第02講 用關(guān)系式、圖象表示變量間的關(guān)系(4類(lèi)熱點(diǎn)題型講練) 1.列關(guān)系式表示兩個(gè)變量的關(guān)系，并會(huì)利用關(guān)系式進(jìn)行相關(guān)計(jì)算并感受對(duì)應(yīng)思想； 2.從具體問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題并將它用關(guān)系式表示出來(lái)； 3.把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖像，再根據(jù)圖像來(lái)研究實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生獲得對(duì)圖象反映變量之間關(guān)系的體驗(yàn)； 4.從圖像中獲得一些信息與在現(xiàn)實(shí)情景下用語(yǔ)言進(jìn)行描述之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化. 知識(shí)點(diǎn)01 用關(guān)系式表示變量之間的關(guān)系 表示自變量與因變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫作關(guān)系式．關(guān)系式是表示變量之間關(guān)系的另一種方法． 注意:（1）關(guān)系式一般是用含自變量的代數(shù)式表示因變量的等式； （2）實(shí)際問(wèn)題中，有的變量之間的關(guān)系不一定能用關(guān)系式表示出來(lái)； （3）有些問(wèn)題中，自變量是有范圍的，列關(guān)系式時(shí)要注明自變量的取值范圍． （4）關(guān)系式（解析式）法準(zhǔn)確地反映了因變量與自變量之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律，根據(jù)它可以由自變量的取值求出相應(yīng)的因變量的值，反之亦然； 知識(shí)點(diǎn)02 利用關(guān)系式求值 根據(jù)關(guān)系式求值實(shí)際上就是求代數(shù)式的值． 注意：已知自變量的值利用關(guān)系式求因變量的值實(shí)質(zhì)是求代數(shù)式的值，已知因變量的值利用關(guān)系式求自變量的值實(shí)質(zhì)是解方程． 特別說(shuō)明：關(guān)系式能揭示出變量之間的內(nèi)在聯(lián)系，但較抽象，不是所有的變量之間都能列出關(guān)系式. 一般地，在某一變化過(guò)程中，數(shù)值發(fā)生變化的量叫做變量．在變化過(guò)程中，數(shù)值始終不變的量叫做常量． 知識(shí)點(diǎn)03 用圖象表示變量之間的關(guān)系 圖象法：用圖象來(lái)表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系的方法叫做圖象法． 圖象法的特點(diǎn)是形象、直觀，可以形象地反映出變量之間關(guān)系的變化趨勢(shì)和某些性質(zhì)，是研究變量之間關(guān)系的好工具，其不足是由圖象法往往難以得到準(zhǔn)確的對(duì)應(yīng)值． 行程中的圖象問(wèn)題：在行程問(wèn)題中，“速度與時(shí)間”圖象和“路程與時(shí)間”圖象是從兩個(gè)不同的角度描述行程問(wèn)題中變量之間的關(guān)系圖象，注意區(qū)分． 知識(shí)點(diǎn)04 從圖象中獲取信息 （1）借助于圖象，可以知道自變量取某個(gè)值時(shí)，因變量取什么值或當(dāng)因變量取某一個(gè)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的自變量取什么值； （2）利用圖象可以判斷因變量的變化趨勢(shì)； （3）利用圖象上一系列的點(diǎn)所表示的自變量與因變量的對(duì)應(yīng)值，還可以得到表示兩個(gè)變量之間關(guān)系的表格或關(guān)系式． 特別說(shuō)明：圖象法可以直觀形象地反映變量的變化趨勢(shì)，而且對(duì)于一些無(wú)法用關(guān)系式表達(dá)的變量，圖象可以充當(dāng)重要角色. 一般地，在某一變化過(guò)程中，數(shù)值發(fā)生變化的量叫做變量．在變化過(guò)程中，數(shù)值始終不變的量叫做常量． 題型01 用關(guān)系式表示變量之間的關(guān)系 【例題】（2023下·吉林白城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）某汽車(chē)油箱中原有油量為，每km的耗油量為0.07升，油箱中的余油量（L）與汽車(chē)行駛里程數(shù)（km）之間的函數(shù)關(guān)系式是 （）． 【變式訓(xùn)練】 1．（2023下·山西晉中·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小明想了解一根彈簧的長(zhǎng)度是如何隨所掛物體質(zhì)量的變化而變化的，他把這根彈簧的上端固定，在其下端懸掛物體，下面是小亮測(cè)得的彈簧長(zhǎng)度與所掛物體的質(zhì)量的幾組對(duì)應(yīng)值： ?? 