列式子的值：
(1)；
(2)．
題型08 求完全平方式中的字母系數(shù)
【例題】已知關于x的式子是某個多項式的完全平方，那么A是 ．
【變式訓練】
1．若是一個完全平方式，則 ．
2．若整式是完全平方式，請寫出所有滿足條件的是 ．
題型09 完全平方式在幾何圖形中的應用
【例題】（2023上·江蘇·九年級專題練習）我們已經學習了乘法公式的多種運用，可以運用所學知識解答：求代數(shù)式的最小值．解答如下：
解：，
，∴當時，的值最小，最小值是，
∴，∴當時，的值最小，最小值是，
∴的最小值是．
請你根據上述方法，解答下列各題．
(1)知識再現(xiàn)：當______時，代數(shù)式的最小值是______；
(2)知識運用：若，當______時，有最______值（填“大”或“小”），這個值是______；
(3)知識拓展：若，求的最小值．
【變式訓練】
1．例：求代數(shù)式的最小值.
解：，
，，
當時，代數(shù)式有最小值，
仿照以上方法，完成下列問題：
(1)求代數(shù)式的最小值；
(2)求代數(shù)式的最大值.
2．我們已學完全平方公式：，觀察下列式子：
，
，原式有最小值是；
，
，原式有最大值是；
并完成下列問題：
(1)代數(shù)式有最 （填大或?。┲?，這個值= ．
(2)解決實際問題：在緊靠圍墻的空地上，利用圍墻及一段長為100米的木欄圍成一個長方形花圃，為了設計一個盡可能大的花圃，如圖設長方形一邊長度為米，完成下列任務．
①用含的式子表示花圃的面積；
②請說明當取何值時，花圃的最大面積是多少平方米？
題型10 完全平方公式在幾何圖形中的應用
【例題】現(xiàn)有長與寬分別為、的小長方形若干個，用兩個這樣的小長方形，拼成如圖1的圖形，用四個相同的小長方形拼成圖2的圖形，請認真觀察圖形，解答下列問題：
(1)根據圖中條件，請寫出圖1和圖2所驗證的關于、的關系式：（用、的代數(shù)式表示出來）；
圖1表示： ；圖2表示： ；
根據上面的解題思路與方法，解決下列問題：
(2)若，，則 ； ；
(3)如圖3，點是線段上的一點，以，為邊向兩邊作正方形，設，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．
【變式訓練】
1．將完全平方公式進行適當?shù)淖冃危梢越鉀Q很多的數(shù)學問題，例如：若，，求的值．
解：因為，所以，即．
又因為，所以．
根據上面的解題思路與方法，解決下列問題：
(1)若，，則 ；
(2)若，，求的值；
(3)兩個正方形如圖擺放，面積和為34，，則圖中陰影部分面積和為 ．
2．如圖①，正方形是由兩個長為a、寬為b的長方形和兩個邊長分別為a、b的正方形拼成的．
(1)利用正方形面積的不同表示方法，直接寫出、、之間的關系式，這個關系式是 ；
(2)若m滿足，請利用（1）中的數(shù)量關系，求的值；
(3)若將正方形的邊、分別與圖①中的、重疊，如圖②所示，已知，，求圖中陰影部分的面積（結果必須是一個具體數(shù)值）．
一、單選題
1．（2023上·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考階段練習）下列算式能用平方差公式計算的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023上·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）下列式子：① ；② ； ③，其中正確的是（ ）
A．①②③B．只有①②C．只有②D．只有①
3．（2023上·四川宜賓·八年級?？茧A段練習）若，，則的值是（ ）
A．27B．28C．29D．30
4．（2023上·山東濟南·七年級山東省濟南稼軒學校校考階段練習）若，，，則a，b，c的大小關系是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·山東青島·八年級統(tǒng)考期中）我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學等式．例如由圖1可以得到．若已知，由圖2所表示的數(shù)學等式，則的值為（ ）
A．12B．11C．10D．9
二、填空題
6．（2023上·上海楊浦·七年級統(tǒng)考期末）計算： .
7．（2023上·重慶開州·八年級校聯(lián)考階段練習）若是一個完全平方式，那么 ．
8．（2023上·河南新鄉(xiāng)·八年級?？茧A段練習）如圖，在邊長為a的正方形中減去一個邊長為b的小正方形，把剩下的部分拼成一個梯形，分別計算這兩個圖形陰影部分面積，驗證了公式 ．
9．（2023上·黑龍江牡丹江·八年級統(tǒng)考階段練習）設是實數(shù)，定義一種新運算；．下面有四個推斷：①；②；③；④．其中正確推斷的序號是 ．
10．（2023上·甘肅蘭州·七年級蘭州市第五十五中學校考開學考試）對于任意的代數(shù)式a，b，c，d，我們規(guī)定一種新運算：．根據這一規(guī)定，計算 ．
三、解答題
11．（2023上·江蘇南通·八年級校聯(lián)考期中）計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
12．（2023上·河南南陽·八年級?？茧A段練習）利用乘法公式計算下列各題
(1)
(2)
(3)
(4)
13．（2023上·四川宜賓·八年級校考階段練習）（1）已知，求代數(shù)式的值．
（2）若，求
14．（2023上·吉林白城·八年級校聯(lián)考期末）符號“”稱為二階行列式，規(guī)定它的運算法規(guī)為．
(1)計算：_______；
(2)化簡二階行列式的值．
15．（2023上·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）下面是小明同學化簡求值的過程，請你認真閱讀并完成相應的任務．
先化簡，再求值：，其中．
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
當時，原式．……第四步
(1)小明同學第________步開始出現(xiàn)錯誤．
(2)寫出正確的化簡求值過程．
16．（2023上·安徽阜陽·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，圖1為邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，圖2是由圖1中的陰影部分拼成的一個長方形．
(1)設圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為，則______，______（請用含a，b的代數(shù)式表示，只需表示，不必化簡）．
(2)以上結果可以驗證哪個乘法公式？這個乘法公式是______
(3)運用（2）中得到的公式，計算：．
17．（2023上·甘肅武威·八年級校考期末）數(shù)學活動課上，老師準備了若干個如圖的三種紙片，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是長為、寬為的長方形，并用種紙片一張，種紙片一張，種紙片兩張拼成如圖的大正方形．
(1)觀察圖，請你寫出下列三個代數(shù)式：，，之間的等量關系；
(2)若要拼出一個面積為的矩形，則需要號卡片多少張，號卡片多少張，號卡片多少張．
(3)根據（1）題中的等量關系，解決如下問題：
①已知：，，求的值；
②已知，求的值．
18．（2023上·河南周口·八年級校考期中）若x滿足，求的值．
解：設，，
則，．
∴
．
(1)若x滿足，求的值．
(2)若x滿足，求的值．友情提示（2）中的可通過逆用積的乘方公式變成．
(3)若x滿足，求的值．

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