則在彈性限度內(nèi)，彈簧長(zhǎng)度與所掛物體的質(zhì)量之間的關(guān)系式為_(kāi)_______． 2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）假設(shè)圓柱的高是8cm，圓柱的底面半徑由小到大變化時(shí)，圓柱的體積也隨之發(fā)生變化． (1)在這個(gè)變化的過(guò)程中，自變量為_(kāi)_______，因變量為_(kāi)_______． (2)如果圓柱底面半徑為r（cm），那么圓柱的體積V（cm3）可以表示為_(kāi)_______． (3)當(dāng)r由1cm變化到6cm時(shí)，V由________cm3變化到________cm3． 題型02 利用關(guān)系式求值 【例題】（2023下·江西九江·七年級(jí)統(tǒng)考期中）父親告訴小明“距離地面越高，溫度越低”，并給小明出示了下面的表格． 根據(jù)上表，父親還給小明出了下面幾個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你和小明一起回答． (1)上表反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？ (2)如果用表示距離地面的高度，用表示溫度，那么隨著的變化，是怎么變化的？請(qǐng)求出與之間的關(guān)系式． (3)距離地面的高空的溫度是多少？ 【變式訓(xùn)練】 1．（2023下·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）某市出租車(chē)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：3千米以?xún)?nèi)（含3千米）收費(fèi)8元；超過(guò)3千米的部分每千米收費(fèi)1.6元，當(dāng)出租車(chē)行駛路程為x千米時(shí)，應(yīng)收費(fèi)為y元． (1)請(qǐng)寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，y與x之間的關(guān)系式； (2)小亮乘出租車(chē)行駛5千米，應(yīng)付多少元？ (3)小亮付車(chē)費(fèi)19.2元，出租車(chē)行駛了多少千米？ 2．（2022下·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期中）目前，上海疫情防控正處于清零攻堅(jiān)的關(guān)鍵階段，為進(jìn)一步支援上海積極抗疫，某省慈善總會(huì)采購(gòu)一批醫(yī)用級(jí)疫情防控物資捐贈(zèng)給上海．為了找到合適的配送車(chē)輛，相關(guān)人員查閱資料，了解某種車(chē)的耗油量，其數(shù)據(jù)記錄如下： (1)如表反映的兩個(gè)變量中，自變量是_______，因變量是_______． (2)根據(jù)表可知，汽車(chē)行駛3小時(shí)時(shí)，該車(chē)油箱的剩余油量為_(kāi)_____升，汽車(chē)每小時(shí)耗油______升． (3)請(qǐng)直接寫(xiě)出兩個(gè)變量之間的關(guān)系式（用t來(lái)表示Q）． 題型03 用圖象表示變量之間的關(guān)系 【例題】（2023上·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）睡覺(jué)前小紅在浴缸內(nèi)緩緩放入溫水，10分鐘后關(guān)閉水龍頭，小紅洗澡時(shí)浴缸里的水還是溢出了一些，23分鐘后泡澡結(jié)束，小紅離開(kāi)浴缸．下面正確反映出浴缸水位變化情況的圖是（????） A．B．C．??D．?? 【變式訓(xùn)練】 1．（2023上·浙江寧波·七年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）水滴進(jìn)玻璃容器（滴水速度相同）實(shí)驗(yàn)中，水的高度隨滴水時(shí)間變化的情況（下左圖），下面符合條件的示意圖是（　　） ?? A．?? B．???? C．?? D．?? 2．（2023下·安徽宿州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，有一個(gè)容器水平放置，往此容器內(nèi)注水，注滿(mǎn)為止．若用h（單位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（單位：）表示注入容器內(nèi)的水量，則表示V與h的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（????） ?? A．??B．??C．D．?? 題型04 從圖象中獲取信息 【例題】（2023下·山西運(yùn)城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）“忠義仁勇數(shù)關(guān)公”，說(shuō)的就是關(guān)羽關(guān)圣人．農(nóng)歷四月初八，關(guān)公游城，祈福國(guó)泰民安，風(fēng)調(diào)雨順，街頭人山人海．管理處工作人員用無(wú)人機(jī)進(jìn)行航拍，操控?zé)o人機(jī)需要根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)狀況調(diào)節(jié)高度，已知無(wú)人機(jī)上升或下降的速度相同，無(wú)人機(jī)的高度h（米）與操控?zé)o人機(jī)的時(shí)間t（分）之間的關(guān)系如圖中的實(shí)線(xiàn)所示，根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題： ?? (1)在上升或下降過(guò)程中，無(wú)人機(jī)升降的速度是多少？ (2)圖中a、b表示的數(shù)分別是a=___________，b=___________． (3)求第14分鐘時(shí)無(wú)人機(jī)飛行的高度． 【變式訓(xùn)練】 1．（2023下·陜西漢中·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一輛汽車(chē)的速度隨時(shí)間變化的圖象，請(qǐng)你根據(jù)圖象提供的信息解答下列問(wèn)題： ?? (1)在這個(gè)變化過(guò)程中，自變量是__________，因變量是_______； (2)這輛汽車(chē)在整個(gè)行駛過(guò)程中，速度最高是多少千米/時(shí)？ (3)請(qǐng)簡(jiǎn)要描述汽車(chē)從第10分鐘到24分鐘之間速度的變換情況． 2．（2023下·河南焦作·七年級(jí)校考期末）A、B兩地相距50千米，甲于某日下午1時(shí)騎自行車(chē)從A地出發(fā)駛往B地，乙也于同日下午騎摩托車(chē)按同一路線(xiàn)從A地出發(fā)駛往B地．如圖所示，圖中的折線(xiàn)和線(xiàn)段分別表示甲、乙所行駛的路程與該日下午的時(shí)間之間的關(guān)系．根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題： (1)甲、乙兩人先出發(fā)的是__________；先出發(fā)___________小時(shí)； (2)甲、乙兩人先到達(dá)B地的是_________；提前________小時(shí)到達(dá)； (3)甲在2時(shí)至5時(shí)的行駛速度為_(kāi)_________千米/時(shí)；乙的速度為_(kāi)_________千米時(shí)； (4)甲出發(fā)后________小時(shí)乙追上他，此時(shí)距離A地__________千米． 一、單選題 1．（2023下·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法不正確的是（????） A．正方形面積公式中有兩個(gè)變量：S，a B．圓的面積公式中的是常量 C．在一個(gè)關(guān)系式中，用字母表示的量可能不是變量 D．如果，那么a，b都是常量 2．（2023上·浙江杭州·八年級(jí)杭州綠城育華學(xué)校校考階段練習(xí)）某商場(chǎng)為了增加銷(xiāo)售額，推出了“元旦期間大酬賓”活動(dòng)，活動(dòng)內(nèi)容是：“凡元旦期間在該商場(chǎng)一次性購(gòu)物超過(guò)100元者，超過(guò)100元的部分按八折優(yōu)惠．”在酬賓活動(dòng)中，小張到該商場(chǎng)為單位購(gòu)買(mǎi)了單價(jià)為30元的辦公用品x件（），則應(yīng)付款y與商品件數(shù)x的關(guān)系式為（????） A． B． C． D． 3．（2023下·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，三角形底邊上的高是．當(dāng)三角形的頂點(diǎn)沿底邊所在直線(xiàn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在這個(gè)變化過(guò)程中，下列敘述正確的有（ ） ①線(xiàn)段的長(zhǎng)是常量；②底邊上的高是常量；③線(xiàn)段的長(zhǎng)是變量；④三角形的面積是變量． A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè) 4．（2023上·陜西榆林·八年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）騎自行車(chē)是一種健康自然的運(yùn)動(dòng)旅游方式，長(zhǎng)期堅(jiān)持騎自行車(chē)可增強(qiáng)心血管功能，提高人體新陳代謝和免疫力.如圖是騎行愛(ài)好者老劉某天騎自行車(chē)行駛路程（km）與時(shí)間（h）的關(guān)系圖象，觀察圖象得到下列信息，其中錯(cuò)誤的是（　?。??? A．點(diǎn)表示老劉出發(fā)，他一共騎行 B．老劉實(shí)際騎行時(shí)間為 C．老劉的騎行速度為 D．老劉的騎行在的速度比的速度慢 5．（2023下·河南鄭州·七年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，在直角中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)沿出發(fā)沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程為，的面積為，與的圖象如圖2所示，則的面積為（????） ?? A．9 B．12 C．16 D．32 二、填空題 6．（2023上·山東濟(jì)南·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如果每盒圓珠筆有12支，每盒的售價(jià)是18元，那么圓珠筆的總售價(jià)y（元）與數(shù)量x（支）之間的函數(shù)關(guān)系式為 ． 7．（2017·甘肅張掖·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一水池的容積是，現(xiàn)有蓄水，用水管以的速度向水池注水，直到注滿(mǎn)為止．則水池蓄水量與注水時(shí)間之間的關(guān)系式為 ． 8．（2020上·甘肅張掖·八年級(jí)?？计谥校┬∶髟缟喜叫腥ボ?chē)站，然后坐車(chē)去學(xué)校．如圖象中，能近似的刻畫(huà)小明離學(xué)校的距離隨時(shí)間變化關(guān)系的圖象是 ．（填序號(hào)） 9．（2023下·四川成都·七年級(jí)成都實(shí)外?？计谀埓鬆斠獓梢粋€(gè)長(zhǎng)方形花園，花園的一邊利用足夠長(zhǎng)的墻，用籬笆圍成的另外三邊總長(zhǎng)應(yīng)恰好為26米，要圍成的菜園是如圖所示的長(zhǎng)方形，設(shè)邊的長(zhǎng)為米，邊的長(zhǎng)為米，則與的關(guān)系式是 ．（不需要寫(xiě)自變量取值范圍） ?? 10．（2023下·山東泰安·六年級(jí)統(tǒng)考期末）小明和小華是同班同學(xué)，也是鄰居，某日早晨，小明7：00先出發(fā)去學(xué)校，走了一段路后，在途中停下來(lái)吃了早飯，后來(lái)發(fā)現(xiàn)上學(xué)時(shí)間快到了，就跑步到學(xué)校；小華離家后直接乘公交車(chē)到了學(xué)校．如圖是他們從家到學(xué)校已走的路程和小明所用時(shí)間的關(guān)系圖，則下列說(shuō)法中正確的是 ．①小明吃早飯用時(shí)；小華到學(xué)校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小華到學(xué)校的時(shí)間是7：05． ?? 三、解答題 11．（2023上·四川成都·八年級(jí)成都市樹(shù)德實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┠吵鞘芯用裼盟畬?shí)行階梯收費(fèi)，每戶(hù)每月用水量如果未超過(guò)噸，按每噸元收費(fèi)．如果超過(guò)噸，未超過(guò)的部分仍按每噸元收費(fèi)，超過(guò)部分按每噸元收費(fèi)．設(shè)某戶(hù)每月用水量為噸，應(yīng)收水費(fèi)為元． (1)分別寫(xiě)出當(dāng)每月用水是未超過(guò)噸和超過(guò)噸時(shí)，與之間的函數(shù)表達(dá)式； (2)若該城市某用戶(hù)月份和月份共用水噸，且月份的用水量不足噸，兩個(gè)月一共交水費(fèi)元，求該用戶(hù)月份用水多少?lài)崳? 12．（2022下·安徽·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，梯形上底的長(zhǎng)是，下底長(zhǎng)，高． (1)梯形面積與上底長(zhǎng)之間的關(guān)系式是什么？ (2)當(dāng)每增加1cm時(shí)，如何變化？ (3)當(dāng)時(shí)，等于什么？此時(shí)表示的是什么？ 13．（2022上·安徽安慶·八年級(jí)?？计谥校┩ㄟ^(guò)市場(chǎng)調(diào)查，一段時(shí)間內(nèi)某地區(qū)某種商品的需求量千克與市場(chǎng)價(jià)格元/千克（）之間存在下列關(guān)系： 又假設(shè)該地區(qū)該商品在這段時(shí)間內(nèi)的生產(chǎn)量千克與市場(chǎng)價(jià)格元/千克成正比例關(guān)系：，其中滿(mǎn)足，現(xiàn)在不計(jì)其他因素影響，如果需求量等于生產(chǎn)量，那么此時(shí)市場(chǎng)處于平衡狀態(tài)． (1)試通過(guò)找點(diǎn)畫(huà)圖探究與之間的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式； (2)根據(jù)以上市場(chǎng)調(diào)查，請(qǐng)你分析；當(dāng)市場(chǎng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，該地區(qū)這種商品的市場(chǎng)價(jià)格與這段時(shí)間內(nèi)的總銷(xiāo)售收入各是多少？ 14．（2023下·四川達(dá)州·七年級(jí)?？计谀┌褪裰袑W(xué)的小明和朱老師一起到一條筆直的跑道上鍛煉身體，到達(dá)起點(diǎn)后小明做了一會(huì)準(zhǔn)備活動(dòng)，朱老師先跑，當(dāng)小明出發(fā)時(shí)，朱老師已經(jīng)距起點(diǎn)200米了．他們距起點(diǎn)的距離s（米）與小明出發(fā)的時(shí)間t（秒）之間的關(guān)系如圖所示（不完整）．根據(jù)圖中給出的信息： ?? (1)在上述變化過(guò)程中，自變量是 ，因變量是 ； (2)朱老師的速度為_(kāi)_____秒；小明的速度為_(kāi)_____米/秒； (3)求小明第一次追上朱老師前，朱老師距起點(diǎn)的距離s與t的關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍． 15．（2023下·陜西榆林·七年級(jí)?？计谥校┌慈鐖D所示的方式擺放餐桌和椅子，1張餐桌擺6把椅子，2張餐桌擺10把椅子，3張餐桌擺14把椅子…，其中餐桌的數(shù)量用（張）表示，椅子的數(shù)量用（把）表示，椅子的數(shù)量隨著餐桌數(shù)量的變化而變化． ?? (1)題中反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？ (2)請(qǐng)寫(xiě)出椅子的數(shù)量（把）和餐桌的數(shù)量（張）之間的關(guān)系式； (3)按如圖所示的方式擺放餐桌和椅子，能否剛好坐80人？請(qǐng)說(shuō)明理由． 16．（2023下·遼寧丹東·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小明和媽媽一起在一條筆直的跑道上鍛煉身體，到達(dá)起點(diǎn)后小明做了一會(huì)準(zhǔn)備活動(dòng)，媽媽先跑．當(dāng)小明出發(fā)時(shí)，媽媽已經(jīng)距離起點(diǎn)200米．他們距起點(diǎn)的距離s（米）與小明出發(fā)的時(shí)間t（秒）之間的關(guān)系如圖所示，根據(jù)圖中給出的信息解答下列問(wèn)題： ?? (1)小明出發(fā)之后，前70秒的速度是__________米/秒；媽媽的速度是__________米/秒； (2)a表示的數(shù)字是____________； (3)直接寫(xiě)出小明出發(fā)后的110秒內(nèi)，兩人何時(shí)相距60米． 17．（2023下·廣東梅州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）探索計(jì)算：彈簧掛上物體后會(huì)伸長(zhǎng)．已知一彈簧的長(zhǎng)度（）與所掛物體的質(zhì)量（）之間的關(guān)系如下表： (1)當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度是_______________________； (2)在彈性限度內(nèi)如果所掛物體的質(zhì)量為，彈簧的長(zhǎng)度為，根據(jù)上表直接寫(xiě)出與的關(guān)系式_____________； (3)當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為時(shí)，請(qǐng)求出彈簧的長(zhǎng)度； (4)如果彈簧的最大長(zhǎng)度為，那么該彈簧最多能掛質(zhì)量為多少的物體？ 18．（2023下·云南文山·七年級(jí)校聯(lián)考期末）某天小明騎自行車(chē)上學(xué)，途中因自行車(chē)發(fā)生故障，修車(chē)耽誤了一段時(shí)間后繼續(xù)騎行，按時(shí)趕到了學(xué)校，如圖所示是小明從家到學(xué)校這一過(guò)程中所走的路程s（米）與時(shí)間t（分）之間的關(guān)系，根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題： ?? (1)在這個(gè)變化過(guò)程中，自變量和因變量分別是什么？ (2)小明從家到學(xué)校的路程共多少米？ (3)從家出發(fā)到學(xué)校，小明共用了多少分鐘？ (4)小明修車(chē)用了多長(zhǎng)時(shí)間？ (5)小明修車(chē)以前和修車(chē)后的平均速度分別是多少？ 所掛物體的質(zhì)量012345彈簧長(zhǎng)度距離地面的高度012345溫度/℃201482汽車(chē)行駛時(shí)間t（小時(shí)）0123……油箱剩余油量Q（升）100959085……（元/千克）5101520（千克）4500400035003000所掛物體的質(zhì)量/彈簧的長(zhǎng)度/

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初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）七年級(jí)下冊(cè)電子課本 舊教材

章節(jié)綜合與測(cè)試

版本： 北師大版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)

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